CC BY
28
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 15 Выпуск 2 (2014)
УДК 511.524
СУММЫ ХАРАКТЕРОВ С ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ
З. Х. Рахмонов (г. Душанбе)
Аннотация
Получена новая оценка суммы значений примитивного характера Дирихле по модулю q на последовательности сдвинутых простых чисел p — l,
(l,q) = 1, p ^ x, нетривиальная при x ^ q6 +£. Это уточняет оценку Дж. Б. Фридландера, K. Гонга, И. Е. Шпарлинского, нетривиальную лишь при x ^ q9+£.
Ключевые слова: характер Дирихле, сдвинутые простые числа, короткая сумма характеров, тригонометрические суммы с простыми числами.
Библиография: 20 названий.
SUMS OF CHARACTERS OVER PRIME NUMBERS
Z. Kh. Rakhmonov (c. Dushanbe)
Abstract
The new estimate for the sum of the values of a primitive Dirichlet character modulo an integer q has been obtained over the sequence of shifted primes p — l, (l, q) = 1, p ^ x. This estimate is nontrivial for x ^ q6 +£ and refines the estimate obtained by J. B. Friedlander, K. Gong, I. E. Shparlinskii. Their estimate holds provided that x ^ q9+£.
Keywords: Dirichlet character, shifted primes, short sums of characters, exponential sums over primes.
Bibliography: 20 titles.
1. Введение
Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одна из них касается распределения значений неглавного характера на последовательностях сдвинутых простых чисел. В 1938 г. он [1, 2] доказал: если q — простое нечётное, (l,q) = 1, х(а) - неглавный характер по модулю q, тогда ______
= ^ Х(Р — l) < х1+£( J~a + x + x_0 • (1)
p4,x \\q J
При х ^ д1+£ эта оценка нетривиальна и из нее следует асимптотическая формула для числа квадратичных вычетов (невычетов) шо^ вида р — I, р ^ х.
Затем И. М. Виноградов [3, 4, 5] получил нетривиальную оценку Т(х) при х ^ q0>75+£, q — простое. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что Т(х) можно записать в виде суммы, по нулям соответствующей Ь — функции Дирихле; тогда в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для Т(х) получится нетривиальная оценка, но только при х ^ q1+£.
В 1968 г. А. А. Карацуба [6, 7] нашел метод, который позволил ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени. В работе [8] он с помощью развития этого метода в соединении с методом И. М. Виноградова доказал: если q — простое, х(а) - неглавный характер по модулю q, х ^ q2+£, тогда
1 2
Т(х) ^ хц~1024£ .
Автор ранее [9, 10, 11] обобщил оценку (1) на случай составного модуля и доказал: пусть Б - достаточно большое натуральное число, х — неглавный характер по модулю Б, хч - примитивный характер, порожденный характером х, тогда
'5х (У? + <хТ2Ы + х 1 т(^)), ql = Пр
Т(х) ^ х 1п х л/- + -т2(ql) + х 6т^1)
р\в
Если характер х совпадает со своим порождающим примитивным характером хд, то оценка (2) принимает вид
Т(х„) ^ х 1п5 х(+ х- ^
и она нетривиальна при х > q(1nq)13.
В 2010 г. Дж. Б. Фридландер, К. Гонг, И. Е. Шпарлинский [14] для составного q показали, что нетривиальная оценка суммы Т(хд) существует, когда х — длина суммы — по порядку меньше q. Они доказали: для примитивного
характера хч и всякого £ > 0 существует 5 > 0, что для всех х ^ q9 +£ имеет место оценка
Т(хя) < xq-s.
Основным результатом этой работы является следующая теорема о нетривиальной оценке для более коротких сумм Т (хд) при составном q, которая ранее была анонсирована в [12] и [13].
Теорема 1. Пусть q - достаточно большое натуральное число, хч - примитивный характер по модулю q, (I^) = 1, £ — положительное сколь угодно малое постоянное число, ^ = 1п q, х ^ q 6 +£. Тогда имеем
ТЫя) = ^1 хд(Р — 1) < х ехР (^vL) •
Доказательство теоремы 1 проводится методом оценок суммы с простыми числами И. М. Виноградова в сочетании с методами работы А. А. Карацубы [8] об оценке “короткой” суммы Т(хд) для простого q, работами автора [10, 11, 15], в которых изучаются “длинные” суммы Т(х) (х — неглавный характер по модулю Б , Б — составное ) и средние значения функций Чебышёва ф(х,х) по всем характерам Дирихле. В доказательстве мы также используем основные результаты работ А. И. Виноградова [17] и Д. А. Берджесса [18]. Основные утверждения, позволившие получить новую оценку Т(хд), содержатся в леммах 9, 10, 11,
12, 13, 14, 15.
Обозначения: д, I - натуральные числа, тк(п) - число решений уравнения х1х2 • • .хк = п в натуральных числах, ф^) — функция Эйлера, ц(д) — функция Мебиуса, ш^) — число различных простых делителей числа q, 5 — положительное сколь угодно малое постоянное число.
2. Известные леммы
Лемма 1. Пусть г ^ 1, М ^ 1 — целые числа, аи, Ьи ^ 0 при V = 1, 2,..., М. Тогда имеют место следующие соотношения:
а) (неравенство Гельдёра)
Г— 1
(м V № X м
\и=1 / \и=1 / и=1
^ аи Ьи ) ^ , аи ) / , аи Ьіу ■
\и=1
б) (неравенство Коши)
(м \2 м м
^2аик) аі^2аиьі.
и=! ) и=! и=!
Лемма 2. [15]. Пусть f (п) — произвольная комплекснозначная функция, и1 ^ х, г ^ 1,
С = щг - м; > Кп)= 52
4\п,
Тогда имеет место тождество:
г
(п) = ^(—1)к-1С; х
и^х к=1
х ^ »(т1)■■■!]^(тк)Т,•••'52 1п П1 f (тп ■ ■ ■ ШкШк) +
Ш1^^1 тк и1 ик
т1”тки1”^ик <х
+ —1)Г А(п1) ■ ■ ■ ^(пг )52 Л(m)f (п1 ■ ■ ■ пг т).
пі Пг ^иі т
пг-п^х
Лемма 3. [17]. Пусть Б(х,г^) — количество чисел ^ х, взаимно простых с q, q ^ х и имеющих только простые делители меньше г, 1п х ^ г ^ хе, а = 1п г) 1п х; тогда
Б(х, *,д) С х П ^ - Р) «р (- а (іп а + 1Шп + і + ^ ) ■ щ < 1.
р\я
\ 1 2в \ ■
а) + а + а 1п - ) ■
Лемма 4. [19]. Пусть хя — примитивный характер по модулю д. Тогда
шп\
где
Т(Хя)Хя(п) = 52 ХяМеМ ,
т=1 \ '
Т(Хя) = ^ Хя(ш)е(Ш) > 1т(Хя)1 = /д-
т=1 \ '
Лемма 5. [18]. Пусть г — произвольное фиксированное натуральное число, Z — натуральное число, д — число, свободное от квадратов или г = 2. Тогда справедливо соотношение
2г
я-1
Е
А=0
52 хя (Л+*)
г=1
< Zr д + Z2г д 2+,
где постоянная под знаком ^ зависит только от г и 5.
Лемма 6. [18]. Для произвольного натурального X ^ q6 справедливо соотношение
Е
Хі,...,Х6 = 1
я-1 {
Ем
А=0
(л + *1)(\ + *2)(Х + *3) (Л + *4)(Л + *ь)(Л + *б)
)
Лемма 7. [14]. Для любых натуральных q и и имеет место асимптотическая формула
и
Е і
(и,д) = і
ф(д)
и
< 2ш(п).
Лемма 8. [20]. При х ^ 2 имеем
ТК- 1
п<х
д
3. Оценка коротких сумм значений характеров
Лемма 9. Пусть а — фиксированное число, 0,1 ^ а < 0,9, тогда
<І\В d>exp(ln П2)а
Доказательство. Разобьем интервал суммирования на интервалы вида М < д < 2М. Получим не более 1п Б сумм Б(М) вида
5(М) = ^ < М-1 ^ 1.
Л\В Л\В
M<d^2M d^2M
Пусть Б = р—1 р—2 ... р— - каноническое разложение числа Б на простые сомножители и ді і — тое простое число. Очевидно, существует к такое, что
Б1 = д1 д2 ...дк < Б < дд ... дк дк+1, к ^ Ь.
Согласно закону распределения простых чисел
ІП Б1 = ^ІП ді = ^ІП р> у,
і<к р<Як
так что
дк < 2\пБ1 < 2\пБ.
Пусть Б2 = д—1 д—2 .. .д—, очевидно Б2 < Б и ді < дк, тогда
5(М) < М-1^ 1 < М-1^ 1.
Л\В d\D2
d^2M d^2M
Числа д, д\Б2 состоят из простых делителей д^ < дг. Так как д1 < 21п Б, то
последняя сумма не превосходит количества чисел < 2М и имеющие только
простые делители меньше 2\п Б, то есть
5(М) < М-1 ^ 1 < М-1Б(2М, 21пБ, 1).
d\D2
d42M
Воспользовавшись леммой 3 при
, ^ 1п * 1п1п Б2
х = 2М, д = 1, * = 2\п Б, а = -------= -----——,
’ 4 ’ 1п х 1п2М
имеем
^ ч ( ln2M / , , , 2 , , ln2M \ ln2M
S(М) «exp(-l-j-D [ШпїМ - ЫпЬ D + lnln ї-j-D) + lmnD
2в ln2M \ і ln2M )
:)=exp{- ы-d (]nla2M - B>) ’
Ы“ D2 jn ^
^,111 2 і і ln2M n(\n2M\ 1
B = in in in D - in in——— + 1 + 2в in——— ■
ln ln D2 ln ln D2
Из условия 2M > exp(lnD2)" следует, что inD2 К (ln2M)* . Поэтому
/ ln2M V
\ ln(ln2M) * J
= in in in 2M - in а - in (in in 2M + in а - in in in 2M) + 1+
пі і iii \-1 і і in а-1 +lnlnln2M)
+ 2 (in in 2M + in а - in in in 2M) = - in I 1--—------- ) +
v ; V lnln2M )
2 і in а-1 +lnlnln2M)-1
+ а +1 + ы-Ш і1 ШШ ) =
-1
- in 2M ( in 2M '
B ^ lnln(ln2M) * - lnln---------------г + 1 + 2 inin (in 2M) * \ in (in 2M) ‘
-1 ^ /in а 1 + lnlnln2M\ п 1 і і
1 + in а 1 + O I - — ---—----- І К 2 + in 1О ^ 5 К - in in 2M.
ln ln 2M З
Следовательно,
rr/^ч і ln2M ) і 2ln2M lnln2M)
S(M) « exp{-i-id {lnla2M - B>) < exp{-------------3ШІ)
. Из условия 2M > exp(ln D2)" следует, что
ln2M > hf D2, lnln2M > а lnln D2.
Поэтому
S(M) < exp(--2а in" D2^ < in-1 D • exp (-2"-1а hf D) .
Лемма 10. Пусть K — число решений сравнения:
(nd - n)y = (n1d - n)y1 (mod q),
M К n,nl ^ M + N, 1 ^ y,yl ^ Y, (y, q) = 1, (yl,q) = 1,
где (n,q) = 1, d — делитель числа q, 2NY К q, d <Y, p(qd-1,Y) — число делителей в числа qd-1, удовлетворяющего условиям qY-1 ^ в К qd-1 и (e,d) = 1. Тогда справедливо соотношение:
2Y2 2Y2 2( NY )1+<5
K < NY + - + —«*r1'Y ) + ■
где 6 — сколь угодно малое положительное число.
Доказательство. При у = у1, разделив обе части сравнения на у, (у, q) = 1, находим
nd — п = n1d — п (mod q), M < n,n1 ^ M + N, 1 ^ у ^ Y, (y,q) = 1,
или
nd = n1d (mod q), M < n,n1 ^ M + N, 1 ^ у ^ Y, (y,q) = 1.
Разделив обе части сравнения и модуль на число d, найдем
n — n1 = 0 (mod qd-1), M < n,n1 ^ M + N, 1 ^ у ^ Y, (y,q) = 1.
Из условий \n — n^ < N и 2N ^ qY-1 < qd-1 следует, что последнее сравнение превращается в уравнение
n — n1 = 0, M < n,n1 ^ M + N, 1 ^ у ^ Y, (y,q) = 1,
то есть если у = у1, то n = n1. Отсюда получаем
K = NYq + 2к, (3)
где к — число решений сравнения
(nd — п)у = (n1d — п)у1 (mod q),
M < n,n1 ^ M + N, 1 ^ у <y1 ^ Y, (y,q) = 1, (y1,q) = 1
или сравнения
(ny — ny)d = п(у — y1) (mod q), (4)
M<n,n1 ^ M + N, 1 ^ y<y1 ^ Y, (y, q) = 1, (y1,q) = 1.
Левая часть и модуль сравнения (4) делятся на число d. Следовательно, делится на число d и его правая часть, то есть число п(у — у1). Число п является взаимно простым с числом d, поэтому на d делится число у — у1, то есть у — у1 = 0 (mod d)
или у1 = у + td. Таким образом, сравнение (4) принимает вид
(n1(y + td) — ny)d = ntd (mod q),
M < n,n1 ^ M + N, 1 ^ у < у + td ^ Y, (y,q) = 1, (y + td,q) = 1.
(5)
Разделяя обе части этого сравнения и его модуль на число d, получим
(n — n-\)y = (n1d — n)t (mod qd-1),
M < n,n1 ^ M + N, 1 ^ у < у + td ^ Y, (y,q) = 1, (y + td,q) = 1.
Разбивая множество решений сравнения (5), имеем
к = К1 + К2 + Кз, (6)
где к1, к2 и к3 - число решений сравнения (5), обладающих соответственно свойствами:
1. n1d — п = 0 (mod qd-1);
2. (n1d — п)t = 0 (mod qd-1) и n1d — п = 0 (mod qd-1);
3. (n1d — rq)t = 0 (mod qd-1).
Оценка к1. Сравнение n1d — п = 0 (mod qd-1) не имеет решения при
(d,qd-1) > 1, а при (d,qd-1) = 1 имеет не более одного решения n1 = n\,
(n*1,qd-1) = 1, так как 2N < qd-1, то есть N — длина интервала изменения n1 меньше модуля сравнения. Сравнение (5) при n1 = n*1 принимает вид
(n — n\)y = 0 (mod qd-1),
M < n ^ M + N, 1 ^ у < у + td ^ Y, (y,q) = 1, (y + td,q) = 1
и при фиксированных у и t имеет одно решение n = n*v Следовательно
2Y2
К1 ^ Yq ( Т + 1 ) ^
(Y+•)
dd
Оценка к2. Воспользовавшись условиями случая, сравнение (5) представим в виде системы сравнений
(n1 — n)y = 0 (mod qd-1), (7)
(n1d — п)t = 0 (mod qd-1)
с условиями
n1d — п = 0 (mod qd-1),
M < n,n1 ^ M + N, 1 ^ у < у + td ^ Y, (y,q) = (y + td,q) = 1.
Из условий (y,q) = 1, \n — n1\ < N и 2N ^ qd-1 следует, что первое сравнение системы (7) равносильно уравнению n1 = n, поэтому количество решений системы (7) равно количеству решений сравнению
(nd — п)t = 0 (mod qd-1), nd — п = 0 (mod qd-1), (8)
M < n ^ M + N, 1 ^ у < у + td ^ Y, (y,q) = 1, (y + td,q) = 1.
Произведение чисел nd — п и t делится на qd-1, но само число nd — п не делится на qd-1, поэтому для каждого решения сравнения (8) существует делитель в числа qd-1, что в < qd-1 и
nd — п = 0 (mod в), t = 0 (mod q(de)-1).
Из условия (d, п) = 1 вытекает, что сравнение nd — п = 0 (mod в) имеет решение только при (fi,d) = 1. При (fi,d) = 1 символом к2(в) обозначим число решений системы сравнений
n = пd-1 (mod в), M < n ^ M + N, dd-1 = 1 (mod в) t = 0 (mod q(dв )-1), 1 ^ y<y + td ^ Y, (y,q) = 1, (y + td,q) = 1,
или число решений сравнения n = пd-1 (mod в), M < n ^ M + N, dd-1 = 1 (mod в)
1 ^ y<y + ^в-1 ^ Y, (y,q) = 1, (y + tqв-1,q) = 1.
Границы изменения переменных у и t в этом сравнении представим в виде
Y~ — у
1 ^ у <Y, 1 ^ t ^ , (y,q) = 1, (у + tq/3-1,q) = 1. (9)
При у > У— яв 1 верхняя граница изменения і меньше нижней, поэтому область
(9) можно представить в виде
Уу
1 ^ у ^ У — яв-1, 1 ^ і (у,я) = 1, (у + іяв-1,я) = і-
яр -1
В свою очередь, если в ^ яУ-1, то У — яв-1 — верхняя граница изменения у меньше нижней границы. Следовательно к2(в) = 0 при в ^ яУ-1, а при яУ-1 < в < я3-1 для к2(в) получим оценку
/т (N ) V- [ У — у ] (N У У в) V-
ът в + 1) £ _ -- « — + -/) £
4 7 К~у<У7
+ / 1.
q q 1
7 1^y<Y qe 1
(y,q)=1 (y,q)=1
1
Далее, воспользовавшись соотношениями 2NY < q, в < qd и d <Y, найдем
К2(в) < (1 + V 1 ^ ^ V 1 < 2Y2
d ) ^ , d ^ , d
4 7 1^y<Y — qft 1 1^y<Y — qft 1
(y,q)=1 (y,q)=1
Суммируя это неравенство по всем делителям в числа qd-1, удовлетворяющим условиям qY-1 ^ в < qd-1 и (в,^) = 1 и обозначая количество таких делителей символом p(qd-1,Y), получим
2Y 2
к2 ^52 к2(в) p(qd-1,Y).
(e,d) = 1, e\qd 1 qY — 14]3<qd—1
Оценка к3. Напомним, что к3 — число решений сравнения (n1 — n)y = (n1d — п)t (mod qd-1)
с условиями
(n1d — ^t = 0 (mod qd-1), M<n,n1 ^ M + N,
1 ^ y<y +td ^ Y (y,q) = 1, (y + td,q) = 1.
Для фиксированной пары (и*1}1*) символом к3(Л) обозначим число решений сравнения
(и — и.)у = Л (mod дй-1), М < и ^ М + М, 1 ^ у < у + ^ У, (у, д) — 1,
(10)
где Л — 0 — абсолютно наименьший вычет числа (и\й — п)^ по модулю дй-1. Воспользовавшись границами изменения переменных и, и1 и у, и условием
2МУ < д, найдем
0 < \(и — и\)у\ <МУ < д.
Из этого неравенства следует, что сравнение (10) превращается в уравнение (и — и1)у — Л, М <и ^ М + М, 1 ^ у<у + Ь*й ^ У, (у,д) — 1, (11)
где для параметра Л выполняется соотношение
1 ^ \Л\ < МУ.
Таким образом, для фиксированной пары (и.,^), к3(Л) — количество решений сравнения (10) равно числу решений уравнения (11), для которого справедливо неравенство
кз(Л) ^ т(\Л\) ^ 0,5 (МУ) .
Количество всех возможных пар (и.,1*) не превосходит М (Уй-1 + 1). Следовательно,
КЗ « М(й + 1) . 0, 5(МУ У «
Подставляя найденные оценки для к1, к2 и к3 в (6), а затем в (3), найдем
2У2 2У2 , ,, ч 2(МУ)1+6
+ ~гр{яЛ 'г)+ й
К —МУд + 2(к1 + К2 + Кз) ^ МУд \----- —\-----— р(дй ,У) +
Лемма доказана.
Лемма 11. Пусть (п,д) — 1, у < х, тогда
8 = ^ Хд(и — п) < 2ш(д)^д 1пд.
х-у<и^х (п,д) = 1
Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что у > > 2ш(д^ у/д 1п д. Имеем равенство:
8=1V. <т)х£.х'(—") £
(п,д) = 1
Пользуясь формулой, которая устанавливает связь между значениями примитивных характеров и значениями сумм Гаусса(лемма 4), имеем
s
T (Xq )
T (Xq )
q
t=1
q
x-y<n,x (n,q) = l
e*.««©e^ e e(-ny
t=1 ^ ' d\q x-y<nd£x ^ '
Последняя сумма по и при й > у и [х/й] — [(х — у)/й] пустая, а при й > у и [х/й] — [(х — у)/й] + 1 состоит из одного слагаемого. Поэтому при й £ у, воспользовавшись для целых и1 и и2 равенством
tdn) sin f td(n1 + n2)
q
sin
ntd
f td(nl + щ)\
I 2q )
U1^n^U2 4 ± / q
и переходя к оценкам и имея виду, что \т(х)| = y/q, найдем
І
(
\s\£-< Е Е
q t=1 d:q
(t,q) = l\ d,y
+ £ 1
sin
nt
q/d
1
\
+1
І
d-1 q/d
<52^2(d)52 52
q d:q
sin
d,y
tl=0 t2 = 1
(tlq/d+t2 ,q) = l
nt2
q/d
1
q/d-l
t=l
sin
nt
q/d
1
d,y
Если qd 1 — нечетное число, то воспользовавшись последовательно неравенствами sin па ^ 2а при 0 ^ а ^ 1/2 и 1 ^ In , найдем
qd-1 -1 2
S (d)=2
t=1
nt
sin
qd
-1
qd-l-l
2 V (id-)
qd-l-l — 1 2-і q ^ 1
dt t=l
qd l-l 2
(ln(2t +1) — ln(2t — 1)) = d In qd 1 £ d ^ q
t=l
Если qd-1 — четное число, то
qd____________1
2 1
s (d) = 2 Y.
t=1
-1
nt
sin
qd
1
1
qd_________1
2 1
+ 1 £ 2
_____ qd____1
2t V1 1 q 1 1
S \<d-V + =d S «+
£
(ln(2t + 1) — ln(2t — 1)) + 1 = d \n(qd 1 — 1) + 1 £ d In q
t=l
d
q
Следовательно,
1^1 £ ЕЛ»2(*) • 7,1пя + Щ « у'ч 1п^І2(7) = 2“і">^ 1”я.
л\я
Л<:У
Vя
й\"
Лемма доказана.
Лемма 12. Пусть а — вещественное число, М, М, й и п — целые чис-
7 1
ла, удовлетворяющие условиям (п,д) — 1, М < д12й-2, 0,1 £ а < 0, 9, й £ ехр(1п д2)а, тогда
Б = ^ X" (п7 — п) £ N3 я9+2 73.
М<п£М+м
:і2)
Доказательство. Оценку (12) для сумму 8 докажем методом математической индукции по М. При М £ д з для правой части оценки (12) справедливо неравенство
2 1 і О 2 2 1 і О 2 1 2 / о\ —
N3 я9+273 ^ N3я9+2 > N3я9 ^ N3 9 = N
то есть в этом случае оценка (12) является тривиальной и её возьмем в качестве базы индукции.
Далее будем считать, что М > д з. Производя в сумме 8 сдвиг интервала суммирования на к, 1 £ к £ Н < М, получим
8 — X! Хд((и + к)й — п)+ ^ Хд(ий — п) — ^ Хд(ий — п).
М<п£М+М М<п£М+Н М+М<п£М+М+Н
Оценивая две последние суммы, воспользовавшись предположением индукции, имеем
Б £
^ X"((п + к)й — п)
М<п£М+М
Полагая в этом неравенстве к — у г и суммируя его по у и г в пределах
1 £ у £ У, (у,я) = 1, 1 £ % £ (г,я) = 1, У = 0,5Nя 6 7
о, 5я6 а
приходим к неравенству:
БI £ (У"2,)-1
Е Е Е X" ((п + у%)а — п)
1^у^У 1^г^ М<п£М+Ы
(у,д) = 1 (г,д) = 1
21О2
+ 2(У2)3 я9 +2 73
где Yq и Zq - соответственно количества чисел у £ [1,Y] и z £ [1,Z], взаимно простых с числом q. Определяя число у-1 из сравнения уу-1 = 1 (mod q), имеем
\S\ £ — Zq)-1
Е Е Xq (У) Xq((nd - n)y 1 + zd)
M<n£M+N 1£y£Y
l£z£Z
(z,q)=1
+ 2(—Z)3 q9 +2 d3
£
—Zr1 E E
M<n£M+N l,y,Y (y,q)=l
Xq((nd - n)y 1 + zd)
l,z,Z
(z,q)=1
_l 2 1 I s 2
+ 2 3 N3 q9 + 2 d3.
Обозначая в этом неравенстве символом I(X) — число решений сравнения (nd — п)у-1 = X (mod q), M < n £ M + N, 1 £ у £ Y, (y,q) = 1, получим
q-1
\S \ £ (Yq Zq )-1W (d) + 2--3 N -3 q 9 + 2 d -3, W (d) = J21 (Л)
л=о
Xq (Л + zd)
l,z,Z
(z,q)=1
13)
Возведём обе части этого равенства в куб и воспользуемся неравенством Гёль-дера (лемма 1) полагая в нём
v = Л, av = I (Л), bv
Xq (Л + zd)
l£z£Z
(z,q)=1
и тем, что
будем иметь:
Ei Л £ n—, ,
л=1
q-1
W'3id) £ (NY. I(Л)
л=0
^ Xq (Л + zd)
l,z,Z
(z,q)=1
Возведём обе части последнего неравенства в квадрат и воспользуемся неравенством Коши (лемма 1). Будем иметь
q-1 q-1
2
л=0
л=0
^ Xq (Л + zd)
l£z£Z
(z,q)=1
3
Пользуясь леммой 6, получим
д-1 2
V — Е Е
Л = 0 21,---,2б = 1
Р(21,Я) = --- = (26>Я) = 1
Х
(
£
Х1,...,Х6 = 1
ха
£
Х1,...,Х6 = 1
д-1 (
Х
п V
Л=0
д-1
(Л + г1й)(Л + г2й)(Л + гзй) (Л + г^й)(Л + г^й)(Л + г^й)
(Л + г1й)(Л + г2й)(Л + гз й)
(Л + г^й)(Л + г^й)(Л + гб й)
)
£
)
£
Х
Л=0
(Л + г1)(Л + г2)(Л + гз)
(Л + г^)(Л + гь)(Л + г§)
)
£ г3(Рд1+*.
Следовательно,
W6(й) £ (МУд)4 Z3й3д1+6 • К.
Сумма К равна числу решений сравнения
(ий — п)у-1 = (и1й — п)у-1 (mod д),
М<и,и1 £ М + М, 1 £ у,у1 £ У, (у,д) — 1, (у1,д) — 1,
или сравнения
(ий — п)у = (и1 й — п)у1 (mod д),
М<и,и1 £ М + М, 1 £ у,у1 £ У, (у,д) — 1, (у1,д) — 1.
Для этого сравнения все условия леммы 10 выполняются:
2МУ — 2М
У
0, 5Мд 6 й
й
>
й
£ М2 д 6 й < [д12 й 2 ) д 6 й — д, 0, 5д6й
Согласно этой лемме имеем
2У2 2У2 2(МУ ^
К £ МУ + — + —р(дй-1,У) + 2(—1— й й й
2(МУ)
1+6
й
(
1 +
й
+
У
2(МУ)6 М (МУ)6
(р(д<Г\У) + 1)) .
14)
Отсюда с учётом соотношений й £ ехр(1п д2)а £ д4, р(дй 1,У) + 1 £ т(д) £ д6, (МУ)6 ^ (0,1 М2д-1 й)6 > 0,1 д2, находим
й
1
К £ 2(МУ)1+6 (1 + 5д^ + 10 д
5
д 2
1 + 5 д 6 + 2
)
£
3(МУ)
Т
1+6
Подставляя эту оценку в (14), а затем правую часть полученной формулы в (13), последовательно получим
W6(й) £ (МУд)4 Z3й3д1+6 • К £ 3дМ5УУд^3й2 (дМУ)6 ,
БI £ (У"2")-1Ш(7) + 2--3 N-3я9+27-6 £
5
31 д6 М5У 6 Z1 йз (дМУ)6 1 2 1 + 5 ,2
£—------------,----^+ 2- 3 М 3 д9 + 2 й3 .
Уд" Zд
Далее воспользовавшись леммой 7 и известными неравенствами
:і5)
ш(я) £
сш 1п я 1п 1п я ’
Ф(я)
' я 1п 1п я
£
где сш и сф — абсолютные постоянные, найдем
У" — ФМ у я
2" — 2
, сц 1п 4 1п 2 ф(я) 1 ф(я)
£ 2Ш("' £ 2 1п1п Ч = я 1п1п Ч < я 7 <
'я
2я
я
,.("' с<л 1п Ч су 1п2 ф(я') 1 ф(я)
£ 2ш("' £ 2 1п1п Ч = я 1п1п Ч < ' ' -7 ^ г УЧ./
2я
-я7 <
2я
то есть
У > ФІя)У ^ сФУ , " 2я 1п 1п я
о, N
0, 5я
СФ2
Ф(я)
2я
У,
Ф(я)
2я
2,
2" > 2 ^
2я 1п 1п я
Пользуясь этими неравенствами в (15), параметры Уд и Zд выразим соответственно через У и Z. Имеем
36 я6 N6 73 (яNУ)6 1п3 1п я 1 „т2 1 + о ,2
ІБI £— •--------тт^тт--------- + 2-3N3я9+273.
Далее имея ввиду, что У (0, 5-2/3+6/6 — 22/3-6/6 < 2)
0, 5Nя 6 7
2
0, 5я6 7
1
и N < я 12, найдем
6
1 лт5 ,1 + 1-1 ( 1_ 1 д т2 ;\ 6 , 4
2.3 6 я 6 N 6 7 3 + 2 6 I я1 6 N 2й) 1п31п я ІБI £ —------------------—1— -----------------+ 2-3N3я9+27
4
сф
N 6 я 12 36
12 1 + О 2
3 N 3 я 9 + 2 7 3
1 2 1 і О ,2
/9
£
2 3 6 ^
—4— • я9N272 (я66 1п4 1пя + 2~3N3я73 £
Сф
2 • 3 6
~4
.3
1^2 1 і О ,2
• N3 я9 73 я31п31п я + 2 3 N3 я9 +2 73 =
2 • 36 сф 3 я 6 1п31п я + 2 3) N3 я9 +2 73 £ N3 я9 +2 73
„ 2 1 + О ,2
+ г
„ 2 1 + О ,2
з + с
Лемма доказана.
с
4
Лемма 13. Пусть (n,q) = 1, y ^ q3+б6, 0,1 £ а < 0,9, тогда
S = Xq(n - n) < У exp (-2<7-1аЬа q\ ■
x-y<n,x
(n,q)=1
Доказательство. Рассмотрим случай д 12 < у £ 0, 5д. Воспользовавшись леммой 11 и известным неравенством
u(q) £
Cu ln q
ln ln q
где Cu — абсолютная постоянная, имеем равенство: S £ 2u(q)—<lnq £
—q • exp( C^TL + 2а-1а ln" q + ln ln q)
£
y exp [—2а 1a ln" q) £
£
—q • exp( c±q)
y
y exp [—2а 1а ln" q) ■
Отсюда, имея в виду, что y > q 12 > —q • exp ^, находим
S ^ у exp (—2а-1а ln" q\
Пусть теперь q1+86 £ y £ q 12. Имеем равенство:
S = V X.(n - n) V V(d) = VV(d)S (d), S (d)= V X.(nd - n)■
x-y<n£x d\(n,q) d\q x-y<nd£x
Разбивая сумму S на две части, имеем
S = Sx + S2, Sl = v(d)S(d), S2 = v(d)S (d).
d:q
d,exp(ln q2)7
d\q
exp(ln q2)7 <d,x
Для оценки суммы 82 воспользуемся тривиальной оценкой суммы 8(й) и леммой
9. Имеем
ц2 (d)
d\q
exp(ln q2)7 <d,x
dd
d\q
exp(ln q2)7 <d,x
->a-1~ 1 „а
^ у exp {—2a V lna q) + qs ^ у exp (—2a V lna q} .
Оценим теперь S1. Для этого оценим S(d), воспользовавшись леммой 12 при
M
"x - у' , N = x 'x - у"
_ d -d. . d
y
y
имеем
й
Следовательно,
ГУ/ 74 /у\ 3 1 + О ,2 2 1 + О
Б (7) < я 9 + 2 7 3 = у 3 я 9 + 2.
Б1 ^52 І2(7)ІБ(7)1 ^ у3я9+2 52 12(7) ^ у3я9 +22ш(" £
Л\ч Л\ч
с^ехр(1п ч2)а с^ехр(1п ч2)сг
2 1+О ( сш 1п 2 1п я\ ,
£ у3 я9 +2 ехр —-— ------------------ £
1п 1п я
'я3+30 • ехр(Су !п? 1п" + 3а2а-11пст я) '
£ у ехр (—2°~ V Ы" я) • | ----------------------------------------- | <
(я 1 + 5 Л 3
<у ехр {—2а-1а 1па я) • (-------- 1 £ у ехр (—2а-1а 1па я)-
Лемма доказана и из этой леммы при а — 0, 6 следует:
Следствие 1. Пусть (п,д) — 1, у < х и у ^ д3+56, тогда
52 Хд(и — П) < у ехР (—1, 5л/1пду
х-у<и£х
(п,ч) = 1
4. Оценка двойных сумм значений характеров
Лемма 14. Пусть М, М', М, М' и п — целые числа, удовлетворяющие условиям (п,д) — 1, М' £ 2М, М' £ 2М £ д 6, ат и Ьп - функции натурального аргумента такие, что
^2 \ат\а < М^Са, а —1, 2; \Ьп\ < В.
М<т£М'
Тогда справедлива оценка
ж 5 1 1 I 1 г 4с1 +С2 + 1
W — ^2 ат ^2 ЬпХ(ти — I) < ВМ6М2дъ+66^^^~.
М <т£М ’ <п£т{п(хгп-1,2М )
(ти,д) = 1
Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что выполняется условие ММ < х. Определяя т-1 из сравнения тт-1 = 1 (mod д) и затем переходя к оценкам, находим
^\ £52 \ат\\8(т)\, 8(т) — ^ ЬпХ(и — 1т-1).
М<т£М' М'<п ^шт(хт 1,2М)
(т,д) = 1 (и,д) = 1
Сумму 5'(т) преобразуем в другую так, чтобы интервал суммирования внутренней суммы не зависел от т. Имеем равенство
1
д-1
( к(п — г)\
V а )
Б (т) = 52 Ьп Хд(п — 1т-1) 52 . а
к=0 М'<п£2М М/ <г£шт(хт-1,2М)
(п,д) = 1
Далее обозначая N" = тт([хт ^ 2М), выделяя слагаемое с к = 0 и суммируя затем по г, получаем:
(1
52 ЬпХд(п — 1т-1)+
N '<п^2Ы (п,д) = 1
іап пк(мд м) ^ / к(N +і + N)
+ а 2=1 дЬ еК ^ 2д / м/<п42м
(п,д) = 1
1 X! ЬпХд(п — 1т-1)е[—]
/ N <п<ґ 2 N V
кп
я )
Переходя к неравенствам, имеем:
52 ЬпХд(п — 1т-1)
N/<n£2N (п,д) = 1
д-і і
д-1
+ Е
к=1
И ЬпХд (п — 1т-1)е( — ')
<п^2М \ Ч /
N/<n£:2N (п,д) = 1
«Е
к=0
к+1
И ЬпХд(п — 1тд1)е( — '}
<п^2М \ а /
N/<n£:2N (п,д) = 1
Таким образом,
д-1
№'I «Е ь+г и'(к), V(к)= £ М
к=0
М<т£М/ (т,д) = 1
И ЬпХд (п — 1тд1)е( — ')
<п<-2М У4/
N '<n42N (п,д) = 1
Оценим Ш(к). Возводя обе части этого равенства в куб, воспользовавшись неравенством Гёльдера (лемма 1) и определением числа 0\, получим
V3 (к) £
\ 2
Е |ат| |т |а И
. М<т£М/ \ (т,д) = 1 М<т£М/
(т,д) = 1
И ЬпХд(п — Іт-
<п<-2М У4/
N'<n42N (п,д) = 1
<
<
(Ы^С1 )2 ^ 1ат1
М <т£М/ (т,д) =1
И ЬпХд(п—т 1)^кп)
<п<-2М У4/
N'<n42N (п,д) = 1
1
к
3
Возводя обе части последнего неравенства в квадрат и воспользовавшись неравенством Коши (лемма 1) и определением числа с2, имеем
ш6(к) £ (м&С1)4 ^ Ы2
М<т£М/ М<т£М/
(т,д) = 1 (т,д) = 1
М1 <п£:2М (п,д) = 1
М <т£М/
(т,д) = 1
^ ЪиХя(п — Іт-
<п<- 2М \ Я /
N :<п£2М
(п,д) = 1
£
д-1
£ М5&4С1+С2 ^
Л=0
X
N / <П1 ,...иб£.2М
(п1...п6,д) = 1
(
№ х(
Л=0
N :<п£:2М (п,д) = 1
а(п1 + * * * — п6
М&4С1 +С2 х
(Л + п1)(Л + п2 )(Л + п3)
(Л + п4)(Л + п5 )(Л + п)
)
Далее воспользовавшись неравенством \Ьп\ ^ В, затем леммой 6, найдем
Ш6(к) £ М5&4С1+С2В6 ^
1£п1,...Пб£2М
д-1 /
Х
Л=0
(Л + п1)(Л + п2 )(Л + пз) (Л + п)(Л + п5 )(Л + пб)
)
< М5&4С1+С2 В6 ■ N3д1+6 = В6М5М3д1+6&4С1+С2 *
Лемма доказана.
Следствие 2. Пусть М, М', N, N и п — целые числа, удовлетворяющие условиям (п,я) = 1, М' £ 2М, N £ 2N, дв < N £ д6, ат и Ьп - функции натурального аргумента такие, что \ат\ £ т5(т), \Ьп\ £ 1. Тогда при х ^ д\-2в+1,\ё справедлива оценка
Ш = ^^ ат 2_^ ЬщХ(тп —
М <т£М/ N/<п^шіп(жт_1,2М)
(тп,д) = 1
Доказательство. Согласно леммы 8, имея в виду, что 1п М ^ ^, найдём
У~* т5(т) М&4, ^2 Т5>(т) ^ М&24 *
М<т£М/
М<т£М/
Из леммы 14 при с\ = 4, с2 = 24, воспользовавшись условием MN £ х, N ^ дв
6
6
6
Я
найдем
W < (ИМ) 6 N- 3 д6+66&% £ X6 N- 3 д6+66&% = X ( М 2дШ^41 ^
£
X
а +6&41] 6 (д1 29+1,16 ехр (-9^/Ыд)\ 6 ^ г—^
£ XI ---------- І < X І - І £ X ехр (—1) 5у Ш д)
Лемма 15. Пусть М, М', N, N и п — целые числа удовлетворяющим условиям (п,д) = 1, М' £ 2М, N £ 2N, ат и Ьп функции натурального аргумента такие, что
^2 \ат\а < М&Са, а =1, 2; \Ьп\ < В.
М<т£М'
Тогда справедлива оценка
гХ(ти — I) < В
.3 , 1 1
W = 2_^ ат 2= Ьпх(тп — I) ^ В [И4 N2 д4 + И4 Мд в) & 4 д 4
М<т£М/ N/ <п£тїп(хт — 1,2М)
(ти,д) = 1
іМд
2С1+С2 + 1 1
6
Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что выполняется условие MN < х. Поступая аналогично предыдущей лемме, находим
ч-1
\п'І«Е ЇГГW(к), W(к) = £ |ат|
к=0
М <т£М /
(т,д) = !
52 Ьп
N,<n42N (п,д) = 1
ЬиХя(п — 1т- 1)е(~)
Оценим Ш(к). Возведём обе части этого равенства в квадрат и воспользуемся неравенством Гёльдера (лемма 1):
W2(k) £
\
Е |ат| м а |
. М<т£М/ \ (т,д) = 1 / М <т£М/
(т,д) = 1
^ ЬиХя(п — 1т-
д
N/ <n£:2N (п,д) = 1
£
М <т£М/
(т,д) = 1
^ ЬиХя(п — 1т-
<п<2.Ы \ д /
N/<n£:2N (п,д) = 1
6
2
2
Возведём обе части последнего неравенства в квадрат и воспользуемся нера-
венством Коши (лемма 1):
W4 (к) £ И2&2С1 £ М'2 £
М<т£М / (т,д) = 1
М<т£М/
(т,я)=1
£ ЬиХя (п — тд1)е( — ')
<п<-2М \ д /
N/<n42N (™,Ч) = 1
С
М <т£М/
(т,д) = 1
£ ЬиХя(п — 1т-1)е(—\
<п<-2М \ д /
N/<n42N (™,Ч) = 1
£
я-1
£ И3&2С1+С2 ^
А=0
52 ЬиХя(п + Л)е[
<п<’2М '
N/<n42N (™,Ч) = 1
кп\ К'^)
£ Ьм -А,е(к(,н + д" — п4>) £х(
-l,...n4£2N \ д / л=0 V
N /<П1 ,...n4£2N
(П1...П4,д) = 1
(Л + п1)(Х + щ)
(Л + пз)(Л + п4)
)■
Далее воспользовавшись неравенством \Ьп\ ^ В, затем леммой 5, найдем
я-1
£
А=0
(Л + п1)(Л + п2) (Л + пз)(Л + п4)
)
Ш4 (к) < М3&2С1+С2В4 £ |> л
1£П1,...П4£2М
< М3&2С1+С2В4 ^2я + 2< В4 (М3^д + М3^д^ д^2с1+с2.
Лемма доказана.
Следствие 3. Пусть М, М', N, N и п — целые числа, удовлетворяющие условиям (п,я) = 1, М' £ 2М, N £ 2N, д4~в £ N £ д4+в, ат и Ьп - функции, натурального аргумента такие, что \ат\ £ т5(т), \Ьп\ £ 1. Тогда при х ^
г+9+1,16
справедлива оценка
W
£
М<т£М/ N/ <п£тіп(хт 1,2N)
(ти,д) = 1
^2 ЬиХ(тп — І) С X ехр (—1,
Доказательство. Согласно леммы 8, имея в виду, что 1п М ^ &, найдем
т5(т) М&4, ^2 Ъ2(т) М&24.
М<т£М' М<т£М'
Из леммы 15 при с1 = 4, с2 = 24, воспользовавшись условиями М £ xN 1, д1 -в £ N £ д4+в и х ^ д3+б+1>1<5 •'
,3 „,1 1
найдем
зз А 6
W С И3N1 д4 + И3Мд1 ^ &33д46 £ X4 (м 4д4 + N4д1 ^ &33д46 С
(дМ-1 Мд2\4 33 1 6 (2д3 +^ ^^33 16 ( Г—\
С XI---------1-----I & 4 д4 £ XI --------- I & 4 д4 С X ехр 1, Бу'Ы ду
4
4
4
д
а
т
5. Доказательство теоремы 1
Рассмотрим сумму
Т(Хд) = 52Л(п)Хд(п - 1)-
п£х
В сумме Т(Хд) вклад слагаемых с условием (п,д) > 1 является величиной, модуль которой не превосходит « &2. Поэтому
Т(Хд) = ^ Л(п)Хд(п - 1) + О 2) .
п^ж (п,д) = 1
В лемме 2 возьмём г = 3, и1 = хз и
!
Г(п)=1 Хд(п - 1), при (п,я) =1;
'0, в противном случае.
Имеем
т (Хд) = 52-1Т скп (Хд), (16)
к=1
Тк (Хд ) = £ ц(тх) ■■■ ^ ц(тк) £-£ 1п П1Хд(тп ■ ■■ ткПк - I),
т1£и1 т^ £и1 щ пк
т1-ткп1-пк£х, (т1^-ткп1-^пк,д) = 1
Разобьём в Тк(Хд) области изменения каждого т1, ■ ■ ■ , тк, щ, ■ ■ ■ ,Пк на не более
& интервалов вида Mj < т^ £ 2М^, Nj < п^ £ 2Nj, ] = 1, 2, ■ ■ ■ ,к. Получим
& 2^
Тк (Хд ) = 52 Тк (Хд ,М,Ю, (17)
Тк (Хд, М, N) =
У ц(т1) ■■■^ 1л(тк )^ ■■■ ^ Хд (тп ■■■ тк Пк - 1)1п пл =
М1<т1£2М1 М^<т^ £2Мк М1<п1£2М1 <пк £2М^
т1-тьп1^-пь£х, (т1^-ткп1-^пь,д) = 1 П1
У, ц(тх) ■■^ ц(тк )^ ■■■ $^ Хд (тп ■■■ тк Пк - I) — =
М1<т1£2М1 М^ <т^£2Мк М1<п1£2М1 <п^£2М^ 1
т1 •••т^п1•••п^£х, (т1-ткп1"^пк,д)=1 2М
= ^ ^(т1)■■■!] ^(тк) X] ■■■ 5] Хд (тп ■ ■ ■ тк пк - 1)й 1п и.
1 М1<т1£2М1 М^ <т^£2Мк ша,'х(иМ1)<п1£2М1 <п^ £2М^
т1-ткп1-пк£х, (т1-ткп1-пк,д)=1
Через и1 = тах(и, N1) обозначим такое число и, при котором модуль подынтегральной функции принимает максимальное значение, тогда
\Тк(Хд, М, N)\ « & \Тк(Хд, М, N)\ , (18)
где
Tk (Xq, M, N) ^ ^ v(mi) • • • ^ ^ v(mk) E ••• E Xq(mini • •• mknk - l),
Mi<mi£2Mi Mk<mk£2Mk Ui<ni£2Ni Uk<nk£2Nk
ni—nk^x, (mi-mkni-^nk,q) = i
Nj £ Uj < 2Nj, j = 1, 2,... ,k.
Подставляя (18) в (17), а затем и(16), получим
з
T (Xq ) « L6 max T (X, ,M,N )\, (І9)
k=l
Вводим следующие обозначения:
кк
Д Му N = У, Д Му и = X, У < X £ х, Му £ х1 j=l У=1
и будем предполагать далее, что
Y ^ x exp (—О, 7^/ln qj
(20)
так как в противном случае, оценивая Tk(xq, M, N) тривиально, будем иметь Tk(Xq, м, N) « £ T2k(n) << 2kYL2k-i <<
X<n£2k Y
^ x 2kL2k-i exp ^-0, 7\/\n qj ^ x exp ^-0, Q\/\n qj .
Оценим Tk (xq ,M,N) отдельно для каждого k = 1, 2, 3 и не ограничивая общности, будем считать, что выполняются условия:
Mi ^ М2 ^ ••• ^ Mk, Ni ^ N2 ^ ••• ^ Nk. (21)
Оценка T, (xq ,M,N). Рассмотрим следующие возможные случаи значений параметра Ni :
1. Ni ^ q1+5й; 2. q6 £ Ni < q3+8й; 3. q 12 £ Ni < q6; 4. Ni < q;
Для рассмотрений случаев 1, 2 и 3 сумму T,(xq,M,N) несколько преобразуем. Для этого введём обозначения:
T' (h) = ^ V(mi) ^ V(m2) ^ V(m3) ^ ^ 1 \T' (h)\ £ T5(h).
Mi<mi£2Mi M2<m2£2M2 Ms<ms£2Ms U2<n2£2N2 Us<ns£2Ns
mim2msn2n3=h
Тогда сумма T,(xq, M, N) запишется так:
T,(Xq,M,N)= £ t'(h) £ xq(hn - l), XU-1 > YN-1.
XUr l<h£25YNr1 Ui<n^2Ni
1 1 nn£x, (hn,q) = 1
В сумме Т3(Хд,МN) интервал суммирования Хи- < к £ 25У^ разобьём на интервалы вида Н < к £ Н1, где Н1 £ 2Н. Получим на не более пяти сумм вида
Т3(Хд,М^,Н) = ^2 т'5(к) ^2 Хд(кп - 1)- (22)
Н<Н£Н 1 Щ <п£т{п(хк- 1,2М 1)
(Нп,д) = 1
Случай 1. N1 ^ я3+56. Определяя к-1 из сравнения кк-1 = 1 (mod д), найдём
T3(xq,M,N,H ) = ^2 T'(h)xq(h) Y xq(n - lhqi).
H<l
Переходя к оценке, находим
^ ‘5\'4Aq\"' * ..... 1)
H<h£Hl U1 <n ^min(xh 1,2Ni)
(n,q) = l
\T,(xq,M,N,H)| £ Y, T5(h)
H<h£Hi
(h,q) = 1
^2 xq (n - lhql)
Ui <n£min(xh 1,2Ni) (n,q) = l
Применяя к сумме по n следствие 1 при п = Ih-1, x = min(xh 1, 2Ni), y min(xh-i, 2Ni) - Ui £ 2Ni, имеем
T,(xq,M,N) < ^2 T5(h)Ni exp (-2 2л/Ыд) <
H<h£Hl
(h,q)=i
94
4L l\i<
< HiL^Ni exp (-2 <
^ Ni exp (-2~ YN-1L4 ^ x exp ^-0, 7лУЫ qj .
Случай 2. q6 £ Ni < q3+86. Воспользуемся следствием 3 леммы 15 при
1 — M = H, M = Hi, N' = Ui, N = Ni, e = - + - 5.
12 5
Тогда при x ^ q4 +0+1>16 = qI+276 имеем
T,(xq, M, N,H) < x exp ^-0, 7л/\а^ .
Случай 3. я 12 £ N1 < я6. Для суммы Т3(Хд,М^,Н) вида (22), при М = Н, М' = Н1, N = и1, N = ^, 9 = —
1 1 1 12 выполняются условия следствия 2.
Согласно этому следствию, при x ^ q1 2в+1,16 = q6+1,16, получим T,(xq, M, N,H) < x exp ^-0, 7л/\а^ .
Случай 4. Ni < q12. Сумму T,(xq, M, N) преобразуем, для этого вводя обозначения:
T'(h) = ^ V(m2) ^ V(m3) ^ ^ ^ 1 \<(h)\ £ т5(h),
M2<m2£2M2 Ms<ms£2Ms Ui<ni£2Ni U2<n2£2N2 U3<n3£2N3
m2m3ni n2n3=h
запишем её в виде:
T3(xq,M,N) = 52 T'(h) 52 V(mi)xq(hm - l).
XM7i<h£2IYM7i Mi<m<2Mi
1 1 hm£x, (hm,q) = l
Разобьём интервал суммирования XM-1 < h £ 25YM-1 на интервалы вида H < h £ Hi, где Hi £ 2H. Получим не более пяти сумм вида
T,(xq,M,N,H)= 52 T'(h) 52 v(m)xq(hm - l).
H<h£Hi Mi<n£min(xh~1,2 Mi)
(hm,q) = l
Воспользовавшись соотношениями (21), (20) и условиями рассматриваемого случая, имеем
, 1 ( Y )3 Yз (x exp (-0,6^Щ))3
Mi ^ (MiM2M,)3 = --------- ^ ^ А—————— >
i у i 2 3 \NiN2N,) N^ Ni
q^+106 exp (-0, 2Л/]Щ x i i
^ ------------j---------- > q36, Mi £ x3 < q3.
q i2
Отсюда следует, что при M = H, M' = Hi, N' = Mi, N = Mi, e = -i для суммы T,(xq,M,N,H) выполняются условия следствия 3. Согласно этому следствию, при x ^ q3+e+i>i6 = q5+i>i6 получим
T,(xq, M, N,H) < x exp ^-0, 7л/\а^ .
Оценка T2(xq, M, N). Вводя обозначение:
T,(h)= ^ V(mi) ^ V(m2) ^ 1 \T,(h)\ £ т3(h),
Mi<mi£2Mi M2<m2£2M2 U2<n2£2N2
mim2n2=h
сумму T2(xq, M, N) запишем в виде T2(xq, M, N )= 52 T,(h) 52 xq (hn - l), XUqi > YNqi.
XUr i <h£25YNr i Ui<n^2Ni
i i hn£x, (hn,q) = i
Разобьём в сумме Т2(Хд,МN) интервал суммирования Хи-1 < к £ 25УN-1 на интервалы вида Н < к £ Н1, где Н1 £ 2Н. Получим на не более пяти сумм вида
Т2(Хд,М^,Н) = ^2 т3(к) 52 Хд(кп - 1)-
И<Н£И1 Щ <п£т{п(хН-1,2М1)
(Нп,д) = 1
Случай 1. N ^ я1+86. Определяя к-1 из сравнения кк-1 = 1 (mod я), найдем
Т2(Хд,М^,Н) = ^2 т3(к)Хд(к) ^ Хд(п - 1к-1)■
И<Н£И1 и1<п£т{п(хН-1,2М1)
(п,ч) = 1
Переходя к оценке и применяя к сумме по п следствие 1 при х = Ш1п(хк-1, 2N1), у = т\п(хк-1, 2N1) - и1 £ 2^, п = 1к-1, имеем
T2(Xq, M, N, H) «£ тз(h)Nl exp (—2-2 /Щ «
H<h£Hi
(h,q)=2
« HlL3Nl exp (—2 1y/\nq^ «
« YN-1L3N1 exp (—2~ 1y^n~q^ « x exp (—0, 7^/\n~q)
Случай 2. я6 £ N1 < яз + б6. Воспользуемся следствием 3 при М = Н, М' = Н1, N = и1, N = ^, 9 = -2 + §8, тогда при х ^ я4+12+5^М6 = яI+6 имеем
T2(Xq, M, N,H) « x exp (— О, 7\/\n^ .
Случай 3. N1 < яI. Воспользовавшись соотношениями (21), (20) и условиями рассматриваемого случая, имеем
Y \ 2 Y1 (x exp (—0,6^\nq))2
x3
= x6 exp ^-0, Зл/ln q j ^ q36+206 exp ^-0, Зл/ln qj > q36 > q^.
Для суммы T2(xq,M,N,H) при M = H, M' = Hi, N' = Ui, N = Ni, e = ■i, выполняются условия следствия 2 . Согласно этому следствию при x ^
3 +——+i i6 1+i i6
q4 +12+i’iU = q6 +i,i°, получим
T2(xq, M, N,H) « x exp (—0, 7^/\nq^ .
Оценка Tl(xq, M, N). Определяя ш- 1 из сравнения ШШ- 1 = 1 (mod q), найдем
Tl(Xq,M,N) = ^(шl)Xq (ші) 52 Xq(n — іш-1).
M<m1£2M1 U2<n£ min(xm 2,2Ni)
(n,q) = 1
Из соотношений (21), (20) и условий рассматриваемого случая имеем
У X ехр (—0, %у/\п д) 5 + 96 ( г—\ 6
М1 ^ ТТ ^ -----------------—і--------- ^ д9 +5 6 ехр (—0, §\/\п д) > д3 +5 6.
И1 X3 ' '
1 I 8;
Воспользовавшись этим неравенством, применим к внутренней сумме по п след-
V
ствие 1 при X = тт^т 1, 2М]), у = тт^т1, 2М1) — и1 £ 2М1, п = ІШ-1.
Имеем
Т1(хя, И, N) С И1М1 ехр (—2 2л/Ыд^ С Xехр ^—0, 7л/\п^ .
Из полученных оценок Тк(хя, И, N), к = 1, 2, 3, ввиду (19), получим утверждение теоремы.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Виноградов И. М. Распределение квадратичных вычетов и невычетов вида р + к по простому модулю // Математический сборник. 1938. Т. 3, №45. С. 311 - 320.
2. Виноградов И. М. Уточнение метода оценки сумм с простыми числами // Известия АН СССР. Сер. Мат. 1943. Т. 7. С. 17 - 34.
3. Виноградов И. М. Новый подход к оценке суммы значений х(р + к) // Известия АН СССР. Сер. Мат. 1952. Т. 16. С. 197 - 210.
4. Виноградов И. М. Улучшение оценки для суммы значений х(р + к) // Известия АН СССР. Сер. Мат. 1953. Т. 17. С. 285 - 290.
5. Виноградов И. М. Оценка одной суммы, распространенной на простые числа арифметической прогрессии // Известия АН СССР. Сер. Мат. 1966. Т. 30. С. 481 - 496.
6. Карацуба А. А. Суммы характеров и первообразные корни в конечных полях // Доклады АН СССР. 1968. Т. 180. №6. С. 1287 - 1289.
7. Карацуба А. А. Об оценках сумм характеров // Известия АН СССР. Сер.
Мат. 1970. Т. 34. С. 20 - 30.
8. Карацуба А. А. Суммы характеров с простыми числами // Известия АН
СССР. Сер. Мат. 1970. Т. 34. С. 299 - 321.
9. Рахмонов З. Х. О распределении значений характеров Дирихле // УМН. 1986. Т. 41, №1. С. 201 - 202.
10. Рахмонов З. Х. Об опенке суммы характеров с простыми числами // ДАН Таджикский ССР. 1986. Т. 29, №1. С. 16 - 20.
11. Рахмонов З. Х. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения // Труды Математического института РАН. 1994. Т. 20T. С. 2S6 - 296.
12. Рахмонов З. Х. О распределении значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел // Доклады АН Республики Таджикистан. 2013. Т. 56, №1. C. 5 - 9.
13. Рахмонов З. Х. Распределение значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика 2013. Т. 13, вып. 4(2). С. 113 — 11T.
14. Дж. Б. Фридландер, K. Гонг, И. Е. Шпарлинский Суммы значений характеров на сдвинутых простых числах // Мат. заметки. 2010. Т. SS, вып. 4. С. 605 - 619.
15. Рахмонов З. Х. Теорема о среднем значении ф(x, x) и ее приложения // Известия РАН. Сер. Мат. 1993. Т. 5T, №4. С. 55 - T1.
16. Рахмонов З. Х. Теорема о среднем значении функций Чебышева // Известия РАН. Сер. Мат. 1994. Т. 5S, №3. С. 12T - 139.
1T. Виноградов А. И. О числах с малыми простыми делителями // ДАН СССР. 1956. Т. 109, №4. С. 6S3 - 6S6.
1S. Burgess D. A., The character sum estimate with r = З // J. London Math. Soc. 33 (19S6). 219 - 226.
19. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 19S3.
20. Марджанишвили К. К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР. 1939. Т. 22, №7. 391 - 393.
Институт математики Академии наук Республики Таджикистан.
Получено 24.04.2014
