Оценка коротких тригонометрических сумм г. Вейля Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2011, том 54, №4___________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 511.524

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, Н.Б.Озодбекова

ОЦЕНКА КОРОТКИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ Г.ВЕЙЛЯ

Институт математики АН Республики Таджикистан

В множестве точек первого класса изучено поведение тригонометрических сумм Вейля, переменная суммирования которых принимает значения из коротких интервалов.

Ключевые слова: тригонометрическая сумма Г.Вейля - функция делителей - диофантово уравнение - тригонометрический интеграл.

В фундаментальной работе о равномерном распределении Г.Вейль [1] развил метод, с помощью которого впервые получил нетривиальную оценку тригонометрических сумм вида

Т(ап,ап-1 ,-,а1) = 2 е(/(т)), /(*) = ап1 П + ап-1*п— + - + 0^’

т< х

поэтому этим суммам И.М.Виноградов [2] присвоил название: “суммы Вейля”. Существенным недостатком оценки Вейля является быстрая потеря ее точности с возрастанием п. В 1934 г. И.М.Виноградов [2] создал новый метод оценок тригонометрических сумм, несравненно более точный, чем метод Г. Вейля. Этим новым методом И. М. Виноградов коренным образом улучшил результаты Г.Вейля и получил принципиально более сильные результаты в проблеме распределения дробных долей многочленов, в проблеме Варинга, в проблеме приближения вещественного числа дробной доли целого многочлена и др. Суммы Вейля при маленьких степенях в множестве первого класса рассматривались отдельными математиками, и наилучший результат принадлежит английскому математику Р.Вону [3]. Короткие тригонометрические суммы Вейля вида

— 1

Т (а; х, у) = V е(атп), а = — + Л, (а, д) = 1, q <т, \Л\< —,

х-у<т<х д дт

при п = 2,3,4 в множестве первого класса рассматривались в работах [4-8].

а 1

Всюду будем считать, что х > х0 > 0, у < 0,01х, а = —+ Л; (а,а) = 1, д <т, \Л\< — ,

д дт

т > 2п(п —1)хп—2у .

Теорема 1. Пусть {пЛхп-1} < -1, Л > 0 или {пЛхп-1} > 1 — -1, Л < 0 , тогда имеет место со-

2д 2д

отношение

Адрес для корреспондентции: Рахмонов Зарулло Хусенович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АНРТ. E-mail: zarullo_r@tajik.net

Т (а, х, у) = Т (Л; х, у) + 0(ду 2+5 ), 5 (а, д) = Е е

т=\

V ч У

а при выполнении условия {пЛхп —:} >-1, Л> 0 или {пЛхп —1}< 1 —^, Л< 0 имеет место соотно-

2д 2д

шение

Т(а, х, у) = 5(а Я Т(Л; х, у) + О [д1^1 \п д + д2“1 х2 |.

д 1

(1)

Следствие 1. Пусть | Л |<

2пдх

п—\

, тогда имеет место соотношение

йі.

Т(а,х,у) =—Б(а,д)у(Л;х,у) + <Э(дуУу /(Л;х,у) = | е— у + у1

Следствие 2. Пусть---1—г <\ Л \< , тогда имеет место оценка

Д у 2пдхп—1 ' ' дт ц

1_1 1_1 1

Т(а, х,у) ^ д ” 1п д + д2 пх2.

Схема доказательства теоремы. Пользуясь свойством линейных сравнений, находим

Т(а; х, у) = Т (Л; х, у) + Я, Я =1V Т (Л; х, у^ (а, д),

д д ъ=1

х— у<т<х

ат —-

V

Ьт

д У

, Т (а; х, у) = Т0(а; х, у).

Ьи

(2)

Имея в виду, что пЛхп — {пЛхп } - целое число, найдем

Т (Л; х, у) = V е (g(т)), g(и) = Лип — (пЛхп—1 — {пЛхп—1 })и

х—у<т<х д

Рассмотрим только случай Л > 0 . При Л < 0 , положив Л = —^, давая остаточному члену Я форму

1 д—1

Я = - V Тъ(м; х у^—ъ (а д\ дъ=1

сведем его оценку к случаю Л > 0 . Пользуясь монотонностью (и) = пЛ(ип— — хп—1) + {пЛхп—1} — ъ / д и условием на величину т, имеем

—1 < (х — у) < (и) < (х) < 1. Применяя к сумме Тъ (Л; х, у) формулу суммирования Пуассона

[9], находим

\

е

Ть (Л; х, у) = ЕI(к, Ь) + 0(\), I(к, Ь) = |х е(/к (и, Ь))йи, /к (и, Ь) = g(и)—Ни.

Jx— у

к=—\ у

Подставляя (3) в (2), найдем

Ґ \

я=Я—\ + Ко+Я\+ 0 -Е1 .(ад) 1 , як = -Е1 (кЬ)Яь(ад).

ч ь=

Функции /'к(и, ъ) относительно и являются возрастающими и имеют место неравенства {пЛхп—1 }—1 — к — 8 = /' „ (х — у, ъ) < /' н (и , ъ ) < /' н (х, ъ ) = { пЛхъ1 } —1 — к,

д д

С / П п 2 п(п — 1)хп—2у п(п — 1)хп—2у 1

8 < п(п — 1)Лх у < —------------------ < —----------V- < —.

п—2

дт д • 2п(п — 1) х у 2д

Оценим каждую сумму Яй отдельно.

Оценка Я . Полагая к = 1 в правой части неравенства (5), имеем

/\(и, Ь) < {пЛхп—1}—Ь — \<—Ь <—Ь < 0, | /\(и, Ь) 1=—/\(и, Ь) >Ь > 1

д

д 2д

2д 2

Пользуясь этим неравенством, оценим интеграл I (1, ъ) по величине первой производной:

х

I(1, Ь) = | е(/г (и, ъ))ёи

х— у

Подставляя эту оценку в (4), найдем

я = \ ЕI(\, Ь).^ (а, д)« \ Е

д ъ=\

д ъ=\

1 . (а д) |.

Оценка Я_1. Полагая к = — 1 в левой части неравенства (5), имеем

,, , ,, , , п—ь д—ъ _ д—ъ 1 д—ъ 1

/'—Ци,ъ) >{пЛх :} + д---------------8>д--------------— >д-->-

д д 2д 2д 2

Поступая аналогично, как в случае оценки Я , получим:

і д—\

К—\« \ Е

д ь=\

1 .(a, д) 1

(3)

(4)

(5)

(6)

Оценка Я0. Если {пЛхп *} <-^, то, полагая к = 0 в правой части неравенства (4), имеем

/'о(и,Ь) <{пЛхп-'} — ЬЬ<—Ь<о, | /’о(и,Ь)\>-Го(и,Ь) >Ь> д 2д д 2д 2д

2д

Здесь, также поступая, как в случае оценки Я1, найдем:

і д—\

Ко« - Е

д ь=\

| . (а д) |

(8)

Пусть теперь {пЛхп 1} >-1. Интервал изменения функции /'0(и, ъ) обозначим через

и = (Г„(х — у, Ь), /\(х, Ь)] = {nЛxn-'}—Ь-S,{nЛx’'-'} — Ь

8<

2д

д д _

Расстояние между соседними интервалами, то есть разность между левой границей иъ_х и правой

границей Ц, для всех ъ , 1 < ъ < д — 1 равно

/ '„( х — у, ъ — 1) — / '„( х, ъ) =1 — 8>1 — ± .

д д 2д 2д

Таким образом, интервалы £/ х,и 2,и4,-,и расположены внутри интервала

( /'„( х—у, д — \), / '„( х,\)] = {{{ - ■}—\+{-'}

д.

2 3

длина которого равна 1-------+8 < 1 —-^— и они между собой не пересекаются. Сумма их длин равна

д

(д — \)8 и

(д — \)Є< \.

2 д 2

Возможны следующие взаимоисключающие варианты:

a) существует целое с, с = q — 1,...,1, что интервал Ц содержит нуль;

b) существует целое с, с = q — 1,...,1, что между интервалами Ц и и с—1 лежит нуль.

В варианте Ь) для единообразия рассмотрим интервал Ц = ({пЛхп—1} — 8, {пЛхп—1}J и понадобится

этот интервал нам только в том случае, если {пЛхп *} —1 < 0 и {пЛхп ^ — 8 > 0 .

д

Вариант а). Концы интервала Ц имеют различные знаки:

{пЛхп—*} — - > 0, {пЛхп—*} — - — ё< 0.

д д

ь

Это равносильно тому, что интервал [{пЛхп 1 }д — 8д,{пЛхп 1 }д), длина которого равна 8д, 8д < 1,

содержит целое число из [1, д — 1]. Пользуясь соотношением (9) соответственно для нижней границы и ., 7 > 1 и верхней границы Цс+у., 7 > 1, находим оценки

Г

{пЛх” “1}-— — 8 = {пЛх” -1} —

д V д)

л

7' 1 7'

{пЛх” -1} —

д

{пЛхп—*}—с — 8 + 8—7

1 д 1 д)

+ ——8 > ——8 > —--------->—.

д 2д 2д

<8—1 <-1 — 7 <—±-;

д 2д д 2д

Таким образом, для ''0(и, ъ), ъ Ф с получаем оценку

\1 ' ъ(и)\>

\ ъ — с \ 2д

Пользуясь этим неравенством, оценим интеграл I (0, ъ) по величине первой производной:

11(0, ъ) \<<

ъ — с

д

В случае ъ = с , оценивая интеграл I(0, с) по величине модуля второй производной [2], имеем

\ I(0, с) \<< (Л* )—1.

Подставляя эти оценки для I(0, ъ) в выражение для Я0, то есть в (4), полагая к = 0, имеем

Ка<<^ \SЬ (а, д) I + |^с (а, д)\

ъ=1 \ ъ — с \

ъфс

(10)

Вариант Ь). В этом случае верхняя граница интервала Ц отрицательна, нижняя граница интервала положительна:

I' о 0, с) = { п Лх” - 1 }—- < 0, 1' 0 ( х — у, с — 1) = { п Лх”— } —1—1- — 8> 0.

(11)

д д

Решая эти неравенства относительно с , найдем

{пЛхп— }д < с < {пЛхп— }д +1 — 8д,

а это равносильно тому, что интервал [{пЛхп 1}д,{пЛхп 1}д +1 — 8д), длина которого равна 1 — 8д, 1 — 8д > 0,5, содержит целое число с из [1, д — 1]. Пользуясь соотношением (11) соответственно для нижней границы Uc_x_j, 7 > 1 и верхней границы Ц ■, 7 > 1, находим оценки

— 8 =

{пЛхп -*} — С 1 -д

{пЛхп -*} — С+-

д

г

\

{пЛхп -*}—— — 8 д

+ -> -, дд

(

Л

{пЛхп -1} —

V д)

-

д ~ д'

Таким образом, для /„0(и, ъ), ъ Ф с — 1, ъ Ф с получаем оценки

\ /'0(и, V) \>-—1—-, если ъ < с — 1, \ /'0(и, ъ) \>-—-, если ъ > с.

Ч 0

Следовательно, оценивая интеграл I (0, ъ) по величине первой производной, найдем

I (0, ъ) ^-- ----, если ъ < с — 1, I (0, ъ) ^ ——, если ъ > с.

с — ъ — 1 ъ — с

Оценивая интегралы I (0, с — 1) и I (0, с) по величине модуля второй производной [2], имеем

\ I(0, с — 1) \<< (VЛхп—2)—1, \ I(0, с) \<< (VЛхп—2)—1.

Подставляя эти оценки для I(0, ъ) в выражение для Я0, то есть в (4), полагая к = 0, имеем

я«Е+ Е \А1

ь=і с — \ — Ь ь=с+1 Ь

— с

ду/Лх

.п—2

(12)

Таким образом, при {пЛхп 1} < -1, подставляя найденные оценки для Я, Я_1, Я0 соответственно из

2д

(6), (7), (8) в (4), найдем

і д—\

я « \ Е

д ь=\

| яь (а д) | + \ Е| . (а д)« \ Е

д ь=\ д ь=\

\ яь (а д) |-

Пользуясь оценкой Хуа Ло-гена — S¿ (а, д) < д2 (д, ъ) ([10] стр. 64), найдем

д—\

Я « д 17 2+ЄЕ

Ь=\

\<ь<±

Пусть теперь {пЛхп 1} >'1 и в интервале [{пЛхп х}д — 8д,{пЛхп г}д] П[1, д] существует

целое число с (вариант а), то подставляя найденные оценки для Я , Я , Я соответственно из (6),

(7), (10) в (4), найдем

1 4-1 R «1Т

q ь=1

S ( a, q)|+£ + IS«(a q)l

b=1

b^c

lb - c |

Оценивая первую сумму как выше, затем пользуясь оценкой \ 8Ь(а, д) \< д^п 1)1 п ([8] стр. 61), найдем

.1/2+S . (n-1)/n

R « q12+s+ q

Т — + Т —

1<b<c-1 c — Ь c+1<b<q-1 Ь — c

f nyj Àxn - 2

Далее, воспользовавшись соотношением

2 = nÄxn-\ {nÄxn-1j ^ 1 1 _ 1

>

nx

nx 2q nx 2nqx

(13)

найдем

R « q(n-1)/n lnq + q1 n(Âxn-2)-1/2 « qn-1/n lnq + q1 nxl/2.

-1/nr n n-2\-1/2

n-1/n -

J/n„ 1/2

(14)

Пусть, наконец, {пЛхп 1} >-1 и в интервале [{пЛхп 1}д,{пЛхп х}д + 1 — 8д] П[1, д] существует целое число с (вариант Ь), то, подставляя найденные оценки для Я1, Я_1, Я0 соответственно из (6), (7), (12) в (4), найдем

і q-1

R «1Т q Т

\S (a q)\+Y1 Sb(aq) 11 Y 1 Sb(aq) 1,1 Sc-1(aq)| + |Sc(aq)\

b=1 c -1 - b b=c+\ b - c q\/ Axn-2

Оценивая первую сумму как выше, затем пользуясь оценкой \ (а, д) \< д^п 1)1 п ([8] стр. 61) и

соотношением (13), получим оценку (14).

Поступило 28.03.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Weyl H. - Math. Ann., 1916, v.77, s.313-352.

2. Виноградов И.М. - Метод тригонометрических сумм в теории чисел. - М.: Наука, 1980, 160 с.

3. Vaughan R.C. - Coll. Math. Soc. Janos. Bolyani, Budapest, 1981.

4. Рахмонов З.Х. - Матем. заметки, 2003, т.74, вып. 4, с.564-572.

5. Рахмонов З.Х.,Шозиеева С.П. - ДАН РТ, 2002, т. 44, 3-4, с. 7-17.

6. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. - ДАН РТ, 2008, т. 51, 1, с.5-15.

7. Рахмонов З.Х., Шокамолова Дж.А. - Изв АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. наук, 2009, №2(135), с.7-18.

8. Рахмонов З.Х., Азамов А.З., Мирзоабдугафуров - ДАН РТ, 2010, т.53, 10, с.737-744.

9. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. - М.: Наука, 1987, 368 с.

10. Вон Р. Метод Харди-Литтлвуда. - М.: Мир, 1985, 182 с.

ЗД.Рамонов, Н.Б.Озодбекова

БАХ,ОИ СУММАХ,ОИ КУТО^И ТРИГОНОМЕТРИИ ВЕЙЛ

Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Дар мачмуи нуктахои синфи якум рафтори суммахои тригонометрии Вейл, ки тагйирёбандаи суммирониаш аз интервали кутох кимат кабул мекунад, омухта шудааст. Калима^ои калиди: суммахои тригонометрии Вейл - функсияи тацсимшавй - муодилаи диофанти

- интеграли тригонометри.

Z.Kh.Rakhmonov, N.B.Ozodbekova AN ESTIMATE SHORT EXPONENTIAL WEYL’S SUMS

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Obtain an estimate of exponential Weyl’s sums, variable which takes the summation of the short intervals in the set of the first class.

Key words: exponential Weyl’s sums - a function of divisors - Diophantine equation - exponential’s integral.