CC BY
28
12 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
MSC 11D45
О СУММЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ДЕЛИТЕЛЕЙ ПО ЧИСЛАМ, ЛЕЖАЩИМ В АРИФМЕТИЧЕСКИХ ПРОГРЕССИЯХ С РАЗНОСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
М.С. Герман-Евтушенко «ОООЯндекс»,
пр. Ленина, 66, Балашиха, Моск. обл., Россия
Аннотация. Решается задача получения асимптотической формулы для суммы значений функции Tk(n) по числам, лежащим в арифметической прогрессии с разностью, являющейся истинно составным числом.
Ключевые слова: функция делителей, истинно составные числа, оценка сумм характеров.
1. Введение. Пусть х > 1 - произвольное вещественное число и D = pyp2 .. .pr, где Pi,... ,pr - простые числа такие, что pj < аУ, j = 1, 2,..., г, причем xr < D3. Эти числа называются «истинно составными» (truly composite) [1].
Рассмотрим задачу получения асимптотической формулы для суммы
S = Тк (n) ’
n= Imod D,
n<x
где Тк (n) обозначает число решений в натуральных числах уравнения х1... Xk = n, D — истинно составное число, D < хз~£, £ — вещественное число, 0 < е < 1/3.
С ростом параметров к и D задача получения асимптотики для S усложняется, так как при этом поведение Тк(n) становится более сложным, а прогрессия — более редкой. Если D — произвольное натуральное число, то асимптотическая формула для S получена лишь в случае, когда D растет с ростом х не более, чем логарифмически [2]. В 1979 году М.М. Петечук [3] получил асимптотическую формулу для S при фиксированном
3
к > 2 и D = р™ < Х8~£, где ро — фиксированное нечетное простое число.
В данной статье получена асимптотическая формула для суммы значений Тк (n) по числам, лежащим в арифметической прогрессии в частном случае, когда разность является истинно составным числом.
Далее везде в работе L обозначает ln х. Основным результатом статьи является следующая теорема.
Теорема. Пусть (/, D) = 1, D — истинно составное число. Тогда при D < х^~£ и любом C > 0 справедлива формула
Y, т^п) = ^^Qk-iQ-nx) + о ,
n= Imod D
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31 13
где Qk-1(z) — многочлен степени к — 1 от переменной z, а постоянная в O(-) зависит только от C.
2. Вспомогательные утверждения. Для доказательства этой теоремы нам потребуется несколько лемм.
Лемма 1. Пусть при условиях D < хх~е, х — х\ > ж1-Д 0 < е < 1/2 справедливо следующее неравенство
^ lnx)a(k),
Х1<П<Х ,
n= ImodD
где a(k) — константа, зависящая только от к.
Доказательство см. в [4, c.30].
Лемма 2. Пусть k,l — константы. Имеет место неравенство
У (тк(n))1 < (b — a) (lnn)k-1.
a<n<b
Доказательство см. в работе К.К. Марджанишвили [5].
Лемма 3 [Оценка Виноградова]. Пусть х — примитивный характер по модулю D. Тогда справедлива оценка
< хИ InD.
n< Х
Доказательство см. в [6, c.123].
Лемма 4. Пусть х — примитивный характер по модулю D. Тогда при N < N1 < 2N справедливо следующее неравенство
У X(n) < cN 1-А ,
N <n<N'
где — константа, Д — понижающий множитель.
Доказательство см. в [1].
3. Доказательство теоремы. Согласно определению функции Tk(n) имеем
S = У 1 ■
П1П2...п^= ImodD ,
П1П2...П^ <Х
Каждая из переменных n1,n2, ■ ■ ■ ,nk пробегает натуральные числа из интервала [1,х].
Разобьем промежутки суммирования по каждой переменной на L промежутков вида (Nj, 2Nj]. Соответственно этому разбиению сумма S разобьется на Lk сумм S1 вида:
si = У У ••• У 1 =
Ni<ni<2Ni N2<n2<2N2 Nk<n&<2Nk
nin2...nk = ImodD , n1 n2 ...nk < Х
14 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЕгЯ Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
где
v(D)
у Х(1) У X(«i) У хМ ••• У X(nk)
XmodD Ni<ni<2Ni N2<n2<2N2 Nk <nk <2Nk
П1П2--.П^<Ж
i
P(D)
E E
Ni<ni<2Ni N2<n2<2N2 Nk<nk<2Nk
nin2---Uk<x ,
(nin2...nk,D) = 1
R
i
P(D)
E x(i) E хм E х(п2) ■ ■ ■ E x(nt) •
X=Xo Ni<ni<2Ni N2<n2<2N2 Nk <n <2 Nk
nin2...nk<x
Будем пока считать, что xL B < N1N2 ... Nk < x, где B зависит только от k. Без ограничения общности можно считать, что
i
Ni > N2 > Nr+1 > N3 > Nr+2 • • • ,
где r = [k/2] + 1. Положим
U = N2N3 ...Nr,
V = Nr+1Nr+2 . . . Nk .
Следовательно,
N{V > U > V, N1 = max X , Ni > xkL ь .
1<i<k
Пусть 0 < 6 < (2k)-1 — действительное число и r'r-1 (u), r,k-r(v) соответственно означают количество решений в натуральных числах уравнений:
n2n3 . . . nr u , nr+1nr+2 . . . nk v ,
где N^ < ni < 2Nj, i = 2, 3,..., k .
Оценим сумму R и сравним оценку с величиной x1-<5/D.
1. Пусть сначала D > xl~£N^1, то есть IV! > жз_е. Тогда N2... Nk < xlVf1 < RHC По лемме Виноградова имеем
хМ
Ni<ni<2Ni , ni<x(n2...nk)-1
<
n D.
Тогда при D < x з e получим
|R| < VDlnDN2N3...Nk < Dix2£ <
1—e
D
Везде в дальнейшем считаем, что D < х1 £N11 или X < хз
— £
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
15
2. Рассмотрим случай U < хё. На основе тривиальной оценки имеем
I 2 2 1 X
|Д| < - 1 )NlUV < х~£х2& < <
i—г
D
<P(D)
при D < х^~£ и возьмем 3$ = е.
3. Пусть теперь U > хё. Разделим интервал (N1; 2N1] на LA промежутков: (Ni,Ni(1 + L-A)] U (Ni(1 + L-A),Ni(1 + 2L-A)] U---U (Ni(1 + (n - 1)L-A),Ni(1 + nL-A)] В результате распределения суммирования по набору этих промежутков получим
R «£
1
¥>(D)
Yx(i) Y хы Y x(n2)■■■ Y x(nk)
X=Xo N/<n1<N/(i+L-A) N2<m<2N2 Nk <nk <2Nk
П\П2---Пк <x
LA
У
1
¥>(D)
Y x(i) Y x(ni^ Y Tk-i(n)
X=Xo N/<n1<N/(i+L-A) nni<x
где rje-i(n) — количество решений в натуральных числах уравнений:
П2П3 ...nk = n,
A
при N < n < 2Nj, i = 2, 3,..., k.
Поменяем условие суммирования nni < х на условие nN1 < х и оценим получающуюся при этом ошибку Д
LA
д < У
X
N/<n1<N /(i+L-A)
Y Tk—i(n) +
x(ni)-1<n<x(N/)-1 , n= 1n-1modD
+ x[d) Y x(o Y хы Y д-» •
^( ) X=Xo N/<n1<N/(i+L-A) nn1<x
Для оценки внутренней суммы первого слагаемого применим лемму 1, а для внутренней суммы второго слагаемого — ту же лемму, положив в ней D =1:
| Д| « LA
xL А N'D
La(k)N 'L-A
х
^ D
La(k)+k-A
х
« bL-°
5
при A = a(k) + k + C.
Итак,
R=R" + O^L-c),
где
R ^ ^(L>) ^ ^
X=X0
N/<n1<N /(i+L
A
x(ni) x
A)
16 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
X Y X(uK-1(u) Y X(vWk-r(v) •
U <u<2r-iU V<v<2k-r V
uv<x(N ,)-1
4. Пусть V < x&. Тогда
la
\R"\ < E
E
N' <n1<N '(1+L
X(n1)
A)
E -Ex
Nr+i<nr+i<2Nr+i Nk<nk<2Nk
1
xEd)
E
X=X0
У х(и)тГ-1(и)
U <u<Uv
где Uv = min{2r 1U, U/N'v}.
Применяя неравенство Коши, получим
1
Жо)
Е
Х=Х0
Y Х(и)гГ-1(и)
U <u<Uv
<
— Y
<^(D)
т к ' xmodD
2
Y Х(и)гГ-1(и)
U <u<Uv
1
2
Положим
01
— У
&(D)
Xm°dD
Y x(uK-1(u)
U <u<Uv
2
Тогда о1 равняется числу решений сравнения
n2n3 ...nr = m2m3 •••mr mod D; N <щ, mi < 2 Nf, i = 2, 3
U < n2 • • .nr, m2 • • .mr < Uv •
Оценим теперь o1. Зафиксировав значения mi на интервалах (Ni} 2Ni], получим
01 < N2N3 •••Nr Y T'r-1(n) <
n= Tn2m3...mrm°dD ,
U<n< Uv
< иxs(+ i\<&xs(^ + u
Тогда при A = a(k) + k + C получаем
\Д"|«Е E x(n1)
N '<n1<N '(1+L-A)
< L
A,
in
E - E
Nr+i<nr+i<2Nr+i Nk <nk <2 Nk
La
U2 TT s
— + Ux2 c
DV (Y= + \Yj x* <&x%(u + VuYj La{k)+k+c.
A
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
17
Так как U < VN\, то U2 < UVN\ < х , U < л/х, что имеет место неравенство
< ж4, В результате, находим,
М / тт /тт т-л \ I i М 1 , М /гг X
х 2 [U + VUD < ж2 + 2 +ж4+2УТ><
1— D ’
при D < хз~^2 . Таким образом, при V < х° получаем оценку |Д| %Ь~С.
5. Рассмотрим случай V > хё. Пусть сначала U < Dxs. Разобьем промежутков (V, 2k-1V] на La промежутки вида (V7, V7(1 + L-A)]. Тогда
l2A
'^ЕдлуЕ
X=X0
Y x(ni)
N '<m<N '(1+L-A)
X
X
Y X(v)Tk-r(v) Y X(uK-1(u)
V' <v<V '(1+L-A)
U <u<Uv u<x(N 'v)-1
Заменим условие u < x(N'v) 1 на условие u < x(N'V') 1 и оценим получившуюся при этом ошибку R1:
№1<Е
У
У Tk-r(v)
У
тГ-1(и) +
N'<n1<N'(1+L-A) V'<v<V'(1+L-A)
x(N 'V' (1+L-A))-1 <u<x(N 'V')-
• I = 7/Л 1 /1 1 1 r-
1
E
Tfc-r(v)
E
M) ^ ^ k-r
ry ' N'<n1<N'(1+L-A) V' <v<V'(1+L-A) x(N'V'(1+L-A))-1<u<x(N'V')-1
Tr-1(u)
Для оценки внутренней суммы первого слагаемого применим лемму 1, а для внутренней суммы второго слагаемого применим лемму 2:
хТ-A
\Ri\ < <
xL—A+a(k)+k—r—1 xL-A+a(k)+k x
<---------------< ------------< — L~c\
- D ~ D ~D
при A = a(k) + k + C. В результате, получим, что
я" = я; + о(^я-с)
где
R1 = Е
1
<P(D)
Y x(l) Y x(n1) x
X=X0 N' <n1<N '(1+L-A)
x Y x(v)Tk-r(v) Y x(u)T'r-1(u)
V'<v<V'(1+L-A) U<u<Uv ,
u<x(N 'V ')-1
2 A
1
+
2 A
18 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
Оценим сумму R. Применяя неравенство Коши для
Y x(uK-i(u) Y x(vK-r(v)
U <u<Uv
V' <v<V '(1+L-A)
получим:
|Ril < E
v(D)
E x(ni) (E E x(u)T'r~i(u)
N'<n1<N'(1+L-A) X=XQ U<u<Uv
X
X
E E xMtL-(v)
E
X=XQ V'<v<V'(1+L-A) 1
2\ -
2
Y x(ni)
N'<n1<N '(1+L-A)
v(D)
X=XQ
Y х(и)гГ-1(и)
U<u< Uv
2\ -
2
X
X
v(D)
X=XQ
Y x(v)Tk-r(v)
V '<v<V '(1+L-A)
Заметим, что
<p(D)
X=XQ
Y x(uK-1(u)
Положим
U <u<Uv
^2
<
<P(D)
Xmod D
Y x(u)T'r-1(u)
U<u< Uv
1
<P(D)
Y x(uK-1(u)
XmodD U<u<Uv
и оценим величину a2 аналогично тому, как это было сделано для а1. В результате, получим
0-2 < Xs | — + U I .
U 2
Аналогично получаем оценку 1
V(D)
X=XQ
Y x(v)Tk-r(v)
V' <v<V '(1+L-A)
« \j^ + V\x°.
Следовательно,
1Д1<Е E x(n1)
N '<ni<N '(1+L-A)
^u)A nx+v]xU,
2A
1
2\ f
1
2A
1
2\ f
1
2
2
1
1
2
1
2A
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
19
L2
<\'х'
^>i L _4(4+^)(4+VF)
N '<m<N '(1+L-A)
L2A
E=
< > x'
54 хм
N '<ni<N '(1+L-A)
UV Uy/V /^N
+ —+ Vuv |<
D
L2
«Еx
„s
54 хы
N '<n1<N '(1+L-A)
WV .
Согласно лемме 3,
x
54 x(ni)
N'<n1<N '(1+L-A)
Vuv < Vd In D Vuv < xV2S Vd <
x
1-s
D
при D < x з 2S.
6. Пусть теперь U > Dxs. Разобьем промежутков (V, 2k-1V] на LA промежутки вида (V',V'(1 + L-A)]. Тогда
msEyuyE^)
X=X0
54 хы
N '<ni<N '(1+L-A)
X
X
54 x(v)rk-r(v) 54 х(и)тГ-1(и)
V'<v<V'(1+L-A) U<u<Uv ,
u<x(N 'v)-1
Заменим условие и < x(N'v)-1 на условие и < x(N'V')-1 и оценим получившуюся при этом ошибку R1:
R < Е
Е Е T'k--r(v)
N'<ni<N'(1+L-A) V'<v<V'(1+L-A)
E
тГ-1(и) +
x(N 'V '(1+L-A))-1<u<x(N 'V')"
-i -i
1
E
54 Tk-r(v)
E
тГ-1(и)
<p(D) ^ ^ 'k~r^ 'r"1
ry 2 N'<n1<N'(1+L-A) V'<v<V'(1+L-A) x(N'V'(1+L-A))-1<u<x(N'V')-1
Для оценки внутренней суммы первого слагаемого применим лемму 1, а для внутренней суммы второго слагаемого — лемму 2:
xT-A
IU\| < ^{N'L-ViV'L-VV-^^^L^ <
2A
2A
1
20 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЕгЯ Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
xL-A+a(k)+k-r-1 „L_A+«(k)+k x
< --------------< ------------< — L~c
~ D ~ D ~ D
при A = a(k) + k + C. В результате, получается асимптотическая формула
где
я" = д; + о(Д-с).
Д = Е Е Е х(ш)
X
X=X0 N'<n1<N'(1+L-A)
X
X(v)T'k-r(v) Y x(uK-i(u)-
V' <v<V '(1+L-A)
U <u<Uv u<x(N 'V ')-1
Оценим сумму R'2- Применяя неравенство Коши для
Y x^K-Au') Y x(v)Tk-r(v)
U <u<Uv V' <v<V '(1+L-A)
получим:
|R2I < Е
Е хм
N' <ni<N '(1+L-A)
¥>(D)
X=X0
X! X(uK-1(u)
U <u<Uv
2\ -ZX 2
X
X
1
(B) E E x'(«)T-L,<e
4 ' X=X0 V' <v<V'(1+L-A)
2\ -ZX 2
Положим теперь
1
^3
¥>(D)
E E X(uK- 1(u)
XmodD U<u<Uv
Тогда а3 равняется числу решений сравнения
n2n3 ... nr = m2m3 ... mr(modD); N < щ, m* < 2N*; i = 2, 3,..., r .
U < n2 ... nr, m2 ... mr < Uv .
Оценим величину а3. Зафиксируем значения m* на интервалах (Ni} 2N*]. Имеет место аз < N2N3 ...NrY т"Г—1 (n).
n= гп2гтз...тпг (mod D),
U <n<Uv
Воспользуемся леммой 1 для оценки последней суммы
Uv U
Y тГ- 1(n) <
n= 7П2гПз...7Пг (mod D) ,
U <n<Uv
D
L«(k)
2 A
2A
1
2
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
21
Отсюда получим
Аналогично имеем 1
а « U | I) + 1 | L“№)
ДО)
Х=Х0
x(vK-r(v)
V '<v<V '(1+L-A)
< ( + У ] L“(fc)
Следовательно,
L2A
IRI < E
<
l2A
E
хЫ
N '<n1<N '(1+L-A)
E хы
N '<ni<N '(1+L-A)
Ч1 + и\ь<кП (C^- + v)ba^\ <
U
+
V
+ W)La{k) <
l2A
« E
хЫ
N ^n^N '(1+L-A)
UV
В силу леммы 3 имеем
N ^n^N '(1+L-A)
По лемме 4 получим
J2 хЫ VDlnDU
D л/D J
DU2— <
А ^а(к) .
\f~D
< \/~D In ж ж21 < x2+6 \/~D
x
1—
D
хы
N '<ni<N '(1+L-A)
UV\ (N')1-AUV x1-
it1<LJ-------<
DD
7. Пусть N1... Nk < xL B. Тогда оценим сумму тривиально. В силу леммы 1 имеем:
Lk
I c<i N1... Nk а(к)+к xL BLa(k)+k x c
|S| < 2^----------L“w+fe <---------------< —L ° ,
D
DD
при B = a(k) + k + C. Таким образом,
S = E
1
E +Ol±L
<p(D) S ••• ' “ \D
^ ' Ni<ni<2Ni N2<n2<2N2 Nk<nk<2Nk
nin2...nk <X ,
(nin2...nk,D)=1
x r-C
i
22 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
Сделаем обратный процесс, то есть объединим промежутки длин Ni, N2,..., Nk в один промежуток длины х. Получим
S
1
W)
У
(niU2...nk,D)=1,
1 + O
П\П2---П^ <Х
х
D
Рассмотрим сумму
1
W)
У Tk (n) + O
n<x ,
(n,D) = 1
х
D
У Tk(n) .
n<x ,
( n,D )=1
Доказательство строится таким же образом, как для суммы У) Tk(n) (см. [2]). В
n< x
результате, получим:
У тк(п) = xQk-i(lnx) + О (х1 2bj,
n< x ,
(n,D)=1
где Qk-i(z) — многочлен степени (к— 1) от переменной z с коэффициентами, зависящими от к и D. Тогда
Литература
1. Iwaniec H., Kowalsky E. Analytic number theory / American Mathematical Society, Colloquium Publications. - 2004. - 53. - 615 c.
2. Dirichlet L., Uber die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie // Abh. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. - 1849. - S.69-83 (Werke 2, S.49-66).
3. Петечук М.М. Сумма значений функции делителей в арифметических прогрессиях с разностью, равной степени простого нечетного числа // Докл. АН СССР, Серия математическая. - 1979. - 43,№4. - C.892-908.
4. Линник Ю.В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах / Л.: Изд-во ЛГУ, 1961. - 208 с.
5. Марджианишвили К.К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР. - 1939. -22. - C.291-298.
6. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел / М.: Наука, 1983.
ON THE SUM Tk(n) ON NUMBERS LYING IN ARITHMETICAL PROGRESSIONS WITH DIFFERENCE OF A SPECIAL TYPE M.S. German-Evtushenko "OOOYandex",
Lenin St., 66, Balashikha, Moscow region, Russia
Abstract. The asymptotic formula of the sum of function Tk(n) values on numbers lying in arithmetical progressions with truly composite differences is obtained.
Key words: function of factors, truly composite numbers, estimation of character sums.
