CC BY
18
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2018, том 61, №1_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Академик АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, Д.Дж.Хокиев
ОБ ОЦЕНКЕ СУММЫ ХАРАКТЕРОВ С ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
Для суммы значений неглавного характера х по модулю D в последовательности
5
—не
сдвинутых простых чисел p - ¡, (I, D) = 1 при x > D6 получена нетривиальная оценка вида
^А(п)х(п -1) < х ехр (-0.6л/1п В).
п<х
Ключевые слова: характер Дирихле, сдвинутые простые числа, короткая сумма характеров, тригонометрические суммы с простыми числами.
Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одна из них касается распределения значений неглавного характера на последовательностях сдвинутых простых чисел. В 1938 г. он [1] доказал: если д -простое нечётное, (I, д) = 1, х(а) - неглавный характер по модулю д, тогда
№)=2>(р-о«
х1+е
p< X
В 1943 г. И.М.Виноградов [2] уточнил эту оценку, доказав, что
g Ух
4 О+х-Р
[Ь х у
(1)
1—г 1+S1
При X q эта оценка нетривиальна, и из неё следует асимптотическая формула для числа квадратичных вычетов (невычетов) mod g вида p -l, p < X .
Гольдбаховым числом называют число, представимое в виде суммы двух нечетных простых чисел. Задача о распределении таких чисел в «коротких» арифметических прогрессиях возникла при попытке решить бинарную проблему Гольдбаха. Первый результат условного характера здесь принадлежит Ю.В.Линнику [3]. В предположении расширенной гипотезы Римана он показал, что имеет место неравенство
G(D, l) < D ln6 D,
где G (D, l) - наименьшее Гольдбахово число в арифметической прогрессии
Dk +1, k = 0,1,2,K
Адрес для корреспонденции: Рахмонов Зарулло Хусенович, Хокиев Дониёр. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: zarullo_r@mail.ru, khdj.91@mail.ru
Этот результат был уточнен К.Прахаром [4] и Ю.Вангом [5]. Они при тех же предложениях доказали, что
G(D, I) < D(ln D)3+е.
М.Ютила [6] в 1968 г. доказал безусловную теорему. Он, воспользовавшись оценкой (1), показал, что если D - нечетное простое число, то
и
Затем И.М.Виноградов получил нетривиальную оценку Тх(х) при X > а°'75+е, где q -
простое число [7]. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что ?1(х) можно записать в виде
суммы, по нулям соответствующей L -функции Дирихле. Тогда, в предположении справедливости
расширенной гипотезы Римана для Т1 (х), получится нетривиальная оценка, но только при X > д1+е.
А.А.Карацуба в 1968 г. разработал метод, который позволил ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени [8]. В 1970 г. с помощью развития этого метода в соединении с методом И.М.Виноградова он доказал следующее
1
—не
утверждение [8]: если q - простое, %(а) - неглавный характер по модулю q, X > q2 , тогда
1024
А.А.Карацуба применил эти оценки для нахождения асимптотических формул для количества квадратичных вычетов и невычетов вида р + к и количества произведений сдвинутых простых чисел вида р(р'+ к) в арифметической прогрессии с растущей разностью [8].
З.Х.Рахмонов обобщил оценку [9-11]: пусть D - достаточно большое натуральное число, X - неглавный характер по модулю D, ха - примитивный характер, порождённый характером х,
q1 - произведение простых чисел, делящих D, но не делящих число q, тогда
< х1п5х
( П а- -1 ^
+х бг(а,) г(а). ^ а х J
Применяя эту оценку, он [9, 12] также доказал,что для достаточно большого нечетного натурального числа D имеет место оценка
где е - положительное, сколь угодно малое постоянное число, с - нижняя грань чисел а таких, что для некоторой постоянной А > 2,
X К(сс,Т,х)<^{ОТ)2а{1-а) {\nDTY.
%тойП
6
Из «плотностной» теоремы Хаксли [13] следует, что при А = 14 в последней формуле с < — .
В 2010 г. Дж.Б.Фридландер, К.Гонг, И.Е.Шпарлинский для составного q показали, что нетривиальная оценка суммы Т1(хд ) существует, когда X - длина суммы по порядку меньше q [14].
Они доказали следующее: для примитивного характера х9 и всякого £ >0 существует 5 >0, что 8
—£
для всех X > q9 имеет место оценка
В 2013 г.З.Х.Рахмонов [15-17] доказал, что если q - достаточно большое натуральное число, - примитивный характер по модулю q, (I, q) = 1, £ - положительное, сколь угодно малое
5
—£
постоянное число, X > q6 , тогда
В 2017 г. З.Х.Рахмонов [18,19] доказал теорему: пусть D - достаточно большое натуральное число, х - неглавный характер по модулю D, хч - примитивный характер по модулю
q, порожденный характером х, q - свободное от кубов, (I, D) = 1, £ - положительное, сколь
1
—£
угодно малое постоянное число, тогда при X > D2 имеем
Тх(х) <с Xехр(-0,б^ыБ).
-X
Как уже было отмечено выше, нетривиальные оценки суммы Т (х), X - неглавный характер
по модулю D, D - простое число, были приложены в задачах о наименьших гольдбаховых числах и о распределении произведений сдвинутых простых чисел в коротких арифметических прогрессиях. При решении задач такого типа для составного модуля D, наряду с нетривиальными оценками суммы Т1(х) для примитивных характеров, нужны такие же оценки и для производных характеров.
Поэтому естественно рассматривать задачу о нетривиальной оценке суммы Т| (х), х - неглавний
характер по составному модулю D .
В этой работе получена нетривиальная оценка суммы Т (х) для всех неглавных характеров по модулю, являющемуся составным числом. Сформулируем основной результат.
Теорема. Пусть D - достаточно большое натуральное число, х - неглавный характер по
модулю D, (I, D) = 1, £ - положительное, сколь угодно малое постоянное число. Тогда при
5
—£
X > D6 имеем
Т(х) = - 0 < X ехр (-0, óVínZ)),
где постоянная под знаком <?>С зависит только от е.
Обозначения: далее всюду будем считать, что D - достаточно большое натуральное число, X, I - натуральные числа, (I, D) = 1, % - неглавный характер по модулю D, %д - примитивный
характер по модулю д , порожденный характером % , д1 - произведение простых чисел, делящих D,
но не делящих числа д, следовательно, (д,дх) = 1, У - делитель числа д1, & = 1пD, 5 -
положительное, сколь угодно малое постоянное число.
Основные утверждения, позволившие доказать теорему, содержатся в следующих оригинальных леммах 1-6, которые мы приводим без доказательства. Лемма 1. Пусть д \ D, тогда
d >ехр>/2&
Лемма 2. Пусть К - число решений сравнения:
(пЛ + тk) у = (п1 d + ^) у1 (mod д), М < п,п1<М + Ж, 1 < у, у < У, (у, д) = 1, (у, д) = 1,
где (],д) = (к,d) = 1, d - делитель числа д, 2ЖУ < д, d<У, p(qd1,У) - число делителей ( числа qd~ , удовлетворяющих условия
дУ 1 <( < qd 1 и ((, d) = 1. Тогда справедливо
соотношение:
2Y2 2Y2 2(NY )us
q +—r + —rP(qd , Y) + v / d d d
где 5 - сколь угодно малое положительное число.
Лемма 3. Пусть М , Ж, d и ] - целые числа, удовлетворяющие условиям (], д) = 1,
^ 1 _
Ж < д12d 2, (d, &) = 1, d < ехр>/2& , тогда
2 1 5 2
Я = Е %д (^ + ]к) < Ж3 д9+ 2 d3 (2)
M - N <n<M
1
18- -
^>2 < п < I I м у
Лемма 4. Пусть (r¡v, q) = 1, у > q3 5 , у < q, D2 < q < D и у < exp >/2L, тогда
u-y<n<u V7
(n,q)=1,n=r (modv)
Лемма 5. Пусть М , N, и - целые числа, N < и < 21^, ат и Ьп - функции натурального аргумента такие, что
Е а = 1,2; \Ьп\сВ.
M<m<2M
Тогда справедлива оценка
(111 11 ^Л 2д+сг+1
Е аш Е ЬпХч(тп-1)<€В & 4 .
М<т<2М II <п<тт(хт~1,2Ы~) V )
(mn,q)=1, тп=1 (modv)
1-е
Следствие 5.1. Пусть М, 1, и - целые числа, N < и <21, q4 < N < q4 , 1 _
D2 < q < D, у< ехр>/2^ , ат и Ьп - функции натурального аргумента такие, что | ат |<г5(т),
3
| Ьп |< 1. Тогда при X > q4 справедлива оценка
Е аш Е 6„^(»iw-/)<-exp(-0,7VF).
М<т<2М U <п<тт(хгп1,2N) ^
(mn, q) = 1, mn = l(mod v)
1
Лемма 6. Пусть M, N, U - целые числа, N < U <2N < q6, am и bn - функции натурального аргумента такие, что
Е а = 1,2; |6Й|«Я.
М<т<2М
Тогда справедлива оценка
5 1 1 1 „ 4с,+с,+1
- - -+-S —-—-—
Е аш Е bnxq(mn-l)<^BM6N2q6 6 .& 6
М<т<2М U <п<тт(хпГ1,2N)
(mn, q) = 1, mn = l (mod v)
1
1 -<- AT <- D 2
Следствие 6.1. Пусть М, N, и - целые числа, N < и <2N, qt' < N < q6 , D2 < q < D, V < ехр ат и Ьп - функции натурального аргумента такие, что | ат |< Т5(т), | Ьп |< 1. Тогда
при X > q1 2е+1'15 справедлива оценка
Е аш Е bnxq(mn-l)<^-exp(-0,lyfsf).
М<т<2М U <п<тт(хпГ1,2N) ^
(mn, q) = 1,mn = l(mod v)
Поступило 14.09.2017
ЛИТЕРАТУРА
1. Виноградов И.М. Распределение квадратичных вычетов и невычетов вида p+k по простому модулю. - Математический сборник, 1938, т. 3, № 45, с. 311-320.
2. Виноградов И.М. Уточнение метода оценки сумм с простыми числами. - Известия АН СССР. Сер. матем., 1943, т. 7, с. 17-34.
3. Линник Ю.В. Новейшие работы И.М.Виноградова. - Тр. МИАН, 1973, т. 132, с. 27-29.
4. Prachar K. Bemerkungen uber Primzahlen in kurzen Reihen. [Remarks on primes in short sequences]. -Acta Arith. 44(1984), pp.175 - 180.
5. Wang Yuan. On Linnik's method concerning the Goldbach number. - Sci. Sinica, (1977), №20, pp.16-30.
6. Jutila M. On the least Goldbach's number in an arithmetical progression with a prime difference. - Ann. Univ. Turku; Ser. A., v.I, (1968), pp.118.
7. Виноградов И.М. Новый подход к оценке суммы значений х(Р + k). - Известия АН СССР. Сер. матем., 1952, т. 16, с. 197-210.
8. Карацуба А.А. Арифметические проблемы теории характеров Дирихле. УМН, 2008, т. 63, вып. 4(382), с. 43-92.
9. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле. - УМН, 1986, т. 41, № 1, с. 201-202.
10. Рахмонов З.Х. Об оценке суммы характеров с простыми числами. - ДАН Таджикской ССР, 1986, т. 29, № 1, с. 16-20.
11. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения - Тр. МИАН. 1994, т. 207, с. 286-296.
12. Рахмонов З.Х. О наименьшем гольдбаховом числе в арифметической прогрессии. - Известия АН Таджикской ССР. Отделение физико-математических и геолого-химических наук, 1986, № 2, с. 103-106.
13. Huxley M.N. On the difference between consecutive primes - Inventiones mathematicae June 1971, Volume 15, Issue 2, pp. 164-170.
14. Фридландерa Дж.Б., Гонг K., Шпарлинский И.Е. Суммы значений характеров на сдвинутых простых числах. - Матем. заметки, 2010, т. 88, в. 4, с. 605-619.
15. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел. - ДАН РТ, 2013, т. 56, № 1, с. 5-9.
16. Рахмонов З.Х. Распределение значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел. - Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика, 2013, т. 13, в. 4(2), с. 113-117.
17. Рахмонов З.Х. Суммы характеров с простыми числами. - Чебышевский сборник, 2014, т. 15, в. 2(50), с. 73-100.
18. Рахмонов З.Х. Суммы значений неглавных характеров по последовательности сдвинутых простых чисел - Тр. МИАН. 2017, т. 299, с. 1-27.
19. Рахмонов З.Х. Об оценке суммы значений неглавных характеров в последовательности сдвинутых простых чисел - ДАН РТ, 2017, т. 60, № 9, с. 378-382.
ЗД.Рахмонов, Д.Ч,.Хокиев
ОИДИ СУММАИ ХАРАКТЕРНО БО АДАД^ОИ СОДДА
Институти математикаи ба номи А. Чураеви Академияи илм^ои Цумх^урии Тоцикистон Барои суммаи киматдои характери гайриасосии % аз руи модули D дар пайдарпаи
5
—не
ададдои соддаи лагчонишуда дангоми х > D6 будан бадои гайритривиалии намуди
^A(n)x(n-l) < Jcexp(-0.6>/lnZ)).
п<х
гирифта шудааст.
Калима^ои калидй: характери Дирихле, ададдои соддаи лагцонидашуда, суммаи кутоуи характерно, суммаи тригонометрй бо ададдои содда.
Z.Kh.Rakhmonov, D.J.Khokiev ON THE ESTIMATION OF THE SUM OF CHARACTERS WITH PRIME NUMBERS
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan The non-trivial estimate of the form
^A(ri)%(n-l) <jeexp(-0.6VlnZ)),
n<x
has been obtained for the sum of the values of non-principal character % modulo D over the sequence of
5
—не
shifted primes, when x > D6 if (/, D) = 1.
Key words: Dirichlet character, shifted primes, short sums of characters, exponential sums over primes.
