О СУММИРОВАНИИ ФУНКЦИИ τk(n) ПО ЧИСЛАМ, ЛЕЖАЩИМ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.35

О СУММИРОВАНИИ ФУНКЦИИ Tk(n) ПО ЧИСЛАМ, ЛЕЖАЩИМ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

М.В. Шевцова

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, г. Белгород, 308015, Россия, e-mail: shevtsova@bsu.edu.ru

Аннотация. Рассматривается задача получения асимптотической формулы для суммы значений функции Tk(n) по числам, лежащим в арифметической прогрессии с разностью специального вида, при растущем к.

Ключевые слова: свойство ортогональности характеров, оценка суммы характеров по специальному модулю, процесс исчерпывания криволинейной области И.М.Виноградова.

Рассмотрим задачу получения асимптотической формулы для суммы значений функции Tk(n) по числам, лежащим в арифметической прогрессии с разностью D, являющейся степенью простого нечетного числа, где Tk(n) означает число решений в натуральных числах уравнения x1 ... Xk = n. Эта асимптотика при фиксированном к > 2 получена в [6]. При этом D < | — б,0<б<| произвольно мало. С ростом параметров к и I) задача получения асимптотики усложняется, так как поведение Tk(n) становится более сложным, а прогрессия более редкой. Специальный вид разности D позволяет получить лучший результат. В данной статье получена асимптотика для суммы значений Tk(n) по числам, лежащим в арифметической прогрессии с разностью указанного вида, при растущем к.

Лемма 1 Для любого неглавного характера х по модулю D

\ ( а) <€. In Dai

1<u<a

Доказательство см. в [4].

Лемма 2 (основная). Пуст,ъ D < х%; Ni,... Nk, 5—вещественные числа,Ni > г = 1,.. . k, х^ < Ni... Nk < х, 0 < 5 < ^;N = maxjiVj};

S =

1

P(D)

x(ni •••nk).

X=X0 Ni<ni<2Ni Nk <nk <2 Nk

Ui...nk <x

Тогда

S

X

1+1,75

1

-----N " max

D N<T<2N,x=X0

Ex«)

t<T

fc —3 2

fc —3 2

k2

<p(D)(k - 2)!

равномерно по к,причем,константа в знаке ^ зависит от p,8.

Доказательство.

Будем предполагать,что > N2 > Л^.+1 > > ^г+2 > .. ., где г = [|] + 1.Положим

и = ... N, V = ^г+1... А^.Тогда N1V > и > V ,так как N1 > ^,^+1 > N3, ...и

N2 > Яг+1, > Мг+2,- ■ • -Кроме того,]У = и > хм.

Пусть т'г_ 1(и), т'к_г(у), т'к_ 1(у) соответственно означают количество решений в натуральных числах уравнений

п2 .. .пг = и, иг+\.. .пк = V,

где N2 <П2 < 2^2,..., N < пк < 2Ык.

Рассмотрим случай и < хё. Имеем:

П2 ... пк = у,

<

|5 I

1

1

<р(Б)

Х=Х0 М2<П2<2М2 N <ик <2Мк М1<п1<‘2М1

<

^Е Е *<”-)■■■ Е №<т.<?^№^м

Х=Х0 М2<П2<2М2 Ик<пк<2Ик

Т ’<Ь<Т "

В силу леммы 1 справедлива оценка

Т'<і<Т"

следовательно,

5 < N2 . .. Нк\/Л^Е>Ьп В.

х 3 5

Так как М\. .. ІУд. < х, V < и < х‘ , И < х», 1п# #2; то для суммы $ получим:

5 < М2 . .. МкХ/Жв* 1п В = л/М2 . .. N^N^2 ... 1п В <

1

6

< \JlJV\/хВ61п1) < #2+<5Дб 1пД ^ з.

У2 ... 1^к1

33

Пусть теперь и > хё. Докажем,что в этом случае

Б х2 шах {І^І} +

И1<Т' <Т' '<2И1 иУ<У'<У" <2к-1ПУ

Xі 2 ^Іп#1 2й + А: — 2^

>ЛО) (А:-2)!

к2

(1)

где

¥>Р)

Х=Х0 Т'<І<Т” У<у<У"

Прямоугольной областью на плоскости (і, у) будем называть область, задаваемую неравенствами

Т' < і < Т'', У' < у < У'',

1

где N < Т' < Т'' < 2N1, UV < У' < У" < 2k-1UV. Сумму 5 перепишем в виде

1

Жо)

Мг < Ті < Т2 < 2ЛГЬ иУ < — < — < 2к~1иУ (2)

Х=Х0 Мі<і<2Мі иУ <у<2к-1иУ

іу<%

Если 2Nl • 2к-1иУ < х, то (1) тривиально верно в силу того, что тогда область суммирования в 5 по переменным і и у прямоугольная.

Докажем (1) в случае, когда ^иУ < х < 2к-1иУ. Определим величины Т1, Т2, полагая

т* = шах {* ■ 2^} - = шіп {2ІУі ■ иг-.

Так как ^-Т^у < 2Мі и ІУі < то

Обозначим через П1, П2, П3, П4 области на плоскости (і, у), задаваемые соответственно неравенствами

х

ЛГі < і < Т2, ІІУ < у< —;

Т2

х

^<І<Т2, —<у< 2к~1иу, іу < ж;

Тх2

ЛГі<і<Ть —< у < 2к~111У, іу < х;

Тх2

Т\ < і <Т2, —<у< 2к~1иУ, іу < х

Т2

(некоторые из них могут оказаться пустыми). Область П, которая задается на плоскости (і, у) неравенствами

N1 < і < 2Nl, иУ < у < 2к-1иУ, іу < х

совпадает с областью, задаваемой неравенствами

N1 < і < Т2, иУ < у < 2к-1иУ, іу < х.

Действительно, из неравенств ІІУ < у и Ьу < # следует і < а из неравенств

і < 2М\,і < -^у имеем і < Т2.Из этого в силу (2),а также из определения Пі,П2,П3,П4 получаем П =

= П1 и П2 = П1 и П3 и П3, причем П1, П3, П4 попарно не пересекаются. Область П3 либо пустая, либо прямоугольная,П1 также либо пустая, либо прямоугольная. Область П3 прямоугольная. П4 совпадает с областью, которая задается неравенствами

Тх<г<Т2, ц< 'г.

і _ 2, Тз і,

поскольку из определения Ті и неравенств у < |, Ті < і следует у < 2к~1иУ.

Таким образом утверждение (1) достаточно доказать для

х(і) ^ ^ х(і)х(уУк~і(у)-

^ ’ х/хо Ті<і<т2 ^-<2/<f

Пусть Т0 и А таковы, что Т < Т0 < Т0 + А < Т2. Область , ограниченную на плоскости (£,у) неравенствами

ТО < £ < ТО + А,

x

будем называть криволинейным треугольником на плоскости (£,у) с основанием, равным А. любой криволинейный треугольник с основанием, равным А, можно представить как объединение попарно непересекающихся прямоугольной области и двух криволинейных треугольников с основанием, равным Повторяя этот процесс 5 раз мы получим, что каждый криволинейный треугольник с основанием, равным А, есть объединение попарно непересекающихся областей—2я криволинейных треугольников с основанием, равным фг и 1 + 2 + ... + 2Л’-1 = 2Л’ — 1 < 2Л’ прямоугольных областей.

Положим во = log2 #]. В сумме б1! область суммирования по I и у является криволинейным треугольником с основанием, равным Т2 — Т^ Представим ее в виде объединения попрано непересекающихся подобластей — 2я0 криволинейных треугольников с основанием, равным Т2210Т1 и не более чем 2Л’° прямоугольных областей. Оценим сумму д52 по одному из таких криволинейных треугольников. Пусть

S2 =

— У

X(l) X(t)X(y)Tk—1(^-

T[<t<T2

Ц<У^1

Если через S3 обозначим такую же сумму, как и S2, но суммирование по х распространено на все характеры по mod D, то

1

|S2 - S3I

Еяо

Х=Х0

<

p(D)

— Е

к,

T[<t<T2

Xo(t)Xo(y)Tk-i(y) <

'<У<т

x(i) Tk~i(y) -

<

T[<t<T2

<

^ + 1

x

+ 1 ln

x

p(D)(k - 2)! V2so ' V V2"oN1 '7 V~2"oN1

в силу того,что основание криволинейного треугольника T2 — T1

+ к — 2 к—2

+ к - 2Х

к2

(3)

<

T2- Ti ^ N1

— £ 2^о > а высота

2so

= J^—(T! -т')< — - —

у/ jy rjiirpi\ 2 17 — /\/-2 Osn

x

T1T2

2so 2so N

Положим

S4

p(D)

E«o

x=xo

E

T[<t<T2

X(t)X(y)rk—1(У)-

ф-<У<^г T 2 T1

S3 и S4 равны числу решений, соответственно, сравнений

n1... nk = l (mod D), T1 < n1 < T2, N2 < n2 < 2N2,..., Nk < nk < 2Nk,

— < n2 ... nk < —,

T2 n1

n1... nk = l (mod D), T1 < n1 < T2, N2 < n2 < 2N2,..., Nk < nk < 2Nk,

— < n2 ... nk < —.

T1

x

T

2

1

1

1

Область на плоскости (і, у), задаваемая неравенствами Т[ < і < Т2, ф- < у < | содержится в области, задаваемой неравенствами Т[ < і < Т2, т^т < у < ^.Поэтому

0 < < ^4.

Аналогично, как и при выводе (3), получаем

54 ~~ ~йШ) ^ ^ ^ ^ х^МуЫ-Лу) <

Х^ХО Т[<і<Т/, ф-<у<ф-

12 Т1

■^^оУогЬ)! Ш + 1) (?^к + 1) (1п^+4:~2^ й

< 1 1 Л.. .1-Й ,лк~2( х , ^ 1

Л 1-Зл , ЛА'-2 /" х Nі # Л

„(О) (Д. _ 2)1 (1пх 3 + * “ 2) (2^ + 2^ + 2^ + 1) <<:

+ к — 2 У

_«

Xі

25°<^(Д)(к - 2)!

Имеем

_ _ #1-2(1п#1-2‘5 + А: - 2)а'-2 ^ #1-2(1п#1-2‘5 + А: - 2)а'-2

2 ^ 3 + 2°°<р(В)(к - 2)\ “ 2°°<р(В)(к-2)\ ^

1

рр)

х^хо т[<г<% ф-<у<ф-

12 11

#1_2 (1п#1-2<5 + А: - 2)а'-2 + 28°<р(В)(к-2)\ '

В силу неравенств Т < Т{ < Т2 < Т2 и условий (2) справедливы неравенства

N. < Т[ <Т!2< 2Ии иУ<^<^< 2к~1иУ.

Т2 Т1

Следовательно, для суммы 52 получим

л + А: - 2)а'-2

52 с шах { 5 } н---------------------------------------- -—2-.

м1<т'<т"<2И1 2Я0 ^(Д)(к — 2)!

иу <У'<У' '<2к-1иу

Так как б1! является суммой < 2Л’° <С х? слагаемых вида Б' и 2Л’° <С х? слагаемых виды

52, то неравенство (1) справедливо для 51. Таким образом, доказательство неравенства

(1) завершено.

Далее

Е хм = Е хм — Е хм,

т'<г<т" 1<г<т" 1<г<т’

^ Х(у)т’к-1(у)= Х(У)тк-1(У) — X! хЫтк^Ы-

у<ь<у" 1<ь<У" 1<ь<у

Поэтому из неравенства (1) получаем:

„ I ,, /п х^ЦЫх1-^ + к - 2)к~2

Б < х? тах -----------——---------------------------------2-, (4)

Мх<т<2М1 1и ^Ф)(к — 2)!

иу<у< 2к-1ПУ

где

1

^ = й>П5) ^ х{1)'^2х^)'^2х{уУк-Лу)-

^( ) Х=Х0 < у<у

Возможны два случая: V < хё и V > X. Рассмотрим случай V < хё. Оценим сумму Б[ = 5(Т, У) при N < Т < 2ЛТЬ ЦУ < У < 2к-1^. Имеем:

|S1| =

1

P(D)

где Uv = min |2Г_1[/, Отсюда имеем:

X! \{1)У1 \{/) У! X(vyk'-r(v) J2 х(иУ-1(и)

X=Xo t<T V <v<2k-r V

U <u<Uv

| S11 < max

x=xo

Ех(<)

tT

E

E SmE

p(D)

Nr+i<nr+i<2Nr+i Nk <nk <2Nk X=Xo

£ х(и)тГ—1(u)

U <u<Uv

Применив неравенство Коши, получим

1

а

¥>(D)

Е

x=xo

£ X(uK—1(u)

U <u<Uv

< (а1)

где

а1

¥>(D)

E

X (mod D)

£ x(uK- 1(u)

U <u<Uv

Заметим, что а1 равняется числу решений сранения

n2 ... nr = n'2 ... пГ (mod D); N2 < n2, n'2 < 2N2,..., Nr < nr ,n'r < 2Nr

U < n2 ... nr, n'2 ... n'r < Uv.

Число решений этого сравнения не превосходит величины

£ Tr-1(u) Tr-1(u + dD) <

U <u<Uv

J ~и сс!< v~'

D D

-'ё+Л flnS

D

D

r2

1

1 - -P

r2

<

<

< £ Tr—1 (u)e

U <u<Uv

_J_ + f/) e,-. (ln ^ (ln f/ + r _ 2Г» (, _ I

r2

Отсюда

r-2

"<<VF^l7!f + ^)<lnf/ + r-2r41-£ ’

Из (5), (6), а также по лемме (1) получим:

S1 ^ max

X=Xo

Ex(t)

V

1—1

е 2

t< T

< VN!/2D1/6lnD-

,_____ . ^ + Vu] (InU + г - 2)r~2 (1 --

s/y^iУЛу/d Jy V P

r-2 2

(5)

y/(r - 1)! Wo )

r—2

U + s/u] (InU + r- 2)r“2 (1 - -X 2

P

2

1

Так как

ж1/2и = (N1 и)1/2(и2)1/4 < х1/2(N1^)1/4 < х3/4,

(^1^)1/2 << х1/2, х1/2£1/6 << х3/4£-1/3,

то

к . к__| /с_ 1^

5! < + »■”!>»/») , ЄІ (1іі.г + - - іУ (1-і ‘ ’

/(§^7)! V 2 ) \ р.

Таким образом при V < хё получаем:

5 < а;3/4+і,бДд-і/з Ых + _ _ ! 1 - - +

е'ї ( к Л2 1Л 1\4 2 Xі 2 (1п# + А: — 2)к 2

2 у \ р/ ^(Д)(к — 2)!

Рассмотрим оставшийся случай, когда V > хй. Покажем, что для суммы 51 = 51 (Т, У) при N < Т < 2Ж1, [/V < У < 2k-1UV справедлива оценка

_ \ к—3

, х г, " (1п+ % — 1 , ч

5і X шах { | 5 | } Ч--------; г\гг---Л ,, —гг, (7)

и<и'<и"<2г~1и <р(0) — 1)! — 2)!

У<У'<У"<2к-гУ /V2

Xі 6 (1п + | — 1);

где

= -т^у £ х(1)^2х(і) £ £ Х'(м)гг-1(м)Х'(иК'-г(*0-

^( ) Х=Х° І<Т и/<и<и" V' <ги<У"

Прямоугольной областью на плоскости (и,^) будем называть область, задаваемую неравенствами

и < и < и", V' < V < V",

где и < и' < и" < 2Г—:1и, V < V' < V'' < 2k—rV.

Сумма 51 переписывается в виде

^ = -77^ £ Х(1)^2х(і) £ £ Х'^К-іМХ'^К'-гМ-

Положим

рШ)

Х=Х° < и<и<2г-1и V<'ю<2к-гУ,иь<У

ІІі = шах <( и, —------1 , [/2 = ШІП { 2Г *[/, —

1 ' ’ 2к—г VI 2 I V

Если У > 2к 1UV, то область суммирования по м,^ в сумме 51 прямоугольная и утверждение (7)справедливо.

Пусть [/V < У < 2k-1UV. Тогда и1 < и2. Из определения и1 и и2 получаем:

и<иг<и2< Т~1и, V <-*- <-*-< 2к"гУ.

и2 и1

Обозначим через ^, ^, ^2, ^3, ^4 на плоскости (и,^) следующие области соответственно:

и < и < и2, V < V < 2к-г V, «V < У,

У

и < и <и2, V < V < —, у 2

и < и < и2, — < V < 2к~гУ, ип < У,

У

и < и < ІІі, —<у<2к-гУ, ии < У,

Т

их < и <и2, — < V < 2А'“ГУ ип < У

и2

Область суммирования в сумме 51 по переменным и,^ совпадает с областью При этом ^ = ^1 и ^2 = ^1 и ^3 и ^4, а ^3, ^4 попарно не пересекаются. Область ^3 либо пустая, либо прямоугольная. Это же справедливо и для ^1. Область ^4 совпадает с областью,

задаваемой неравенствами II\ < и < [/2, ^ < у < Таким образом, (7) достаточно

доказать для суммы

^2 = £ £ х(мК-1(мМиК-г(*0-

х/хо иі<и<и2 7^<г;< —

и2 _ и

Криволинейным треугольником на плоскости (и,^) с основанием, равным Д1 назовем область

У У

и0 < и <и0 + Ді, д < г; < —,

ио + Д1 и

где и < и0 < и0 + Д1 < и2. Положим ^1 = [£log2 х]. Как и при выводе (1) область

суммирования по и,^ в сумме 52 представим в виде объединения поперно непересекаю-

щихся областей, из которых < 251 прямоугольных и 251 криволинейных треугольников с

основанием, равным и^[Ті ■ Оценим сумму 52 по одному из таких треугольников. Пусть

£ х(0Хд(*) £ £ х(мК-1(мМиК-г(*0-

х/хо І<Т и[<и<и^ —

1 2 и' —и

Если 54—такая же сумма, как 53, но суммирование по х распространено на все характеры по то^ Д, то

5' - 5' < ——----------^(1Л-1Л + 1) ( 4тг - + 1 ) (Ы (т 1 - ^г“2

<^(Д)(г — 2)!(к — г — 1)

/ У • ( 1п — + А: — г — 1

Положим

55 = -т£ х(і)^2х(і) £ £ х'(мК-1(мМиК-гМ-

^ ' \imodD) *<Т і1<г,<Л1

1 2 и2 и1

Так как область суммирования по суммы 54 содержится в области суммирования по м, V суммы 55 и 54, 55 выражают количество решений сравнения, то

0 < 54 < 55.

Оценивая слагаемое с х = Хо в сумме 55, получаем:

53

<р(о)

ЕХ^Х0 х(0 Екгх(і) Еи[<и<Щ ЕХ<„<Х Х^Фг-ЛиЫФк-Л^

+

^{0){г

-2)\(к-г-1)! (^2 - + !) (щ - Щ + і) О и + г - 2)г 2 (1п ^ + А: - г - 1)

.к—т—1

Так как Щ — и[ = 1\,1Ті, < 1/[ < Щ < и2 и [/і, [/2 удовлетворяют (8),то

^(-0)(т

-^)!(А:-г-1)! (^2 “ + Х) (щ “ (7[ + Х) (1п ^ + Г “ 2Г 2 (Ь ^ + А: - Г - і)

< ¥,(Д)(г-адА-г-1)! (Йг + !) (їТ^Г + і) (ІПЖ + § - і) <

кт1

<

<

(1п;г- + І — 1)А’ 3 /ЛГіиу МгїІУ Ґ 1 1\

іріБ) (І - 1)! (І - 2)! V 22-51 + 2*і V Ї7 + У у + [IV ) ~

<

х

1-<5

(І11Х + § - і)

к3

2-^(0) (|-1)! (І-2)!

Отсюда

/ г, Xі 6 (ІЇ1Х + ^ — і)

< ......тах__ _ {15 |} + ^ (к------------------Г-7Г

к3

2«9(0)(|-!)!(§-2)!'

Сумма 52 равна сумме < 251 слагаемых вида 5" и 251 слагаемых вида 53. Поэтому

и <и'<и' '<2т-1и V <У<У '<2к-г V

52 ^ х5 тах {| 5'' |} +

к3

и <и'<и'' <2г-1и

V <У'<У'' <2к-г V

Xі “ (І11Х + | — і)

2* уф) (|-1)! (|-2)!

Таким образом (7) доказано. Оценим сумму 5''. Имеем:

5

< тах

Х=Х0

1

^(С)

Е

Х=Х0

Е хм

і<Т

Ех«

£ Х(и)тТ-1(и)

и'<и<и''

<?(С)

Е

х(то(іП)

£ х(и)тТ-1(и)

У<и-<У'

и

<

и'<п<и"

£ ХИТь-тМ

У<ь<У'

Применяя неравенство Коши, получаем:

5'' ^ тах

Х=Х0

Ех(‘)

<?(С)

Е

х(то(іП)

£ х(и)тТ-1(и)

и' <и<и''

і

2\ 2

X

?(С)

Е

х(то(іП)

У<ь<У'

і

2\ 2

1

2

1

+

1

1

1

Заметим,что сумма

1

?(D)

Е

x(modD)

равна количеству решений сравнения

£ x(uK-i(u)

U'<u<U"

n2 ... nr = n'2 ... n'r (mod D); N2 < n2, n'2 < 2N2,..., Nr < nr ,n'r < 2Nr

U' < n2 ... nr, n2 ... n'r < U''.

Для количества решений этого сравнения имеем оценку:

Е

TV-i(u

(u) Tr-1(u + dD) <

U <u< U

er-1 / U2

D ^ - D r2

r2

(ln U + r — 2)r 2 ^

r2

Аналогично имеем:

— У

p(D) ^

' x(modD)

^k—r /V 2

E

V'<u<V"

X(vK-r(v)

< e“ ' 1 — + V) (lnx + --l

(k — r — 1)1 \ D J V 2

2(k-r—1)

1 - -

k—r— 1

Следовательно,

S'' ^ max

x=xo

E*w

t<T

fc-1 e 2

k—3

k — 3

1-i'^ P,

В силу неравенств T < 2N\, V < U < N{V, N\UV < x, D < х» и леммы 1 получим:

max

x=xo

Ех(«)

tT

eV fuVv + Vuv

+ VUV ] f ln x + 4 — 1

In#

s/D

+ yW|^TI)!(hur+i-1

k

k3

k—3/ i l - -P

k — 3

1 Л 2

1 - - < P

x0,2Sek2L Qn;r _|_ |

(!»*+§

k — 3 2

'VUy/NjJV

X°'2Se 2 (ill#

(1-1)! (ln# + I - l)

L>§

k3

1-i

p

k — 3 2

(1-1)!

-D-1/3

2

2

2

k-1

k — 3

2

p

И так как -=г <

UV x

D N1 D

имеем:

x1+0,2 X

S" <С ———Nr1 max

В x=xq

Е*«

ь<т

Є 2 111 #

k — 3 2

^3/4+0,25 к 21 Л _|_ | ^ d ^ _ 1

+__________________V „ 2 ч / V pJ Д-l/3.

k3

k — 3 2

(1-1)!

Из (Т) следует, что

xl+1,2 X

S', ———iVr1 max

В x=xq

x(t)

e 2 ill #

k — 3 2

^3/4+1,25е л 21 (hi# -f I — l)A 3 Г 1 — -+-----------------------7T—~---------------------------О'1/3 +

k — 3 2

(1-1)!

#1_<5 (ill# + I — l)

k3

(1-1)!

V(B) (§-!)!(§-2)!'

В силу (4) получаем:

S

x

1+1,7Й

T 1

---N " max

В n^^n^xq

Ех(«)

k — 3 2

#! + 1'7<5 (ln# + I - 1) (l - £ . x

+----------------------------7T------^-----------------------------D-3 +

k — 3 2

(1-1)!

X 2 (In# -|- _ 2)

k2

PpHk - 2)!

Доказательство леммы 2 завершено.

Лемма 3 Пусть %—произвольный неглавный характер по mod В, В = pn, p > 3, p— фиксированное простое число, Sa = Em<o.x(m)> Р= Тогда существуют, к,онст,ант,ы с > 0,7 > 0, зависящие от p, такие, что при І — p — 0, 5n выполняется оценка

і_2L

|S«| < са р2

Доказательство(см. [3]).

З

Теорема 1 При (l,D) = 1, D < х»~є справедлива формула

Е

n< x n=l (mod D)

xQk-l(lnx) , n Tt{n) = V(D) + °

/(ln.r+|-l)“'-Se+ (l-l

'AD) (I)'

k — 3 \

2 \

/

где Qk-1(z)—многочлен ст,епени к — 1 от переменной г с коэффициентами, зависящими

от, к ир, я = тт < -, —— \, 7 > 0 —константа, зависящая от, р. Данная формула имеет, 18 10к3 J

место для всех к <

lnx А 1/4

— ln ln x

k-1

k-1

165 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия Математика. Физика. 2010. №5(76). Выпуск 18 Доказательство.

Из ортогональности характеров имеем:

У У £ Х(П1...Пк).

п<х ^ ' х{тод1В) П1...ик<х

п=1(то(1П)

В сумме по характерам х выделим слагаемое с х = Х0:

У Тк (п) = W + Я,

п< х п=1(то(1П)

где

Ц' = Ш - Е х(».■■■»<.)■

П1...ик<х Х=Х0 П1...ик<х

П1...пкф0(то(Ю)

Запишем W в виде

^ = Ш Е 1- Е 1-

П1 ^0 (то(1р) пк ^0 (то(1р)

п1 ...пк < х

Представим каждую сумму по переменным суммирования щ ф 0(то^р) как разность суммы, где переменная суммирования щ пробегает все значения, и суммы, где переменная суммирования щ пробегает значения, сравнимые с нулем по модулю р. Воспользуемся также асимптотической формулой:

У Тк(п) = ХіРк-і(ІПХі) + О (ж} ,

П<Х1

где Рк-1(г)—многочлен степени к — 1 от переменной г (см. [7]). Тогда

і ^

IV = — 15ч _ Е 1 Е1 _ Е 1

?(С) V П1 пі=0(тоіір) ) У Пк Пк =0(тоіір)

1к

щ ... пк < х

^(С) 3=0 1<81<...<з, <к П°1 =0(то^Р),-,'П^і =0(то4р)

= Е - Е Е-Е1 (9)

3=0 4 7 п1=0(тойр) п2 =0(тойр) п^+1 Пк

щ ... пк < х =

1 • V/ (кЛ ж (_л \з ^/Л •• ^ 'Г

Ен)(Ш:л = яЕн)'>оКК

' vJy “ч р-

1 ^ С2к-і{1пх) + О ^г1 и')

¥>(С)

где Qk-l(z)—многочлен степени к — 1 с коэффициентами, зависящими от р и к.

Оценим сумму R, представив ее как сумму ^ lnk x слагаемых вида

■Ч £ \{,) Е ••• Е Х(п1...Пк).

x=xo Ni<ni<2Ni Nk <nk <2Nk

Ui...nk <x

Пусть N = max Nj, A = N-1 t<T X(t), где N < T < 2N, D1 = pmi —модуль, по которому

i 3

характер \ примитивный. Оценим величину А. Так как N = maxiVj > xk, Di < D < #«,

то ----- < к. Возможны случаи:

ln T

* ^20 > к’ InT1 > ^ т'1 > 81. В этом случае по лемме 3 величина А N~k^ х~^, так как N > х1^.

T > D1. Тогда

. л/DilnDi

N

п Т 1 _ 1

< N з in# < # 4fc In#.

• m1 < max {81, 20k} < 41k. В этом случае сумму характеров оценим модулем D1. Имеем:

In с

пт 1 #^ьаГ X' (inж )3/4 с 1

IV IV Хк Хк

Так как ^ и в лемме константа 7 < 1, то во всех случаях A <С х~^.

Таким образом, по лемме 1 имеем:

fc —3

#1+1’7<5-2& (1п^+|-1)А Зе^ (l-j)

S < v 7

д Й-i)» ^

i) 2 *

D~3 +

^“1)! , x1 2 (In# 7^ — 2) 2

<p(D)(k- 2)!

Учитывая, что в Я входит ^ 1пк # слагаемых вида 5, получаем, что

к — 3

г- -V (л > к -*\2к—3 к — 1 / 1X2

#1+1’7<5-2^ (1пж + 2 - Х) е 2 ( 1 -

л«—-----------------------------(!-)' м +

*!«•» (In* +1 — (1 - i) * ,

л-1)’ .

х1 2 (ln# 7 А: — 2)^ (p(D)(k — 2)!

-L>“37

Выберем параметр 8 = тт \ ]— }, то есть в любом случае 8 < -^тз • Отсюда и из условия

14 5к

И < Х8 £ находим:

к — 3

к I)2' V, (1 2

. 2 7 \ Р / 1

^ ^ + 4 (1-1)* ... +

х1 з (1п# + А: — 2)2к 2

Н----------------------С

+ <р(В)(к-2}1 ^

-3

111.Г + I - I)2' 3 е V (1 - 1) - / [ +

<к |х '",,+х В силу определения величины 8, если | < то

(1пх+|-1)2‘ Зе_5~(1_р/ , , , , ,,

п <К-----------^(Щ|)! -------- (;Г +* <<:

к — 3

Д, _, \ 2к—3 к — 1 (л 1 \ 2

а если | > , то

(1ПЯ+1-1)

------------------------------т1' 8

к — 3

(1п# + | - 1)2*-3е^ (1 - 2 ,

¥>(£>)(!)! V

к —3

(1п# + |-1)2А'-3е^(1-^ 2

1--

следовательно,

к — 3

(1пх + 1-1ук->е^{1-1

к _ 1)2к-3еМ (1-1) 2

Я « ----------—----------I р) х'~", * = пип Д, 4-

¥>(£>)(§)! 18’ ЮЛ:3

,2

Заметим, что остаток в (9) не превосходит величины

к—3 к—3

(Ь*+ I - 1 )2Ме¥ (1 - I 3 (!„.+ | - 1 - 1) 1

^ ^--------X ы <£- ----------------------^---------X

¥>Р)(Ю! <Р(Я) (|)! ’

■у 1 1

поскольку ^ ^ 2/,.

Для определения верхней границы возможных к сравним полученную формулу с неравенством Марджанишвили (см. [3]):

/ ч # (1п # + к — 1)к-1

2>М ^ щк- ц, ■

пх

То есть необходимо:

fc —3

к - \k-З к=1 (_ 1 \ 2

х1+1'™-* (lnr + f-l) е = (l - j)

xl + 1"S (inx + ^ — l)k 3ek21(l — “

Н-----------------------------------—-----D~ з +

, (h1)’ .

X1 з(1пх + к — 2)к 2 ^ # (In# + А: — 1)А 1

+ <p(D)(k-2)\ ^ D(k- 1)! '

Сравнивая последнее слагаемое, имеем:

x(ln#)fc(ln# + А: — 2)fc_2 ^ # (In# + A:)fc_1

xs/2<f(D)(k-2)\ “ D (к — 1)! ’

(lll#)fc < #Й/2 <

A: In In# < p- In#,

A:4 < A: <

ln x ln x

ln ln x ln ln x

Сравнивая первое слагаемое, имеем:

1/4

fc —3

-v /l . k -i \k — 3 fc —1 / | \ 2

#i+i "<S-2fc3 (In# + 2 - 1) e 2 - pj # (In# + A:)fc_1

£> (| — 1)! ~D (к-1)1 ’

(ln#)fc_2

#0,S<5 — j^fc/2 ’

ln x k2

A'In In# < — - A: In A:,

k3 ln x 2

k2 ln x ln x к In In x < к In In # + A: In к < -------------------------h —— < ——,

ln x k3 k3

1/4

/ In # \ ln ln x

к <

x

Аналогичную оценку для k получаем и для второго слагаемого. Таким образом, равномерную оценку суммы 'У ' Тк(п) ВОЗМОЖНО получить ДЛЯ к < (1п”пх) 1•

n< x n=l (mod D)

Теорема доказана.

Литература

1. Виноградов И. М. Избранные труды. — М., изд. Ан СССР, 1952.

2. Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1976.

3. Карацуба А. А., Основы аналитической теории чисел. 2-е изд.— М.: Наука,

Главная редакция физико-математической литературы, 1983.

4. Линник Ю. В. Теория чисел. Ь-функции и дисперсионный метод. — Ленинград, Наука, 1980.

5. Линник Ю. В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах.-Издательство ЛГУ, 1961.

6. Петечук М. М. Сумма значений функции делителей в арифметических прогрессиях с разностью,равной степени простого нечетного числа. Докл. АН СССР, Серия математическая, 43, номер 4(1979),с.892-908.

7. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. — М., ИЛ, 1953.

ABOUT SUMMATION OF FUNCTION rk(n) ON NUMBERS LYING IN ARITHMETICAL PROGRESSION M.V. Shevtsova

Belgorod State University,

Pobedy str., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: shevtsova@bsu.edu.ru

Abstract. Consider the problem of getting the asymptotic formula for the sum of the values of function Tk(n) on numbers lying in arithmetical progression with difference of special kind for rising k.

Keywords: property of character’s orthogonality, estimation of character sums modulo of special kind, I. M. Vinogradov’s process of the depletion of curvilinear domain.