CC BY
21
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №9_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Академик АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов
ОБ ОЦЕНКЕ СУММЫ ЗНАЧЕНИЙ НЕГЛАВНЫХ ХАРАКТЕРОВ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СДВИНУТЫХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
публики Тадж
актера у
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
i
—нг ^ 2
При х > D2 для суммы значений неглавного характера у в последовал- и
сдвинутых простых чисел получена нетривиальная оценка вида
если (I, D) = 1 ид числом, свободным от кубов.
Ключевые слова: характер Дирихле, сдвинутые простые тригонометрические суммы с простыми числами.
ХА(//^(// -0 < *ехр(-0,,
■ден,
ла,
V
модуль примитивного характера, порожденного .
' Shrng,
ie числа, короткая с) ш ИМ
характером х,
является
Off
умма характеров,
Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одна из них касается распределения
тых простых чисел. В 1938 г. он [1]
значении неглавного характера на последовательностях сдвинуты доказал: если д - простое неч<
адов [2
] уточнил эту оценку, ,
В 1943 г. И.М.Виноградов L J _ _
и х
ечётное, (l, q) = 1, х(а) _ неглавный хара
4J \/ ЛУ
актер по модулю q, тогда
При x
квад
а эта оценка нетривиальна и из е
Ч
— + — + x
(1)
_____ __ ___ неё следует асимптотическая формула для числа
• \
od д вида р -1, р < х .
0,75+г
олучил нетривиальную оценку Т1 (у) при х > д ' , где д простое число [3]. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что Т1(у) можно записать в виде суммы, по нулям соответствующей Ь - функции Дирихле. Тогда, в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для Т1 (у), получится нетривиальная оценка, но только при х > д1+е.
Адрес для корреспонденции: Рахмонов Зарулло Хусенович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]
Казалось, что получилось то, чего не может быть. Ю.В.Линник [4] в 1971 г. писал по этому поводу: «Весьма важны исследования И.М.Виноградова в области асимптотики характеров Дирихле. Уже в 1952 г. была получена оценка суммы характеров Дирихле от сдвинутых простых чисел Т (х), которая давала степенное понижение по сравнению с X уже при х > q0>75+£. Эта
оценка имеет принципиальное значение, так как по глубине превосходит то, что дает непосредственное применение расширений гипотезы Римана, и, по-видимому, в этом направлении является истиной более глубокой, чем указанная гипотеза (если гипотеза верна). Недавно эту оценку удалось улучшить А.А.Карацубе.»
А.А.Карацуба в 1968 г. разработал метод, который позволил ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени [5]. В 1970 г. с помощью развития этого метода в соединении с методом И.М.Виноградова он доказал следующее
утверждение [6]: если д - простое, х(а) - неглавный характер по модулю д, X > д2
арактер по модул
нахожден
А.А.Карацуба применил эти оценки для нахождения квадратичных вычетов и невычетов вида р + к и кол: прогрессии с растущей разностью [7
Автор обобщил оценку (1) на случай составнс - 10]: пусть D - достаточно большое натура
порождённый характером
тотических формул для количества ства чисел вида р(р' + к) в арифметической
X
примитивный характ
делящих D, но не делящи.
альное ный харак
©д, тогда
казал следующее утверждение [8 авный характер по модулю D,
произведение простых чисел,
1 Л :(д,) + х Ч(д,) .
)
где
а
эименяя эту оценку и «плотностную» теорему д]
/<Г> / > ЛО
С(Д I)
е а - нечётное натуральное число и
*,,
%+/ . к = 1,2,..., представимое в виде
для нулей Ь -рядов Дирихле, он [8,11] также доказал
б
—не <£5 ,
ОД /)
G( а, I) - наименьшее число в арифметической прогрессии
= 1,2,..., представимое в виде суммы двух простых (гольдбаховы числа). В 2010 г. Дж.Б.Фридландер, К.Гонг, И.Е.Шпарлинский для составного д показали, что нетривиальная оценка суммы Т(Хд) существует, когда X - длина суммы - по порядку меньше д [12]. Они доказали следующее: для примитивного характера х9 и всякого £ >0 существует 5 >0,
8
—£ »9
что для всех х > д9 имеет место оценка
'!\(ХЧ)<Щ \
Автор в 2013 г. доказал следующую теорему [13-15]: если д - достаточно большое натуральное число, хч - примитивный характер по модулю д, (I, д) = 1, £ - положительное, сколь
5
-+£
угодно малое постоянное число, х > д6 , тогда
Л
Теорема 1. Пусть а - достаточно большое натуральное число, х - неглавный характер по
порожденн
модулю а, хд - примитивный характер по модулю д , порожденный характером х , д - свободное
-3 ' 1+£ •
от кубов, (I, О) = 1, £ < 10 - фиксированное положительное число. Тогда при х > а2 имеем
[исло. Тогда при ,6лДПО ),
Пх) = «хехр(-0,6>/кГо),
У
где постоянная под знаком зависит только от £ .
Теорема 1 является обобщением работы [16], и её доказательство проводится методом оценок сумм с простыми числами И.М.Виноградова в сочетании с методами работы А.А.Карацубы [6] об
оценке суММь, ^) для „ д, Ра6оТЫ 3„_ [,] о5 « суММы Т^), Хд -
а"ное.
ать, что о - достаточ]
х, I - натуральные числа, (I, О) = 1, х - неглавный характер по модулю О, хд - примитивный характер по модулю д, порожденный характером х, д - число, свободное от кубов, д1 -произведение простых чисел, делящих О, но не делящих числа д, V - делитель числа д1, следовательно, (д, дх) = 1, & = 1п О, & =1п д, 5< 10-4 - фиксированное положительное число,
примитивный характер по модулю д, д - соста
Обозначения. Далее всюду будем считать, что О - достаточно большое натуральное число,
с - положительное фиксированное число не всё время одно и то же, с(д) - число различных простых делителей числа д .
вные утверждения, позволившие получить новую оценку Т(х), содержатся в леммах 2, 3, 4 соответственно, в которых для примитивного характера Дирихле хд, д - число, свободное от кубов получены нетривиальные оценки:
1 3 ,
У —+—5
^ 2 ----отких сум
при — > д42 , коротких сумм от последовательности сдвинутых чисел, принадлежащих v
арифметической прогрессии с разностью V и начальным членом г] вида
¿У (и,]^) = 2 хч (п-гХ д) = 1 ^ ехРл/2&;
и -У<п<и (п,д)=1,пщ (modv)
• коротких двойных сумм от сдвинутых произведении двух чисел, принадлежащих арифметической прогрессии с разностью V и начальным членом ц вида
К = Е РШт Е ЬпУд(тП -1),
и <"<т'"( *т-\2м)
(п, д)=1, тп=1 (modv)
-ч
имеющих сумму, длина которой превосходит квадратный корень от модуля характера;
• коротких двойных сумм от сдвинутых произведений двух чисел, принадлежащих арифметической прогрессии с разностью V и начальным членом ц вида
К = Е ат Е у (тп -1),
М<т<2Ы и<п<тт(хт-1,2^) (т'д) 1 (п,д)=\,тп=1 (modv)
имеющих не очень короткую сплошную сумму. Также они содержатся и в лемме 1, с помощью которой доказывается, что вклад слагаемых, соответствующих большим делителям V числа д1, является величиной бесконечно малой по отношению к слагаемым, соответствующих малым делителям V. Лемма 1. Пусть д \ О, тогда
жЯу ^У
Лемма 2. Пусть (ц, д) = 1, — > д4 2 , у < д, О2 < д < О и v< ехр>/2^ , тогда
(п,д)=1,п=ц (modv)
______а 3. Пусть М , N и и - целые числа,
лГ/ /Ч/4
аргумента, | ат |< тс (т), | Ьп |< В, в - фиксированное число и 0 < в < 25. Тогда при М > д2
Лемма 3. Пусть М , N и и - целые числа, N < и < 2N, ат и Ьп функции натурального
1+25+35О
Е Е ¿„уД^"/)«— ГЖехр(-0,7л/£).
-1 V
т1п( хт ,2 N) п, д) = 1, тп = I(mod V)
Лемма 4. Пусть М , N и и - целые числа, ат - функция натурального аргумента,
1 1 3
-+55+75(9 N —+—5
| ат |< тс (т), 9 - фиксированное число и 0<9< 25. Тогда при х > д2 ,д< — < д42,
v
гУ<и<тт(л:т \2ЛГ) ^
(тп, д) = 1, тп = I(mod V)
Поступило 20.07.2017г.
П
ЛИТЕРАТУРА
1. Виноградов И.М. Распределение квадратичных вычетов и невычетов вида р+к по простому модулю. - Математический сборник, 1938, т. 3, №45, с. 311-320.
2. Виноградов И.М. Уточнение метода оценки сумм с простыми числами. - Изв. АН СССР. Сер. матем., 1943, т. 7, с. 17-34.
3. Виноградов И.М. Новый подход к оценке суммы значений х(Р + к). - Изв. АН СССР. Сер. матем., 1952, т. 16, с. 197-210.
4. Линник Ю.В. Новейшие работы И.М.Виноградова. - Тр. МИАН, 1973, т. 132, с. 27-29.
5. Карацуба А.А. Суммы характеров и первообразные корни в конечных полях. - ДАН СССР, 1968, т. 180, №6, с. 1287-1289.
6. Карацуба А.А. Суммы характеров с простыми числами. - Изв. АН СССР. Сер. матем, 1970, т. 34, с. 299-321.
7. Карацуба А.А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях. - ДАН СССР, 1970, т. 192, №4, с. 724-727.
8. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле. - УМН, 1986, т. 41, №1, с. 201-202.
9. Рахмонов З.Х. Об оценке суммы характеров с простыми числами. - ДАН Таджикской ССР, 1986, т. 29, №1, с. 16-20.
.распределении значений
6-296.
10. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения. - Тр. МИАН, 1994, т. 207, с. 286 __ ..
11. Рахмонов З.Х. О наименьшем гольдбаховом числе в арифметической прогрессии. - Изв. АН Таджикской ССР. Отд. физико-математических и геолого-химических наук, 1986, №2, с. 103-106.
12. Фридландера Дж.Б., Гонг К., Шпарлинский И.Е. Суммы значений характеров на сдвинутых простых числах. - Матем. заметки, 2010, т. 88, в. 4, с. 605-619.
13. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел. - ДАН РТ, 2013, т. 56, №1, с. 5-9.
14. Рахмонов З.Х. Распределение значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел. - Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика, 2013, т. 13, в. 4(2), с. 113-117.
15. Рахмонов З.Х. Суммы характеров с простыми числами. - Чебышевский сборник, 2014, т. 15, в. 2(50), с. 73-100.
16. Рахмонов З.Х., Мирзорахимов Ш.Х. Суммы характеров по модулю свободного от кубов на сдвинутых простых. - Чебышевский сборник, т. 17, в. 1. с. 201-216.
<v
а бах,ои намуди
ЗД.Рахмонов
ОИДИ БАХОИ СУММАИ ЦИМАТХОИ ХАРАКТЕРИ ГАЙРИАС____
ДАР ПАЙДАРПАИ АДАДХОИ СОДДАИ ЛАГЖОНИДАШУДА
Институти математикаи ба номи А. Чураеви Академияи илм^ои Цумх^урии Тоцикистон
1+S
Хднгоми x > D2 будан барои суммаи киматдои характери гайриасосии х дар пайдарпаи ададдои соддаи лагжонидашуда бадои наму
гирифта шудааст, агар (l, D) = 1 ва q - модули характери примитивии аз характери х тавлидшуда адади из куб озод бошад.
Калима^ои калиди: характери Дирихле, ададдои соддаи лагжонидашуда, суммаи кутоуи харакатуо, суммаи тригонометри бо ададдои содда.
Z.Kh.Rakhmonov
ABOUT ESTIMATION OF THE SUM THE VALUES OF DIRICHLET CHARACTER IN A SEQUENCE OF SHIFTED PRIMES
• V 7
Vr _ Y \>
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
The non-trivial estimate of the form
a5V > A '
is been obtained for the sum of the values
has been obtained for the sum of the values of non-principal character x over the sequence of shifted
primes, when x > D2 if (/, D) = 1 and q, which denotes the modulo of primitive character induced by character % , is a cube-free number.
Key words: Dirichlet character, shifted primes, short sums of characters, exponential sums over primes.
