CC BY
39
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2013, том 56, №1_________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЗНАЧЕНИЙ ХАРАКТЕРОВ ДИРИХЛЕ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СДВИНУТЫХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан
Получена новая оценка суммы значений примитивного характера Дирихле по модулю д на
5+є
последовательности сдвинутых простых чисел р — I, (I, д) = 1, р < х, нетривиальная при х > д6 .
Это уточняет оценку Дж.Б.Фридландера, К.Гонга, И.Е.Шпарлинского, нетривиальную лишь при
^ 8+е х > д9 .
Ключевые слова: характер Дирихле - сдвинутые простые числа - короткая сумма характеров -метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова
Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одна из них касается распределения значений неглавного характера на последовательностях сдвинутых простых чисел. В [1,2] он доказал: если д - простое нечётное, (I, д) = 1, %(а) - неглавный характер по модулю д, тогда
T(х) = ^x(p—1)« x1+Є . I-+-+x~
p<x [yq x
v
Л+Є
(1)
При x » q эта оценка нетривиальна и из неё следует асимптотическая формула для числа квадратичных вычетов (невычетов) mod q вида p — l, p < x .
Затем И.М.Виноградов [3-5] получил нетривиальную оценку T(%) при x > q°’15+s, q - простое. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что T(%) можно записать в виде суммы по нулям соответствующей L - функции Дирихле; тогда в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для T(%) получится нетривиальная оценка, но только при x > q1+s .
В 1968 г. А.А.Карацуба [6,7] нашел метод, который позволил ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени. В работе [8] он с помощью развития этого метода в соединении с методом И.М.Виноградова доказал: если q - простое,
—+S
%(a) - неглавный характер по модулю q, x > q2 , тогда
T(х) « xq
—L- Є2
1024 Є
Адрес для корреспондентции: Рахмонов Зарулло Хусенович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]
Автор данной статьи ранее [9-11] обобщил оценку (1) на случай составного модуля и доказал: пусть В - достаточно большое натуральное число, % - неглавный характер по модулю В, % -примитивный характер, порожденный характером %, тогда
Т(х) < х 1п х
( п—:------- л
5
(2)
где д - произведение простых чисел, делящих число В , но не делящих число д .
Если характер % совпадает со своим порождающим примитивным характером %, то оценка (2) принимает вид
Т(хд) < х 1п5 х 1+д + х-‘ ,
|\ д х \
и она нетривиальна при х > д(1п д)13.
В 2010 г. Дж.Б.Фридландер, К.Гонг, И.Е.Шпарлинский [12] для составного д показали, что нетривиальная оценка суммы Т(х ) существует, когда х - длина суммы по порядку меньше д . Они
8 + £
доказали: для примитивного характера хч и всякого £ > 0 существует 5 > 0, что для всех х > д9 имеет место оценка
Т (х9) << хд-5,
В этой работе мы сформулируем теорему об оценке Т(х ) для составного д, которая является нетривиальной на более широком диапазоне.
Теорема 1. Пусть д - достаточно большое натуральное число, хч - примитивный характер по модулю д, (Ї, д) = 1, £ - положительное сколь угодно малое постоянное число, х > д6+£. Тогда имеем
Т X)=Ех(Р—1) << х ехР [—Т1^ !■
и q / ^ Л q
р< X
Доказательство теоремы 1 проводится методом оценок суммы с простыми числами И.М.Виноградова в сочетании с методами работы А.А.Карацубы [8] об оценке “короткой” суммы Т(% ) для простого д, работ автора [10,11,13,14] в которых изучаются “длинные” суммы Т(%) и
средние значения функций Чебышева \у(х,%) по всем характерам Дирихле. В доказательстве мы также используем основные результаты работ А.И.Виноградова [15] и Д.А.Берджесса [16]. Основные утверждения, позволившие получить новую оценку Т(% ), содержатся в леммах 1-7, которые в этой статье приводим без доказательства.
Лемма і. Пусть ju(d) — функция Мебиуса, с — фиксированное число, 0,1 <с < 0,9, тогда
^ M\d)
d
d >exp(In D2)c
d\D
n2
« exp (—2c 1cInc D).
Лемма 2. Пусть K - число решений сравнения:
(nd — ф)у = (nxd — ф)у (mod q),
M < n, n< M + N, 1 < у, у < Y, (у, q) = 1, (у1, q) = 1,
где (ф, q) = 1, d — делитель числа q, 2NY < q, d < Y, p(qd ', Y) — число делителей P числа qd 1, удовлетворяющие условиям qY 1 < P < qd 1 и (fi, d) = 1. Тогда справедливо соотношение:
2Y2 2Y2 . . , 4 2(NY)1+5
- +—T + —TP(-qd ,Y) + ,
d d d
где 5 - сколь угодно малое положительное число.
Лемма 3. Пусть (ц, д) = 1, у < х, х < д, со(д) — число различных простых делителей числа д , тогда
Х х,(n—ф) <2<а(q)4q In -.
x—y<n<x (n - )=1
Лемма 4. Пусть и — вещественное число, М, N, й и Т] — целые числа, удовлетворяющие условиям (т,д) = 1, N < д12й 2, 0,1 <с < 0,9, й < ехр(1пд2)ст, тогда
ж—^ 2 1+5 2
2 %д (пй~ т) < N 3 д9 2 й 3,
M <n<M+N
где 5 - сколь угодно малое положительное число.
Лемма 5. Пусть (т, д) = 1, 5 - сколь угодно малое положительное число, у > д3+5<5, тогда
2 %д (п~ Т) « У ехР 1, ^>/1Пд
x—укп^ (n,q )=1
Лемма 6. Пусть М, М’, N, N' и Т] - целые числа, удовлетворяющие условиям (т, д) = 1, М’ < 2М, N' < 2N, N < д6, и Ьп - функции натурального аргумента такие, что
Х I ат \Г«ML"", г = 1,2; \ bn \« B.
M < m<M'
Тогда справедлива оценка
ж—, ж—, 5 1 1.1^ 4 д+^2+1
2 2 ЬZ(mn — l) < 6N2q6 6 L 6 .
M <m<M' N<n<min( xm-1,2 N)
(mn,q )=1
Следствие 1. Пусть M, M’, N, N' и v — целые числа, удовлетворяющие условиям
(v, q)=1, M ’ < 2M, N' < 2N, qe < N < q6, ttm и bn — функции натурального аргумента такие,
что | am |< т5 (m), | bn |< 1. Тогда при x > q1 24+1,1<у справедлива оценка
2 О» 2 bnx(mn —1) < x exp [^—1,
M <m<2M N<n<min( xm_1,2 N)
(mn ,q )=1
Лемма 7. Пусть M, M’, N, N' и v — целые числа, удовлетворяющие условиям (v, q) = 1, M’ < 2M, N' < 2N, am и bn — функции натурального аргумента такие, что
2 | ат Г<<MLpa, а = 1,2; | bn |<< B.
M < m<M'
Тогда справедлива оценка
X—\ X—\ I 3 11 3 1 ^ 2 c1+c2+1 1£
2 2 bnx(mn — l) < BIM4N2q4 + M4Nq8 L 4 q4 .
M <m <M, N <n <min( xm-1, 2 N)
(mn,q )=1
Следствие 1. Пусть M, M’, N, N' и v — целые числа, удовлетворяющие условиям
(v, q)=1, m ’ < 2M, N' < 2N, q4 4 < N < q4+4 , am и bn — функции натурального аргумента та-
кие, что | am |< r5(m), | bn |< 1. Тогда при x > q4+в+1,15 справедлива оценка
2 am 2 bnx(mn —1) << x exP [—1 ^Vinq).
M <m<M' N<n<min( xm_1,2 N)
(mn,q )=1
Поступило 15.11.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Виноградов И.М. - Математический сборник, 1938, т.3, №45, с.311-320.
2. Виноградов И.М. - Известия АН СССР, сер. матем., 1943, т.7, с.17-34.
3. Виноградов И.М. - Известия АН СССР, сер. матем., 1952, т.16, с.197-210.
4. Виноградов И.М. - Известия АН СССР, сер. матем., 1953, т.17, с.285-290.
5. Виноградов И.М. - Известия АН СССР, сер. матем., 1966, т.30, с.481-496.
6. Карацуба А.А. - ДАН СССР, 1968, т.180, №6, с.1287-1289.
7. Карацуба А.А. - Известия АН СССР, сер. матем., 1970, т.34, с.20-30.
8. Карацуба А.А. - Известия АН СССР, сер. матем., 1970, т.34, с. 299-321.
9. Рахмонов З.Х. - Успехи математических наук, 1986, т.41, 1, с.201-202.
10. Рахмонов З.Х. - ДАН ТаджССР, 1986, т.29, №1, с.16-20.
11. Рахмонов З.Х. - Труды Математического института РАН, 1994, т.207, с.286-296.
12. Фридландер Дж.Б., Гонг K., Шпарлинский И.Е. - Математические заметки, 2010, т.88, в.4, с.605-619.
13. Рахмонов З.Х. - Известия РАН, сер. матем., 1993, т.57, №4, с.55-71.
14. Рахмонов З.Х. - Известия РАН, сер. матем., 1994, т.58, №3, с.127-139.
15. Виноградов А.И. - ДАН СССР, 1956, т.109, №4, с.683-686.
16. Burgess D.A. — J. London Math. Soc. 33 (1986), pp. 219-226.
ЗД.Рахдоонов
ОИДИ ТАЦСИМШАВИИ ЦИМАТ^ОИ ХАРАКТЕРИ ДИРИХЛЕ ДАР ПАЙПАРПАИ АДАД^ОИ СОДДАИ ЛАFЧOНИДАШУДА
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Барои суммаи кдматхри характери примитивии Дирихле аз руи модули q, дар пайпар-паи ададх,ои соддаи “лагчонидашудаи” p — l, (l, q) = 1, p < x , бах,ои нав гирифта шудааст, ки
З+є _
хднгоми x > q6 гайритривиали мебошад. Ин бах,ои Ч,.Б.Фридландер, К.Гонг,
— + є
И.Е.Шпарлинскийро, ки танх,о хднгоми x > q9 гайритривиалИ мебошад, аник мекунад.
Калима^ои калиди: характери Дирихле - ададуои соддаи лагцонидашуда - суммаи кутоуи характерно - методи бауои суммауои тригонометрії бо ададуои содда.
Z.Kh.Rakhmonov
DISTRIBUTION OF VALUES OF DIRICHLET CHARACTERS IN THE SEQUENCE OF SHIFTED PRIMES
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan We obtain a new bound for sums of a primitive character Dirichlet modulo an integer q at shifted
—+ є
primes p — l, (l, q) = 1 a over primes p < x . Our bound is nontrivial starting with x > q6 . This extends
—+ є
the range of the bound of J.B.Friedlander, K.Gong, I.E.Shparlinskii that is nontrivial for x > q9 .
Key words: Dirichlet character — shifted primes — of short character sums — Vinogradov’s method for estimating trigonometric sums with prime numbers.
