CC BY
43
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Посвящается 65-ой годовщине со дня рождения профессора Сергея Михайловича Воронина Том 12 Выпуск 1 (2011)
УДК 511.35
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В
АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ, РАЗНОСТЬ КОТОРОЙ ЯВЛЯЕТСЯ СТЕПЕНЬЮ ФИКСИРОВАННОГО ПРОСТОГО ЧИСЛА
С.А. Гриценко, М.В. Шевцова (г. Белгород) e-mail: gritsenko@bsu,edu.ru, shevtsova@bsu.edu.ru
Аннотация
Получена асимптотическая формула для числа простых чисел, не превосходящих X и лежащих в арифметической прогрессии с разностью D = pm, где ро ^ 3 — фиксированное простое число и D ^ Xзe-(lnlnX) .
Посвящается светлой памяти Сергея, Михайловича Воронина
1 Введение
В теории чисел важную роль играет распределение простых чисел в арифметических прогрессиях.
Пусть при (1,0) = 1 п(Х, О,/) означает число простых чисел, не превосходящих X и сравнимых с I то модулю О. Из расширенной гипотезы Римана следует, что:
п(Х-д') = Ш(1 + 0 (1п-м Х■
где О ^ X1 _є, е> 0 — произвольно малое число, М > 0 — константа.
Известная к настоящему времени граница изменения Б гораздо меньше. Например, при Б ^ 1пА X, где А > 0 — копстанта, с = с(А) > 0, справедлива формула:
которая известна в литературе как формула Зигеля-Вальфиша [1].
Но для разности Б = рТ, р0 ^ 3 — фиксированное простое число, можно улучшить этот результат. В 1955 году А. Г. Постников обнаружил [2], что сумма значений неглавного характера по модулю Б, равному степени нечетного простого числа, представляет собой сумму Вейля специального вида,. Это открытие замечательно тем, что суммы Вейля, даже очень короткие (а вместе с ними и очень короткие суммы значений характера), допускают нетривиальные оценки.
Идея А. Г. Постникова позволила решить некоторые проблемы теории чисел, к которым в общем случае не было никаких подходов.
В 1964 году Ю. В. Линник, М. Б. Барбан и Н. Г. Чудаков [3] доказали следующий асимптотический закон, справедливый при Б = рТ ^ X 8-£ (е > 0 _ ПрОИЗВОЛЬНО малое число, М > 0 — произвольно большое число):
Доказательство этой теоремы основано на плотноетной технике, и поэтому для него требуется информация о распределении пулей Ь-функции Дирихле в критической полосе.
В 1979 году М. М. Петечук [4] применил идею А. Г. Постникова к проблеме делителей Дирихле в коротких арифметических прогрессиях и получил асимптотическую формулу:
зависящая от р0.
Доказательство этой формулы основано на идее работы А.А.Карацубы [5], позволяющей оценивать ее остаточный член по схеме решения тернарной аддитивной задачи. Доказательство Петечука «элементарно», то есть не использует средств комплексного анализа.
В настоящей статье предлагается новый способ вывода асимптотической формулы для п(Х,О,/) при О = р^1. По сравнению с теоремой М. Б. Бар-бана, Ю. В. Линника и Н. Г. Чудакова получено незначительное уточнение остаточного члена и верхней границы изменения О,
Ьі X
п(ХШ) = ЬХ (1 + 0 (ь-м Х)).
5
п=1 (шоё D)
з
где О = рт ^ Х 8-£, (/,О) = 1 дк-1(1п Х) — многочлен степей и к — 1с коэффициентами, зависящими от к и р0, к = тіп , в > 0 — константа,
Наше доказательство существенно отличается тем, что не использует информации о распределении нулей Ь-функцип Дирихле в критической полосе, а использует лишь теорему о границе нулей, принадлежащую В, Н, Чубарикову [6], доказательство которой элементарно,
В основном мы придерживаемся схемы доказательства теоремы Петечука, однако в некоторых местах приходится вносить в эту схему изменения, поскольку нам необходимо оценивать не только суммы значений характера, но и суммы значений характера по простым числам.
Сформулируем наш основной результат.
Теорема 1. При (/,О) = 1, О = р^ ^ Х8е-(1п1п-)2 справедлива формула
п<Х-°'г)=0 (^г(1п1п -я ■ «
Ьб
где к = —, Ьб — константа леммы, 9.
6
Нам потребуется несколько лемм.
2 Леммы
Лемма 1. (тождество Хис-Брауна) Пусть К ^ 1, г ^ 1. Тогда, для любого п < 2гк имеем,
Л(п) = - ^ (-1)Й(К) ^ ■" ^ ^(Ш1) •••^(тй )1п Пк •
1^к^К ^ ' т1...ткп1...пк =п
Ш\,...,Тк^2
Доказательство. См, в [7, с. 344],
Лемма 2. (Виноградова-Пойа) Пусть х ~ примитивный характер по мю-дулю Б. Тогда, справедлива, оценка:
Доказательство. См, в [8, с. 123].
Лемма 3. Для любого неглавного характера, х по модулю Б = рТ справедлива оценка:
1 1 С а2 О6 1п О.
Доказательство. См. в [9, с. 161].
Лемма 4. Пусть х~прошвольный неглавный характер по модулю Б = рТ Тогда выполняется оценка
Е X(v)
v<a
a
1
константа.
Доказательство. См. в [8, с. 222].
2
p
Следующая лемма представляет собой вариант теоремы В. Н. Чубарикова
[6] о границе нулей L-функции Дирихле в критической полосе.
Лемма 5. Пусть х ~ произвольный неглавный характер по модулю D = pm Тогда, L(s,x) не имеет нулей в области
b
а> 1_____________1________ It < gb2(lnln D)2
(lnD)2/3(lnlnD)2, m <e ,
Ьь b2 — положительные константы.
Yi
Доказательство. Сначала покажем, что в области а ^ 1 — Тл—^,0/„,
(ln D)2/3
Y1 = y/2 гДе Y _ константа из леммы 4, имеет место оценка
L(s,x) = O((|t| + 1)(ln D)2/3).
Справедливо тождество
/ГО
S (x)x-s-1dx, S (x) = x(v )•
v^x
Разобьем интеграл на части:
/D r<x>
S (x)x-s-1dx + sy S (x)x-s-1dx. (2)
Во втором интеграле для оценки суммы S (x) будем пользоваться оценкой Вино-градова-Пойа: S(x) = O(vDlnD). Имеем:
s / S(x)x s dx Jd
і
Поскольку а > -, to „ 2’
^ (It + і) / IS(x)|x-CT-1dx < (|t| + і)^£ lnDD-'d
rD 1 / ln D'
s1
L(s, x) = s / S(x)x s dx + O (|t| + і)-
D
oo
где е > 0 произвольно мало.
Рассмотрим первый интеграл в (2), Разобьем его на части, полагая N = = exp (ln D)2/3:
р D р N р D
/ S (x)x-s-1dx = I S (x)x-s-1dx + / S (x)x-s-1dx.
Л ./1 ./n
S(x)
гласно лемме 4, Получим:
= O((ln D)2/3),
p N x1-CT N
1 <
1 1 — а 1
D
/ S(x)x s 1dx
N
|S(x)|x 1 dx = ОуУ xCT exp I — Y 2 ^ }dx = [v = ln x] =
01 („ “Р {"(1 - а) -/ = 0 Ц» еХЧ-2^>* > =
= 0((1п Б)2/3).
71
Таким образом, мы доказали, что в области а ^ 1 — ——0/„
(1п Б)2/3
Д«,х) = 0((|*| + 1)(1п В)2/3).
Теперь пусть р = а + й — нуль функции Ь(з, х) положим
d
а (1пБ)2/3(1п1пБ)2’ d ^
Надо показать, что d ^ с0 > 0. Рассмотрим точку
4d
80 =1+(1п Б)2/3(1п 1п В)2 + г( = ао + Й'
с1
Из точки 80 опишем круг радиуса г = —---------г-тг, Точка р будет лежать внутри
(1п Б)2/3
круга радиуса r/2, так как
c1 5d
>
2(ln D)2/3 (ln D)2/3(ln ln D)2'
В круге |s — s0| < r
L(s,X) = O((|t| + 1)(ln D)2/3).
Кроме того,
1
Д^О’Х)
1 Г™ dм (1п Б)2/3(1п1пБ)2
^ 1^ — = 1 + -----—Л----------.
п=1 1
Поэтому
^(8,х)
^(8о,Х)
1п2 Б
^ М = (|^ + 1) d .
Точно такая же оценка имеет место в круге |з — 81| ^ г, 81 = а0 + 2г£, Применим лемму 6 [8, с. 99].
Б(зо) 4 1 4(1п Б)2/3 (1п Б)2/3(1п 1п Б)2
Яе——- ^ — 1п М + Яе----------=-------------1п М +-------------------,
Ь(80) г 80 — р с1 5d
Ь'(в1) 4 4(1п Б)2/3
Яе—т^ — 1п М =--------------------1п М,
М^) Г С1
Б (а0^ 1
< 7 + С2.
Ь(оо) а0 — 1
Справедливо неравенство:
з < — Ь'(а0’х)\ + 4/—ДеЬ' (а0 + а>1 Л — деЬ'(а0 + а<)> > 0.
Ь(а0, х) / \ Ь(а0 + г*) | | Ь(а + 2г*)
Подставляя полученные оценки в это неравенство, получим:
Г (1пБ)2/3(1п 1п Б)2 1 ( 4(1п Б)2/3 (1п Б)2/3(1п 1п Б)21
З {-----------71------+ со + 4 <---------------------------------------------1п М--—-> +
1 4d ] 1 С1 5d I
4(1п Б)2/3
+ —--------—1п М ^ 0,
с1
(1п 1п Б)2 Зс2 20 0 40 20
—20г + (ыэр + СТ(1п 1п Б) + 711п 1п Б — С11п Л » 0’
— 1 /(ЫпД)2 — 2МЫ|\ + 20 / ,ЗС2Су2/3 + (1п 1пБ)2 + 21п 1п^ » 0.
^ 20 С1 ) сД 20(1п Б)2/3 1 ; )
1
При d ^ 0 имеем: d 1п d ^ 0 поэтому
d
1(1п1п Б)2 20 с1
— --------------1-(1п1пБ) ^ 0, d ^ .
d 20 С1 ' ’ 40
Тем самым лемма доказана.
хБ
рт Тогда в области
а > 1 —
61
2(1п Б)2/3(1п 1п Б)2’
И < е'
Ь2 (1п 1п Д)2
где 61; 62 — положительные константы, справедлива, оценка
< (1п Б)5/3(1п 1п Б)2.
Т'(8 х)
Т(8’ х)
Доказательство. Применим формулу разложения логарифмической производной по нулям и границу нулей для функции Т(з, х) леммы 5. Пусть рп = вп + г7п — нули Т(з, х) и
61
(1п Б)2/3(1п 1п Б)2’
61
2(1п Б)2/3(1п 1п Б)2
Имеем:
Т'
Т
(8,х)= Е
Т'
Т (8’х)
2
(1п Б)2/3(1п 1п Б)2 V 1 + 0(1п Б|*|) = 0((1п Б)5/3(1п 1п Б)2).
61
|*-7п|<1
|*-7п|<1 2
+ 0(1п Б|
Лемма 7. Пусть х—произвольный неглавный характер по модулю Б = рТ а ^ Бч, п > 0 — константа, р — простое число. Тогда, справедлива, оценка:
Е х(р)
а<р^2а
где 0 < 65 < 1 — константа.
Доказательство. Для доказательства леммы достаточно оценить сумму
Е х(п)л(п).
а<п^2а
Применим для этой суммы формулу Перрона [10, с. 427]. Имеем:
Е х(п)Л(п) = 2Пг /‘+‘Т ( — % хА (2^^А8+
а<п^2а
+0
1Ь—Т \ Т
аь а 1п2 а'
Т (6 — 1) + ~Т
(3)
1
Пусть Г — контур, являющийся прямоугольником с вершинами сті +іТ, Ь+іТ,
1 Ь3
Ь — іТ, ст1 — іТ, ще Ь = 1 + -—, ст1 = 1 —
1п а
(1п Д)2/3(1п 1п Д)2
Т = еЬ4(1п1п д)2
Тогда
77“ / I —I = о.
V
Оценим интегралы по сторонам II и IV соответствующего контура:
2пі
' а±—іТ
V
/СТ1
Т
По стороне III интеграл оценим следующим образом:
2пі
' (71—ІТ
V
Т
V
2ш.1_т Г V(8,Х)
а
а+іі
< ааі 1п Т(1п Д)5/3(1п1п Д)2 < ае-(1п0)1/4.
Таким образом интеграл в формуле (3) не превосходит ае Ьб (1п1п Д)2, откуда и следует утверждение леммы.
Лемма 8. (А. И. Виноградова) Количество чисел, не превосходящих х, все простые делители, которых не превосходят г0 ^ у/Х, имеет оценку
, 11 М 1 °
Вх ехр---1п —+ 1п 1п — +--1-- --
а \ а а / а а 1п 1/а
где а = 1п г0/ 1п х, |0| ^ 1, В — положительная константа. Доказательство. См. в [И].
г
2
I
Лемма 9. Пусть х~произвольный неглавный характер по модулю Б = рТ а ^ п > 0 — константа. Справедлива, оценка:
Е Mn)x(n) ^ ae be(lnlnD)2
n<a
1
где 0 < Ь6 <-----константа.
6 10
Доказательство. Очевидно, что
Яо
Е Мп)хЫ = 1 + Е(—1)г Е х(^г),
и^а г=1 6г ^а
где 5г — бесквадратпое число, имеющее ровно г простых делителей,
До ^ ро§2 а].
Пусть 1 ^ г ^ Я0, Обозпачим £г = ^г^ах(£г)■
Если г = 1, то $г — сумма по простым числам, ее оценка получена в лемме
7.
Пусть г > 1. Разобьем чиела £г па г + 1 непересекающихея классов А0, Аь ..., Аг следующим образом: при 0 ^ ^ г 5Г € А^-, если среди простых делителей
5г рОВПО ] ПрОСТЫХ делителей, больших е(1п д)2/3+£^; и рОВНО г — ^ простых делителей, не превосходящих е(1пд)2/3+£1; где 0 < £! <
Рассмотрим сначала числа 5г го маеса А0, Все простые делители этих чисел не превосходят е(1п д)2/3+£1_ Поэтому
Е Х(5г)
Sr ^a Sr GAq
n<a
где штрих означает, что все простые делители n те превосходят e(ln D)2/3+£l_ Оцепим эту сумму по лемме А. И. Виноградова (лемма 8), получим:
Е 1 ^ a ехР (—(ln D)1/3-£l).
n<a
следовательно.
Е x(^)
Sr <a SrGAo
^ a exp (—(ln D)1/3 £l).
Рассмотрим числа ^г. прппа пожатие остльпым классам А^-, 1 ^ ^ г.
Любое такое число можно однозначно представить в виде
Sr = 5Г_ ,■ 5"
r-]~]
где бГ-3- — бесквадратпое число, имеющее г — ] простых делителей, каждый из которых не превосходит е(1п д)2/3+£1; а — бесквадратпое число, и меющее ] простых делителей, каждый из которых больше е(1п д)2/3+£1_ Имеем:
Е х(«г) = е х№-з =
ёг <а &' ё'!<:.а
ёгел3 г 3 3
= Е х«-;«;')+ Е х(«г_,«?) =
r-jj/'/ J AV^r-j
S7 .S"<a S7 .S"<a
r —j j r — 3 3
sr-j ^a0’1 sr—3 >aQ’1
= Я/ + £".
Оцепим сумму Так ка к «Г— б" ^ а, «Г— > а0’1, то число б" удовлетворяет неравенству б" ^ а0’9, поэтому
S3'^aQ,s Sr—3 <zi
0,1
где > а
бз
В силу леммы А. И. Виноградова,
a
1 < — exp (-0.1(ln D)1 /3-£l).
^ 5
Sr—з <zi j
следовательно,
|Sr"| ^ a exp (—0. 05(ln D)1/3-£l). Оценим теперь сумму Sr!. Имеем:
is;!« Е
S7 • <a0,1
r—3
Е х(5Л
S"^2
0,9
где ^2 = —, ^2 > а
бг 3
Сравним внутреннюю сумму с суммой
Е х^^М^
ё3'_1 р<^2
Р>е(1п Д)2/3+^
где б"— пробегает множество бесквадратных чисел, имеющих ровно ] — 1 простых делителей, каждый из которых больше е(1п д)2/3+£1_
a
a
Числа ^Лр могут не быть бесквадратными; если число ^^р не бееквадрат-ное, то оно делится на р2, Вклад таких чисел в сумму не превосходит
£
4 « ^е-11" П)2/3—.
р>е(1п Д)2/3+^
Р2
Если же числа ^^/_1р бесквадратные, то каждое заданное число < г2 встре-
чается среди чисел 5"_ ^ ровно 3 раз, поэтому
<^2
£ х(^) = 7 £ ,\(^;/_1Р) + 0(г2е_('"°>2/3-'1
3 &'—1Р<*2
где
£ х(^;) < £ (р) х( £
<"<*2 г;-1<*2в(1п л)2/3+£1 е(Ь Д)2/3+^ <р< Ч .7 — 1
Таким образом, для оценки суммы ^^^(п)х(п) требуется оценить сумму по
п<а
простым числам ^2р<гя х(р) гДе > е(1" П)2/3+£1_ Применим лемму 7, получим:
£ Х(р) = 0
23 в
_ 2 Ьб(1" 1" Д)2
Р<*з
Объединяя оценки всех рассмотренных случаев, имеем:
£ ^(п)х(п) ^ ае_Ьб(1"1" Д>2.
п<а
Тем самым лемма доказана,
3 Доказательство теоремы 1
Рассмотрим сумму
</>(х,Д/) = £ Л(п).
п<Х п=1 (шоё П)
Из ортогональности характеров имеем:
1
п<Х п=1 (шоё П)
р(В)
£ х(|) £ л(п)х(п).
X (шоё П) п<Х
xo
Е л(п) = Е л<п) + ^ Е *<г) Е Л(n)x(n).
пЛХ пЛ,Х Х=Х0 пЛ,Х
n=l (mod D> (n,D> = 1
Первая сумма справа даст нам главный член формулы, а вторая — остаток
R
К\ І
Ч ^(D)'
Ex(/) Е ••‘Е Cl(nl) . . . C2k(n2k)x(nl . . . n2k),
1ЛkЛK
x _
X=X0 nl...nknk+l...n2k ЛХ
R = - £ МП*) —x
-- ТУ \ /
где с,(п,) — либо 1, либо 1пп,, либо ^(п,), 3 = 1,..., 2к, Если с, = ^(п,), то
п, < X1/к
Пусть К = 100. Зафиксируем к и разобьем соответствующую сумму Як на 0(1п2к X) слагаемых вида,
5 = £х(/) £ ... £ 01 (П1) . . . 02к(П2к)х(н1 . . . П2к).
Х=Х0 N1 <п1 <2^1 И2к <п2к <2^к
п1 ...п2к <х
Без ограничения общности, будем считать, что N ^ Х2 ^ ... ^ М2к. Рассмотрим случай: Д > X 1_£Х1-1, е — произвольно малое число. Тогда
X
N ... Х2к < DX£, Кроме того, N > —X_£, следовательно, с1(н1) равно либо 1, либо 1п пь Оценим с1(н1)х(н1) согласно лемме 2. Тогда:
^<п1<2^ п1<Х (п2...п2к) —1
1 —^
5 < ^т^2... ^2к 1п2 т < т3^2£ < -д-
ири т < X22_6£, Следовательно, для этого случая утверждение теоремы выполняется.
В дальнейшем будем считать, что Д < X 1_£Х1_1.
Пусть
Т2 к_1(У)= Е ■■■ Е с2 (н2) . . . с2к (н2к).
^<п2<2^ N2 к <п2к <2^к
п2 •••гп2к=У
Разобьем промежуток суммирования (Х1, 2Х1] на промежутки (Н, Н + Н/] N1
где Н = <(1п 1п х)2> 0 < $ < 1 — действительное число. Получим:
ехр{<(1" 1п х )2}
< Е 1
-(D)
Е X(l) Е dMxM Е X(y)T2fc-1(y)
Х=Х0 H<U1^H+H' X(H+H')-1<y^XH-1
H ..... _ ,
y^Xra1
-1
Заменим условие y ^ Xn-1 на условие y ^ XH 1 и оценим получившуюся при этом ошибку R1:
exp{5(ln ln X)2}
R1 ^ E ( E E Г2к-1(У) +
H H<U1^H+H X(H+H)-1 <y^XH-1
y=1n—1 (mod D)
+-D E E T^-1(y)).
^ 1 H<U1^H+H' X(H+H')-1<y^XH-1
Для оценки внутренней суммы первого слагаемого в скобках применим лемму 1,1,5 [1, с, 30], а для оценки внутренней суммы второго слагаемого — ту же лемму, положив в ней D = 1:
x/h'2\ (мД х ,(] , X)2
R ^ D ( я2) ( я7) ^ De ‘
Получим:
где
S ^ e5(lnlnX)2 max {|S1|} + O ( — exp{-£(lnlnX)2} 1 , (4)
x=xo \ D
S1 = -(D) E X(l) E c1(n1 )X(n1)x
-( ) x=xo H<U1^H+H<
x E C2(n2) . .. E C2fc (n2fc)x(n2 . . . П2к).
N2 <U2^2N2 N2k<n.2k^2N2k
U2...n2k^XH-1
Введем обозначения:
U = N2N4 ...N2k, V = N3N5 ...N2k-1,
т'к (u)
£ Е
У С2(П2)С4(П4) . . . С2к(n2k),
N2<n2^2N2 N4<n4^2N4 N2k <n2k ^2N2k
П2П4 "^n2k =u
Tfc-1(v)
EE
£
Сз(Пз )С5(П5) . . .С2к-1(П2к-1).
N3<n3^2N3 N5<n5^2N5 N2k-1<n2k-1<2N2k-1
Пз n5^^^n2k-1 =v
Заметим, что V < U < N1V. Тогда
S1
1
-(D)
E x(0 E d(n1)x(n1) E T‘-1 (v)x(v) E Tt(u)x(u).
x=xo H<n1<H+H'
V<v<2k-1V uv<XH-1
U<«<2k U
Рассмотрим случай V < X£, Если N < X200; то и < УХ1 < X200 +£; следовательно, 51 ^ X100+2е и, очевидно, утверждение теоремы выполняется.
Если же N > X2м; то с1(н1) = 1, или с1(н1) = 1п н1; поэтому:
1
E
-(D)
V<v<2k-1V x (mod D)
U <u<U*
X
где Uv = min < 2kU,-----
Hv
Применив неравенство Коши, получим:
1
а
где
-(D)
а 1
Е
x (mod D)
U <u<Uv
< (а1)1/2,
-(D)
E
x (mod D)
U <u<Uv
Заметим, что а1 равняется числу решений сравнения
n2n4 ... n2 к = n'2n4 ... n'2к (mod D);
N2 < n2, n2 < 2 N2, . . . , N2 к < n2 к, n2к < 2 N2 к.
Число решений этого сравнения не превосходит величины
E Tfc (u) E Tfc (u + dD) < E
u
e/10
^-u <d< -'
D <d< D
U <u<Uv
^ -u <d< -'
D <d< d
U \ „/U2
U <u<Uv
D
2
1
Отсюда
а « —e/10 ^ -= + .
Следовательно,
S1 « x 12е ^-UL + VU^J VDin d. Так как U2V < UVN1 < — V < Xе, то U « -X1+^ -UD « X1/4-D,
, V ^ ,».УУ V 5 V ^ ^ V 5
\^1 — £ \^1—£
1 2 2 /
то 51 < при Д < X2_2>2е, Учитывая (4) получаем, что 5 < при
т < X2_4е, и для этого случая утверждение теоремы выполняется.
Рассмотрим следующий случай: V > Xе.
Пусть сначала и < DXе, Разобьем промежуток суммирования (V, 2к_1 V] на
V
промежутки (Ж, Ж + Шгде Ш/ = Тогда:
51 <
X 2г
« E
W
1 Ex(l) E c1(n1)x(n1) E Tfc-1(v)x(v) E Tfc(u)x(u)
-(D)
! x=xo H<n1<H+H' W<v<W+W' U<«<2kU
M<X(Hv)
-1
Заменим условие u < X(Hv) 1 па условие u < X(HW) 1 и оценим получившуюся при этом ошибку R2:
X 2£
r2 < E E E Tfc-1(v) E t7 (u)+
W H<n1<H+H' W<v<W+W' X(H(W+W'))-1<M<X(HW)-1
M=1n-1v-1 (mod D)
X2£ 1
+E -tDt E E T^-1(v) E <(u)«
W YK H<n1<H+H' W<D<W+W' X(H(W+W'))-1<M<X(HW)-1
X1+3e / H'\ / W'N 2 X1-e / H'N « D ( Я/ ( W) « D ( H
Получим:
1—e
S1 « X2e max {| S21} + O[ ^^e-5(lnlnX)
_e-"(ln ln X )2
x=x/' 2IJ \ D
X1-e'
S « X3e max {| S21} + O
x=xo \ D
где
5 = -тт £х(1) £ с1(н1)х(н1) £ тк/_1(^)х(^) £ Тк (и)х(и).
-( ) Х=Х0 Я<щ<Я+Я'
и <«<2к и
и<Х (Я№) —1
В этом случае с1(п1) = 1, либо 1п п1; поэтому, применяя неравенство Коши, имеем:
52 ^ тах
Х=Х0
£ х(н1)
Я<щ<Я+Я'
X
-(В)
£
Х (шоё D)
-(В)
£
Х (шоё D>
Е гк_1(^)х(^)
2Ч 1/2
Е (и)х(и)
и <«<2к и
1/2
X
Таким образом,
52 < X£/5-В 1пв ^-Ц= + + -V) < XVига < X2ет3/2.
^1 — £
X1 2_ 3
Таким образом, 5 < при В < X в , Следовательно, утвеждение теоремы
выполняется.
Рассмотрим случай и > ВXе.
Разобьем промежуток суммирования (V, 2к_1V] па промежутки (Ш, Ш + Ш/],
V ‘
где Ш = и, , „ч2. Получим:
е^(1п1п X >2
ехр{й(1п 1п X )2}
ш
-(В)
X
X
Е х(1) Е с1(н1)х(н1) Е гк_1(^)х(^) Е т'к(и)х(и)
Х=Х0 Я<п1<Я+Я' ш<^<ш+Ш и<«<2ки
и<Х (Я^> —1
Заменим условие и < X(Ну) 1 на условие и < X(НШ) 1 и оценим иолучившу
2
1
1
1
R2
exp{5(1n 1n X >2}
R2 л Е Е Е Tfc_i(v) Е т*(u)+
W H<nlЛH+H/ W<vЛW+W/ X(H(W+W/>>-1<uЛX(HW>-1
u=ln-lv-1 (mod D>
exp{S(1n1n X >2} і
+ Е щij Е Е T^i<v) Е т^<и).
W W<vЛW+W/ X(H(W+W/^^^X(HW>-1
Применим лемму 1.1.5 [1, e. 30]
X /H'\ /W'\ X 2Л(1 1 X>
R2 < -TT T7 T7T < ТТЄ _2<5(1n1n X>
D H W
D
Получим:
S ^ e2^(1n1n X>2 max {|S21} + O[ Xe_5(1n1n X>M ,
X=X0 D
(5)
где
S
2
-(D)
X
x x(l) ci(ni)x(ni) Tfc_ 1 (v)x(v) Tfc(u)x(u).
X=X0 H<nlЛH+H/ W<vЛW+W/ U<«Л2kU
^X (HW >-1
Применяя неравенство Коши, имеем:
І
S2 ^ max
X=X0
C1(n1)x(n1) H<n1ЛH+H/
-(D)
Е
X (mod D>
Е тк_i(v)x(v)
І
х
-(D)
Е
X (mod D>
W<vЛW+W/ 2ч 1/2
1/2
X
Е Tfc (u)x(u)
U<«Л2k U
а1 =
нии сравнения
-(D)
Е
X(mod D>
Е Tfc (u)x(u)
U<«Л2k U
равняется числу реше-
n2n4 ... n2k = n'2n4 ... n'2k (mod D);
N2 < n2, n2 Л 2 N2, . . . , N2k < n2k, n2 k Л 2 N2 k.
2
І
2
2
І
Число решений этого сравнения не превосходит величины
Е тк Ы Е ть (А
и<м^2к и
и
«'=« (шоё Д)
Для оценки внутренней суммы применим лемму 1.1.5 [1, с. 30], а для оценки внешней суммы — ту же лемму, положив в пей В = 1. Получим:
0"! < I В + и I (1п и)2А(к>,
А(к) — положительная константа, завиеящая от к,
1
Аналогично оценивается сумма
р(В)
£
Таким образом:
х(шоё Д)
Е тк - 1(^)х(^)
52 ^ тах
Х=Х0
Е сі(пі)Х(пі)
Я<щ<Я+Я'
Если с1(п1) = Ыи с1 (п1) = 1п п1; тогда, оценивая соответствующую сумму согласно леммам 3 или 4, получим:
тах
Х=Х0
Е хы
Я<щ<Я+Я'
'и /7 + /Цу /В
< Ухїв1/61п в^ + ^Цу^ <
< 1п X (X3/4В-1/3 + X1/2В1/6) < X3/4В-1/31п X,
тах
Х=Х0
Е хы
Я<щ^Я+Я'
цу X1-8ККЗ
в
В
Если же с1(п1) = ^(п1), то, оценивая соответствующую сумму согласно лемме 9, получим:
тах
Х=Х0
Ц/у /------- ЦУ
+ v/Uу + — I <
л/В
Е М^ОхМ
Жга^Я+Я'
< Х1в-Ьб(1п1п Д)2 ( и/у + /Цу +
ВВ
В
Цу
21
Выберем 8 = -6б < —, Так как, по условию теоремы В < X8 е_(1п1пх> , то, 5 25
X 1
учитывая (5) и (1п X)2к, получаем: Я ^ —-—-е_к(1п1пх> ; к = -6б.
-(В) 6
2
Из полученной асимптотической формулы преобразованием Абеля приходим к утверждению теоремы,
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Линник Ю, В, Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах, — Издательство ЛГУ, 1961, — 208 с,
[2] Постников А, Г, О сумме характеров по модулю, равному степени простого числа // Изв, АН СССР, Серия математическая, — 1955, — 19, JV2 1, — С. 11-16.
[3] Линник Ю. В., Барбан М. Б., Чудаков Н. Г. О простых числах в арифметической прогрессии с разностью, равной степени простого числа //Acta arithm. J. - 1964. - vol.9, № 4. - С. 375-390.
[4] Петечук М. М. Сумма значений функции делителей в арифметических прогрессиях с разностью, равной степени простого нечетного числа // Изв. АН СССР, Серия математическая. - 1979. - 43, № 4. - С. 892-908.
[5] Карацуба А. А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях // Докл. АН СССР. —1970. — 192, № 4. — С. 724-727.
[6] Чубариков В. Н. Уточнение границы нулей L-рядов Дирихле по модулю, равному степени простого числа // Вестник Московского университета. — 1973. № 2. - С. 46-52.
[7] Iwaniee Н,, Kowalskv Е. Analytic number theory. — American Mathematical Society, Colloquium Publications, Volume 53, 2004. —615 c.
[8] Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 239 с.
[9] Линник Ю. В. Теория чисел. L-функции и дисперсионный метод. — Ленинград: Наука, 1980. - 373 с.
[10] Прахар К. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967. — 511 с.
[11] Виноградов А. И. О числах с малыми простыми делителями//Докл. АН СССР, Серия математическая. - 1956. - 19, № 4. - С. 683-686.
Белгородский государственный университет
Поступило 6.07.2011
