Оценка коротких сумм значений характеров от специальной последовательности натуральных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №12_

МАТЕМАТИКА

УДК 511.325

Д.Дж.Хокиев

ОЦЕНКА КОРОТКИХ СУММ ЗНАЧЕНИЙ ХАРАКТЕРОВ ОТ СПЕЦИАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 05.06.2015 г.)

В статье получена оценка вида

£ %(п-п) < д,

х-у<п<х (п,д )=1,п=Л(шс^ ()

где хч — примитивный характер, порожденный характером % по модулю В, д — произведение простых чисел, делящих В, но не делящих числа д, (\д, (п,д) = (Л,() = ((,д) = 1, у < х, х < д.

Полученная оценка является обобщением известной оценки Виноградова - Поя для последовательности сдвинутых чисел п — п с указанными свойствами.

Ключевые слова: характеры Дирихле, квадратичные вычеты, двойные суммы.

И.М.Виноградов [1, 2] своим методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами, изучая закон распределения значений неглавного характера на последовательностях сдвинутых простых чисел, доказал: если д — простое нечётное, (I, д) = 1, %(а) - неглавный характер по модулю д , тогда

T (х) = z%(p -1)« Н

р<Х у \ %

- + . (1) q х

При х » g1+£ эта оценка нетривиальна, и из неё следует асимптотическая формула для числа квадратичных вычетов (невычетов) mod g вида p — l, p < x . Затем И.М.Виноградов [3-5] получил нетривиальную оценку T(х) при x > g°'15+Е, g — простое. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что T(х) можно записать в виде суммы, по нулям соответствующей L — функции Дирихле; тогда в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для T(х) получится нетривиальная оценка, но только при x > g1+£ . В 1970 г. А.А.Карацуба [6, 7] получил новую оценку T(х), нетривиальную уже при x > g0'5+е .

Адрес для корреспонденции: Хокиев Дониёр Джалилович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ E-mail: [email protected]

В 1986 г. З.Х.Рахмонов [8-10] обобщил оценку (1) на случай составного модуля и доказал: пусть В - достаточно большое натуральное число, % — неглавный характер по модулю В, % -примитивный характер, порожденный характером %, тогда

T(%) < x ln5 x

li + qT2(q1) + xMq) 1 q =П P- (2)

v,q x

p\q

p\D

Если характер % совпадает со своим порождающим примитивным характером %, то оценка (2) нетривиальна при х > д(1п qf 3. Дж.Б.Фридландер, К.Гонг, И.Е.Шпарлинский [11] для составного д получили нетривиальную оценку Т(% ) при х > q9. В [12 - 14] для составного q доказана нетривиальная оценка Т(% ) при х > д6 .

Отметим, что вопрос о нетривиальных оценках сумм Т(%), % — неглавный характер по модулю В, % - примитивный характер, порожденный характером % , д < В, при х < В до сих пор остаётся открытым. Основным моментом получения таких оценок является оценка двойных сумм

вида

T(Zq,M, N,d) = Z a(m) Z b(n)zq(mn — /), d I q,, (3)

M <m<2M N<n<min( xm 1,2 N)

( mn,q)=1, mn=/( mod d )

которые в свою очередь делятся на двойные суммы, где имеется длинная сплошная сумма или суммы, составляющие двойную сумму, близкие по порядку.

Основным результатом этой работы является теорема о нетривиальной оценке коротких сумм значений примитивного характера Дирихле % от последовательности сдвинутых чисел n — (, при

условии, что x — y < n < x, (n, q) = 1, n = Л (mod d), в частности из которого следует нетривиальная

оценка двойных сумм, имеющих длинную сплошную сумму.

Теорема. Пусть D — достаточно большое натуральное число, % — неглавный характер по

модулю D, % - примитивный характер, порожденный характером %, q — произведение простых чисел, делящих D, но не делящих числа q, d\q, (q, q) = (Л, d) = (d, q) = 1, y < x, x < q, тогда

S = Z %q(n — () < 2a(q)4q lnq. (4)

x—y<n<x

(n,q )=1, n^(mod d)

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что у / ё > 2®(д)^/д 1п д , в про-

тивном случае оценка (4) тривиальная. Далее имеем равенство:

S = Z Xq(n — 1) Z 1 = Zxq(a) Z 1 =

x—y<n<x (n,g)=1, n^(mod d)

a=1 a=1

a=n—i (mod g)

x—y<n<x, n—r=a(mod g) (n,g )=1,n^(mod d)

* 1 * f (a — n + r)t Л

= ZXg(a) Z -Z e I-

a=1 x—y<n<x g t=1 V g

(n,g)=1, n^(mod d)

=1 ±e f1Л

g t=1

g

Z e i— — ^ ^X g (a )e

(nyg )=1, n^(mod d)

fat_ Л

g J

Пользуясь формулой, которая устанавливает связь между значениями примитивных характеров и значениями сумм Гаусса, имеем

S =

g t=1

ZXg(t )e

f rt ^

g J

Z *

x—y<n<x (nyg )=1, n^(mod d)

f n

g J

r(XgfrtЛ f tnS^

g t=1 V g J S\g

x—y<nS<x nS=Л (modd)

g J

Сравнение nS = Л(mod d) равносильно сравнению n = ASd(mod d), где Sd определяется из сравнения S -Sd = 1 (modd). Поэтому, представляя n в виде n = nd + ASd, получим

r(Xgrt^ / tS(nd + ASd

S = ZXg(t)e 1 IZMS) Z e

g t=1

g J S\g

^Z X(t)e frV^e

g t=1 V g J S\g x — У hSd

x <n< x2 V

f tXSSj

g

Z

g j

{ tdSn ^

x <n< x2 V g J

PlS,

x1 =■

Sd d

x2 =

Sd d

Последняя сумма по п при 5> у / ( и [х2 ] = [] пустая, а при 5> у / ( и [х2 ] = [хх ] +1 состоит из одного слагаемого при п = [х2 ]. Поэтому при 5 < у / (, воспользовавшись для целых пх и п2 равенством

Z

(

tdnS

Л

sin

TTtdS(n2—n+1) /

щ < n<n2 V g J

sin

ntdS

tdS{nx + n2) 2g

и, переходя к оценкам и имея виду, что | т(х) | =\[д , найдём

s i q

<=!

(t ,q)=l

I^2(8)

S\q

V d8< .y

sin-

Ktd

q /8

+1

= 4= I<u\8) ± vq

8q t=1

d8< y (t ,q )=1

sin-

Kt

q/8

(p(q)

1 8-1 q/8

= -L I

\)q 8\q tx =0 t2 =1

d8< y (t1q/8+t2 ,q)=1

. n(tq / 8 + L ) sin 1 2

q/8

(p(q)

4ч

1

8-1

8\q d8< y

t1 =0 t2 =1

(tq/8+t2 ,q)=1

. 7Ttn sin-

q/8

+ -^<-=18/л (8)S(8) + s/q y/q 8\q yq

d8< y

где

q/8-1

S (8) = I

t=1

sin-

Kt

q/8

Если q / 8 — нечётное число, то

q/8-1 2

S (8) = 2I

t=1

sin-

Kt

q/8

-1 q/8-1 s x-1 q/8-1

2 I 21 l q 2 1

< 2Ц JL = q i1,

1 q/8) 811

t=1

так как sin na > 2a при 0 < a < 1/2. Далее, воспользовавшись неравенством

1 , 2t +1 -< ln-,

t 2t -1

найдём

д/ 8-1 д/ 8-1

q тЪК q

S(8) < q 11 < q I (ln(2t +1) - ln(2t -1)) = q ln q / 8.

8 ,=1 t 8 t=1 8

Если q / 8 — чётное число, то

S (8) = 21

sin-

Kt

q/8

+1 < 21

21

v q/8)

+1=q I1+1 < 81 t

< q I (ln(2t +1) - ln(2t -1)) +1 = q ln(q / 8-1) +1 < q ln q / 8.

8 t=1 8 8

q>8 1

q

q

Следовательно,

<s¡q s\q \J<] yjq S\q o ^Jq

d8< y

d8< y

« V^ln</£ Ц2(8) = Tui\fij\n q.

S\q

Теорема доказана.

Поступило 05.06.2015 г.

t=1

ЛИТЕРАТУРА

1. Виноградов И.М. Распределение квадратичных вычетов и невычетов вида р + к по простому модулю. - Математический сб., 1938, т. 3, №45, с. 311-320.

2. Виноградов И.М. Уточнение метода оценки сумм с простыми числами. - Известия АН СССР, сер. матем. 1943, т. 7, с. 17-34.

3. Виноградов И.М. Новый подход к оценке суммы значений %(р + к). - Известия АН СССР, сер. матем., 1952, т. 16, с. 197-210.

4. Виноградов И.М. Улучшение оценки для суммы значений %(р + к). - Известия АН СССР, сер. матем., 1953, т. 17, с. 285-290.

5. Виноградов И.М. Оценка одной суммы, распространенной на простые числа арифметической прогрессии. - Известия АН СССР, сер. матем., 1966, т. 30, с. 481-496.

6. Карацуба А.А. О суммах характеров с простыми числами. - ДАН СССР, 1970, т. 190, №3, с. 517-518.

7. Карацуба А.А. Суммы характеров с простыми числами. - Известия АН СССР, сер. матем., 1970, т. 34, с. 299-321.

8. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле. - УМН, 1986, т. 41, №1, с. 201202.

9. Рахмонов З.Х. Об оценке суммы характеров с простыми числами. - ДАН Тадж ССР, 1986, т. 29, №1, с. 16-20.

10. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения. - Труды Математического института РАН, 1994, т. 207, с. 286-296.

11. Фридландер Дж.Б., Гонг К., Шпарлинский И.Е. Суммы значений характеров на сдвинутых простых числах. - Матем. заметки, 2010, т. 88, в. 4, с. 605-619.

12. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел. - ДАН РТ, 2013, т. 56, №1, с. 5-9.

13. Рахмонов З.Х. Распределение значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел. - Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2013, т. 13, в. 4(2), с. 113—117.

14. Рахмонов З.Х. Суммы характеров с простыми числами. - Чебышевский сборник, 2014, т. 15, в. 2(50), с. 73-100.

Д.Ч,.Хокиев

БА^ОИ СУММА^ОИ КУТО^И ЦИМАТ^ОИ ХАРАКТЕРНО АЗ ПАЙДАРПАИ^ОИ МАХСУСИ АДАД^ОИ НАТУРАЛЙ

Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Дар макола бах,ои намуди зерин ёфта шудааст

^ %(п — п) < 2-д)4~д 1пд,

х-у<п<х (п,д )=1,n=Л(mod ()

ки дар инчо х - характери примитивии аз х тавлидшуда, g - х,осили зарби ададх,ои соддаи

ба D таксимшаванда ва ба g таксимнашавада, d\g, (r,g) = (Л,d) = (d,g) = 1, y < x , x < g. Бах,ои гирифташуда бах,ои маълуми Виноградов - Пояро барои пайдарпаих,ои лагжонидашудаи n — r бо хосиятх,ои нишондодашуда умумй мегардонад.

Калима^ои калиди: характерной Дирихле - тафрищои квадраты - суммауои дукарата.

D.J.Khokiev

ESTIMATION OF SHORT CHARACTER SUMS OF SPECIAL SEQUENCE

OF NATURAL NUMBERS

A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan The estimation of the form

Z Xq (n — 1) < r( g ^ in g,

x—y<n<x (n,g )=1, п=Л( mod d)

was obtained in the paper, where xq - primitive character generated by character x modulo D , q - is the product of primes dividing D, but not dividing q, d\q, q) = (A,d) = (d,q) = 1, y < x, x < q. Obtained estimation is the generalization of the well-known estimation of Vinogradov-Poya for of shifted numbers n — ^ with above properties.

Key words: Dirichlet characters - quadratic residues - double the amount.