Суммы характеров по модулю свободного от кубов на сдвинутых простых Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 17. Выпуск 1.

УДК 511.524

СУММЫ ХАРАКТЕРОВ ПО МОДУЛЮ СВОБОДНОГО ОТ КУБОВ

НА СДВИНУТЫХ ПРОСТЫХ

З. Х. Рахмонов, Ш. Х. Мирзорахимов (г. Душанбе)

Аннотация

Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одна из них касается распределения значений неглавного характера на последовательностях сдвинутых простых чисел. В 1938 г. он доказал: если q — простое нечётное, (l, q) = 1, х — неглавный характер по модулю q, тогда

T(х) = Е х(р - l) «

x1+e

p^x

1 q _i

- + - + x 6 qx

(IMV)

При x ^ q1+e эта оценка нетривиальна и из неё следует асимптотическая формула для числа квадратичных вычетов (невычетов) mod q вида pj — l, pj У x. Затем в 1953 г. И. М. Виноградов получил нетривиальную оценку T(х) при x У q0,75+е, q — простое. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что T(х) можно записать в виде суммы, по нулям соответствующей L — функции Дирихле; тогда в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для T(х) получится нетривиальная оценка, но только при x У q1+e.

В 1968 г. А. А. Карацуба нашел метод, который позволил ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени. В 1970 г. он с помощью развития этого метода в соединении с методом И. М. Виноградова доказал: если q — простое, х — неглавный характер по модулю q, x У q2 +е, тогда

х

T(х) « xq 1024 .

В 1985 г. З. Х. Рахмонов обобщил оценку (IMV) на случай составного модуля и доказал: пусть D — достаточно большое натуральное число, х — неглавный характер по модулю D, х? — примитивный характер, порожденный характером х, тогда

T (х) У x ln5 x ( J- + ~t 2(qi) + x-6 т (qi) ) , qi = ^ p.

W q x / p\D

Если характер х совпадает со своим порождающим примитивным характером Xq, то последняя оценка нетривиальна при x > q(ln q)13.

В 2010 г. Дж. Б. Фридландер, К. Гонг, И. Е. Шпарлинский для составного q показали, что нетривиальная оценка суммы T(х?) существует, когда x — длина суммы — по порядку меньше q. Они доказали: для примитивного характера х? и всякого е > 0 существует S > 0, что для всех x У q9+е имеет место оценка

T(х?) « xq-S.

В 2013 г. З. Х. Рахмонов для составного q и примитивного характера х? доказал нетривиальную оценку T(х?) при x У q6+е.

В этой работе для модулей q - свободных от кубов, доказана теорема об оценке суммы T(х?), являющиеся нетривиальной при x У q2 +е.

Ключевые слова: характер Дирихле, сдвинутые простые числа, короткая сумма характеров, тригонометрические суммы с простыми числами.

Библиография: 15 названий.

SUMS OF CHARACTERS MODULO A CUBEFREE AT SHIFTED PRIMES

Z. Kh. Rakhmonov, Sh. Kh. Mirzorakhimov (Dushanbe)

Abstract

Vinogradov’s method of estimation of exponential sums over primes allowed him to solve the number of arithmetic problems with primes. One of them is a problem of distribution of the values of non-principal character on the sequence of shifted primes. In 1938 he proved that if q is an odd prime, (l,q) = 1, x(a) is non-principal character modulo q, then

T(x) = E x(p - l) « x1+E(\/- + q + x-6) . (IMV)

PXx VV q x J

This estimate is non-trivial when x ^ q1+e and an asymptotic formula for the the number of quadratic residues (non-residues) modulo q of the form p — l, p ^ x follows from it. Later in 1953, I. M. Vinogradov obtained a non-trivial estimate of T(x) when x > q0,75+e, q is a prime. It was a surprising result. In fact, T(x) can be represented as a sum over zeroes of correspondent Dirichlet L — function; So a non-trivial estimate of T(x) is obtained only for x > q1+e provided that the extended Riemann hypothesis is true.

In 1968 A. A. Karatsuba found a method that allowed him to obtain non-trivial estimate of short sums of characters in finite fields with fixed degree. In 1970 using the modification of his technique coupled with Vinogradov’s method he proved that: if q is a prime number, x is non-principal character modulo q and x ^ q2+e, then the following estimate is true

1 _2

T (x) « xq 1024 e .

In 1985 Z. Kh. Rakhmonov generalized the estimate (IMV) for the case of composite modulo and proved: let D is a sufficiently large positive integer, x is a non-principal character modulo D, xq is primitive character generated by character x, then

T(x) < x ln5 x I- + -T2(qi) + x-6т(qi)^ , qi = p.

VV q x ) p \q

If a character x coincides with it generating primitive character xq, then the last estimate is non-trivial for x > q(ln q)13.

In 2010 г. J. B. Friedlander, K. Gong, I. E. Shparlinski showed that a non-trivial estimate of the sum T(xq) exists for composite q when x — length of the sum, is of smaller order than q. They proved: for a primitive character xq and an arbitrary e > 0 there exists such 6 > 0 that for all x ^ q9 +e the following estimate holds:

T(xq) « xq-S.

In 2013 Z. Kh. Rakhmonov obtained a non-trivial estimate of T(xq) for the composite modulo q and primitive character xq when x ^ q 6+e.

In this paper the theorem about the estimate of the sum T(xq) is proved for cubefree modulo q. It is non-trivial when x ^ q6 +e.

Keywords: Dirichlet Character, Shifted primes, Short Sums of characters, Exponential Sums Over Primes.

Bibliography: 15 titles.

1. Введение

Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова

позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одна из них касается распределения значений неглавного характера на последовательностях сдвинутых простых чисел. В 1938 г. он [1] доказал: если q — простое нечётное, (l,q) = 1, х(а) — неглавный характер по модулю q, тогда

Т (х) = Е х(Р - l) « х‘+У ,/У! + x- ») . (1)

pyx V V q /

При x ^ q1+£ эта оценка нетривиальна и из неё следует асимптотическая формула для числа квадратичных вычетов (невычетов) mod q вида p — l, p У x. Затем И. М. Виноградов [2, 3] получил нетривиальную оценку Т(х) при x У q0,75+e, q — простое. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что Т(х) можно записать в виде суммы, по нулям соответствующей L — функции Дирихле; тогда в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для Т(х) получится нетривиальная оценка, но только при x У q1+£. В 1970 г. А. А. Карацуба [4, 5] получил новую оценку Т(х), нетривиальную уже при x У q0,5+e.

В [6, 7, 8] обобщена оценка (1) на случай составного модуля и доказана: пусть D — достаточно большое натуральное число, х — неглавный характер по модулю D, xq — примитивный характер, порожденный характером х, тогда

Т(х) У x ln5 x

Е 2(qi)+ x

qx

6т(qi)

q1

p\D

p

p \q

(2)

Если характер х совпадает со своим порождающим примитивным характером х?, то оценка (2) нетривиальна при x > q(lnq)13. Дж. Б. Фридландер, К. Гонг, И. Е. Шпарлинский [9] для составного q получили нетривиальную оценку Т(х?) при x У q9+£. В [10, 11, 12] для составного q доказана нетривиальная оценка Т(х?) при x У q 6 +£.

В этой работе для модулей q, являющихся свободными от кубов числами, получена новая оценка Т(х?), нетривиальная при x У q2 +£.

Теорема 1. Пусть q — достаточно большое натуральное число свободное от кубов, х? — примитивный характер по модулю q, (l, q) = 1, е — положительное сколь угодно малое постоянное число, L = ln q, x У q 2 +£. Тогда имеем

Т(х«) = Е х?(Р — l) « x exp (—^L) •

p yx

Доказательство теоремы 1 проводится методом оценок сумм с простыми числами И. М. Виноградова в сочетании с методами работы А. А. Карацубы [5] об оценке суммы Т(х?) для простого q, работы З. Х. Рахмонова [12] об оценке суммы Т(х?), х? — примитивный характер по модулю q , q — составное. В доказательстве мы также используем результаты работ Д .А. Берджесса [13, 14]. Основные утверждения, позволившие получить новую оценку Т(х?), содержатся в леммах 7, 8, 9.

2. Известные леммы

Лемма 1. [9]. Для любых натуральных q и U имеет место асимптотическая формула

и

Е i

и= 1

(u,q) = 1

У4 и

у

q

Лемма 2. [15]. При x ^ 2 имеем

£ тГ(и) ^ x (ln x)r -1, k = 1,2.

n^x

Лемма 3. [12]. Пусть a — фиксированное число, 0,1 ^ a < 0, 9, тогда

E

d\D

d>exp(ln D2)a

j2(d)

d

^ exp (—2CT 1a lnCT D) .

Лемма 4. [12]. Пусть K — число решений сравнения:

(ud — n)y = (u1d — n)y1 (mod q),

M < n, ni ^ M + N, 1 ^ y,y1 ^ Y, (y, q) = 1, (ybq) = 1,

где (n,q) = 1, d — делитель числа q, 2NY < q, d < Y, p(qd-1,Y) — число делителей в числа qd-1, удовлетворяющего условиям qY-1 ^ в < qd-1 и (@,d) = 1. Тогда справедливо соотношение:

2Y2 2Y2

K « NY + — + —piq,r

Y) +

2(NY )1+<5 d

где 5 — сколь угодно малое положительное число.

Лемма 5. [12]. Пусть (n,q) = 1, y <x, тогда

S = Xq(и — п) < 2w(q)^qlnq.

x—y<n^x (n,q) = 1

Лемма 6. Пусть r — произвольное фиксированное натуральное число, N — натуральное число, k — натуральное число, 0 ^ k ^ q — 1. Тогда справедливо соотношение

q-1

w = £

А=0

J2 Xq (A + u)e

Ыи^М

2r

^ С1

Nr q + N 2r q1 +

5

где постоянная c1 = c1(r,5) зависит только от r и 5. Доказательство. Имеем

w=

1^ni,...n2r^N

e -

(U1 + ... — U2r )k\

q-1

)E x

А=0

(A + щ)... (X + Ur) \

(A + Ur+1) ... (X + u2r) /

q

Далее методом доказательства леммы 8 работы [13] воспользовавшись леммой 8 работы [14], найдем

W <

Е

1^ni,...n2r

X

А=0

(A + щ)... (A + Ur) (A + Ur+1) ... (A + U2r)

< Nr q + N2r q 2 +s.

Лемма доказана.

3. Оценка коротких сумм значений характеров

Лемма 7. Пусть а — вещественное число, r ^ 3 — произвольное фиксированное натуральное число, M, N, d и п — целые числа, удовлетворяющие условиям (n, q) = 1, N < q2+4r d-2, 0,1 ^ а < 0, 9, d ^ exp(L2)a, тогда

S = Е xq(nd — n) ^ N1 Г q4r+4Г2+rd1 ГL2.

(3)

M<n^M+N

Доказательство. Оценку (3) для сумму S докажем методом математической индукции по N. При N ^ q 4 для правой части оценки (3) справедливо неравенство

N1-rq+4Г2+rd1-rL2 ^ N1-rqst > N1-r (N4)4r = N.

то есть в этом случае оценка (3) является тривиальной и её возьмем в качестве базы индукции.

Далее будем считать, что N > qз. Производя в сумме S сдвиг интервала суммирования на h, 1 ^ h ^ H < N, получим

S = Е Xq((n + h)d — n)+ E Xq(nd — n) — E Xq(nd — П) .

M<n<M+N M<n^M+h M+N<n^M+N+h

Оценивая две последние суммы, воспользовавшись предположением индукции, имеем

S <

Е Xq ((n + h)d — П)

M<n^M+N

1 1 1 l 1 | 5 I 1 r\

+ 2 H1-r q4r+4Г2+r d1-r L2.

Полагая в этом неравенстве h = yz и суммируя его по у и z в пределах

1 ^ у ^ Y, (у, q) = 1, 1 ^ z ^ Z, Y = 2 1Nq 2r d

Z =

2-

■— -1 r-1 q 2r d

и обозначая через Yq — количество чисел у £ [1, Y] взаимно простых с числом q, приходим к неравенству:

|S| <

1

Yq Z

Е Е Е Xq((n + yz)d — П)

1^y^Y 1 <z<ZM<n<M+N (y,q)=1

l1 1 i 1 1^1 1 О

+ 2(YZ)1-r q 4r+4T2 + r d1-1L2.

Далее определяя число у 1 из сравнения уу 1 = 1 (mod q) и воспользовавшись определением параметров Y и Z, имеем

|S| <

1

Е Е

Yq Z — —

q M<n^M+N 1^y^Y (y,q)=1

E Xq((nd — п)у 1 + zd)

1<z<Z

+ 2-1N1-1 q 3r+ST2+r d1-1L2.

Обозначая в этом неравенстве символом I(А) — число решений сравнения

(nd — п)у-1 = А (mod q), M < n ^ M + N, 1 ^ у ^ Y, (у, q) = 1,

получим

i1 1 i 1 1^1 1 о

|S| < W + 0, 5 N1-1 q4r+ir2+5d1-1L2,

q-1

W = (Yq Z )-1E I (А)

A=0

E Xq (A + zd)

1<z<Z

Стандартным методом (см. [12], стр. 90) преобразуем внутреннюю сумму так, чтобы её общий член не зависел от параметра d. Имеем

W < 4L max W(k), W(k)

0yfcyq-1

1

YqZ

q-1

E1 (A)

Л=0

E Xq (A + z)e

z<d,Z

Возведём W(k) в степень r, воспользуемся неравенством Гёльдера и тем, что

£7(A) < NYq,

Л=1

(5)

будем иметь:

/q-1 \r-1 q-1 /

Wr(k) < (YqZ)-r E1 (A)) E1 (A) E Xq(A + z)e(

\Л=0 / Л=0 1<z<dZ A

kz

q

<

<

(NYq )r-1 q—1 (Yq Z )r

E1 (A)

Л=0

E Xq (A + Z)

z)e

1<z<dZ

kz

r

r

q

Обе части последнего неравенства возведём в квадрат, воспользуемся неравенством Коши. Будем иметь

W*(k)< INY^ KV,

(Yq Z )2r

q-1 q-1

2,

Л=0

к = £ 12(a)> v = E

Л=0

Пользуясь леммой 6, получим

E Xq (A + z)e(

1<z<dZ

kz\

q)

2r

V < C1Z2r ( Z-rdrq + d2rq 1+<5

Сумма K равна числу решений сравнения

(nd — n)y-1 = (n1d — n)y- (mod q),

M <n,n1 < M + N, 1 < y,y1 < Y, (y,q) = 1, (y1,q) = 1,

или сравнения

(nd — n)y = (n1d — n)y1 (mod q),

M < n, П1 < M + N, 1 < y,y1 < Y, (y,q) = 1, (y1,q) = 1, для которого все условия леммы 4 выполняются:

2NY

2N

2 1Nq 2r d

^ N2q 2r d < ( q 2+4r d

2 -^ q 2r d = q,

Y

d

2 1Nq 2r d

d

>

1 1

2-1q 4 q-

" 2r d

>

1 1

2-1q4q

'6 d

> 3 1q i2 > 1.

d

d

(6)

(7)

Согласно этой лемме имеем

^ 2 (NY )1+V d Y

K у -(-/-- ( 1 + -тт^г +

d

2 (NY) N (NY)

(p(qd 1, Y) + 1)^ .

Отсюда с учётом соотношений

d у exp(L2)ст у q6, (NY)5 5 (0, 4 N2q-2r d)5 5 (0, 4 q1 -2r d)5 > 0, 4 q3,

Y у 2 1 Nq 2r d у 2 1 Nq Tr + 6, p(qd 1 ,Y) + 1 у т(q) у q6,

)-1 AT rt 2r +

q

1

lq 2 2r (

находим

^ 2(NY)1+^ q 4

K у^--У-- | 1 +-^-r +

d

2 1 Nq 2r + 6 A

----------— ■ q66 =

2 ■ 0, 4 q з N ■ 0, 4q з

2(NY)1+5 / 5 ( з i A 3(NY)1+5

AA i1+ 4 (q-12 + q- У у ^■

Подставляя эту оценку и оценку (7) в (6), а затем правую часть полученной формулы в (5) последовательно получим

W2r(к) у 2 (Z-rdrq + d2rq1 +5) (NY)1+5.

W2r У

3c1N2r-1+5 Y1+5

Y2

Yq

(Z-rdr-1q + d2r-1q2 +5) (4L)2r.

Далее воспользовавшись леммой 1 и известными неравенствами

ц,) у сУ, у ‘V

ln L

2q ln L

где сш и c™ — абсолютные постоянные, найдем

Yq - YU Y

q q

cul in2 ^>(q) i ^>(q)

у 2ш(ч> у 2тп-L = q-mL <YYlLqi <

2q

2q

i

2 1Nq 6

y(q)

2q

Y,

то есть

Yq > ^ Y 5

'q' 2q ^ '' lnL'

Пользуясь этим неравенством параметр Yq выразим через Y. Имеем

W2r у ^N^** (z-rdr-1q + d2r-1q2+5) (4L)2r(lnL)

, 3сЛ 2r 1 i-з i-з

W = 4(-^) N1--2r

Y A ^Z 2 d 2 2Г q 2Г + d1 q 4r + 2^ L(ln L)

2

i

i

r

Далее имея ввиду, что Y

2 LNq 2r d

и Z =

__^ х , 1

2 1 r—1^0„sj 1

r-1 q 2r d

найдем

W < 4( ^^N1 -V (3-1Nq-2rd) 2r ^(4 -1q2rd-1) 2 d1 -2rq2r + +d1-^q4r+2rj L(lnL)r = N1-rqзз+4Г2d1-r ■ Д,

Д

4 ^3—N Г q2r 4r2 d25r ^2 q 22 + 1 j L(ln L) Г.

1 + _1 1

Воспользовавшись соотношением N < q 2+4r d 2, имеем

4 ^3—(q2 + 4r d 2) r q2r 4r2 d2r ^2 q 2r + 1 j L(lnL) r =

4 ^3—qr (2 q-2r + l) L(lnL)r ^ 0, 5qrL2.

Поэтому

1 1 1 I 1 I <5 -i 1 о

W ^ 0, 5N1-1 q4r+4T2 + 3d1-1L2,

Подставляя полученную оценку для W в (4), получим утверждение леммы. Лемма 8. Пусть (n, q) = 1, y ^ qз+26, 0,1 ^ а < 0,9, тогда

S = ^ Xq(n - n) < У exp (-2CT-1aLCT) .

x—y<n^x

(n,q) = 1

Доказательство. Рассмотрим сначала случай V? ■ exp < y ^ 0, 5q. Воспользовав-

шись леммой 5 и известным неравенством

w(q) ^

еш L lnL,

где еш — абсолютная постоянная, имеем равенство:

S < 2"«> V5L « V ■exp (^ +2-1 aL^ + 1° L) . y exp H^aL") «

У

^ V e p ( in L) , y eXp (—2CT-1aLCT) ^ y exp (—2"-1aL") .

Пусть теперь q4 + 26 ^ y ^ ^/q ■ exp ( CaW). Имеем равенство:

S = ^ Xq(n - П) ^ Md) = ^Md)S(d), S(d) = ^ Xq(nd - П).

x-y<n^x d\(n,q) d\q x-y<nd^x

Разбивая сумму S на две части, имеем

S = S1 + S2, S1 = ^ ^(d)S(d), S2 = ^ ^(d)S(d).

d\q

d^exp (2L)CT

d\q

exp (2L)a<d^x

Для оценки суммы S2 воспользуемся тривиальной оценкой суммы S(d) и леммой 3. Имеем

^2(d)

d\q

exp (2L)a<d^x

S2 < Ad) (d + 1) < y

d\q

exp (2L)a<d^x

d

+ т(q) <

< y exp (-27-1ctL7) + q5 < y exp (-27-1ctL7) .

Оценим теперь Si. Для этого оценим S(d), воспользовавшись леммой 7 при

M =

x - У d

N = Ш -

X - У d

y

<C -

^ d’

имеем

S(d) < (yУ " q^^'di-1L2 = yi-1 q^+4Г2+sL2,

Следовательно,

Si < yi—1 q^+4Г2+s L2 y.2(d) < yi-1 q^+4Г2+s L2 ■ 2w(q) <

i x+^+i

y r q 4r 4r2 r

d\q

d^exp(2L

i_ 1 1 +^+« „2 ^l 1 x+^+s „2 /еш In2 ■ L

^ y1 r q4r + 4r2 +r L2 ■ 2 in l = y1 r q4r+4r2 +r L2 exp ( —^ —

= y exp (-2«-^) ■ f q1 + * +5L2r exP (^ + ^-1L7) ) ' <

= y exp (-27 VL7 ) Выбирая r = [d-i] + 1, найдем

' q1+4r+5L2r ■ exp (cnf-)

( q 4+5 5 L2r • exp f Сшr’L\ \ r Si ^ y exp (-27-1ctL7) ■ ( --- ln L '

<

y

1 ) q 4 + 25

7-i _ 0?7\ 4

< y exp (-27-1ctL7)

y

< y exp (-27-VL7)

Лемма доказана и из этой леммы при а = 0, 6 следует:

Следствие 1. Пусть (n,q) = 1, y < x и y ^ q4+25, тогда

^ Xq(n - n) < y exp (-1, 5VL) .

x—y<n^x (n,q) = 1

1

r

1

1

4. Оценка двойных сумм значений характеров

Лемма 9. Пусть x, M, N и l — целые числа, (l,q) = 1, am и bn функции натурального аргумента такие, что \ат\ ^ тС(т) и |bn| ^ тС(т), где c — произвольное положительное

фиксированное число не всё время одно и то же, в — фиксированное число и 0 < в ^ т—.

1+5+ 3

Тогда при x ^ q L и (f < N ^ x з справедлива

оценка

W = ^ ат ^ bnX(mn - l) < x exp ^-1, 5VL) .

M<m4,2M N<n ^min(xm 1,2 N )

(mn,q) = 1

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что x>xo и MN < x < 0,1q. Обозначая в W внутреннюю сумму через B(m) преобразуем в другую так, чтобы интервал суммирования внутренней суммы не зависел от m. Имеем равенство

1 q-1 / kr

B (m) = -qYB (k,m) Y e( - -

k=0 N<rymin(xm-1,2N)

B(k,m)= ^ bnXq(mn - l)e f—\

N<n<2.N \ q /

N<n^2N (n,q) = 1

Далее обозначая N = min([xm -],2N), выделяя слагаемое с k = 0 и суммируя затем по г, получаем:

. N1 - N 1 q-- sin nfc(Nq'~N} / k(N' + 1 + N)

B(m) = B(0, m) + -Y B(k,m) sin nk—e i-

Переходя к неравенствам, имеем:

2q

N q 1 1 q 1 1

|B(m)| «- |B(0,m)| + |B(k,m)| « V 7— |B(k,m)|

q k=ik k=0k +1

Таким образом,

|W| =

^ amB(m)

M<m4,2M

q--

1

ТТГ Y |am||B(k,m)| .

k+1

k=0 M<m^2M

(m,q)=1

1 5

Возьмём r = [(2в) -] + 2 и H = q 2r г и не ограничивая общности будем считать, что |bn| ^ ^ т c(n) ^ q г .В B(k, m) производя сдвиг интервала суммирования на h, 1 ^ h ^ H, получим

B(k, m) = ^ bnXq (mn - l + h)e(k(n + h)

N<n<2N \ q /

+

N<n<2N

(n,q)=1

+ ^ bnXq (mn - l)e(—^\ - ^ bnXq (mn - l)e (—Y

N<n<N + h \ q / 2N <n<2.N + h \ q /

N <n^N+h

(n,q)=1

2N<n4,2N+h (n,q)=1

Суммируя это равенство по всем h ^ H, а затем оценивая две последние суммы тривиально числом слагаемых, имеем

|B(k, m)| < H

-1

Е Е bnXq (mn - l + h)e

h<H N<n^2N

(n,q)=1

k(n + h)

q

+ Hqг <

< H-1 ^ |bn|

N<n^2N (n,q)=1

^ Xq(mn - l + h)e(kY h<H \ q J

+ Hq r.

Умножая обе части этого неравенства на функцию ат, затем суммируя по всем M < m ^ 2M и (m,q) = 1, находим

£ |ат| |£(k,m)| < W(k) + Hqr £ |ат|,

(m,q) = l

M<m<2M (m,q) = 1

W (k) = H-1 £ |ат| £ |bra|

M<m<2M N<n^2N

(m,q) = 1 (n,q) = 1

£ X,(mn — l + h)e(—\ h<n \ q J

Подставляя полученную оценку в правую часть (8), найдем

/ \

|W| <

max W(k) + Hqr ^ Tc(m)

Oyfc<q M <m^2M

(m,q) = 1

/

,,, xHLc 5

L ^ L max W(k) +-----—— q r,

0yfc<q w N

(9)

В сумме W(k) делая замену переменного, вместо переменных m и n вводя переменную Л = mn — l, найдем

4MN

W (k) = H-1 I (Л)

A+1=MN

£ X,(Л + h)e(kh)

hyH V q /

где

i(Л) = £ |am||bn| ^ |am||bn| ^ т (Л + l)*

A+|=mn

A+!=mn, (mn,q) = 1 M<m<2M, N<n<2N

Возведём W(k) в степень r и воспользуемся неравенством Гёльдера и тем, что

4MN 4MN

£ тС(Л + l) = £ тc(n) < MNLc,

A+1=MN n=MN

будем иметь:

Wr(k) < H-r ( ^ I(Л)

4MN

r—i

4MN

\A+Z=MN

(MN L c)r-1

£ 1 (Л)

A+1=MN

Y X, (Л + h)e

h<H

kh

<

H r

£ тс(л +1)

A+1=MN

£x, (Л + h)e(kh)

h<H

Возведём обе части последнего неравенства в квадрат, применяя неравенство Коши, а затем воспользовавшись соотношением 4MN < q, найдем

4MN

w2r(k) < (MNg;)2r-2 £ тс(л+о £

..... A+1=MN

A+1=MN

(MN L c)2r-1 q—

Y Xq(Л + h)e

H 2r

£

A=0

hyH

2r

kh

2r

<

£ X,(Л + h).(^)

hyH V q /

r

q

r

q

Пользуясь леммой 6 и явным значением параметра H, найдем

2г ПЛ / (MNLс)

е\2 г—1

W2r (k) <

H 2r

< d(xLc)2r-1 ( + q1+г) = 2cix2r-1q1+гL(2r-1)c.

Отсюда и из (9), получим

(Hrq + H2rq2 +г) = ci(MNLc)2r-1 ^ + q2 +г) <

■ С1 |л q + H q q2+г1 = 2cix

xHLc г

0 yfc<q

N

j_« xLc г

W ^ L max W(к) + Mil— qr ^ x1 2r q4r + 2r L(1 2r)c+1 + q 2r r ^ qr ^

N

x

q 2

1+A 2r

+ £ I Lc = x (( A

1 +г+*\ 2r q*

+ I exp (-1, 5 VL)

3r 2rc ln L 13 c ln L

* = +-----77---, *1 = — + . ^ +

VL L

2r VL L '

Из определения параметра r и условия 0 < 0 ^ т1, вытекает неравенства

r = [(20)-1| + 2 < 20 + ,20 = з2-

1 1 0 л 202

— ^ .---- = ------Г = 0-

^ 0-

202

2r ^ 2(20)-1 +2 1 + 20 “ 1 + 20^~ 1 + 2 ■ 6

= 0 - 1, 5 02,

воспользовавшись которыми оценим сверху величины * и *1. Имеем 3r 2rc ln L 2 4c ln L 3

* = +-----77-- ^ ^ + ____ ^

VL L QyfL 30 L 0 yL’

1 3 c ln L 3 c ln L

*1 = — + ^^= + — < 0(1 - 1, 50) + ~^= + -77— ^ 0.

2r 2\TL L

24L l

Ы+- 3

Отсюда при x ^ q2 AL и N ^ qe, найдем

W ^ x exp ^-1, 5VL^

5. Доказательство теоремы 1

Не ограничивая общности будем считать, что x = q2+£, е = 6 + -^=. Поступая аналогично как в работе [12], имеем

^ Л(п)Хд(n - О

n<x

« L6 ^ max |Tk(Xq, M,N) | + L2,

(10)

k=1

Tk(Xq, M2 N) —^ 2 ^(m1) ■ ■ ‘ ^ 2 k‘(mk) ■■■ Xq(Ш1П1 ■ ■ ■ mkUk - l),

M1<m1^2M1 Mk<mfc^2Mfc U1<n^2N Uk<nk^2Nk Ш1 •••mkП1^”Пк^х, (m1-mkn1—nk,q) = 1

M1 ^ M2 ^ ^ Mk, N1 ^ N2 ^ ^ Nk Nj ^ Uj < 2Nj.

Вводим следующие обозначения:

kk

IlMj Nj = Y, []Mj Uj = X.

j=1 j=1

j = y, I I Mj Uj = X, Y < X ^ x, Mj ^ x 3

1

1

1

x

Y < X < x

и будем предполагать далее, что

Y ^ x exp ^—1, 2 VLj , (12)

так как в противном случае, оценивая Tk(xq, M, N) тривиально, будем иметь

Tk(xq, M,N) < ^ T2k(n) < L2k-1 exp ^—1, 2vL^ < xL-6 exp ^—VL) .

X<n^2kY

Суммы Tk(xq, M, N), k = 1, 2, 3 оцениваются почти одинаково. Остановимся на оценке суммы T3 (xq, M, N) и рассмотрим следующие возможные случаи значений параметра Ni:

1. N1 > q1+3 л;

1 i i 3 г

2. q 12 < N1 ^ q4 + 2л;

3. N1 ^ q 12.

Для рассмотрений случаев 1 и 2 сумму T3 (xq, M, N) несколько преобразуем и запишем её в виде

T3(xq, M, N) = ^ Ah ^ xq(hn — l), \ah| < 75(h), XU-1 ^ YN-1,

XUr1<hy25YNry Ul<"<2Nl

1 1 hn^x, (hn,q) = 1

и интервал суммирования XU-1 < h ^ 25YN-1 разобьём на интервалы вида H < h ^ 2H. Получим не более пяти сумм вида

T3 (xq, M, N, H )= ah ^ xq (hn — l). (13)

H<h^2H Ui <n^min(xh_ 1,2Ni )

(hn,q) = 1

Случай 1. N1

1 + 3 л

> q 4 + 2 °.

Определяя h q- 1

из сравнения hh„ 1 = 1 (mod q), найдём

T3(xq, M, N, H )= ahxq (h) Y1 xq (n — lh-1).

H<h^2H

U1 <n^min(xh 1,2N1) (n,q) = 1

Переходя к оценке, находим

\T3(xq, M, N, H)\ < £ T5(h)

H<h^2H

(n,q)=1

^ xq (n — lh- 1)

U1 <n^min(xh 1,2N1) (n,q)=1

Применяя к сумме по n следствие 1 при n = lh- 1, x = min(xh 1,2N1), y = min(xh 1,2N1)-—U1 ^ N1, имеем

T3(xq, M, N) < ^ 75(h) N1 exp ^—1,5VL^ < HL4 N1 exp ^—1,5VL^ <

H<h<J2H

(h,q)=1

^ YN-1L4 N1 exp ^—1, 5VL^ ^ xL4 exp ^—1, 5VL^ ^ x exp ^—1,4VL) .

Случай 2. q 12 < N1 ^ q4 + 2й. Полагая в сумме T3(xq, M, N, H) bn = 0 при N\ < n ^ U\ а bn = 1 при U1 < n ^ min(xh-1,2N1), представим её в виде

Ts(Xq, M, N, H)= Е Ah Е bnXq(hn - l)

H <h^2H N1 <n^min(xh-1,2Ni)

(hn,q) = 1

1+й+-36

и воспользуемся леммой 9 при M = H, N = N1 и 0 = 112. Тогда при x ^ q2

имеем

T3(Xq, M, N, H) < x exp ^-1, 5VLj

Случай 3. N1 ^ q 12 . Сумму T3(xq, M, N) преобразуем и запишем её в виде:

T3 (Xq, M, N) =

Е

ah

Е ^(Ш1 )Xq(hm - l) |Ah| ^ T5(h).

XM-1<h^25YM-1 M1<rn^2M1

1 1 hm^x, (hm,q) = 1

— 1^u^ о5лллж— 1

Разобьём интервал суммирования XM1 1 < h ^ 25YM1 1 на интервалы вида H < h ^ 2H. Получим не более пяти сумм вида

T3 (Xq, M, N, H) = Е ah Е

^(m)xq (hm — l).

H<h<2H M1<n^min(xh 1,2M1)

(hm,q)=1

Воспользовавшись соотношениями (11), (12) и условиями рассматриваемого случая, имеем

1 / y \ 3 y 1 (x exp (-1,2VL))

M > (м,AW)3 = (N1N2N^) > N1 »-------

N1

1 1 1 6 1 11,6 1 , 6 1 11,6 1 1,6 , 11,6 1 1 , 6 , 8

= — ■ q6 + 3 + XL >q6 + 3 + xl 12 = q12 + з + xl , M1 ^ x3 = q6 +3 + xl .

Отсюда следует, что при M = H, N = M1, 0 = 12 для суммы T3(Xq, M, N, H) выполняются

2+г+-36=

условия леммы 9. Согласно этой теоремы, при x ^ q vL получим

T3(Xq, M, N, H) < x exp ^-1, 5VLj .

Из полученных оценок Tk(Xq, M, N), k = 1, 2, 3, ввиду (10), получим утверждение теоремы.

6. Заключение

Работа посвящена выводу нетривиальной оценки модуля суммы значений примитивного характера Дирихле X по модулю свободного от кубов q на последовательности сдвинутых простых чисел p - l, (l,q) = 1, p ^ x, при x ^ q2 +£. Полученная оценка обобщает известную оценку А.А. Карацубы, для случая, когда модуль характера является простым числом.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И. М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР. 1952.

2. Виноградов И. М. Новый подход к оценке суммы значений X(p + k) // Известия АН СССР, сер. мат. 1952. Т. 16. С. 197-210.

3. Виноградов И. М. Улучшение оценки для суммы значений x(p + k) // Известия АН СССР, сер. мат. 1953. Т. 17, С. 285-290.

4. Карацуба А. А. О суммах характеров с простыми числами // ДАН СССР. 1970. Т. 190, №3. С. 517-518.

5. Карацуба А. А. Суммы характеров с простыми числами // Известия АН СССР, сер. мат. 1970. Т. 34. С. 299-321.

6. Рахмонов З. Х. О распределении значений характеров Дирихле // УМН. 1986. Т. 41. №1. С. 201-202.

7. Рахмонов З. Х. Об опенке суммы характеров с простыми числами // ДАН Таджикский ССР. 1986. Т. 29. №1. С. 16-20.

8. Рахмонов З. Х. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения // Труды Математического института РАН. 1994. Т. 207. С. 286-296.

9. Дж. Б. Фридландера, K. Гонг, И. Е. Шпарлинский Суммы значений характеров на сдвинутых простых числах // Мат. заметки. 2010. Т. 88. В. 4. С. 605-619.

10. Рахмонов З. Х. О распределении значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел / / Доклады АН Республики Таджикистан. 2013. Т. 56. №1.

C. 5-9.

11. Рахмонов З. Х. Распределение значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика 2013. Т. 13, вып. 4(2). С. 113--117.

12. Рахмонов З. Х. Суммы характеров с простыми числами // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15, вып. 2(50). С. 73-100.

13. Burgess D, A. On character sums and L — series // Proc. London Math. Soc. 1962, v. 12, no 3, pp. 193-206.

14. Burgess D, A. On character sums and L — series. II // Proc. London Math. Soc. 1963, v. 13, no 3, pp. 524-536.

15. Марджанишвили К. К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР. 1939. Т. 22, №7. 391-393.

REFERENCES

1. Vinogradov I. M. 1985, “Selected work”, Berlin-New York: Springer-Verlag, 401 p.

2. Vinogradov I. M. 1952, , “New approach to the estimation of a sum of values of x(p + k)”, Izvestiya Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat., vol. 16, no 3, pp. 197—210

3. Vinogradov I. M. 1953, “Improvement of an estimate for the sum of the values x(p+k)”, Izvestiya Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat., vol. 17, no 4, pp. 285—290.

4. Karatsuba A. A. 1970, “On sums of characters with primes”, Sov. Math. Dokl., vol. 11, pp. 135137.

5. Karatsuba A. A. 1970, “Sums of characters over prime numbers” Math. USSR-Izv., vol. 4, no 2, pp. 303-326. doi.org/10.1070/IM1970v004n02ABEH000907.

6. Rakhmonov Z. Kh. 1986, “On the distribution of values of Dirichlet characters”, Russian Math. Surveys, vol. 41, no 1, pp. 237-238. doi:10.1070/RM1986v041n01ABEH0032.

7. Rakhmonov Z. Kh. 1986, “Estimation of the sum of characters with primes” Dokl. Akad. Nauk Tadzhik. SSR, vol 29, no. 1, pp. 16-20 (in Russian).

8. Rakhmonov Z. Kh., 1995, “On the distribution of the values of Dirichlet characters and their applications”, Proc. Steklov Inst. Math., vol. 207, no. 6, pp. 263-272.

9. Fridlander Dzh. B., Gong K., & Shparlinskii I. E., 2010, “Character sums over shifted primes”, Math. Notes, vol. 88, no 3-4, pp. 585-598. doi:10.1134/S0001434610090312.

10. Rakhmonov Z. Kh., 2013, “Distribution of values of Dirichlet characters in the sequence of shifted primes”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 56, no. 1, pp. 5-9.

11. Rakhmonov Z. Kh., 2013, “Distribution of values of Dirichlet characters in the sequence of shifted primes”, Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., vol. 13, no 4(2), pp. 113117.

12. Rakhmonov Z. Kh., 2014, “Sums of characters over prime numbers”, Chebyshevskii Sb. vol. 15, no 2, pp. 73-100.

13. Burgess D. A. 1962, “On character sums and L — series”, Proc. London Math. Soc., vol. s3-12, no 1, pp. 193-206. doi:10.1112/plms/s3-12.1.193.

14. Burgess D. A. 1963, “On character sums and L — series. II”, Proc. London Math. Soc., vol. s3-13, no. 1, pp. 524-536. doi:10.1112/plms/s3-13.1.524.

15. Mardjhanashvili K. K. 1939, “An estimate for an arithmetic sum”, Doklady Akad. Nauk SSSR, vol. 22, no 7, pp. 391-393.

Институт математики Академии наук Республики Таджикистан. Получено 09.12.2015 г.

Принято в печать 10.03.2016 г.