CC BY
15
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №1-2_
МАТЕМАТИКА
удк 511.325
Д.Дж.Хокиев
ОЦЕНКА КОРОТКОЙ СУММЫ ЗНАЧЕНИЙ ХАРАКТЕРА ДИРИХЛЕ ПО СОСТАВНОМУ МОДУЛЮ НА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
СДВИНУТЫХ ЧИСЕЛ
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 06.02.201
1 + 8£
При у > D3 5 и (1,Л)=1 получена нетривиальная оценка сумм значений неглавного характера X по модулю D, порождённого примитивным характером х в последовательности п - I, х - у < п < х, (п,д)=1.
/С •
АН Республики Таджикистан
Ъджикистан З.Х.Рахмоновым 06.02.2016 г.)
оценка сумм значений неглавного характера оценка сумм значений неглавного характера
Ключевые слова: нетривиальная оценка, характер Дирихле, сдвинутые числа, короткая сумма
а > А • л У
ктер Дирихле, сдвинутые числа, коротка характеров.
Для неглавного характера х(п) по модулю D Д.Берджесс [1, 2] получил оценку
у JV
которая является нетривиальной при у
Всюду ниже будем считать, что D - достаточно большое натуральное число, X - неглавный
л й У • й
характер по модулю л, хд - примитивный характер, порожденный характером X; £ -
положительное сколь угодно малое постоянное число. При изучении закона распределения значений X на последовательностях сдвинутых простых чисел вида р — I, (I, Л) = 1 возникает задача альной оценки сумм вида
Тх)= X х(п—1)-
получения нетривиальной оце
Ранее сумма Т(х) в случае простого Л рассматривалась в работах [3, 4], а в случае составного Л -в работах [5-9].
Теорема 1. Пусть Л - достаточно большое натуральное число, х - неглавный характер по модулю Л, хч - примитивный характер, порождённый характером х, (I, Л) = 1, у < х и
1 8
-Н—£
у > Л3 5 ; тогда
x-y<n<x
(n,q )=1,
Адрес для корреспонденции: Хокиев Дониёр Джалилович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]
(1)
Следующее утверждение следует из доказанной теоремы при о = 0.6.
1 8 —I—£
Следствие 1.1. Пусть (I, D) = 1, у < х и у > D3 5 , тогда
А
Доказательство теоремы. Пусть , - произведение простых чисел, делящих D, но не
делящих числа д . Воспользовавшись определением числа , и свойством функции Мёбиуса :
тг л
Т (%) от неглавного характера % , переходим к примитивному характеру . Имеем
1 ^ "(8)Т % 8
Т % ,8) = 2 С, (п -1).
Разбивая сумму по 8 на две части, имеем
т (%) = 2 % (п -1 ) = ЕМ8)Т (%, 8),
х-у<п<х (п,д)=\,(п-1 ,д1)=1
(п,д)=1, п=1 (mod 8)
имеем
= 2 8 Т2(х)= 2
Т(х) = т1(х) i т2(х), ад = 2 К8)Т(хд,8), т2(%)= 2 м8)т(%,8).
8\ 8\ 8<ехр(ьш2)° ехр(ьш2)°<8
леммой:
,2 о
Имеем
а \ D й >ехр(1п D 2)°
Шх)\ < Е ^ЩТ(Х^)|< X
ехр(1п D 2)о<8
« У Е ^Ч + ) « уехР(-2"1 + Суехр.
лл„. о
°<8
ь ад.и
¿Л 9! ехр(1п D2)о'
Оценим теперь Т1(%). Имеем равенство:
№) = Е ^ Zq (nd -l).
S\qi d \q x-y<nd < x
S<exp(lnD2)" ndsl (m0d5)
Определяя число dsl из сравнения dd- = 1(modS) , напишем сравнение nd = l(mod S) в виде n = ld- (modS). Отсюда, представляя переменное суммирование n в виде n = ld— + mS, имеем
T(x) = Е ^(S)S^(d) Е Zq ((ldS + mS)d -1 ) =
S\q1 d \ q x-y <(ld- 1+mS)d < x
S<exp(ln D2)a
= E^(d) Е MS) Е A W +1 (dd- 1 -1)).
d\q -\q1 x-y-ldd-1 x-ldd
„ —-S < m < '
.....
-<exp(ln D2)" dd
1 -1 = Sk , где k = k(d, -) однозначно на
Представляя сравнение dd— 1 = 1(modд) в виде dd— 1 — 1 = дк , где к = к(а, д) однозначно находится для каждой пары d и д , получим
T(x)= EM(d)Xq (S) z M(S)T(xq ,S, d),
d\q g1
—= ,,i
Разбивая сумму T (z) на две
Tb
(z) = Е M(d)x(S)/ Е M(S)T(Xq ,S, d), _
M(S)T (Zq ,S, d).
Tn(x)= Е M(d )Z(S)
d \ q
exp(ln D2)"< d
щенки суммы T12(z)
S<exp(ln D2)"
Для оценки суммы Т12(х) воспользуемся тривиальной оценкой суммы Тп(х,д,d) и
12
леммой 1. Имеем
IT2(Z)I < Е
£y Е
exp
M'(d) ЕЕ "i(S)S+1J<
(lnD2)"<d S<exp(lnD2)"
d \ q d S\q1 S
exp(ln D2)"< d S<exp(ln D2)"
я\п. О
8ЧХ
8<ехр(1п О2)0
где
< у ехр [-Т1 а\пао) 1п £> + « у ехр а\пао) 1п Я
^ 1|8£ 2. Оценим теперь Ти (%) . Рассмотрим два случая: О12 < у < 0,5D и О3 5 < у < О12 .
,,0,50, _
= ^
<хч )=2%,
между значениями примитивных характеров и значениями сумм Гаус
Лемма 2. [11] Пусть % - примитивный характер по модулю д. Тогда
ч
)%д (п) = 2%,
т=1
Имеем
т (х, ,8,й) =
О •
словий 8
у <т< х а=тй +Ш (шоё д)
, (тта+\к ) = ; 2%,«
(та+1к >=2, (а>
2 1=
X -у1 <т<х , а=тй+1к (шоё д)
, )
2
=0» V д ) х1-у1<т<х1
Из условий 8 < ехр(1п П2)°, а < ехр(1п П2)° и у > д3+5£; 0.1 <о <0.9 следует, что последняя сумма по т непустая. Воспользовавшись для целых т1 и т2 равенством
Ау /К -«V
2
, <т<т.
. лtа (т2 - т1 +1)
sin
и переходя к оценкам
1 я-1
Iт(хч,8,а)| <2
t=0 (t ,я)=1
и имея в виду, что | т(%) |= д/-
а (т1 + т2) 2д
Я
найдём
sin-
я / а
1 а-1 д/а-1 •у/д t\=o t2=o
(д/аt\+t2,я)=\
. Sin—— VI 2 t=1 я/ Sin-
я / а я / а
Если q / d - нечётное число, то
q / d-1
q/d-1
q/d-1
с JM 2d 2 1 2d 2 q/d 1
Sin-
nt q / d
4q t=i 2t
o 1 , 2t +1
так как sinn«>2« при 0 <a< 1/ 2. Далее, воспользовавшись неравенством - <ln ——-, найдём
q / d-1
|T(Zq d)| Z (!n(2t +1) - ln(2t -1)
t=1
Если q / d - чётное число, то
№q Л d)| < ^ Z 1
ln q / d < V D ln D.
Jq í=1 I . ^^
* 1 km-
Следовательно,
T (z)|< Z
q.
(ln D2)")2
|<Vd l
Имеем
5<exp(ln D2fd <exP(ln D 2f
5 < y < D12 . Воспользуемся следую] аботы [12], где соответству]
1. ^ <ЧГ
Пемма 3. [12] Пусть <г - веществе
/> /V
воряющие условиям d \ q, (r, d) = 1, d <
=
M - N <n
<С у ехр crln^D).
Случай D3 +" < У < аналогично лемме 3 р;
(Г q) = 1.
Ле
удовлетворяющие ус. справедлива оценка
ьзуемся следующей леммой, которая доказывается соответствующая оценка получена при более сильном условии
нное число, М , N, d и ] - целые числа, < ехр(1пq2)ет, 0.1 <а<0.9. Тогда при N < qT2d ^
г (nd -r)
2 1 е 2
<N3q9 2d3.
(2)
Tn(x) = Z Z KS)T(x4,8, d),
d \ q 8\q.
d <exp(ln D2)a
8<exp(ln D2)a
T(xq,8,d)= Z xq(md+lk) xi= ^—, yL=,
X — yi<m< Xi d8 d d8
В случае (d, к) > 1 из соотношения
(md + 1к, q) = (d, к)
V v
f f md lk ^ ^
1 d, d8
(d, к) (d, k)
, q |> (d, к )>1
следует, что xq (md + 1к)) = 0 .
Для (d, к) = 1, воспользовавшись леммой 3 при
и имея в виду,что
получим
M = [xj,# = [xj—[X! — y] — 1, j, ^^
сТА'АГ
-{xi} + {xi— yi} —1 < yi= d,,
2 ,
<!r
Г(г, 8,d)<<
Следовательно,
ydSJ yS J
IT(Xq,8,d)|< y3D9+2 (exp(lnD2)ff)
8<exp(lnD2)CT d <exp(ln D2f
= y exp(—2ет—VlnffD
-<V ,<V '
|Tii(x)I /
< y exp(—2CT—1 alnffi
^A'
Теорема доказана. Теорема доказана.
character su
<§C у exp(-2 crln0^).
Поступило 06.10.2016 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Burgess D. A. On character sums and Z-series-Proc. London Math. Soc, 1962, v. 12, №3, pp. 193-206.
2. Burgess D. A. On character sums and Z-series Il.-Proc. London Math. Soc, 1963, v. 13, №3, pp. 524-536.
3. Виноградов И.М. Избранные труды. - М.:Изд-во АН СССР, 1952.
2
4. Карацуба А.А. Суммы характеров с простыми числами. - Известия АН СССР, сер. матем, 1970, т. 34, с. 299-321.
5. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле. - УМН, 1986, т. 41, №1, с. 201-202.
6. Рахмонов З.Х. Об оценке суммы характеров с простыми числами. - Доклады Академии наук Таджикской ССР, 1986, т. 29, №1, с. 16-20.
7. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения. - Труды Математического института РАН, 1994, т. 207, с. 286-296.
8. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле в последова- тельности сдвинутых простых чисел. - ДАН РТ, 2013, т. 56, №1, с. 5-9.
9. Фридландера Дж.Б., Гонг К., Шпарлинский И,Е. Суммы значений характеров на сдвинутых простых числах. - Матем. заметки, 2010, т. 88, в. 4, с. 605-619.
10. Рахмонов З.Х. Суммы характеров с простыми числами. - Чебышевский сборник, 2014, т. 15, в. 2(50), с. 73-100.
11. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-ое изд. - М.: Наука, 1983
12. Рахмонов З.Х. Распределение значений характеров Дирихле в последовател ости сдвинутых простых чисел. - Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Июрматика, 2013, т. 13, в. 4(2), с. 113-117.
Д.Ч,.Хок]
БАХОИ СУММАИ КУТОХИ ЦИМАТИ ХАРАКТЕРИ ДИРИХЛЕ АЗ РУИ МОДУЛИ АДАДИ ТАРКИБЙ ДАР ПАЙДАРПАИИ ЛАЩОНИДАШУДА
Институти математикам ба номи А. Чураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Хднгоми у > Л3 5 ва (I, Л) = 1 бах,ои гайритривиалии суммаи к,иматх,ои аз характери гайриасосй х аз руи модули Л , тавлидшудаи характери примитивй хч, дар пайдарпайии п — I х — у < п < х, (п, q) = 1 гирифта шудааст.
Калима^ои калиди: бауои гайритривиали, характери Дирихле, адад^ои лагцонидашуда, суммаи
кутоуи харак
• z -V V
D.J.K hokiev
STIMATION OF THE SUM OF
DIRICHLET CHARACTER VALUES ON
COMPOSITE MODULE IN THE SEQUENCE OF SHIFTED NUMBERS
ute of Mathe
r ▼
was obt ive characte
A.Dzhuraev Institute of Mathematics Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Nontrivial estimate was obtained for sums of values of non-principal character % modulo D,
1 + S£
generated by the primitive character of %q, in the sequence of n - l, x - y < n < x, (n,q)=l for y > D3 5 and
(l,D)=1.
Key words: Nontrivial estimation, Dirichlet character, shifted number, short characters sum.
