Об оценках коротких кубических сумм г. Вейля Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2008, том 51, №1___________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 511

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов,

К.И.Мирзоабдугафуров ОБ ОЦЕНКАХ КОРОТКИХ КУБИЧЕСКИХ СУММ Г. ВЕЙЛЯ

Г.Вейль [1] построил метод, с помощью которого впервые получил нетривиальную оценку тригонометрической суммы

Т (а; х) = ''У е (ап"'), а- вещественное.

п< х

Такие суммы называются суммами Вейля [2]. Из оценки Г. Вейля следует закон распределения дробных частей многочлена /(/) = а/т + а/"-1 +...+ат в отрезке [я,Ь]^[0,1), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1. Существенным недостатком метода Вейля является быстрая потеря его точности с возрастанием т .

В 1934 г. И.М.Виноградов [3] создал новый метод тригонометрических сумм. Этот метод не только позволил коренным образом усовершенствовать решения проблем уже рассматривавшихся ранее с помощью других методов, но и открыл широкий путь к решению новых.

В работе мы исследуем поведение коротких кубическим сумм Вейля:

а 1

Т (а; х, у) = У е(ап3), а = — + Л, (а, )) = 1, | Л|< —, т >1.

х-у<п< х Ц )Т

2 1

Теорема. Пусть х > х0 >0, у < 0,01х, т> 12ху. Тогда при {3Лх } < —, Л> 0 или

2)

2 1

{3 Лх } > 1------, Л< 0 имеет место соотношение

2)

Т (а, х, у) = ^Ц Т (Л; х, у) + 0()1/2+г), Я (а, )) = ¿е Г—1, (1)

п=1 I ) )

2 1 2 1

а при выполнении условий {3Лх }> —, Л> 0 или {3Лх }<1----------------------, Л< 0 имеет место

2) 2)

соотношение

Т (а, х, у) = ^Ц Т (Л; х, у) + 0()2/3 1п ) + )1/б х1/2). (2)

)

а

Следствие 1. Пусть х > х0 >0, у < 0,01х, т> 12ху, ) <т, а = — + Л; (а, )) = 1,

)

| Л |< —1—-. Тогда имеет место соотношение 6)х

0,5

Т(а, х, у) = —Я(а, ))у(Л; х, у) + 0()1/2+е) у(Л; х, у)= [ е(Л(х - у/2 + уи)ъ)ёи.

) -0,5

а

Следствие 2. Пусть х > х0 >0, у < 0,01х, т> 12ху, ) <т, а = — + Л; (а, )) = 1,

)

——т <| Л |< —. Тогда имеет место оценка 6)х )Т

Т(а, х, у) << )2/3 1п ) + )1/бх1/2.

Лемма 1. Пусть действительная функция - /(и) и монотонная функция - g(и) удовлетворяют условиям: /'(и) - монотонна, | /'(и) |> т >0 и | g(u)|< М. Тогда

справедлива оценка

Ъ М

¡Я(иМ/(и))ёи << —. ■* т

Доказательство см. [4].

Лемма 2. Пусть /(и) - действительная, дважды дифференцируемая функция, причем /''(и) > Л >0 (или /''(и) < - Л <0) на интервале (а, Ъ). Тогда

]е(/(и))йи < Г12.

Доказательство см. [3].

Лемма 3. Пусть /(и) в интервале (а, Ъ) - вещественная дифференцируемая функция, причем внутри интервала ее производная /'(и) - монотонна и знакопостоянна и при постоянной 5 с условием 0 < 5 <1 удовлетворяет неравенству /' (и) <ё. Тогда имеем

ъ ъ / 25 Л

Уе(/(п)) = \е(/(и)Ми+о ^3+1.

Доказательство см. [3].

Лемма 4. Пусть а < Ъ, /(и) - действительная и дважды дифференцируемая функция, /'(и) монотонна на (а, Ъ). Пусть Н и Н2 такие целые числа, что Их < /'(и) < Н2 для любого и е [а, Ъ]. Тогда

а

а

Н 2 »

У е(/(п)) = У ¡е(/(и) - Ии)с1и + 0(1п( Н + 2)),

а < п<Ъ

где Н = тах(| Н |, | Н2 |) .

Доказательство см. [5].

Лемма 5. Пусть (а,)) = 1, ) - натуральное число. Тогда имеем

Я (а,)) < 6,1)3.

Доказательство см.[4].

Лемма 6. Пусть /(и) - вещественная, дважды дифференцируемая функция

0 < Л < /''(и) < ИЛ (или Л < -/' (и) < ИЛ на интервале (а, Ъ) (а +1 < Ъ), тогда

У е(/{и))йи << И(Ъ - а)Л/2 + Л~1/2.

а<п<Ъ

Доказательство см. [4]. Доказательство теоремы. Имеем

Т (а; х, у) =

_ Я (а,)) ,

)-1

Т (Л; х, у) + Я, Я = - УТъ (Л; х, у)^ (а,))

Чъ=\

(3)

Тъ(Л; х у)= У е

х-у <пх

Лп3 -

Ъп

) )

, Яь (а, )) = Уе

^ак3 + Ък^

к=1

) )

Имея в виду, что 3Л)х2 -{3Л )х2} - целое число, найдем

Ъи

Тъ (Л; х, у) = У е (g(п)), g(и) = Ли3 - (3 Лх2 - {3Лх2})и-------.

х-у<п<х

)

Рассмотрим два возможных случая: 1. Л> 0 ; 2. Л < 0.

Случай 1. Л > 0. Пользуясь монотонностью

g,(u) = 3Л(u2 -х2) + {3Лх2}-Ъ/) и условием на величину т, имеем

производной

г (и) > g■ (х - у) = (-6 ху + 3/)Л-Ъ >-6ху - ^ - ^>-1 + ^> -1,

) )Т ) ) ■12ху ) 2)

g'(и) < g'(х) = {3Лх'} -Ъ <1 -Ъ <1 -1 <1

) ) )

Поэтому, применяя к сумме Т (Л; х, у) формулу суммирования Пуассона (лемма 4 ), находим

Ть (Л; х, у) = I (-1, Ъ) +1 (0, Ъ) +1 (1, Ъ) + 0(1), (4)

X і

I(И,Ь) = [ е(/(и,Ь))ёи, /(и,Ь) = Дм3 -(3Лх2 -{3Лх2})и —и-Ии.

Л V

Подставляя (4) в (3), найдем

Л = Я, + Л, + Я, + О (І у | ^ (а, V) 11, Я, = - XI (И, Ь)$, (а, V).

^ Я Ь=1 ) Ч Ь=1

(5)

Заметим, что для всех и е (х — у, х] и к = —1,0,1 имеют место неравенства

{3Лх2}—- — к 2 < /Ди,Й) < {3Дх2} — - — к,

Ч д

6ху 6ху 1

(6)

5 = 6Лху - 3Лу <6Лху <------<

<■

дт д -12ху 2д Оценим каждую сумму отдельно.

Оценка . Полагая в правой части неравенства (5) к = 1, имеем

Ь

Ь Ь

Ь 1

/(и, Ь) < {3Лх1} — -1 <-- < -— <0, | /(и, Ь) |= -/(и, Ь)> — > -

д д 2д 2д 2

Пользуясь этим неравенством для | /(и, Ь) | и леммой 1, оценим интеграл 1(1, Ь) сверху. Найдем

I (1, Ь)«

Подставляя эту оценку в (5), имеем

1 V-1

Я,«1X

V Ь=1

1 Яь (а ^)|.

(7)

Оценка Я_1. Полагая в левой части неравенства (6) к = —1, имеем

/>, Ь) > {3Лх2} + -

-5>^——- = ■

■ +

^ д - Ь 1 ^ > V - Ь _ 1 Ь

1 ^ 2g) 2g 2 V

д д 2д 2д

Как в случае оценки , пользуясь леммой 1 для интеграла I (—1, Ь), получим оценку

I (-1, Ь) =

поэтому, ввиду (5), имеем

1 V-1

Я-1 «1X

Ч ь=1

1 Яь (а g)|.

(8)

Оценка Я0. Полагая в неравенстве (6) к = 0, имеем

{3Лх2}—- — 8 < /0'(и,Ь) < {3Лх2}—-.

я д

1

Если {3Лх } < —, то 2д

,, 1 Ь Ь Ь—1 Ь ^ 7. , Ь

/0(u, Ь) < ------------- ------- — < —— < 0, 1 /0 (u, Ь) |- —Л (u, Ь) - ~ -

2д д 2д 2д 2д 2д

Ь_

2д

Пользуясь этим неравенством для | /'(и, Ь) | и леммой 1, оценим интеграл I(0, Ь) .

Имеем

I(0,Ь) «

поэтому при {3Лх2} < —, ввиду (5), найдем

2д

1 д—1

*0 << - У

д ь=1

15Ь (a, д)|.

(9)

1

Пусть теперь {3Лх }> —. Интервал изменения /0'(и,Ь) обозначим через иь

иъ =

^ , Ь , ъ'

{3Лх }---------8,{3Лх } —

д д

2д

, а длина и не превосходит 8 , 8 < —.

2д

Расстояние между соседними интервалами, то есть разность между левой границей иъ_х и правой границей иъ для всех Ь , 1 < Ь < д — 1, равно

Ъ—1

{3Лхс2}----8 — {3Лхс2} —

Ъ

\

1

1 1 1

д д 2д 2д

д ) \ д)

Таким образом, интервалы и ии 2,и з,...,^ расположены в интервале

1

(

{3 Лх2}—1 +1 — 8,{3Лх2} —

I д д

, длина которого равна 1 — — и между собой не пересекаются и

2д

сумма их длин равна (д — 1)8, и

(д —1)8 < д—-<-.

2 д 2

Поэтому возможны следующие взаимоисключающие варианты: существует такое целое с, 1 < с < д — 1, что интервал изменения /0,(и, с), то есть ис содержит нуль;

существует такое целое с, 1 < с < д — 1, что между соседними интервалами ис и исЧ лежит нуль.

Рассмотрим теперь отдельно каждый из вариантов.

Вариант а). Концы интервала ис имеют различные знаки (/¿(и, с) в интервале (х — у,х] меняет знак):

{3Ах2} — > 0,{3 Ах2}--------8< 0.

Ч Ч

(10)

Это равносильно тому, что интервал [{3Ах2}д — £д,{3Ах2}д), длина которого равна 8д, 8д < 0.5, содержит целое число из [1, д — 1].

Пользуясь свойством числа с, то есть соотношением (10) соответственно для нижней границы и ., _/ > 1 и верхней границы и ., у > 1, находим оценки

{3Ах2} -

с - — Ч

-8 =

{3 Ах:2}--

Ч

Ч

Ч

\

—

Ч 2ч 2ч К 2ч 2ч ) 2ч

>

{3 Ах2} -

^ с + +

Ч

Л

{3Ахс2} - С-8 + 8-—

1 Ч К ч )

<8-1 <±-—=-—+I- <-—

Ч 2ч Ч 2ч 2ч 2ч

Таким образом, для /'(и), Ь Ф с получаем оценку

I /Ь(и) |>

Ь-с | 2ч

следовательно, по лемме 1

11 (0,Ь)|<<

Ь-с

Ч

В случае Ь = с интеграл I(0, с) оценим по величине модуля второй производной (лемма 2).

Имеем

11 (0, с) |<< (Ах)

1

-1/2

Таким образом, если {3Ах }>— и в интервале [{3Ах }д — 8д,{3Ах }д] П[1,д]

существует целое число с , то

I (0,Ь) =

2ч

| д | Ь — с | \ если Ь Ф с

1(Ах)—12, если Ь = с.

-1

Поэтому, подставляя эти оценки для I (0, Ь) в выражение для *, то есть в (5), полагая И = 0, имеем

* « +. (11) ^ у |Ь—с | д(Ах)1'2 ' '

Ь фс

Вариант Ь). В этом случае верхняя граница интервала ис отрицательна, нижняя граница интервала ис_х положительна, то есть /'{)(и,с) и /'{)(и,с — 1) в интервале (х — у,х] не меняют знак, но могут быть очень близки к нулю:

{ 3Ах2} — с < 0,{3 Ах2}—с—1 — 8 > 0^{3 Ах2 }д < с < {3 Ах2 }д + 1 — 8д . (12)

д д

Это равносильно тому, что интервал [{3Ах2}д,{3Ах2}д +1 — 8д), длина которого равна 1 — 8д, 1 — 8д > 0.5, содержит целое число с из [1,д — 1].

Пользуясь свойством числа с, то есть соотношением (12) соответственно для нижней границы ис_! ., 7 > 1 и верхней границы и ., 7 > 1, находим оценки

{3Ах2} ——-———8 = {3Ах2} ——- — 8

д V д )

+7 >7,

дд

{3 Ах2}—= {3Ах2} —

; Г

д)

дд

Таким образом, для /'(м), Ь Ф с — 1, с получаем оценку

| ./Ь'(м)|> с 1 Ь, Ь < с—1, д | /ь(м) |>—, Ь > с, д

следовательно, по лемме 1

I (0,Ь ) «—д—, Ь < с — 1, с — Ь — 1

I(0,Ь ) «-^-, Ь > с.

Ь — с

Оценивая интегралы I(0, с — 1) и I(0, с) по величине модуля второй производной (лемма 2), имеем

11(0, с — 1) |« (Ах)-1/2, 11(0, с) |« (Ах)-1/2.

Таким образом, если {3Ах2}> — и если в интервале [{3Ах2}д,{3Ах2}д +1 -бд] П [1, д]

существует целое число с, то

2д

д(с-1 -Ь) 1,если Ь < с-1,

I(0, Ь) = \ д(Ь - с)-1, если Ь > с,

(лх)А2, если Ь = с-1 или Ь = с.

Поэтому, подставляя как в предыдущем варианте эти оценки для I (0, Ь) в выражение для , то есть в (5), полагая И = 0, имеем

р ,„с-21 Яь(ад)1 . д-11Ъ(ад)1.1д)1 +1яс(ад)1 Аа <<У---7—Г + У -------:-+ '

Ь = 1 С 1 Ь Ь = с+1

Ь=с+1 Ь С

1

д(Лх)

1/2

(13)

Таким образом, при {3Ах } <—, подставляя найденные оценки для , Я_1, Я0

2д

соответственно из (7), (8), (9) в (5), найдем

1 д ь 1 д-1 1 д

А << - У - I Яь (а д) | + - У | 5ь (а д^« - У

д ь=1 д д ь=1 д ь=1

Яь (а д)|.

Пользуясь оценкой Хуа Локена ([5] стр. 64) для полных тригонометрических сумм

д (ак3 +Ьд^ ^

Яь (а д) = Уе

к=1

д )

^ д2 (д, Ь),

найдем

ч-1

А « д 1/2+5 у

Ь=1

(Ь, д) = д

-1/2+5

у (Ь, д) + у

1<Ь/2 Ьд д/2<Ь<д 1 - Ьд

(Ь, д)

„-1/2+е

д У ^+д У

1<Ь<д/2 Ь <4 Ч Ь

2

-,1/2+5

у (Ы1+ у (д-Ь, д)

У Ь У Ь

1<Ь<д/2 Ь 1йЬ<9 Ь

2

<

<

2д1/2+5 У ^ « д2+25.

1<Ь<д/2

1

Утверждение леммы при {3Ах } < — ( А > 0 ) доказано.

2д

1

Пусть теперь {3Лх2}> — и в интервале [{3Лх2}д-£д,{3Лх2}д]П[1,д] существует

2д

целое число с (вариант а)), то, подставляя найденные оценки для Я1, Я^, Я0 соответственно из (7), (8), (11) в (5), найдем

1 9-1

я « - У

9 ь=-

(й> ?)|+у +Шм)1

' ьК,ЧП У | Ь - с | д(\ Л1х)

1/2 •

Ь Фс

Оценивая первую сумму как выше, затем пользуясь леммой 5 для оценки (а, д),

найдем

Я << д1/2+е + д2В

1

У + У

1

Ь - с

1<Ь<с-1 С Ь с+1<Ь<д-1

Далее воспользовавшись соотношением

+ 9 1/3 (Лх) 1/2 = д2В 1п 9 + 9 1/3 (Ах) 1/2

„„ 2 1 {3Лх2) 1

Лх = 3Ах2 — > ---------^ >

3х 3х

вдх

(14)

найдем

Я « 92 31п 9 + ди6х1' 2.

1/6_____1/2

1

Пусть наконец {3Лх }>— и в интервале [{3Лх }д,{3Лх }д + 1 -5д]П[1,д] существует

2д

целое число с (вариант Ь)), то, подставляя найденные оценки для Я, Я ;, Я0 соответственно из (7), (8), (13) в (5), найдем

1 9- 1

я « - У

9 ь=1

|^(а ^|+у[^>91 + у |5Ь(а9)| , 1 ^-1^9)| +1 %(а9)|

ь=1 с -1 - Ь ь=с+1 Ь - с д(Лх)Ь

Оценивая первую сумму как выше, затем пользуясь леммой 5 для оценки | (а, д) | и

соотношением (14), найдем

Я « дУ2+£ + д2/3

1

1<Ь<с-2

с - Ь

+ У

с+КЪ^-.

1

1Ь - с

+ 9 1/3(Ах)1/2 «.дz,i 1п 9 + 916х12.

2/3

1/6 1/2

Утверждение леммы в первом случае, то есть при Л > 0, полностью доказано.

Случай 2. Л < 0 . Применяя формулу суммирования Пуассона, получим для Т (Л, х, е) формулу (4), затем, подставляя (4) в (3), представим Я в виде суммы Я_1, Я0, Я1 (формула

1

(5)). Я_1, Я оцениваются аналогично, как в случае 1. Я0 при {3Ах } > 1-------------------также

2д

аналогично оценивается, как в первом случае, если {3Ах2} <

2д

Если {3Ах2}< 1-, то при оценке Я0 интервал изменения /¿{и,Ь) имеет вид

2д

(

и -

{ЗА*2} - - ,{3Ах2} - - + 5

1

, 5 - 6(-А)ху + 3(-А)у < —.

2д

Рассматривая два возможных варианта и аналогично оценивая как в первом случае для Я0, соответственно получим оценки вида (11) и (13) с учетом того, что в знаменателе

второго слагаемого перед А стоит знак минус.

Далее, воспользовавшись леммой 5 об оценке полных тригонометрических сумм и соотношением

[3Ах2] + {3Ах2} ^ -1 + {3Ах2} ^ 1

Зх

Зх

6дх

найдем

Я << д2 31п д + д х1/2.

1 1

Доказательство следствия 1. Из соотношения | А |<--------------- следует, что {3Ах } < —,

6дх 2д

1

если А> 0, или {3Ах } > 1----------, если А< 0 . Поэтому имеет место (1) и к сумме Т(А; х, у)

2д

применяя лемму 3, полагая / (и) = Аи3 и имея в виду, что

| /'(и) |= 3 | А | и2 < 3х2/(6дх2) = 1/2д < 1/2 , найдем

х

Т(А; х, у) - | в(Аиъ)ёи + 0(1).

х - у

Полагая и = х - у/2 + иху, сделаем в последнем интеграле замену переменных и получим утверждение леммы.

1

1

Доказательство следствия 2. Из соотношения | А |>----- следует, что {3Ах }> —,

6дх

2д

1

если А >0, или {3Ах }<1-----------, если А <0. Поэтому имеет место (2) и применяя к сумме

2д

Т(А; х, у) лемму 6, полагая /(и) - Аи3, и имея в виду, что | А | х /"(и) |^| А | х, найдем

1

T(a, х, у)«

S q) yJ\A\X + . 1 + q2/3 ln q + q116 x112 « q23ln q + q1/6 x1/2.

q { уЩх J

Институт математики АН Республики Таджикистан

Поступило 16.01.2008 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Weyl H. - Math. Ann., 1916, № 77, p. 313-352.

2. Vaughan R.C. Some remarks jn Weyl sums. Topics in classical number theory, Coll. Math. Soc. Janos. Bolyai, Budapest, 1981, № 34.

3. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1980.

4. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. - М.: Наука, 1987, 368 с.

5. Р. Вон. Метод Харди-Литтлвуда. - Перев. с анг. - М.: Мир, 1985, 184 с.

З.Х.Рахмонов, К.И.Мирзоабдугафуров ОИДИ БА^О^ОИ СУММАХ,ОИ КУТО^И КУБИИ Г.ВЕЙЛ

Рафтори суммаи кубии Г.Вейл, ки коэффисиенти калон бо адади ратсионалии махрачаш хурд наздик карда мешавад, таджик; карда шудааст.

Z.Kh.Rakhmonov, K.I.Mirzoabdugafurov ABOUT THE ESTIMATIONS OF SHORT CUBE WEYL SUMS

The behavior of short cube Weyl sums is investigated, when a coefficient is approached a rational number with a little denominator.