CC BY
28
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №4_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Ш.Х.Мирзорахимов
КОРОТКАЯ ДВОЙНАЯ СУММА ЗНАЧЕНИЙ ХАРАКТЕРОВ ДИРИХЛЕ ОТ СДВИНУТЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ДВУХ ЧИСЕЛ
Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 15.12.2014 г.)
При X > q2 найдена нетривиальная оценка двойных сумм вида
№ = £ ^ Е Кхч (тп -/), (/, q) = 1,
М <т<2М N <п<шт( хт 1,2 N) (тп,д )=1
где %ч - примитивный характер Дирихле по модулю q и q - число, свободное от кубов.
Ключевые слова: характеры Дирихле - короткие двойные суммы - сдвинутые простые - тригонометрические суммы с простыми числами.
И.М.Виноградов [1] доказал: если q — простое нечётное число, (/, q) = 1, %(а) - неглавный характер по модулю q, тогда
T Сх) = z%(p -1)« Н
р<Х у \ %
- + . (1)
q х
При х » qi+e эта оценка нетривиальна и из нее следует асимптотическая формула для числа квадратичных вычетов (невычетов) mod q вида p — l, p < x . Затем И.М.Виноградов [2] получил нетривиальную оценку T(х) при x > q°'15+s, q — простое. А.А.Карацуба [3] получил новую оценку T(х), нетривиальную уже при x > q0'5+е .
З.Х.Рахмонов [4-6] обобщил оценку (1) на случай составного модуля и доказал: пусть D -достаточно большое натуральное число, х — неглавный характер по модулю D, хч - примитивный характер, порождённый характером х, тогда
( п—:- л
T(х) < X ln5 x
1 + qT2(q1) + xA(q) , q =ПP■ (2)
' q x
p\D pig
Если характер X совпадает со своим порождающим примитивным характером % , то оценка (2) нетривиальна при х > q(ln q) 1 3. Дж.Б.Фридландер, К.Гонг, И.Е.Шпарлинский [7] для составного
Адрес для корреспонденции: Мирзорахимов Шерали Хусейнбойевич. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]
д получили нетривиальную оценку Т(% ) при х > дя+£, X = |. Наилучший результат в этой задаче принадлежит З.Х.Рахмонову [8-10]. Для составного д, он доказал нетривиальную оценку Т(% ) с показателем X = .
Дальнейшее продвижение в этой задаче, в частности, будет зависеть от существования при х > д нетривиальных оценок коротких двойных сумм вида
Ж = £ ат £ КХд (™ -1), (I, д) = 1,
М <т<2М N<n<min( хт 1,2 Ы)
(тп ,д)=1
где ат и Ъп функции натурального аргумента такие, что | аот \<?с(т) и | Ъи \<?с(т), с - положительное фиксированное число не всё время одно и то же, % - примитивный характер по модулю д .
Теорема. Пусть д - натуральное свободное от кубов число, х, М и N - целые числа, в - фиксированное число и 0 <в< -1, 8 - положительное сколь угодно малое постоянное число,
& = 1п д. Тогда при х > д 6 и д < N < х3 справедлива оценка
Ж <8С хехрГ-1,5л/!^1.
Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что х > х0 и МЫ < х < 0,1д. Обозначая в Ж внутреннюю сумму через В(т), преобразуем её в другую так, чтобы интервал суммирования внутренней суммы не зависел от т . Имеем равенства
д-1 с к^
д /
i q-1
B(m) = - 2 B(k, m) 2 e
4 k=0 N<r<min(im"1,2N)
V
f kn ^
B(k, m) = 2 bnXq (mn -l)e
N<n<2 N (n,q )=1
q)
Далее, обозначая N' = min([im :]2N), выделяя слагаемое с k = 0 и суммируя затем по r, получаем:
Л N'- ND,A Л 1 , sin f k(N' +1 + N) ^ B(m) =-B(0, m) + -2 B(k, m)-q—e —--- .
q q k=i sin f V 2q )
Переходя к неравенствам, имеем:
ДJ ?-1 1 ?-1 1
| В(т) I« -\В(0, т)| + 2 7\В(к, т)\ « £—\В{К т)\.
Я. к=1 % к=0 л" + 1
Таким образом,
I Ж |=
Е ашв(т)
М <т<2М
1
«1-7 Е К1ИМ-
£=0 ^ ~Г А М<т<2М (т,д )=1
(3)
-1 —-Возьмём г = [(20) ] + 2 и Н = q2г г и, не ограничивая общности, будем считать, что
Ьп |<С гс (п) «с с/' . В В(к, т) , производя сдвиг интервала суммирования на к , \ <И < Н . получим В(к, т) = Е ЪпХч (тп - / + к)е
№п<2 N (п ,g)=1
Е ъ«хч (тп -1 )е
г к(п + к) Л _ . , _ Г кп Л
+ Е ЪпХq (тп - 1 )е —
'' I q)
2 N^<2 ^к (п,д )=1
V q )
с мл
q /
N<n<N+к (n,g)=1
V
Суммируя это равенство по всем к < Н, а затем оценивая две последние суммы тривиально числом слагаемых, имеем
|В(к,т) |«Я1
Е Е ЪпХч(тп~1 + И)е
( к{п + И)л
Н<Н N<n<2N
(п,д )=1
«я1 У |Ъп
/ и I п
Н<п<2И (п ,д )=1
Ехч (тп -1+к)е
к< Н
скк ^
q)
+щг.
Умножая обе части этого неравенства на функцию ат, затем суммируя по всем М < т < 2М и (т, q) = 1, находим
Е \ат\\В(к,т)\«Ж(к) + Нд^ Е
I а,.
М <т<2 М (т^)=1
М <т<2 М ()=1
где
Ж(к) = Н1 Е |ат1 Е I Ъп I
т I / у I п
М <т<2 М N^<2 N
(m,g)=1 (n,д)=1
Ехч (тп -1+к)е
к<Н
гкИ_ Л
q)
Подставляя полученную оценку в правую часть (3), найдем
( \
\Ж |<<
тах1¥(к) + Щг У гс(да)
0<к<д
М<т<1М (т ^ )=1
& <^ЗГтахЖ(к) +-аг.
0 <к<д 4 7 ТУ
(4)
В сумме Ж (к), делая замену переменного, вместо переменных т и п вводя переменную Я = тп - /, найдем
4МЫ
Ж (к) = Н 1 £ I (X)
Я+1 =МЫ
£%д (Х + И)в
И<Н
ч д )
где
I (X) = £
а„
\К\< £ \ат\\Ъп\«т\Л + 1).
Л+1=тп, (тп,д )=1 М <т<2 М, Ы<п<2 N
х+г=
Возведём Ж (к) в степень г и воспользуемся неравенством Гёльдера и тем, что
АМЫ АМЫ
£ тс(Л + /)= £
л
будем иметь:
х+г=мN
п=ММ
С 4 MN
Жг(к) < Н гI £ I(X) | £ I(X)
чх+г =MN
х+г =MN
£%д X И)в
с И
И<Н
д J
<
< (Мм&рГ £ ^г.
х+г =MN
£%д (X+ И)в
И<Н
д)
Возведём обе части последнего неравенства в квадрат, применяя неравенство Коши, а затем, воспользовавшись соотношением 4ММ№ < д, найдем
Ж2 (к) <
(MN &с)
с\ 2г-2 4М^
4 MN
Н
2г
£ гс X г) £
X+l =MN
£%д X И)в
< с )2 Г-1 ^
Н2
X=0
£%д И) в
X+l=MN
кИ
И<Н
И<Н
2г
( кИ_л
д)
«с
д)
Для оценки последней суммы воспользуемся следующей леммой, доказательство которой проводится как доказательства леммы 8 работы [11], но только вместо леммы 7 этой работы используется лемма 8 работы [12].
Лемма. Пусть г — произвольное фиксированное натуральное число, Z — натуральное число, д — число, свободное от кубов, к - натуральное число и 0 < к < д — 1. Тогда справедливо соотношение
д-1
£
X=0
£ Хч (X + в
С
2г
< с, I Zrg + Z2д1+81,
ч д)
где постоянная с = с(г, 8) зависит только от г и 8 .
Пользуясь леммой 1 и явным значением параметра Н, найдем
Ж2 (к) <
(MN&с )2г -1
Н2 г
(Л
с | Нгд + Н2гд>+8 \ = с (Ш&с)2г-1 + д2+8 <
) IН )
< с (х^ с)
сч 2г-1
д , 1+8
—*— + д2 Нг
= 2схх2 г-1д *+83> (2г-1)с
г
г
Отсюда и из (4), получим
if «УтахШ) +-qr «с x 2rq4r
0<k<q N
(l-J-Wi xj^c i
V Irl I „2r т _rlr
(
«C X
{ 1+s\2'
X
V
N
(
= X
( 1+8+ж\
\
X
V У
qmi N
У
3r 2rclnL
ж = ,— +--.
4L
1 3
ж, = —i—¡= +
+ q2r r-qr
N
exp [-1, ], c ln L
L
2r l '
Из определения параметра r и условия 0 <в < -1 вытекают неравенства
1 1 2
r = [(2в)-1] + 2 < — + — = —, 2в 6в 3в
1
<-
1
в =в-в <в--2в1 = в- 1,5в2,
2r 2(2в)-1 + 2 1 + 2в 1 + 2в 1 + 2 •1
воспользовавшись которыми оценим сверху величины ж и ж1 . Имеем
3r 2rc ln & 2 4c ln & 3 ж = ^= +-<-г= +-<■
4L & в4& зв& в4&'
1 3 c ln & ^ п,л л rn\ 3 c ln л ж = — +-;= +-< в(1 - 1,5в) +-¡= +-< в.
2r 24L L
24L L
2+u+--
Отсюда при x > q в и N > qв найдем
Ж«:xexpf-l,5^/jFl
Поступило 17.12.2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Виноградов И.М.Распределение квадратичных вычетов и невычетов вида p+k по простому модулю. - Математический сборник, 1938, т. 3, №45, с. 311-320.
2. Виноградов И.М. Улучшение оценки для суммы значений xip+k)-- Известия АН СССР, сер. ма-тем, 1953, т. 17, с. 285-290.
3. Карацуба А.А. Суммы характеров с простыми числами.-Известия АН СССР, сер. матем, 1970, т. 34, с. 299-321.
4. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле. - УМН, 1986, т. 41, №1, с. 201-202.
5. Рахмонов З.Х. Об оценке суммы характеров с простыми числами. - Доклады АН Таджикский ССР, 1986, т. 29, №1, с. 16-20.
6. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения. - Труды Математического института РАН, 1994, т. 207, с. 286-296.
7. Фридландера Дж.Б, Гонг K, Шпарлинский И,Е. Суммы значений характеров на сдвинутых простых числах. - Матем. заметки, 2010, т. 88, в. 4, с. 605-619.
V
V
1 3
8. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле в последова- тельности сдвинутых простых чисел. - ДАН РТ, 2013, т. 56, №1, с. 5-9.
9. Рахмонов З.Х. Распределение значений характеров Дирихле в последователь- ности сдвинутых простых чисел - Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2013, т. 13, в. 4(2), с. 113-117.
10. Рахмонов З.Х. Суммы характеров с простыми числами.-Чебышевский сборник, 2014, т. 15, в. 2(50), с. 73-100.
11. Burgess D, A. On character sums and Z-series. - Proc. London Math. Soc, 1962, v. 12, 3, pp. 193-206.
12. Burgess D, A. On character sums and Z-series II.- Proc. London Math. Soc, 1963, v. 13, 3, pp. 524-536.
ШД.Мирзорахимов
СУММАИ КУТОИ ДУКАРАТАИ ЦИМАТ^ОИ ХАРАКТЕРИ ДИРИХЛЕ АЗ ОСИЛИ ЗАРБИ ЛАЩОНИДАШУДАИ ДУ АДАД
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
1+е
Хднгоми x > q2 бах,ои гайритривиалии суммаи дукаратаи намуди
W = 2 am Е Ъп х(тп — l), (l, q) = 1,
M <m<2M N<n<min( xm 1,2 N) (mn,q )=1
q - адади аз куб озод ва хд - характери примитивии Дирихле аз руи модули q , гирифта шуда-аст.
Калимаои калиди: характерной Дирихле - суммауои дукаратаи куто% - ададуои соддаи лагцонидашуда - суммауои тригонометри бо ададуои содда.
Sh.Kh.Mirzorakhimov
THE SHORT DOUBLE AMOUNT OF VALUES OF DIRICHLET CHARACTERS BY SHIFTED PRODUCT OF TWO NUMBERS
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
i+s
If x > q2 non-trivial estimate double sums is found of the form
w =2 Am Е К х(тп — l), (l, q) = 1,
M <m<2M N<n<min( xm 1,2 N) (mn,q )=1
where хч - primitive Dirichlet characters modulo q and q the number is cubefree.
Key words: Dirichlet character - double sum Dirichlet characters - of short character sums - trigonometric sums with prime numbers.
