CC BY
31
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №5_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, Ш.Х.Мирзорахимов
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЗНАЧЕНИЙ ХАРАКТЕРОВ ДИРИХЛЕ ПО СВОБОДНОМУ ОТ КУБОВ МОДУЛЮ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СДВИНУТЫХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан
Получена новая оценка суммы значений примитивного характера Дирихле по модулю д, д -число, свободное от кубов на последовательности сдвинутых простых чисел р — /, (/, д) = 1, р < х,
1+Е
нетривиальная при х > д2 .
Ключевые слова: характер Дирихле - сдвинутые простые числа - число свободное от кубов - тригонометрические суммы с простыми числами.
Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одна из них касается распределения значений неглавного характера на последовательностях сдвинутых простых чисел. В 1938 г. он доказал [1,2]: если д — простое нечётное, (/,д) = 1, х(а) - неглавный характер по модулю д, тогда
T (х) = Zz(P -i)« НI
р<Х у \ %
v
,1+г
1 а
- + 6 . (1)
q х
При х » q эта оценка нетривиальна и из неё следует асимптотическая формула для числа квадратичных вычетов (невычетов) mod q вида p — l, p < x . Затем И.М.Виноградов [3 - 5] получил нетривиальную оценку T(х) при x > q°'15+Е, q — простое. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что T (х) можно записать в виде суммы, по нулям соответствующей L — функции Дирихле; тогда в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для T(х) получится нетривиальная оценка, но только при x > qUe . В 1970 г. А.А.Карацуба [6, 7] получил новую оценку
T(х), нетривиальную уже при x > q0'5+е .
В 1986 г. З.Х.Рахмонов [8-10] обобщил оценку (1) на случай составного модуля и доказал: пусть D - достаточно большое натуральное число, х — неглавный характер по модулю D, хч -
примитивный характер, порожденный характером х, тогда
Адрес для корреспонденции: Рахмонов Зарулло Хусенович, Мирзорахимов Шерали Хусейнбойевич. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: zarullo_r@mail.ru; smirzorakhimov@mail.ru
(
5
Т(х) < х 1п5 х
11+^т2(д1) + х^тСя) \ д1 =П Руд х ) р,в
РЧ
(2)
Если характер х совпадает со своим порождающим примитивным характером хч, то оценка (2) нетривиальна при х > д(1п д)1 3. Дж.Б.Фридландер, К.Гонг, И.Е.Шпарлинский [11] для составного д получили нетривиальную оценку Т(х ) при х > д9+£. В [12 - 14] для составного д доказана нетривиальная оценка Т(х ) при х > д6 .
В этой работе для модулей д, являющихся свободными от кубов числами, получена новая
1+£
оценка Т(х ), нетривиальная при х > д2 .
Теорема. Пусть д - достаточно большое натуральное число свободное от кубов, хч - примитивный характер по модулю д, (I, д) = 1, £ — положительное сколь угодно малое постоянное
1+£
число, & = 1п д, х > д2 . Тогда имеем
Пхд) = Лхд(Р~0 « хехр[->/&\
Р< х
Схема доказательства. Не ограничивая общности будем считать, что х = д2 £ , £ = 8 + . Поступая аналогично как в работе [14], имеем
з
т(Хд)« &6Л тах I тк(хчМ,Ю | к=1
тЛхдМ,Ю = Л Л Кщ) Л ••• Л
М1<т1<2М1 Мк<тк<2Мк (3) 111 <«¡<2^ ик<пк<2Ык
т\" ■ -ЩЩ (ту ■щщ ■ - -щ ,д)=1
М1>М2>--->Мк, Л^ >Л^2 NJ<UJ<2NJ. (3)
Вводим следующие обозначения:
ПММ =У, ПМА = Х, У < Х < х, М, < х3
,=1 ,=1
и будем предполагать далее, что
У > х ехр[-1,24& I (4)
так как в противном случае, оценивая Т (х?, М, N) тривиально, будем иметь
Тк{хд,М,Щ<^ Л (// К< <?'" 1 ехр 1. «с х& " ехр ¿Р .
к
X <я<2" У
Суммы Т (Х?, М, N), к = 1,2,3 оцениваются почти одинаково. Остановимся на оценке суммы Т (Хч,М, N) и рассмотрим следующие возможные случаи значений параметра N:
1+зс -1 1+зс -1
1. N > ; 2. д12 < N < д~413; 3. N < д12.
Для рассмотрений случаев 1 и 2 сумму Т (Хч, М, N3 несколько преобразуем и запишем её в
виде
Тз(Хд, М, N) = X ак X Хд (кп — /), ы<г5(й), ОД-1 > И^"1,
хи—1<к<25 7Л/—1 и1<п<2 N1
кп<х, (кпд)=1
и интервал суммирования Хих 1 < к < 25 1 разобьём на интервалы вида Н < к < 2Н . Получим не более пяти сумм вида
Тз(Хд,М,N,Н) = X ак X Хд(кп — /).
Н <к<2 Н и <п<шт( хк 1,2 N1)
(кп,д)=1
Случай 1. N > q4+2 • Определяя к-1 из сравнения kk? 1 = l(mod q), найдём Tз(Xq,M,N,Я) = X aaq(к) X Xq(n-Ik—1).
H <k<2H U1 <n<min( xk 1,2 N1)
(n,q )=1
Переходя к оценке, находим
^ ,M, N, Я)|< X Г5(к)
H<k<2H (k q )=1
X Xq (n - Ikq1)
(n ,9 )=1
Применяя к сумме по п следствие 1.1 работы [15] при 77 = /к—, х = шт( хк 1,2И1), у = шт(хк1,2^) — и < N, имеем
Т3(хд,М,Ю « X ^(ад ехр-1,5\ « ехр-1,5\ «
H<h<2H ( k )=1
« ) .Y jgr.Y e\p 1.5>/]F «xSf e\p 1.5>/]F «.vexp I.WjF .
Случай 2. д1'2 < N < д4+3<5. Полагая в сумме Тъ (,М,N,Н) Ъи = 0 при N < п < и а
Ъп = 1 при и < п < шт(хк \ 2^) , представим её в виде
Тз(Хд,М,N,Н) = X ак X ЪпХд(кп — /)
Я <k<2H N1 <n<min( xk 1,2 N1) (kn,q )=1
и воспользуемся теоремой 1 работы [16] при М = Н , N = N и в = -Т, тогда при х > д ^ имеем
U1 <n<min( xk ,2 N1)
Г3(г ,М,К,Я)« *ехр(Ч5>^1.
13\А д
Случай 3. N < 412 . Сумму Тъ ,М,Н) преобразуем и запишем её в виде:
Тъ(хч,М,Н) = X Е Ж"1)Хд(Нт—1) Iач \<г5(Н).
ХМ_ 1 <Н<25 УМ- 1 М <т-2М1
Нт<х,( Нт,д )=1
Разобьём интервал суммирования ХМ^— 1 < Н < 25УМ^_ 1 на интервалы вида Н < Н < 2Н . Получим не более пяти сумм вида
Т3(Хд,М,N,Н) = Е ан Е М(т)Хя(Нт—1).
Н <Н< 2Н М1 <и<ш1п( хН 1,2М1)
(Нт,д)=1
Воспользовавшись соотношениями (3), (4) и условиями рассматриваемого случая, имеем
М > (МММз)у =
( у V У^ |х ехр Г—1,2^/L'
> — >
у 1 |хехр
NN2 N3) N N
'зу
1 1+.£+116 1+.£+116__1 Х+.£+116 1 __8-
= _ . д* 3 > д« 3 ^ I2 = д12 3 ^, М; < ХУ = д 1 *.
Отсюда следует, что при М = Н , N = Мх, в = -¡^ для суммы Т ((,М, N, Н) выполняются условия теоремы 1 работы [16]. Согласно этой теореме, при х > д получим
Т3(ХдМ^,Н)«хехр(-1,5>/^).
Поступило 22.04.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Виноградов И.М. Распределение квадратичных вычетов и невычетов вида р+к по простому модулю. - Математический сб., 1938, т. 3, №45, с. 311-320.
2. Виноградов И.М. Уточнение метода оценки сумм с простыми числами. - Известия АН СССР, сер. матем. 1943, т. 7, с. 17-34.
3. Виноградов И.М. Новый подход к оценке суммы значений xiP+k)■ - Известия АН СССР, сер. матем. 1952, т. 16, с. 197-210.
4. Виноградов И.М. Улучшение оценки для суммы значений xiP+k)■ - Известия АН СССР, сер. матем, 1953, т. 17, с. 285-290.
5. Виноградов И.М. Оценка одной суммы, распространенной на простые числа арифметической прогрессии. - Известия АН СССР, сер. матем, 1966, т. 30, с. 481-496.
6. Карацуба А.А. О суммах характеров с простыми числами. - ДАН СССР, 1970, т. 190, №3, с. 517-518.
7. Карацуба А.А. Суммы характеров с простыми числами. - Известия АН СССР, сер. матем. 1970, т. 34. с. 299-321.
8. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле. - УМН, 1986, т. 41, №1, с.201-202.
9. Рахмонов З.Х. Об опенке суммы характеров с простыми числами. - ДАН ТаджССР, 1986, т. 29, №1, с. 16-20.
10. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения. - Труды Математического института РАН, 1994, т. 207, с. 286-296.
11. Фридландер Дж.Б., Гонг K., Шпарлинский И.Е. Суммы значений характеров на сдвинутых простых числах. - Матем. заметки, 2010, т. 88, в. 4, с. 605-619.
12. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел. - ДАН РТ, 2013, т. 56, №1, с. 5-9.
13. Рахмонов З.Х. Распределение значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел. - Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2013, т. 13, в. 4(2), с. 113—117.
14. Рахмонов З.Х. Суммы характеров с простыми числами. - Чебышевский сборник, 2014, т. 15, в. 2(50), с. 73-100.
15. Мирзорахимов Ш.Х. Оценка короткой суммы значений характера Дирихле по модулю, свободному от кубов на последовательности сдвинутых простых чисел . — ДАН РТ, 2015, т. 58, №4, с. 273278.
16. Мирзорахимов Ш.Х. Короткая двойная сумма значений характеров Дирихле от сдвинутых произведений двух чисел. - ДАН РТ, 2015, т. 58, №3, с. 186-191.
ЗД.Рах,монов, ШД.Мирзорахимов ОИДИ ТАЦСИМШАВИИ ЦИМАТ^ОИ ХАРАКТЕРИ ДИРИХЛЕ АЗ РУИ МОДУЛИ АЗ КУБ ОЗОД ДАР ПАЙДАРПАИ АДАД^ОИ СОДДАИ
ЛАГЖОНИДА ШУДА
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Барои суммаи кдматх,ои характери примитивии Дирихле аз руи модули q, q адади аз
куб озодбуда дар пайдарпаи ададх,ои соддаи лагжонидашудаи p -1, (q, l) = 1 p < q, бах,ои нав
i+e _
гирифта шудааст, ки хднгоми x > q2 гайритривиали мебошад.
Калима^ои калиди: характери Дирихле - ададуои соддаи лагжонидашуда - адади аз куб озод -
методи бауои суммауои тригонометрй бо ададуои содда.
Z.Kh.Rakhmonov, SH.Kh.Mirzorakhimov ABOUT DISTRIBUTION OF VALUES OF DIRICHLET CHARACTER SUMS BY CUBEFREE MODULO IN THE SEQUENCE OF SHIFTED PRIMES
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan The new estimate for the sum of the values of a primitive Dirichlet character modulo on cubefree integer q has been obtained over the sequence of shifted primes p -1, (/, q) = 1, p < x which is nontrivial
i+s
for x > q2 .
Key words: Dirichlet character - shifted primes - the cubfree numbers - exponential sums over primes.
