Проблема Варинга для пятых степеней с почти равными слагаемыми Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №2_

МАТЕМАТИКА

УДК 511.325

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, Н.Н.Назрублоев

ПРОБЛЕМА ВАРИНГА ДЛЯ ПЯТЫХ СТЕПЕНЕЙ С ПОЧТИ РАВНЫМИ

СЛАГАЕМЫМИ

Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан

Доказана асимптотическая формула для количества представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы 33 пятых степеней натуральных чисел xi с условиями

x - (N/33)1'51 < H, H > N67l340+e.

Ключевые слова: проблема Варинга - почти равные слагаемые - круговой метод - короткая тригонометрическая сумма.

В работах [1-4] были изучены поведения коротких тригонометрических сумм Г.Вейля вида T (а, x, у) = У e(amn), Jx < y

In x

x-y<m<x AAA

в множестве точек первого класса при n = 2,3,4 и приложены при выводе асимптотических формул с почти равными слагаемыми в проблеме Варинга (для кубов и четвёртых степеней ) в [5,6] и кубической задаче Эстермана в [4]. Поведения T (а, x, у) в множестве точек первого класса при произвольном фиксированном n были изучены в работах [7-9].

В данной работе, используя этот результат, а также воспользовавшись оценкой T(а, x, у) в множестве точек второго класса [10] и теоремой о правильном порядке интеграла от тридцать второй степени модуля T(а, x,у) [11], найдена асимптотическая формула в проблеме Варинга для пятых степеней с почти равными слагаемыми.

Обозначения. N > N0 - натуральное число, s - произвольное положительное число, не превосходящее 10-6, L = In N,

? (amn Л 05

S(a, q) = У e - , у(Л; x, у) = J e(Ä(x - у / 2 + yu)n )du.

m=1 V q ) -0,5

Теорема. Для числа J(N,H) представлений N суммою пятых степеней чисел x,

i = 1,2,..., 33 с условиями

-(«)

< H, при H > N340справедлива асимптотическая формула:

B&(N)H32 , J H32 1 „ ^33 16

w N4 L у

H) = ^yiN)H + O , B = ^^Y (-1)kCl,(33 - 2k)32,

^ 5 • 32! Y 33

Адрес для корреспонденции: Рахмонов Зарулло Хусенович, Назрублоев Насруло Нурублоевич. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]; nasrullo_86@bk. ru

где &(N)- особый ряд, сумма которого превосходит некоторое положительное постоянное.

Следствие. Существует такое N, что каждое натуральное число N > N представимо в виде суммы 33 пятых степеней почти равных чисел х •

X —

N

33

< N 3

7 = 1,2,..., 33.

О/

Доказательство теоремы. Не ограничивая общности, будем считать, что Н = N380 . Пусть £ = 0,5Н& х, т = 80(N + Н)3Н, жт = 1. Имеем

1—сС

3(N, Н) =| (Т(а, N + Н, 2Н) + 0fe(—aN)йа,

где |#| равен 1, если N — Н - целое число и 0 в противном случае. Пользуясь соотношением (.а + О)33 —а33 <§: а32 +1 и основной теоремой работы [11], находим

1—сС

| | Т(а; N. + Я, 2Я) |32 с1а « Я

21+е = Н _ 5/774"

из

Поэтому

3(N,Н) = | Г33(а;N + Н,2Н)е(—аЫ)ёа + О

Г Н32 ^

V ^ N4 ^ у

Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое а из промежутка [—ж, 1 — ж] представимо в виде

а 1

а= — + Х, (а, д) = 1, 1 < д < т, | X |<—. q цт

(1)

Легко видеть, что в этом представлении 0 < а < д — 1, причём а = 0 лишь при д = 1. Через М обозначим те а , для которых д < £ в представлении (1). Через т обозначим оставшиеся а . Множество М состоит из непересекающихся отрезков. Разобьём множество М на множества и М2:

а

а--

д

М = |а : а е М М = |а:ае М ,£<

1

10д( N + Н)

4 '

а

а — д

<

дт

Обозначим через 3 (М1) , 3 (М2) и 3(т) соответственно интегралы по множествам М1, М2 и т. Будем иметь

ж

ж

1—ж

ж

3 (N, Н) = 3 (М) +3 (М) + 3 (т) + О

( н32 ^

V 5 N4

В последней формуле первый член, то есть 3 () , доставляет главный член асимптотической формулы для 3 (N, Н), а 3 (М2 ) и 3 (т) входят в его остаточный член.

Вычисление интеграла 3(Мг) . По определению интеграла 3() имеем:

9-1

3СМ) = | Т33 - + Л; N. + Н, 2Н

- -1 9

9<0 —=0 | Л| <5 V (- ,9 )=1

Л г / — Л Л

е — + Л N

) V V 9 ) )

ёЛ.

(2)

Для суммы Т + Л; N + Н, 2Н^ , а = — + Ле М при х = N + Н, у = 2Н , п = 5 выполняются условия следствия 1.1 работы [9], поэтому

Т

'а- + Л, N + Н, 2Н V Н 9)

V 4 ) 9

Отсюда и из соотношения —33 — Ъ33 < 33 | — — Ъ | (| — | 32 + | Ъ | 32) следует, что

(„ Л /о ил33 о33

г .

Т

33

- + Л, N + Н, 2Н

_(2Н )33 £ 33(—, 9^,33^.

/ (Л; N + Н, 2Н) + Я,

(3)

(

Я<^д2

(

Т

— + Л, N + Н, 2Н

32

2Ж (-, 9)

/(Л; N1Н, 2Н)

32

Подставляя эту оценку для Я в (3), а затем (3) в (2), найдём

3 (М1) = (2Н )33б( N, 0)А( Ы) + Я + Я2,

(4)

©( N, 0 ) =

9—1 о33

Я 33(-, 9)

9<0 —=0 9

(—, 9 )=1

{ N

9 )

А(N) = | /33 (Л; N + Н, 2Н) е (—ЛК)ёЛ

|Л<5

г

^«б^Ц \

<"=° \Я\<3 (—,9 )=1

Т

— + Л; N + Н, 2Н

32

ёЛ,

д<д а=0 9

(—, 9 )=1

в(N,9) = | /(Л;N + Н,2Н)|32ёЛ.

Л<5

Оценим . Имея в виду, что 5 < 1 / дт, д < £ и состоит из непересекающихся отрезков, а затем, пользуясь основной теоремой работы [11], находим

1-ЭЗ ^ т_т32

«| \Т{а\Ы1+Н,2Н)^2ёа« 0.5//& 1 // ' « .

-ж VN &

Оценим ^ . Для этого, оценивая интеграл /(Л, N + Н, 2Н), | X | < 5 по величине первой производной, имеем

1

кад + Я,2Я) « гшп \1,501 /I Г1 , 30 =

\0Н{Ы1-Ну

Подставляя эту оценку в выражение для В(N, д) и имея в виду, что 50 < 5, находим

£

32 С

_1___\_

с-31 с-31 V о о ;

/32 ^ 1 <—8п «

31 0 ЯЛ',4

Отсюда и воспользовавшись оценкой | 8(а,д) |<?С С[ " ([12], с. 61), найдём

т_г31 ттЪ\ т_г32

^«—гг2> «--в «

'1 <7^6

Вычислим интеграл А(N) . Разбивая отрезок интегрирования в интеграле А(N) на две части, имеем

А ( N) = А ( N) + А ( N),

А (N) и А (N) - соответственно интегралы по отрезкам |Л| <5 и 5< |Л| <5. Оценим сверху интеграл А(N) . Для этого, оценивая интеграл /(Л,N + Н,2Н), 51 <|Л|<5 по величине первой производной, найдем

'1_!_^

ч ,ЩХ\Н{Ы1-Н)А) \X\HN*

1

у(Х\ + Я, 2Я) <1С тш

Подставляя эту оценку в выражение для А (N), имеем

1 г « 1 1

I (Ю 1«-ПГ Г Ы <-ПП7 «-Г 32 - /-

Теперь найдем асимптотическое поведение А(N) . Воспользовавшись стандартным методом, можно легко показать, что

1

5/~~4 f • 33 ,

5334 f sin33 t , _(

4 (N)=ж/FH I]—л+0 V*

Воспользовавшись формулой (см. [13], стр. 334 )

!

0

при т = 1 и п = 33, найдём

f • n j m—1

sin" mt , жш" 1

= ^-y (—i)kCk(n — 2k)n—1

2" (n — 1)! y ' "( )

Ai (N) =

B

ж

К 23332! k.o

+ 0

y (—1)k Ck33 (33 — 2k )32 + 01L

Отсюда и из оценки А (N) находим А(N) :

32

5/334 16

, B = Z±i_y (—l)kC3k3(33 — 2k) ' 5 • 32! y( ) 33( )

32

A (N) =

B

f 1 ^

2334Ñ*H + 0 ^ 4Ñ*H L

Вычислим теперь двойную сумму 6(N, 0) . Для этого сумму по 9 заменим близким к ней бесконечным рядом, не зависящим от О . Воспользовавшись оценкой | 8(а,д) |<§С С[ " ([12], с. 61), имеем

УУ

q-\ о33

S 33{ a, q)

q>Q a=0 q

(a,q )=1

33

f N q J

<H

23 ST

«II q 5 <IX5 «6 5 «

q>Q a=0 q>Q

(a,q)=1

H

Поэтому

(o?4Л f q—1 s33(a q)

S(N, Q) = S(N) + 0L4 , S(N) = yy ,

V H J q=1 a=0 q

(a )=1

^ aN" q j

Заметим, что сумма особого ряда &(Ы) превосходит некоторое число с^) и с(№) > 0 (см. [14], теоремы 4.6).

Подставляя найденные оценки для Я1, Я2, значений А(N) , 6(N, 0) в соотношение (4),

найдём

3(М) = ^32 + оГ Н32 '

V ^334L j

Оценка интеграла J(Ш2) . Имеем

J(M) < maxT(a; N + H, 2H)| i T(a; N + H, 2H)f2da. (5)

аеШ2 1 J 1 1

Оценим T(a; N + H, 2H) для a из множества M2. Если a G M2, то

a 1

a = - + Л, (a, q) = 1, £< \Л\ <—, 1 < q < 0,5HL _1. q qz

Согласно следствию 1.2 работы [9], при n = 5 имеем

4 4 J_ JL

T(a, Nx + H, 2H) q5 ln q + min \ Hq 5, N^q10 « {H&yy + N10 {HS'Y =

H^ e ( 47 29 , 2 И 89 1531 . 2 13 Л ff^ G

J\J~ 1700 34 (g 5 3400 340 J^10 I <§C

Подставляя эту оценку в (5), а затем пользуясь основной теоремой работы [11], находим

ттЬ-Е 1-ЭЗ ттЪ2

Л Г |т, , т „ _ „ч |32 . л

J(M2) « -,==— J |Т(а; N, + Я, 2H)f2da «

IN"S 4 " " ' WV

Оценка интеграла J(m) . Имеем

1—ж

3(т) < тахТ(а, N + Н, 2Н)| Г |Т(а, N + Н, 2Н)|32<а (6)

ает *

—ж

Оценим Т(а, N + Н, 2Н) для а из множества т. Если а е т, то

а 1

а = - + Л, (а, д) = 1, 0,5Н£—< д <т = 80(^ + Я)3Я, \Л\<—. д дт

Согласно теореме об оценке коротких тригонометрических сумм Г.Вейля пятой степени в множестве точек второго класса [10], имеем

T(a;N,+H, 2Я)«Я

1+гг

^ L 1

— + —~ н—~ КН Я4 Я4 j

15, _3_ 3,

«Я16 ^ + #80Я4 =

Я5 Е (__?__1663 Г1 . 1311 ^. ?r2 \ ff5 е

1^ 5440 460 S+ZS Cf^ jY 340 )

5/АГ4™1 / 5/лг4

Подставляя эту оценку в (6), а затем пользуясь основной теоремой работы [11], находим

тт5-£ 1-эз ттЪ2

Поступило 22.04.2014 г.

1-œ

œ

ЛИТЕРАТУРА

1. Рахмонов З.Х., Шокамолова Дж.А. Короткие квадратичные тригонометрические суммы Вейля. -Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат, хим., геол. и техн. н., 2009, №2(135), с. 7-18.

2. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Об оценках коротких кубических сумм Г.Вейля. - ДАН РТ, 2008, т. 51, №1, с. 5-15.

3. Рахмонов З.Х., Азамов А.З., Мирзоабдугафуров К.И. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени. - ДАН РТ, 2010, т. 53, №10, с.737-744.

4. Rakhmonov Z.Kh. The Estermann cubic problem with almost equal summand. - Mathematical Notes. 2014. V. 95, Issue 3-4, pp. 407-417

5. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми. - ДАН РТ, 2008, т. 51, №2, с.83-86.

6. Рахмонов З.Х., Азамов А.З. Асимптотическая формула в проблеме Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми. - ДАН РТ, 2011, т. 54, №3, c. 34-42.

7. Рахмонов З.Х., Озодбекова Н.Б. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля. - ДАН РТ, 2011, т.54, №4, с.257-264.

8. Rakhmonov Z.Kh. Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля. - Ученые записки Орловского университета, серия естественные, технические и медицинские науки, 2013, №6, ч. 2, с. 194-203.

9. Назрублоев Н.Н., Рахимов А.О. Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля в множестве точек первого класса. - ДАН РТ, 2014, т. 57, №8, с. 621-628.

10. Назрублоев Н.Н. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля пятой степени в множестве точек второго класса. - ДАН РТ, 2014, т. 57, 9, с. 720-724.

11. Назрублоев Н.Н. О средней значение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля пятой степени. - ДАН РТ, 2014, т. 57, 7, с. 531-537.

12. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. - М.: Наука, 1987, 368 с.

13. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа, ч. 1. Основные операции анализа, Изд. 2-е. Перев. с англ., Физматгиз, М., 1963.

14. Вон Р. Метод Харди-Литтлвуда. - М.: Мир, 1985, 184 с.

ЗД.Рах,монов, Н.Н.Назрублоев МУАММОИ ВАРИНГ БАРОИ ДАРА^А^ОИ ПАН^УМ БО ЧАМЪШАВАНДА^ОИ ЦАРИБ БАРОБАР

Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Барои микдори тасвирх,ои адади кифоя калони N ба намуди суммаи 33 дарачах,ои

панчуми ададх,ои натуралии x, бо шарт^ои | xi - (N / 33)15 |< H, H > N67'340+s формулаи

асимптотикй исбот карда шудааст.

Калима^ои калиди: муаммои Варинг - цамъшаванда^ои цариб баробар - методи доирави - суммаи

кутоуи тригонометри.

Z.Kh.Rakhmonov, N.N.Nazrubloev

WARING'S PROBLEM FOR FIFTH POWERS WITH ALMOST EQUAL

SUMMANDS

A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan An asymptotic formula is obtained for the number of representations of sufficiently large natural number N by a sum fifth powers of natural numbers xi, i = 1,33 with conditions \xi - (N/33)i/5| < H,

H > N67/340+s.

Key words: Waring's problem - Almost equal summands - Circle metods - Short exponential summs.