Об оценке коротких тригонометрических сумм г. Вейля Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2011, том 54, №8_________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 511.524

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, Д.М.Фозилова

ОБ ОЦЕНКЕ КОРОТКИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ Г.ВЕЙЛЯ

Институт математики АН Республики Таджикистан

Изучено поведение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля, если старший коэффициент приближается рациональным числом с маленьким знаменателем.

Ключевые слова: тригонометрическая сумма Г.Вейля - оценка Хуа Ло-гена - рациональная тригонометрическая сумма - тригонометрический интеграл.

Р.Вон [1] при изучении суммы Г.Вейля вида

__ — 1

Т (а, х) = 2 е [атп I а = - + Л, (а, д) = 1, \Х\<--п-Г

т<х Ч 2пдх

для а, приближающихся рациональным числом с маленьким знаменателем д, воспользовавшись оценкой

« ( акп + Ьк Л

8Ь (- Ч) = 2 е I----- « ЧУ2+6 (Ь, Ч),

к=1 I Ч )

которая принадлежит Хуа Ло-гену [2], доказал:

q ( n Л 1

T(a,x)-x2 e <am- |Je[At"Лdt « qin+s. (1)

q m=1

v q j о

Всюду будем считать, что x ^ x0 > 0, y < 0,01x, q <r, (a, q) = 1, t = mn({t},1 -{t})

n ^ [ amn Л a , . 1

S (a, q) = 2 e|------- , a = - + Л, \Л\< —.

1 ^ q qr

т=1 у $ J

В работах [3-8] для коротких тригонометрических сумм Вейля вида

Т(а, х, у) = 2 е(атп),

х-у<т<х

при а, принадлежащей множеству промежутков первого класса, то есть когда а приближается рациональным числом с маленьким знаменателем, доказана:

Теорема 1. Пусть т> 2п(п - 1)х”-2у, (пЯх”-1} < , Я> 0 или (пЯх”-1} > 1 — , Я< 0, то-

гда имеет место соотношение

Адрес для корреспондентции: Рахмонов Зарулло Хусенович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: zarullo_r@tajik.net

6G5

Т (а, х, у) = Т (Л; х, у) + 0(ду 2+г),

а

а при выполнении условия {пЛхп—1} >-1, Л> 0 или {пЛхп—1} < 1 — , Л < 0 имеет место соотно-

2Ч 24

шение

8(а а) ( 1-1 1+1 1'

Т(а, х, у) =- — Т(Л; х, у) + О а п 1п а + Ч2 пх2

а I

Следующие следствия этой теоремы соответственно показывают, что правая часть полученных равенств будет асимптотической формулой с главным членом или оценкой в зависимости от того, что будет: а очень “близко“ к рациональному числу а / а или нет.

Следствие 1.1. Пусть | Л |< -=—1 , тогда при выполнении условий теоремы 1 имеет место

2пал

соотношение

1 Т (а, х, у) = -8 (а, а)у(Л; х, у) + 0(аУ 2+е), у (Л; х, у) = | е ( Л( х — у )п) &. а 0

Следствие 1.2. Пусть -

2^—1 <1

Л |< —, тогда при выполнении условий теоремы 1 имеет

место оценка

и. і

т(а,х, у) ^ а п 1п а+а2 пх2.

Следствие 1.1 является обобщением оценки (1) для сумм вида Т(а, х, у).

Лемма 1. Пусть /(и) на интервале (а, Ь) - вещественная дифференцируемая функция, причем внутри интервала её производная /'(и) - монотонна и знакопостоянна и при постоянной 5 с условием 0 <5 < 1 удовлетворяет неравенству | / '(и) |< 5. Тогда имеем

+г- 25'

2 е(/(п)) = |е(/(иУ)ёи + в I 3 + 7

/«•"иСА .. V 1

а< п<Ь

-5.

Доказательство см.[9].

Основным результатом этой работы является следующее утверждение: Теорема 2. Пусть т > 3п(п -1)хп-2у ,

[пЛдхп-1 - пЛ дхп- , если {пЛдхп-1} < 0,5, т = <; пЛдхп-1 + пЛ дхп-1 , если {пЛдхп-1} > 0,5.

Тогда имеет место соотношение

Т (а; х, у) = У5п {а, д)ут (Л; х, у) + 0(д), ч

Гт (Л; х У) = { е ^ Л(х - У1:)П - ПХд У ) ^ Ж-

Теорема 2 является уточнением теоремы 1, в случае если а приближается рациональным

2 п-1 2п

числом со знаменателем ч и ч < х

Схема доказательства теоремы 2. Пользуясь свойством линейных сравнений и ортогональным свойством полной линейной рациональной тригонометрической суммы, находим

Т (а; х, у) = 2 е

-1 (акпЛ

к=0

V 4 У х-У-к<л<х-к ч ч

2 е(Л(Ч + к )п).

Так как п - целое, тогда

-1 {акпЛ

\s2\T (а; х, у) = 2 е

к=0

ч У х-у-к ^х-к

ч ~ ч

2 е(Я(ч^ + к)п - п().

(2)

Докажем сначала следующее вспомогательное неравенство

п-1

ж = 2 (-1)к скп_ххп-1-кук > 0.

к=2

Ж при п = 3 состоит из одного положительного члена, поэтому, считая п > 4 и выделяя отдельно члены четными и отдельно с нечётными к , представим Ж в следующем виде

ж =2 с1\хп-2к-1у2к - 2 С

2 к+1 п-2 к-2 2к+1

п-1 х у .

(3)

1 <к<\ ■

1 <к<\ ■

При чётной п, имея в виду, что

1 п 1 1 1 п 1 2 1 2 1 п 1

2 2 2

3х

-, найдем (у < шт(0,01х,^3^))

тхг 2к п-2к-1 2к г^2к+1 п-2к-2 2к+1

ж =2 VСп-1х у - Сп-1 х у

= 2 хп-2к-2у2кС2";1 f(2к +1)х - у | >

1<к<-

п-2

п-2 -2 2 2 +1

> 2 х у сп-1

п - 2к -1 3х

1<к<

п-2

п-3

- у |> 0.

При нечётной п , имея в виду, что член первой суммы в (3), найдём

1 п 1 1 1 п 1 С\1 1 п 1

1 2 ] 2 1 2 J

п - 3

и отдельно выделяя последний

ч

ч

2

2

2

2k n-2k-1 2k n-1 2k+1 n-2k-2 2k+1

W = S Cn-1X y +y - S Cn-1 X y

1<k<3 1<k<n-3

2 2

= S x“-2k-2y2kC“+' f-^-+\ x - yl+y”-1 >

1<k <«-з І n - 2k -1 У

2

> 2 хп-2к-2у2кс2п—^1 рЦ- х — у |+у"-1 > 0.

1<к<п=2 ^п — 3 )

2

Для функции /(?) = + к)п — ), воспользовавшись полученным неравенством Ж > 0 и услови-

ем т > 3п(п — 1)хп—2у , имеем

| f '(t) |< |”Лq(qt + k)n - m\ = ”Лq(qt + k)n - пЛqxn -£ ”Лqxn

Г n—1

<

<nAq(x" 1 -(x-y)n ') + 0.5 = nAq (n-1)xn 2yxn 1 kyk + 0-5 =

V к=2 ,

= nAq ((n -1)xn-2y - W) + 0.5 < n(n - 1)Aqx”-2y + 0.5 <

n(n - 1)Ax”-2 y 5

<^------^ + 0.5 <-.

т 6

Применяя к сумме по t в соотношении (x,y)x,y);) лемму 1 о замене тригонометрической суммы интегралом и полагая 5 = 5 / 6, найдём

x-k

q

2 e(A(qt + k)n - mt) = J e(A(qt + k)n - mt)dt + O(1).

x-y-k <f<x-k x-y-k

q < q q

Полагая u = (x - к - qt) / y и сделав в последнем интеграле замену переменных, получим утверждение теоремы.

Поступило 27.06.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Vaughan R.C. - Coll. Math. Soc. Janos. Bolyani, Budapest, 1981.

2. Хуа Ло-ген - Метод тригонометрических сумм. - М.: Мир, 1964, 190 с.

3. Рахмонов З.Х. - Матем. заметки, 2003, т.74, вып. 4, с.564-572.

4. Рахмонов З.Х., Шозиёева С.П. - ДАН РТ, 2002, т. 44, №3-4, с. 7-17.

5. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. - ДАН РТ, 2008, т. 51, №1, с.5-15.

6. Рахмонов З.Х., Шокамолова Дж.А. - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. наук, 2009, №2(135) с.7-18.

7. Рахмонов З.Х., Азамов А.З., Мирзоабдугафуров - ДАН РТ, 2010, т.53, №10, с.737-744.

8. Рахмонов З.Х., Озодбекова Н.Б. - ДАН РТ, 2010, т. 54, №4, с.257-264.

9. Виноградов И.М. - Метод тригонометрических сумм в теории чисел. - М.: Наука, 1980, 160 с.

ЗД.Рахдоонов, Д.М.Фозилова

ОИДИ БАХ,ОИ СУММА^ОИ КУТО^И ТРИГОНОМЕТРИИ Г.ВЕЙЛ

Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Рафтори суммах,ои кутохд тригонометрии Г.Вейл дар х,олате, ки коэфисиенти калон бо адади ратсионалии махрачаш хурд наздик карда мешавад, омухта шудааст.

Калима^ои калиди: суммауои тригонометрии Вейл - бауои Хуа Ло-ген - суммаи тригонометрии ратсионалї - интеграли тригонометрії.

Z.Kh.Rakhmonov, D.M.Fozilova

ON THE ESTIMATION OF SHORT EXPONENTIAL G.WEYL’S SUMS

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Obtain an estimate of short exponential G.Weyl’s sums, if the leading coefficient is approaching a rational number with small denominator.

Key words: exponential Weyl ’s sums - Hua Lo-gen estimates - rational exponential sums - exponential’s integral.