О распределении простых чисел в арифметических прогрессиях с разностью специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.35

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В АРИФМЕТИЧЕСКИХ ПРОГРЕССИЯХ С РАЗНОСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

С.А. Гриценко, М.В. Шевцова

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected], [email protected]

Аннотация. Рассматривается задача получения асимптотической формулы для числа простых чисел, не превосходящих X и лежащих в арифметической прогрессии с разностью

О = рП, где р0 > 3 - фиксированное простое число и О < X3/8е-(1п1п х) .

Ключевые слова: распределение простых чисел, арифметическая прогрессия, схема решения тернарной задачи, оценка сумм характеров по простым числам.

Введение

В теории чисел важную роль играет распределение простых чисел в арифметических прогрессиях.

Пусть п(х,О,/) означает число простых чисел, не превосходящих х и сравнимых с I по модулю О. При О < (1пх)А, где А > 0 - сколь угодно большое число, справедлива формула:

7Г(х, А I) = + О (хе-с^) ,

р(О) V )

которая известна в литературе как формула Зигеля-Вальфлиша [1].

Но для разности О = рП с фиксированным р0 > 3 простым числом можно улучшить этот результат. В 1955 году А.Г. Постникову [2] удалось свести оценки сумм характеров по модулю, равному степени нечетного простого числа, к оценкам сумм Вейля специального вида, которые допускают нетривиальные оценки даже в тех случаях, когда их длины очень малы.

Эти соображения использовали ряд авторов для решения некоторых проблем теории чисел, к которым в общем случае не было никаких подходов.

Ю.В. Линник, М.Б. Барбан и Н.Г. Чудаков в работе [3] на основе плотностной техники получили следующий результат:

7г(х, Д I) = (і + О (1пж)_м) , (1)

где О < х3/8- (є произвольно мало) и М произвольно большое число.

М.М. Петечук [4] применил идею А.Г. Постникова к проблеме делителей Дирихле в коротких арифметических прогрессиях и получил асимптотическую формулу:

от переменной л с коэффициентами, зависящими от к и р0, я = min , ß > 0 -

константа, зависящая от p0.

Для доказательства этой формулы применена идея работы А.А. Карацубы [5], позволяющая решать эту задачу по схеме аддитивной тернарной задачи. При этом автор не прибегает к аналитическим методам, а лишь использует оценки сумм характеров по специальному модулю, основанные на идее А.Г. Постникова.

В настоящей статье дается новое доказательство формулы (1). Мы стремились сделать его по возможности «элементарным» и использовать минимально необходимый объем средств комплексного анализа и теории арифметических рядов Дирихле. Получить вполне элементарное доказательство нам не удалось, поскольку пришлось оценивать суммы значений характеров по простым числам. Для оценок таких сумм использована формула Перрона [6] и стандартная техника контурного интегрирования. Отметим, что теорема о границе нулей L(s, х) В.Н. Чубарикова [7], которой мы пользуемся, доказана вполне элементарно. Плотностная техника, на которой основана работа

[3], в нашей статье не применяется. Основным результатом статьи является следующая

Теорема. При (l,D) = 1, D < X3/8e-(lnlnX)2 справедлива формула

n=l (mod D)

где D < x3/8 є (є - произвольно мало), (l,D) = 1, Qk-1(z) - многочлен степени (к — 1)

(2)

§1. Вспомогательные леммы Лемма 1 (тождество Хис-Брауна). Пусть К ^ 1, г ^ 1. Тогда для любого п < 2гК

имеем

1^ k v ' mi...mkni...nk=n,

□ Доказательство см.[8], Propozition 13.3. ■

Лемма 2. Для любого неглавного характера х по модулю О = рП справедлива оценка:

^2 Х(и) < а1/2О1/61пО.

1<п<а

□ Доказательство см. в [9]. ■

Лемма 3. Пусть х - произвольный неглавный характер по модулю О = рр^, Ва = х(т), р = 1пО/ 1па. Тогда существуют константы с > 0,7 > 0, зависящие от р0,

ш<а

такие, что при 1 < р < 0, 5п выполняется оценка

|Sa| < ca1-Y/p2

□ Доказательство см. в [10]. ■

Лемма 4. Пусть х - произвольный неглавный характер по модулю D = р'П. Тогда L(s,x) не имеет нулей в области

b

(У > 1____________-_______ \t\ < gte(ln In D)2

(1пД)2/3(1п1пД)2 ’ M ’

bi, b2 - константы.

Yi

□ Сначала покажем, что в области a ^ 1 — —— . , 71 = 7/2, где 7 - константа из

(ln D)2/3

леммы 3, имеет место оценка

L(s,x) = O((| t| + 1)(ln D)2/3).

Справедливо тождество

/ОО

S(x)x-s-1dx, S(x) = ^^ x(v) ■

v^x

Разобьем интеграл на части:

/D го

S(x)x-s-1dx + s J S(x)x-s-1dx ■ (3)

Во втором интеграле для оценки суммы S(x) будем пользоваться оценкой Виноградова-Пойа: S(x) = 0(\/D\nD). Имеем:

s / S(x)x s dx

D

^ (I A + 1) |S'(^)|rr a 1dx (|i| + l)VD\nDD~

D

і Ґ - -1 / lnD'

Поскольку (7 > 2, ТО L(s, х) = s S(x)x Л СІХ + 0 ( (I ¿1 + 1)-

мало.

D£

где е произвольно

Рассмотрим первый интеграл в (3). Разобьем его на части, полагая N = exp (ln D)2/3:

,-D

,-D

S(x)x s dx = S(x)x s dx + / S(x)x s dx

N

В первом интеграле справа сумму Б(х) оценим тривиально, а во втором - согласно лемме 3. В результате, получим

N

x sdx

x

1—а

1 — а

N

O((ln D)2/3),

-D

S(x)x s dx

N

rD I cD

^ |S (x)|x-1-a dx = O

NN

xa exp

Y ln3 x ln2 D

dx\ = [v = ln x]

rln D i Yv3

О I I exp \ v(l — a) —

'ln N

-ln D

ln2 D

dv = O

exp

Yv

ln N

2 ln2 D

dv\ = O((ln D)2/3)

Таким образом, мы доказали, что в области а ^ 1 —

Y1

(ln D)2/3

L(s,x)= O((| t| + 1)(lnD)2/3).

Теперь пусть p = а + it - нуль функции L(s, x), положим

а = 1 —

d

(ln D)2/3(ln ln D)2’ Надо показать, что d ^ c > 0. Рассмотрим точку

4d

So = 1 +

d < 1.

(ln D)2/3(ln ln D)2

ao + it.

Из точки s0 опишем круг радиуса r

ci

радиуса r/2, так как

В круге | s — s01 < r

(ln D)2/3'

Точка p будет лежать внутри круга

c1

5d

>

2(lnD)2/3 (lnD)2/3(lnlnD)2 '

L(s,x)= O((| t| + 1)(lnD)2/3).

1

Кроме того,

1

L{so,x)

1 Гйи (1п Б)2/3(1п1п Б)2

— —=і + —

/ ^ п и°о

п=1

иСТо

4й

Поэтому

Ц80,Х)

^ М — (| ¿| + 1)-

1п2 Б

й

Точно такая же оценка имеет место в круге |з — 51| ^ г, 51 = а0 + 2іі. Применим лемму 6 на с. 99 [10]:

№о) 4 1

Ие^—-г 7 — 1п М + Не-----

Ь(во) г

50 — Р

4(1п Б)2/3 (1п Б)2/3(1п1п Б)2

------------1п М Н---------

С1

5й

Ь'(в1) 4 4(1п Б)2/3

^ — 1п М =-----------------------— 1п М,

Ь(в1) г

С1

Ь'Ы і

Ь(сг0) (т0 - 1 С2

Справедливо неравенство:

Ь(со,х)

Ь(ао + іі)

L(o'о + 2іі)

Подставляя полученные оценки в это неравенство, получим:

(1п Б)2/3(1п1п Б)2 | ( 4(1п Б)2/3 (1п Б)2/3(1п1п Б)2

3 <------------—-----------\-с2 >+4 {-----------------1пМ Н--------------—-----------> +

4й

С1

5й

4(1п Б)2/3

+ —---------—1п М ^ 0

С1

(1п 1п Б)2 3С2 20 ч2 40 20

----9ПЛ-----+Л П^2/3 + ~ ІПІ11Д + — І11І11Б-------------------------------ІПЙ^О.

20й (1п Б)2/3 с1 с1 с1

1 /(1п1п Б)2 20й 1п й\ 20 / 3с2с1

й

20

С1

-) + ъ +<1п 1110)2+21111п В) й °'

При ¿і —^ 0, сі 1п ¿і —> 0, а - —> оо, поэтому

й

1 (1п1п Б)2 20

с1

О 7140

Лемма 5. Пусть х - произвольный неглавный характер по модулю О = р^, Ба х(р), где р - простое число. Тогда справедлива оценка:

а<р<2а

с а(1пБ)5/3(1п1пБ)2

^ е(1Шп^ 1па •

□ Введем в рассмотрение функцию

Г 1 к

л (??,) ^ ’ если п = р ;

Лі(п)

ln n

0 , в противном случае.

Из определения функции Л1(п) следует, что

х(.п)Ы'п)= x(p) + 0(y/â).

a<n<2a a<p<2a

С другой стороны,

\ ^ ґ \ \ ґ \ \ " х(п)Мп)

^ \(»)Лі(п) = ^ 1п|| .

a<n<2a n< a

Применим преобразование Абеля, полагая с,п = \(n)A(n) , fin) = ---------- . В результате,

ln n

получим

4 1

(П)А(П) ' ' '

г2a ( \ du (

i Ç Х(В)А(»)1 ^ + i Е Х(»)Л(») U2a

a \n<u / \a<n < 2a

а

Интеграл можно оценить величиной -----------------==—-— , где с - константа. Поэтому

ес>у/ 1п а 1п а

a<p<2a a<n<2a

Для суммы справа применим формулу Перрона:

Y Х(р) = ]— Y х(пЩп) + О

z—' ln a z—' \ec'vln a ln2

1 Cb+iT L \ (2a)s - as

4- *(n)A(n) = ші iT (-l(8';ï))—ï—da =

a<n<2a °b iT \ /

àH(-Lï4^

Применяя формулу разложения логарифмической производной Ь(в, х)-функции по её нулям и величину границы этих нулей, имеем:

Ь

Ь' ^ 1

■(«,*)= У] -------+ 0(1п£>Т),

5 — Рп \І-1П\<1 ,П

С С

Рп < 1 т;—„ч/,—;—<Т > 1 —

(1п Б)2/3(1п 1п Б)2’

2(1п Б)2/3(1п 1п Б)2

Ь' 2

(в,х') < -(1п£>)2/3(1п1п£>)2 V 1 + ОПпШ1) = 0((1п£>)5/3(1п1п£>)2)

С

\*-7п\<1

Ь

где х - характер по модулю О = рП и рп = вп + *1п - нули функции Ь(в, х).

Рассмотрим контур, указанный на рисунке, для которого выберем Ь = 1 +

1п а

а1 = 1 —

Со

(1п Б)2/3(1п 1п Б)

Т = е(1п1п о)2

Рассмотрим интегралы по сторонам II и IV соответствующего контура:

1 ГЬ+ІТ ( Ь' \а

<

Ь'

-т(*а)

а

О

е(1п1п В)21п а

По стороне III интеграл можно оценить следующим образом:

(1п Б)5/3(1п 1п Б)2

1 ,а1+ІТ / Ь'

7Г~- —г(в-Х') —^

2пі

/ а і-ІТ

Ь

<

1 ГТ ( Ь' \ аа+а

—■ I I—г(5’Х) 1^—^

Т

О ааі 1п Т

Ь'

-тм

2пі ./ _ т \ Ь /і а(1п Б)5/3(1п 1п Б)2'

О

ас0/(1п 0)2/3 (1п 1п Б)2

Следовательно интеграл можно оценить величиной О

е(1п1п 0)21п

-(1п Б)5/3(1п 1п Б)2 ,

откуда и следует утверждение леммы.

1

Ь

а

а

Лемма 6 (А. И. Виноградова). Количество чисел, не превосходящих х, и таких, что все пх простые делители не превосходят г < \/х, имеет оценку

где а = 1пг) 1пх, | 9\ < 1.

□ См. в [11]. ■

Лемма 7. Пусть х - произвольный неглавный характер по модулю Б = рП. Справедлива оценка:

где 6Г - бесквадратное число, имеющее ровно г простых делителей, Я = [1с^2 х].

Пусть 1 < г < Я, обозначим Бг = ^¿г<х х($г). Если г = 1, то Бг - сумма по простым числам, её можно оценить согласно лемме ??.

Пусть г > 1. Разобьём числа 8Г на г + 1 непересекающихся классов А0, А1,... , Аг следующим образом. При 0 < т < г положим 8Г Є Ат, если среди простых делителей 8Г ровно т простых делителей, больших е(1п п)2/3+£1, и ровно г — т простых делителей, не превосходящих е(1п°)2/3+£1, где 0 < Є1 < 0, 01.

Рассмотрим сначала числа 8Г из класса Ао. Все простые делители этих чисел не превосходят е(1п °)2/3+£1. Поэтому

Вх ехр

1

1п —Ь 1п 1п

а

□ Очевидно, что

я

Б = ^ Мп)Х(п) = 1 + 5^(—1)Г Х(5г),

$т € Ао

где штрих означает, что все простые делители п не превосходят вк ’ сумму по лемме А.И. Виноградова (лемма 6). В результате, получим:

(1п о)2/3+£1 . Оценим эту

п< х

Следовательно

^ Х($т) < хехр (—(ЬБ)1/3 Є1) .

ёг< X,

ёг Є Ао

Рассмотрим числа 8Г, принадлежащие остальным классам Ат, 1 < т < г. Любое такое число можно однозначно представить в виде

г __ г/ г//

Ог_тОт ,

где 8'г_т - бесквадратное число, имеющее г — т простых делителей, каждый из которых не превосходит е(1п п)2/3+£1, а Ь'т - бесквадратное число, имеющее т простых делителей, каждый из которых больше е(1п д)2/3+£1 . Имеем:

£ *№• )= Е х№_,х)

ёг< х,

ёг€ Ат

х(к_тд'т) + X/ х(к_тд'т)

ёё ё х ёё ёёё ^ х

г — тт < х, г — тт < х,

ёё < х0,1 ёё > х0,1

ёг — т< х г — т >

= Б1(ш, г) + Б2(ш, г).

Оценим сумму Б2(ш, г). Так как д'г-тд'т < х, д^-т > х0,1, то число удовлетворяет неравенству д'т < х0,9, и поэтому

\^2(ш,г)|< ^ ^ 1 ,

< ж0,9 &’г-т<*

х 01

где z = — , Z > X ’ . д

т

В силу леммы А. И. Виноградова,

ёГ — т<*

1П / л1/3_Є1

следовательно,

|Б2(т,г)| ^ хехр (—0, 05(1п/)1/3_£1

Оценим теперь сумму Б1(т,г). Имеем:

|Бі(т,г)|< ^ X! хю

^ ^09

ГДЄ Zl = —------- , Zl > X ' .

о'

'-'г—т

Сравним внутреннюю сумму с суммой

^2 х(°т_1)х(р)

Кп — 1 Р< *1>

Р>е(1п Д)2/3+г1.

К — тдт < х

ё'г — т< х0,1 ёт< *1

где 8'т_! пробегает множество бесквадратных чисел, имеющих ровно (т — 1) простых делителей, каждый из которых больше е(1п д)2/3+ £1.

Числа 5'т_\Р могут не быть бесквадратными; если число 5'^-\Р не бесквадратное, то оно делится на р2. Вклад таких чисел в сумму не превосходит

Р2

р>е(Ы Д)2/3+ £1

Если же числа \Р бесквадратные, то каждое заданное число 5^ < ¿і встречается среди чисел 5^-\Р ровно т раз, поэтому

і Е *№-.?) = Е x(C) + o(.ie-<'"D)1,s+-),

&,m—ip< zi ¿m< zi

Е Л Е Е x(p)

sm< zi sm-i< zie(in d)2/3+ £1 e(l„D)2/3+£l<p< П m — i

Таким образом, для оценки суммы ^п<х ^(и)х(п) требуется оценить сумму по простым числам ^2р<г2 х(р), где ^2 > е(1п д)2/3+ £1. Применим лемму ??, получим:

Е Х(Р) = О (;2е-‘/2<1п1пс)2) .

Р< ¿2

В итоге, объединяя оценки всех рассмотренных случаев, имеем:

х(1п Б)2

2_^У(п)х(п) « е(1п1пД)з/2 • ■

п< х

2. Доказательство теоремы

Очевидно,что

X Al(n) = X 1 + 9 ^ 1 + з X 1 + • • • = X] 1 + °Ых) ■

п< X р< X р2< X p3< X р< X

Тогда

x(X,D,l)= Y, W+0(V^)-

п< X, n=l (mod D)

Применяя преобразование Абеля к первой сумме слева и производя необходимые оценки, мы получим:

1 \' \(п) 4- О I Хр~с'

1п п

п< X, n=l (mod D)

Из ортогональности характеров имеем:

X Л(??) = ^у X \И)У2Мп)\{п)-

п< X, ^( ) x(mod D) n< X

n=l (mod D)

Выделим слагаемое с Хо

Е «„)= ‘ V AWt-ij^KO^AWtW.

n< X, ' n< X, ' х= хо n< X

n=l (mod D) (n,D) = 1

Первая сумма справа даст нам главный член формулы (2), а вторая - остаток R. Ко второй сумме применим тождество Хис-Брауна (лемма 1):

R=- X ^ ^ 1)..ф(пк)ЫП2кх

1^ k^K ^ / ^( ) х= хо ni...nfcnfc+i...n2fc =n,

ni,...,nk^z

x X(ni) • • • x(nk)X(nk+i)••• X(n2k) =

X

к ) ф(Б)

К к^ К 4 ' Ух= Х0

X X ^ЫхЫ ••• X ^(пк)Х(пк)х

^1<П1< 2М1 Мк<пк < 2Мк

X Х(пк+1) ••• X Х (п2к)1п п2к •

Мк+1<пк+1< 2^к+1, Щк <п2к < 2Щк

п1...пк Пк+1...П2к < Х,П1,...,Пк<г

Пусть К = 100. Для оценки остаточного члена Я достаточно оценить сумму

^(п1)Х(п1) ••• X ^(пк)Х(пк)х

( ) Х=Х0 ^<щ< 2^1 ^к<пк< 2Мк

х X Х(пк+1) ••• X Х (п2к)1п п2к •

^к+1<пк+1< 2^к+1, N2к<п2к< 2^2к

п1...пкпк+1...п2к< X, п1,...,пк< г

Возможны случаи:

1. ^к = шах(Жь ...,Мк, Ык+1,Ы2к}.

2. N1 = шах(Жі,... ,Мк, Ак+і,..., И2к}.

В первом случае, применив, преобразование Абеля, можно свести сумму

X х(п2к)1пП2к к сумме 1п(2Ак) х X х(п2к) ,

^2к <п2к < 2^2к ^2к <п2к < 2^2к

где 1п(2Ак) < X5/10.

Будем предполагать, что

А2к > А1 > Ак+1 > А2 > Ак+2 > • • • •

Положим и = А1... Ак, V = Ак+1... N2k-1. Тогда и > V, АУ > и > V. Кроме того, N = А2к, А2к > X1/2к. Пусть 5 - вещественное число, причем, 0 <5 < 1/2к, и пусть т'к(и), т'к_ 1(^), т'2к_ 1(у) соответственно означают количество решений в натуральных числах уравнений

П1 . . . пк и-> пк+1 . . . п2к-1 п1 . . . пкпк+1 . . . п2к-1 у•

где

N1 < П1 < 2А1, ... , Ак < Пк < 2Ак ,

Nk+1 < пк+1 < 2Ак+1 Рассмотрим случай и < X5. Имеем:

А2к-1 < п2к—1 < 2А2к-1

ІБ |<

1

№)

Х=Хо N1 < гаі< 2Nl

Nк<пк< 2Nk

X

X

Е

^к+1< пк+1< 2-^к+Ъ П1.. .пк пк +1 • • -п2к — 1 <Х

Х(пк+1)

Е

^к-1<п2к-1< 2N2k —1

Х(п2к-1)

Е

N2k <п2к < 2N2k

Х(п2к )

<

<

1

Е Е

ГТЛ\ / . / . • • • / , П1ах

ф{и) Z ' ^^' К2к<т’< т"< 2К2к,

^ ' Х=Х0 ^<щ< 2Nl ^к-1<«2к-1< 2N2k-l х= хо 2к

Е

Е хм

Т’<і< Т"

В силу леммы 1 справедлива оценка

X Х(і) < N1/2Б1/61пБ.

N< t<2N

Следовательно,

5 < ЛГі... ІУ2к_!^Д1/61п Б .

Так как М1... Н2к_1Н < X, V < и < X5, Б < X3/8, 1п(2Мк) < X5/10, то для суммы Б получим:

5 < ЛГ!... Б1/6 ЫХ = \,' .Х\ ... А2/, , \/ \'| • • • -\2/. / ЬХ <

< \fXJV\[ХБх^ 1пХ < Х1/2+г/5Д1/61пХ < х3/4+гД-1/3 .

Пусть теперь и > X5. Докажем, что в этом случае:

П,Л Х1-1г

5 < Х°’5Й шах { |5'| } + —— , (4)

N<Т< Т" < 2N, ^(Б)

иУ< У'< У" < 22к-1иУ

где

Ч>{Р)

S' = X V;/i X X X (і/) '^‘2к— і (у )

Х= хо T<t< T'' У <y < у ’

Будем использовать метод исчерпывания криволинейной области И.М. Виноградова [12]. Прямоугольной областью на плоскости (t,y) будем называть область, задаваемую неравенствами

T' <t < T" , Y' < y < Y'' ,

где N < T' <T" < 2N , UV < Y' < Y'' < 22k-lUV. Сумму S перепишем в виде

5 = фГо) X * X X хС0х(у)г2а-і(у) •

) Х=Х0 N<t< 2N, UV<y< 22k-1UV

ty < X

Если 2N • 22k-1UV < X, то (4) тривиально верно в силу того, что тогда область суммирования в S по переменным t и у прямоугольная.

Докажем (4) в случае, когда NUV < X < 22k-1UV. Определим величины T1, T2, полагая

Т\ = max { N, oh[TT^r 1 , T2 = min { 2 N, '

22k-1UVj’ \ ’ UV

Обозначим на плоскости (t,y) области, задаваемые неравенствами:

X

П, : Ni < t < T2 , UV < у < - ;

T2

X

П2 : Nx < t < Tx , — < у < 22k~lUV, ty<x;

T2

XX

: Тх < t < T2 , — < у < — .

T2 t

Область суммирования П в сумме S есть объединение попарно непересекающихся областей П2, П3, причём Пі и П2 либо пустые, либо прямоугольные. Поэтому формулу

(4) достаточно доказать для

5і = ІЕх(г) X X x(.t)x(.yHk-i(.y)■

) х= Х0 Ti<t<T2 X/T2<y<X/t

Пусть T0 и А таковы, что T1 < T0 < T0+А < T2. Область П, ограниченную на плоскости (t,y) неравенствами

X X

г„<і<г0 + д, ЇГГд<ї<-,

будем называть криволинейным треугольником на плоскости (t,y) с основанием, равным А.

Любой криволинейный треугольник с основанием, равным А, можно представить как объединение попарно непересекающихся прямоугольной области и двух криволинейных треугольников с основанием, равным А/2. Повторяя этот процесс s раз мы получим, что каждый криволинейный треугольник П с основанием, равным А, есть объединение попарно непересекающихся областей - 2s криволинейных треугольников с основанием, равным А^ и 1 + 2 + ... + 2s-1 = 2s — 1 < 2s прямоугольных областей.

Положим s0 = [$ log2 X/2]. В сумме S1 область суммирования по t и у является криволинейным треугольником с основанием, равным T2 — T1 . Представим её в виде объединения попарно непересекающихся подобластей - 2s0 криволинейных треугольников с основанием, равным (T2 — T1)/2s0 и не более чем 2s0 прямоугольных областей. Оценим сумму S2 по одному из таких криволинейных треугольников. Пусть

s* =-¿ты ^ х (і) X X x(.t)x(.yHk-i(.y) ■

) х= хо Ti<t<T2 x/T2<y<x/t

Если через S3 обозначим такую же сумму, как и S2, но суммирование по х распространено на все характеры по mod D, то

1^2 - 53| = —^2 X Хо(*)Хо{У)і{к-\{У) <

) х= хо Ti<t<T2 x/T2/<y<x/t

+ 1) (X-X + A< (5)

^ Xй/10 ґ N \ i X ~ <p(D) + ) \2S°N +

Положим

Я. =

<p(D)

Si = ^Tn)Ex^ £ Е ХІЇМуУп-М

х= хо Ti<t< T2 x/T2 <y< x/Ti

S3 и S4 равны числу решений, соответственно, сравнений ni ...П2к = l (mod D) , T1 < n2k < T'2 , N2 < П2 < 2N2 , Nk-i < n2k-i < 2N2k-i

XX

— < ni ■ ■ ■ n2k-i < -

T

n2k

ni ...П2к = l (mod D) , T1 < П2к < T'2 , N2 < П2 < 2N2 ,..., N2k-i < n2k-i < 2N2k-i

X X

— < '/7-2 • • • П2к-1 < ■

1 2 11

X X

Область, задаваемая неравенствами Т[ < і < Т2, — < у < — содержится в

t

X X

области, задаваемой неравенствами Т[ < і < Т2, — < у < —. Поэтому

12

T1

0 < S3 < S4 .

Отсюда следует

1

S4-------------(0

<p(D) ^ Л w ^

' х= хо Ti<t< T2 x/T2<y< x/ti

Xs/i0 N

^I "7^7 + 1

^(D) I 2

s0

X \ X1-25/5

+ 1 <

2s0 N

2s0 p(D)

В результате, имеем

Xі-f Xі-f

¿2 S3 + —-. . <64 + —--. . <C

2 3 2s0<p(D) ~ 4 2s0<^(D)

<?(D)

х=х0 Ti<t<T2 x/T2<y< x/ti

+

X1-25/5

280tp{D)

Следовательно, для суммы Б2 получим

X1-25/5

S'2 < max { \S'\ } + —------

N< T'<T''< 2N,

UV< Y'<Y''< 22k-iUV

2s0 p(D)

1

Так как Б1 является суммой < 25° ^ X5/2 слагаемых вида Б' и 25° ^ X5/2 слагаемых виды Б2, то неравенство (4) справедливо для Б1. Таким образом, доказательство неравенства (4) завершено.

Далее

£ x(t)= £ x(t) - £ x(t)

T'<t< T''

i<t< T"

l<t< T'

X x(y)T2fc-i(y) = X x(y)T2fc-i(y)- X x(y)T2fc-i(y)

Y'<t< Y''

1< t< Y''

i< t< Y

Поэтому из неравенства (4), учитывая 1п(2Хк) < X5/10, получаем:

X1-5/3

S<&X

0, 6Й

где

Si =

1

P(D)

max { I S', I } +

N< T< 2N, <P(D)

UV<Y< 22k-1UV

£ x (<) £x(t) £ x(:y)TL-ity) ■

(6)

Х= Х0 *< Т у< У

Возможны два случая: V < X5 и V > X5. Рассмотрим случай V < X5. Оценим сумму Б1 при N < Т < 2N, UV < У < 22к-^. Имеем:

1

|S1|

p(D)

X \ ':/i X \{/) X ;\(yK-i(y) X \l'll]7i.l'll]

X= X0 t< T V< v< 2k-1V U< u< Uv

где Uv = min{2k U, Y/v}. Отсюда

имеем:

|S1|< max

X= X0

£x(t)

tT

x

- £ ■■■ £

Nk+1<nk+1< 2-^к+1 Щк-1<пк< 2Щк-1

Применив неравенство Коши, получим:

1

P(D)

£

X= X0

U<u< Uv

(7)

a

P(D)

£

X= X0

X x(u)r'k (u)

U<u< Uv

< (ai)

где

ai

P(D)

£

X(mod D)

U<u< Uv

Заметим, что ai равняется числу решений сранения

ni. . .nk = ni... n'k (mod D) ;

Ni < ni, ni < 2Ni

Nk <nk, nk < 2Nk

1

2

1

U < ni.. .nk, ni .. .n'k < Uv

Число решений этого сравнения не превосходит величины

X Тк(и) X Тк(и + ^) <

и< и<иг, Ц=Ж<(1<

и< и—и / Цу—и

- в в

< Xй/5 X Г ^ Х<5/5 (ъ+и

и< и<2ки ' ' V

Отсюда

а < Хг/1° (^= + ^ . (8)

Из (7), (8), а также по лемме ?? получим:

51 ^ тах

Х= Х0

£х«

| Хг/1(У + V^ < Х1/2Д1/61п 1ЖХг/1° +

Так как

N 1/2и = (NU)1/2(и2)1/4 < X 1/2(NUV)1/4 < X3/4 ^и)1/2 < X1/2 , X1/2Д/6 < X3/4D-1/3 ,

то

51 < X1>25(X3/4D—1/3 + X 1/2D1/6) < X3/4+1’25D-1/3 • Таким образом при V < X5 получаем:

X1-5/3

<Р&) •

Рассмотрим оставшийся случай, когда V > X5. Можно показать, снова используя метод исчерпывания криволинейной области, что для суммы 51 при N < Т < 2N, UV <У < 22k-1UV справедлива оценка

X1— 0,9 5

б’! «X* тах { .9" } + ——-, (9)

и < и'<и' '< 2к и, ^№)

V< V' <У' < 2к-1У

где

•Ч" ,/д X ' (/)Х '(/) X X Х(иН(иЫ'1,Н-1^0 •

^( ) Х= Х0 < и' <и < и'' У<'0 < V''

Оценим сумму Б''. Имеем 1

Б'' <

< тах

Х=Х0

Е

Х= Х0

Е х-м

Ех«

1

ёФ)

и < и< и

V' < €< V''

<

Е

x(modD)

Применяя неравенство Коши, получаем:

и < и< и

V' < €< V''

Б" ^ тах

Х=Х0

Ехм

КТ

1

Е

x(шod П)

и < и< и

1

2\ 2

X

X

Заметим,что сумма

1

Е

x(mod П)

Е

V' < ’о<У''

1

2\ 2

x(mod Д)

равна количеству решений сравнения

X х(и)тк(и)

и < и< и

п1 • • .пк = • • • и'к (mod D);

N1 < п1, п[ < 2^ , • • •, N < пк , п'к < 2Nk

и' < п1 • • .пк , Ц • • .пк < и'' •

Для количества решений этого сравнения имеем оценку:

У Тк (и) X Тк(и + dD) <

и'<и<и" и'-и „ ¡7"-

_________< ,-7< м

I) — В

Аналогично имеем: 1

и< и < 2ки \

и'' - и' \ и ,

—+1 -+(/|.

^(D)

Е

x(шod П)

V' < и< V''

< хг/5 1^ + у

1

2

Следовательно,

Б" ^ тах

х=х°

і<Т

В силу неравенств Т < 2N, V < и < NV, NUV < X, D < X3/8 и леммы ?? получим:

X5/5 тах

Х= хо

£ х(0

кт

'иУУ+Уиу \Го

^ X3/4+0,3 5о-1/3

Таким образом,

X 1+0,3 5

5" < —-— К-1 тах

О х= хо

Ех(*)

+ X 3/4+0,3 5 О-1/3

Из (9) следует, что

X 1+1,3 5

¿ь ---------—— N 1 шах

О х= хо

£х«

і<Т

+ X 3/4+1,3 5 о-1/3 +

X

1— 0,9 5

*(О)

В силу (6) получаем:

X1+2 5 Б <€. — ІУ-1 тах

О х= х°

£х(*)

КТ

+ X 3/4+2 5 О-1/3 +

X

1-0,3 5

?(О)

Обозначим А = N— 1 х(^), где N < Т < 2N, D1 = рТ1 - модуль, по которому

к т

характер х примитивный. Оценим величину А. Так как N > X1/2к и D1 < D < X3/8, 1п D1

то ----- <2к. Возможны случаи:

1п Т

1. —- > к, -——1- > 1, т-1 > 81. В этом случае по лемме ?? величина А ]У-7/4А’"

20 1пТ 1

X—т/8к3.

2. T ^ Di. Тогда

/Д In А у/ТЫТ

N

<

N

< N-i/2 lnX< X-i/4k

3. mi < max {81, 20k} < 41k. В этом случае сумму характеров оценим модулем Di. Имеем:

pmi p4ik

А < .

- N - N

Так как —— < — и в лемме ?? константа 7 < 1, то во всех случаях А <С iV-7/8fc3. 8k3 4k

(ln ln X )2

Выберем 5 =------- ———. Тогда

6 In X

X

De(lnln X)2/3

Рассмотрим второй случай, когда N1 = max{N1, • • •, Nk, Щ+1} • • •, N2k}. Будем предполагать^™ N1 > N2 > Nk+2 > N3 > • • • . Положим

и = N2 •••Щ+1, V = ^+2 •••N2к , N = N1 •

Тогда и > V, NV > и > V, причём, и > X5, V > X5.

Действуя, как в первом случае, для суммы Б при N < Т < 2N можно получить

оценку:

X1+2 5

S ——— iV 1 max

D x= X0

Согласно лемме ??, имеем:

J2^(t)x(t)

tT

Xi- 0,3 s

1 y3/4+25D-1/3 -I- -_______

V(D)

X1+25 N(1пD)2 3/4+25 1/3 X1— 0>35

5 « — М~1^^ + Хт+26В-1/3 +

(1п 1п X )2

Следовательно, как и в первом случае, выбрав 5 = --------------- , для остаточного члена

61п X

формулы (2) имеем оценку:

о _ X —(1п 1п_Т)2/7 щ

Литература

1. Линник Ю.В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах / Ю.В. Лин-ник. - Л.:Издательство ЛГУ, 1961.

2. Постников А.Г. О сумме характеров по модулю, равному степени простого числа // Изв. АН СССР, Серия математическая. - 1955. - 19. - С. 11-16.

3. Линник Ю.В., Барбан М.Б., Чудаков Н.Г. О простых числах в арифметической прогрессии с разностью, равной степени простого числа // Acta arithm. - 1964. -9;4. - C.375-390.

4. Петечук М.М. Сумма значений функции делителей в арифметических прогрессиях с разностью,равной степени простого нечетного числа // Докл. АН СССР, Серия математическая. - 1979. - 43;4. - C.892-908.

5. Карацуба А.А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях // Докл. АН СССР, Серия математическая. - 1970. -192;4. - C.724-727.

6. Прахар К. Распределение простых чисел /. К. Пхакар. - М.: Мир, 1967.

7. Чубариков В.Н. Уточнение границы нулей L-рядов Дирихле по модулю, равному степени простого числа // Вестник Московского университета. - 1973. - 2. - C.46-52.

8. Iwaniec H., Kowalsky E. Analytic number theory / H. Iwaniec, E. Kowalsky. - American Mathematical Society, Colloquium Publications. - 2004. - 53.

9. Линник Ю.В. Теория чисел. L-функции и дисперсионный метод / Ю.В. Линник. -Л.: Наука,1980.

10. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел, 2-е изд. / A.A. Карацуба. -М.: Наука, 1983.

11. Виноградов А.И. О числах с малыми простыми делителями // Докл. АН СССР, Серия математическая. - 1956. - 19;4. - C.683-686.

12. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм / И.М. Виноградов. - М.: Наука, 1976.

ON DISTRIBUTION OF PRIME NUMBERS IN AN ARITHMETIC PROGRESSION WITH PRIME-POWER DIFFERENCE S.A. Gritsenko, M.V. Shevtsova

Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected], [email protected]

Abstract. The asymptotic formula of the number of primes not exceeding the fixed value X and are contained in arithmetic progression with the difference D = where p0 > 3 is the fixed prime number and D < X3/8e-(lnlnis obtained.

Keywords: distribution of prime numbers, arithmetic progression, plan of the ternary problem solution, estimation of character sums over prime numbers.