CC BY
22
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №3_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Ш.Х.Мирзорахимов
ОЦЕНКА КОРОТКОЙ СУММЫ ЗНАЧЕНИЙ ХАРАКТЕРА ДИРИХЛЕ ПО МОДУЛЮ, СВОБОДНОМУ ОТ КУБОВ НА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
СДВИНУТЫХ ЧИСЕЛ
Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 15.12.2014 г.)
1 +е
При у > д4 и (ц, д) = 1 получена нетривиальная оценка сумм значений примитивного характера по модулю д, д - число, свободное от кубов на последовательности сдвинутых чисел п — ц, х — у < п < х, (п, д) = 1.
Ключевые слова: нетривиальная оценка - характер Дирихле - сдвинутые простые числа - короткая сумма характеров.
Для неглавного характера х(п) по модулю д Д.Берджесс [1, 2] получил оценку
х-у<п<х
-+4£
которая является нетривиальной при у . При изучении закона распределения значений Хч на
последовательностях сдвинутых простых чисел вида р — I, (I, д) = 1 возникает задача получения нетривиальной оценки сумм вида
S (y) (n q) = 1-
x-y<n<x (n,q )=1
Ранее сумма £ (у) в случае простого д рассматривалась в работах [3, 4], а в случае составного д - в работах [5-11].
Основным результатом этой работы является следующая теорема о нетривиальной оценке суммы £ (у), д - число свободное от кубов. Всюду ниже будем считать, что 8 - положительное
сколь угодно малое постоянное число.
Теорема 1. Пусть а - вещественное число, г > 3 — произвольное фиксированное натураль-
1+— —1
ное число, М, N, й и ц — целые числа, удовлетворяющие условиям (ц, д) = 1, N < д2 4гй 2, 0,1 < а < 0,9, й < ехр(&2)а, тогда
Адрес для корреспонденции: Мирзорахимов Шерали Хусейнбойевич. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АНРТ. E-mail: smirzorakhimov@mail.ru
S = ^ хя (nd -ф < NHq1+4'2+fd4sr 2.
(1)
M <n<M+N
Доказательство. Оценку (1) для суммы £ докажем методом математической индукции по
1
N . При N < ц4 для правой части оценки (1) справедливо неравенство
NН qЬ+4^с12 > NН ц4 > N Н [ N4 ]^ = N,
то есть в этом случае оценка (1) является тривиальной и её возьмем в качестве базы индукции.
1
Далее будем считать, что N > ц4. Производя в сумме £ сдвиг интервала суммирования на к, 1 < к < Н < N, получим
£ = Е хч((п+к)ё+ Е ^(пй- Е ^(пй
M <n<M+N
M <n<M+h
M+N <n<M+N+h
Оценивая две последние суммы, воспользовавшись предположением индукции, имеем
S <
X A ((n + h)d -ф
M <n<M+N
, Ь__I__|_ А 1
+ 2H1 -q" 4i2 'd1 L2.
Полагая в этом неравенстве к = и суммируя его по у и 2 в пределах
1 < у < У, (у, ц) = 1, 1 < г < г, У = Г2"1 1, г = [2-1-^ -1
и обозначая через У - количество чисел у е [1, У], взаимно простых с числом ц , приходим к неравенству:
|S|<
1
YqZ
X X X a ((n+yz)d -ф
1<y<7 1<z<Z M<n<M+N (y, я )=1
-2(YZ )1 - 'q 4'+^+S'd1"' L 2.
Далее, определяя число y 1 из сравнения yy 1 = 1( mod q) и воспользовавшись определением параметров Y и Z , имеем
1
|S<^V X X
YZ
M <n<M+N 1<y <Y (y,я)=1
X A ((nd -ф)y-1 + zd)
■2-1N1 ^' qir+-2 +fd1 ^' L 2.
Обозначая в этом неравенстве символом I(Я) - число решений сравнения
(nd-ri)y- = Я(modq), M <n <M + N, 1 <y < Y, (y,q) = 1,
получим
| S | < W + 0,5 N1"' q1+4'2 'L 2,
(2)
д—1
Ж = (7^)—1 ^ I (Л)
Л=0
£ х9 (Л + )
1<г <Z
Стандарным методом преобразуем внутреннюю сумму так, чтобы её общий член не зависел от параметра й. Имеем
Ж <
1 д—1
тах Ж (к), Ж (к) = — £ I (Л)
0<к<д—1 YдZ Л=о
£Хд (Л + Ф
2<йЕ
Г ь)
ч д J
(3)
Возведём Ж (к) в степень г и воспользуемся неравенством Гёльдера и тем, что
д
£ I(Л) < N7,д ,
будем иметь:
Л=1
Жг (к) < (7^)—гГ£ I(Л)] £ I(Л)
Чл=0
Л=0
£ Xд (Л + г)е
1< г <й2
д J
<
<
(N7«)г— )г
д—1
£ I (Л)
Л=0
£ Хд (Л + г)е
1<
д J
Возведём обе части последнего неравенства в квадрат и, применяя неравенство Коши, будем иметь
д—1
(N7 )2г—2
Ж2Г(к) < К = £ ^(Л),
(YдZ )
(4)
д—1
V=£
Л=0
£ Хд (Л + г)е
Л=0
(
1<z<dZ
кг
д J
Сумма К равна числу решений сравнения
(пй — ц) у = (пй — ц) У1 (тоё д),
М < п, пх < М + N, 1 < у, у! < 7, (у, д) = 1, (ур д) = 1,
для которого все условия леммы 10 работы [11] выполняются. Согласно этой лемме имеем
^ лгт, 272 272 1 2( N7 )и8 3( N7 )1+8
К < N7 +-+-р(дй 1,7) + —--—< —--—.
й й й й
Для оценки суммы V воспользуемся следующей леммой, доказательство которой проводится как доказательство леммы 8 работы [1], но только вместо леммы 7 этой работы используется лемма 8 работы [2].
г
г
Лемма. Пусть г — произвольное фиксированное натуральное число, г — натуральное число, ц — число, свободное от кубов, к - натуральное число и 0 < к < ц — 1. Тогда справедливо соотношение
1=0
Е а (л+2)е
1< г <г
( кА л ц У
< с \ггц+г 2гс12+81,
где постоянная с = С (г,&) зависит только от г и 8 . Пользуясь леммой, получим
ц—1
V=Е
1=0
Е а(1+2)е
1<г<аг
Г
V ц у
2г „ 1+8
< с 1(аг)гц+(аг)2гц
Подставляя оценки сумм ^ и V в (4), а затем правую часть полученной формулы в (3), последовательно получим
ж2г (к) < 2 \ +а2гц1+8 ] (тУ+8,
о д7-2г—1+8 у 1+8 2г ^ 1 ( г„,г—1„ , „;2г—1„т+8 ) /,, „^2г
Ж<
У2
г гаг—^+с2г—2+8|(4&)
Далее, поступая аналогично как при доказательстве леммы 12 работы [11], покажем, что
У ><МУ >
" 2ц 1п У' Пользуясь этим неравенством, параметр У выразим через У . Имеем
1 1—8 1—8 ( 1 1__L X 1__к 1
N 2 гУ 2 г 1г 2 а2 2 2 г + а 2 гц4 г 2 г | у (1п у)г. 2—1 щ^а 1 и г = Г 2—1—711
Ж = 4
3с.
V С< У
Далее, имея в виду, что У =
найдем
11^1 1
т-1—1 лг+-;-? ,1—1
Ж < N 4 г 4 г2 аг -А,
А = 4
( 32—8 ^2-
V С<Р У
N
; 8—8- 8 / —8 \ 1 ц 4г2 а2г 12 ц 2г +11 у(1п у)г.
их —1
Воспользовавшись соотношением N < ц2 4гС 2, имеем
2г
Л< 4
сЛ*
V Ср J
1x1 1
= 4
с2
V р J
q2 47 d 2 J q ' 47 d2r (2 q 2 + 1)L(ln L)7
Ä / __^ \ 1 ¿9
qr 12 q 27 +11L(lnL)7 < 0,5qrL2.
Поэтому
W < 0,5N1 " 1+472 +~rd4L2.
Подставляя полученную оценку для Ж в (2), получим утверждение теоремы.
1+Ъд
Теорема 2. Пусть (ц, д) = 1, у > д4 2 , 0,1 < с < 0,9, тогда
S=H Хч(п-П)<куехр-Г W
x_y<n< x
(n,q )=1
Доказательство теоремы 2 проводится методом доказательства леммы 13 работы [11] с использованием теоремы 2. Из этой теоремы при с = 0.6 следует:
1+3-S
Следствие. Пусть (^, q) = 1, y < x и y > q42 , тогда
Yj jexpi-1,5^1.
x_ y<n< x ( n, q )=1
Поступило 17.12.2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Burgess D.A. On character sums and Z-series - Proc. London Math. Soc, 1962, v. 12, №3, pp. 193-206.
2. Burgess D.A. On character sums and Z-series II. - Proc. London Math. Soc, 1963, v. 13, №3, pp. 524-536.
3. Виноградов И.М. Избранные труды. - М.:Изд-во АН СССР, 1952.
4. Карацуба А.А. Суммы характеров с простыми числами. - Известия АН СССР, сер. матем, 1970, т. 34, с. 299-321.
5. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле. - УМН, 1986, т. 41, №1, с. 201-202.
6. Рахмонов З.Х. Об опенке суммы характеров с простыми числами. - Доклады АН Таджикской ССР, 1986, т. 29, №1, с. 16-20.
7. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения. - Труды Математического института РАН, 1994, т. 207, с. 286-296.
8. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел. - ДАН РТ, 2013, т. 56, №1, с. 5-9.
9. Рахмонов З.Х. Распределение значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел - Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2013, т. 13, в. 4(2), с. 113-117.
10. Рахмонов З.Х. Суммы характеров с простыми числами. - Чебышевский сборник, 2014, т. 15, в. 2(50), с. 73-100.
11. Фридландера Дж.Б, Гонг K, Шпарлинский И,Е. Суммы значений характеров на сдвинутых простых числах. - Матем. заметки, 2010, т. 88, в. 4, с. 605-619.
Ш.Х.Мирзорахимов
БА^ОИ СУММАИ КУТО^И ЦИМАТИ ХАРАКТЕРИ ДИРИХЛЕ АЗ РУИ МОДУЛИ АДАДИ АЗ КУБ ОЗОД ДАР ПАЙДАРПАИИ ЛАЩОНИДАШУДАИ АДА^ОИ СОДДА
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
1+s
Хднгоми y > q4 ва (r, q) = 1 бах,ои гайритривиалии суммаи к,иматх,ои характери примитивй аз руи модули q ва q -адади аз куб озод буда дар пайдарпаи лагчонидашудаи n - r, x - y < n < x, (n, q) = 1 гирифта шудааст.
Калимаои калиди: бауои гайритривиалй - характери Дирихле - ададуои соддаи лагцонидашуда -суммаи кутоуи характерно.
Sh.Kh.Mirzorakhimov
ESTIMATION OF SHORT DIRICHLET CHARACTER SUMS BY MODULE BEING CUBEFREE ON THE SEQUENCE OF SHIFTED PRIME NUMBERS
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Nontrivial estimation was obtained for sums of values of primitive character module q, and q is
1+s
cubefree. On the sequence of shifted numbers n - r, x - y < n < x, (n, q) = 1 for N > q4 and (r, q) = 1.
Key words: Nontrivial estimation - Dirichlet character - Shifted primes - short character sums.
