Короткая кубическая тригонометрическая сумма г. Вейля Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2011, том 54, №11________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 511.524

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, Д.М.Фозилова

КОРОТКАЯ КУБИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СУММА Г.ВЕЙЛЯ

Институт математики АН Республики Таджикистан

Получена новая оценка короткой кубической тригонометрической суммы Г.Вейля, когда старший коэффициент не очень близок к рациональному числу.

Ключевые слова: сумма Г.Вейля - формула суммирования Пуассона - оценка Хуа Ло-гена - рациональная тригонометрическая сумма - тригонометрический интеграл.

Всюду будем считать, что х > Хд > 0, у < 0,01х, д <т, (а, д) = 1,

Т (а; х, у) = V в(ашп), а = а + Л, \Л\< —.

х-у <ш<х д дт

Теорема 1. Пусть т> 12ху, {3Лх2} >-1, Л> 0 или {3Лх^} < 1 — ^, Л< 0, тогда имеет место оценка

2 —1 —1 —1 —1 —1 — 1

\ Т (а, х, у) д 3 1п д + тіп(уд 3 ,\Л\ 2 х 2 д 3 ,\Л\ 3 д 3).

Эта теорема уточняет результат работы [1] относительно оценок коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля, в случае если старший коэффициент а не очень близок к рациональному числу а / д.

Следствие 1. Пусть т > 12ху , <\Л \< —, тогда имеет место оценка

6qx

2 1 1 qz

2 _ 1112 .3 „ і 3 v2^6 v3

T(a, x, y) ^ q 3 ln q + min(yq 3, x2 q6, x3).

Схема доказательства. Пользуясь свойством линейных сравнений и ортогональным свойством полной линейной рациональной тригонометрической суммы, находим

1 4

Т(а; х, у) = - ^ ТЬ (Л; х, у)5Ь (а q). (1)

*Ь=1

Адрес для корреспондентции: Рахмонов Зарулло Хусенович, Фозилова Давлатбахт Миралибековна. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]; [email protected]

f о b^m ^ -q

тъ (Л; x, y) = 2 е Ят----------------Sb (a q) = Z e

x-y<m<x ^ q J k=1

ak3 + bk^ q j

2 ( 2)

Имея в виду, что 3Лх — <3Лх > - целое число, найдем

'3 9 9 Ьи

ТЬ (Л; х, у) = ^ е (/(т,Ь)), /(и,Ь)= Ли — (3Лх — {3Лх })и-----------------.

х—у<т<х q

Рассмотрим только случай Л > 0 . При Л < 0 , положив Л = —^, воспользовавшись соотно-

шением Т (Л; х, у) = Т_йС^; х, у) и давая сумме Т(а; х, у) форму

Т(а; х у) = - £ Тч-Ь (м; х У)Sq_Ь (д — а q) = - £ТЬ (м; х у)^Ь (q — а q), дь=1 дь=1

сведём его оценку к случаю Л > 0 .

Пользуясь монотонностью производной функции /(и, Ь) и условием на величину т , имеем

—1 <-^ху-—-< /'(х—у, Ь) < /'(и, Ь) < /'(х, Ь) = {3Лх2}—-< 1. q -12ху q q

Применяя к сумме Т (Л; х, у) формулу суммирования Пуассона, находим

ТЬ (Л; х, у) = I (—1, Ь) +1 (0, Ь)+1(1 Ь)+0(1), (2)

I(к,Ь) = | е(/(и,Ь))Ыи, /(и,Ь) = Ли3 — (3Лх2 — {3Лх2})и — — — Ии.

х—у ^

Подставляя (2) в (1) найдем

Т (а; х, у) = Г, + Т, + Т + 0 (I ^«=! |5Ь (а, q)|), Тк = 1 £«=,1 (И, Ь)^ (а, q).

1/2+8,

(3)

Пользуясь известной оценкой Хуа Ло-гена (a, q) ^ q (b, q) , имеем

1 q-1 -1+eq-1 -1+s 1+s

-21Sb(a,q) 1^q2 2(b,q)=q2 2 s 2 1 <q2 T(q)-

q-1 --+sq-1

jb (a, q) q 2 2 (b,q) = q 2 ___

qb =1 b =1 S\q 1<b<q -1

(b,q)=s

Заметим, что для всех u е (x - y, x] и h = -1,0,1 производная функции fh (u, b), то есть функция 2 2 2 A

f ^(u, b) = 3Л(и - x ) + {3Лx }------h, является неубывающей функцией. Поэтому имеет место

q

неравенство

/' к(х — У, Ь) < /Ь) < /' к(х Ь).

Представим это неравенство в следующем удобном нам виде

{3Лх2} — — — к — ц< /' Ли, Ь) < {3Лх2} — — — к, (4)

ч к ч

V = /\(x, Ь)—/\(х — У, Ь) = 6Лху — 3Лу2 < 6Лху < — < 6ху .

к к qт q -12ху 2q

Оценим каждую сумму Т отдельно.

Оценка Т. Полагая к = 1 в правой части неравенства (4), имеем

/'¿и,Ь) < {3Лх2} — - — 1 < — - < 0, | /'¿и,Ь) |= —/'¿и, Ь) > -.

q q q

Пользуясь этим неравенством для | / (и, Ь) |, оценим интеграл I(1, Ь) по величине первой производной:

II (1, Ь) |« \.

Ь

Подставляя эту оценку в правую часть формулы (3) при к = 1, имеем

I|<1 ¿II(1,Ь)||5-(а,q)|« ]Г .

Уь=1 ь=1 Ь

Пользуясь опять оценкой Хуа Ло-гена, найдем

т ^ 1/2+8 Х"^ (Ь, q) 2 +8 х^ о Х"^ 1 1+8 Х"^ Х"^ 1 ^ 2 +8 ( м

Т«q \ ьг=q2 ^^^т=q2 q2 q.

1<Ь<д 8\ц 1<Ь<д 8\ц \<Ь<^

(Ь,ч)=3 ~ ~3

Оценка Т_-у. Полагая к = —1 в левой части неравенства (4),

имеем

г, / І.Ч го-1 2, д — Ь 1 д — Ь 1 д — Ь /—1(и,Ь) >{3Лх } +---------!>- + - ~

q 2q q 2q q

Аналогично, как в случае оценки I(1, Ь), оценивая I(—1, Ь) , 1 < Ь < q — 1 по величине первой производной, найдем

q

\ I (—1, Ь) \<<

д — Ь

В случае Ь = q, имея в виду /^) (и, q) > 6Л(х — у)3 к » Лх3 к, к = 2,3, оценим интеграл I (—1, q) по величине модуля производного порядка к и найдём

—1 1—3 —1 —1 —1

11(—1, q) |« шт (у, Л кх к ) = шт(у,Л 2 х 2 ,Л 3).

2< к <3

Подставляя эти оценки для I(—1,Ь) в (3), затем пользуясь оценкой (а,q) « q3 [2], найдём

1 X £—1 | (а, q) | —1 1 1 1 1 1

|T-l<-Е|^—1Ь)||5Ь•лq)|«Е—т-+шln(yq 3,Л 2х 2ч ,Л 3q 3). qь=1 »=1 ч—ь

Пользуясь для суммы (а, ч) оценкой Хуа Ло-гена, найдём

Е1 «Ч1/2+8 Е ^ Е 1 <Ч2+8т(ч)1пч.

Ь =1 Ч Ь 1<Ь<ч —1 Ч Ь 3\д 1<Ь<ч—1 Ь

(Ь,Ч)=8

Таким образом, для суммы Т—1 получим оценку

1+8 —1 —1 —1 —1 —1 —1

| « ч2 т(ч)1пч + ш1п(уч 3 ,Л 2х 2ч 3,Л 3ч 3).

Оценка Т0. Полагая к = 0 в правой части неравенства (4) , имеем

{3Лх2}—— — ц< /'о(и, Ь) < {3Лх2} ——. (5)

ч ч

Интервал изменения (4) функции /^(и, Ь) обозначим через Ц, :

иЬ =( / '0( х—у, Ь), / о(х, Ь)] = |!3Лх2! — -—^РЛх2} — -

V

1

, Ч<—. 2ч

Расстояние между соседними интервалами, то есть разность между левой границей и правой

границей для всех Ь , 1 < Ь < ч равно

/' 0( х — У, Ь —1) — /' о( x, Ь) = - — Ч> - — ^ = -1. ч ч 2ч 2ч

Таким образом, интервалы и ,и \,и„_2,---,и\ расположены внутри интервала

(/' 0( х—y, q), /' 0( x, 1)] = {3 Лх2}—1—V, {3 Лх2}—1

V ч

длина которого равна 1 —1 + ц< 1 —-^. Эти интервалы между собой не пересекаются, сумма их длин равна чц и чц < 0.5 . Поэтому возможны следующие взаимоисключающие варианты:

нуль.

a) существует целое с, 1 < с < ч, что интервал Ц содержит нуль;

b) существует целое с, 0 < с < ч, что между соседними интервалами Ц и С/с_^ лежит Вариант а). Концы интервала С/ имеют различные знаки (/ ^(и, с) на интервале (х — у, х]

меняет знак:

{3Лх2} — — — 7< 0, {3Лх2} — — > 0.

д д

(6)

2 2

Это равносильно тому, что интервал [{3Лх }ч — 7ч,{3Лх }ч), длина которого равна цч, цч < 0.5 содержит целое число с из [1, ч — 1] . Пользуясь свойством числа с, то есть соотношением (6), соответственно для нижней граница , 7 > 1 и верхней границы Сс+у , 7 > 1, находим оценки

2. с — у {3Лх }-----------7 =

Г

д

2, с

Л

{3Лх } —

д)

.2, с + у

{3Лх }-------

д

; Ґ

{3Лх2} — — — 7 + 7 — ~

1 д 1 д)

І І І 1 і

+ - — 7>- — 7>---------->—,

д д д 2д 2д

І 1 І І

<7 —-<----------<——,

д 2д д 2д

то есть при Ь Ф с для /^(и, Ь) получаем оценку | /'д(и, Ь) |>| Ь — с | (2ч) 1. Отсюда в свою очередь получим

—1

\ I (0, Ь) \<<

Ь — с

д

В случае Ь = с , аналогично как в случае оценки I (—1, ч), найдем

—1 1—3

. 1 —1 —1 \ 1(0,с) \< тіп (у,Л кх к) = тіп(у,Л 2х 2,Л 3).

2< к <3

Подставляя эти оценки для I (0, Ь) в (3), имеем

д \ $Ь (a, д) \, \ $с (a, д)

Ь=1 \Ь — с \

Ъфс

д

—1 —1 —1 тіп(у,Л 2 х 2 ,Л 3).

Пользуясь опять оценкой (а, ч) « ч 3 , найдём

2 —1 —1 —1 —1 —1 —1

| Т0 |« ч3 1пч + ш1п(уч 3,Л 2х 2ч 3,Л 3ч 3).

Вариант Ь). В этом случае верхняя граница интервала и отрицательна, а нижняя граница интервала И ^ положительна, то есть / (и, с) и / (и, с — 1) на интервале (х — у, х] не меняют знак, но один из них может быть очень близким к нулю:

/(х, с) = {3Лх2} — - < 0, /(х — о, с — 1) = {3Лх2} — 00 — 7> 0. (7)

Я Я

Решая эти неравенства относительно с, найдём

{3Лх2 }д < с < {3 Лх2 }д +1 — 7д,

а это равносильно тому, что интервал [{3Лх2}д,{3Лх2}д +1 — 7д), длина которого равна 1 — 7д, 1 —7д > 0.5, содержит целое число с из [1, д — 1]. Пользуясь свойством числа с, то есть соотношением (7) соответственно для нижней границы Ис_^ ■ у > 1, и верхней границы Ис+ ■, у > 1 находим оценки

2, с-1 - j

f '0(Х - ^с -1 - j) ={3Äx }----------ч = {3Лх }----------Ч

Я

я )

+l > l,

ЯЯ

2Л с + j

Я

2, с

Я)

-L<-L я я ’

Таким образом, для f 'q(u, b) , при b Ф с — 1, с получаем оценку

I f, b) |> с 1 b при b < с — 1; | f, b) |> —с при b > с.

0 0

Воспользовавшись этими соотношениями, имеем

I(0, b) «—f-, b < с — 1; I (0, b) «-^, b > с.

с — b — 1 b — с

В случае b = с — 1 и b = с , аналогично как в случае оценки I(—1, я), найдём

—1 i_ 3 —1 —1 —1

11(0,b) |« min (y,X kx к) = min(y,A 2x 2,Ä 3).

2< к <3

Подставляя эти оценки для I (0, b) в (3), имеем

\гт \„с—1 Sb(aя)1 , Я 1 Sb(aя)1 , 1^—1(aq)| + | ^с(aя)1 . , ,— 2 — 2 ,—|л _

1 To |<<; L \ ь + L —г------------------+-х—----------с-min(У,Л 2x 2Д 3)<<

с — 1 — b , , b — с я

b=1 с 1 b ь=с+1 b с Я

2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ^ Я 3 ln я + min(>q 3 Д 2 x 2 я 3 Д 3 Я 3)

Поступило 10.08.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. - ДАН РТ, 2008, т. 51, 1, с.5-15.

2. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. - М.: Наука, 1987, 368 с.

ЗД.Рахдоонов, Д.М.Фозилова СУММАИ КУТО^И ТРИГОНОМЕТРИИ Г.ВЕЙЛ

Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Бах,ои нави суммаи кутохд тригонометрии Г.Вейл дар хрлате, ки коэффисиенти калон бо адади ратсионалй “наздик” намебошад, гирифта шудааст.

Калима^ои калиди: суммауои Вейл - формулаи суммиронии Пуассон - бауои Хуа Ло-ген - суммаи тригонометрии ратсионалй - интеграли тригонометрй.

Z.Kh.Rakhmonov, D.M.Fozilova OF SHORT CUBIC EXPONENTIAL G.WEYL’S SUMS

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan A new estimate for short cubic exponential G.Weyl’s sums, was obtained when the leading coefficient is not very “close” to a rational number.

Key words: Weyl ’s sums - Poisson summation formula - Hua Lo-gen estimates - rational exponential sums

- exponential’s integral.