УДК 511.35
О СУММИРОВАНИИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ДЕЛИТЕЛЕЙ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ М.В. Шевцова
Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: shevtsova@bsu.edu.ru
Аннотация. Найдена асимптотическая формула для сумм значений функций т(и) и тз(и) по числам, лежащим в арифметической прогрессии.
Ключевые слова: схема решения тернарной аддитивной задачи, оценка Виноградова-Пойа.
1. Введение. Пусть Tk (n) - число решений в целых положительных числах Щ, ... ,Пк уравнения
Н\ ... nk = n .
Рассмотрим сумму
Tk(n) . (1)
n^X, n=l (mod D)
Ряд авторов занимались проблемой получения асимптотической формулы для этой суммы. В работе [1] эта задача решена для к ^ 4, (l,D) = 1 и D ^ Xa/k (а > 0 -константа):
X] гк(п) = Ш^0*Х) + R, (2)
n^X, n=l (mod D)
где Pk-1(z) - многочлен степени k — 1 от переменной z с коэффициентами, зависящими от к и D.
Иванец [2] на основе модулярной техники получил асимптотическую формулу в случае
k = 2, справедливую при D ^ X2/3-е (е > 0 и произвольно мало), и совместно с Фрид-лендером, - для к = 3 [3], справедливую при D ^ Хз + ззо.
С ростом параметров к и D задача получения асимптотики усложняется, так как прогрессия становится более редкой. В 1970 году А. А. Карацуба разработал новый метод решения мультипликативных тернарных задач [4]. Применяя этот метод, М. М. Петечук [5] получил для суммы (1) асимптотическую формулу в случае модуля специального вида D = pm (p0 ^ 3 - фиксированное простое число), где D ^ X3/8-е (е > 0 -произвольно мало).
В настоящей статье дана элементарная оценка R в формуле (2) для к = 2, к = 3 и произвольного модуля D. Она опирается на идею А. А. Карацубы, которая позволяет оценивать остаточный член асимптотической формулы по схеме аддитивной тернарной задачи. Полученный результат формулируется в виде следующего утверждения. Теорема.
1. При к = 2 формула (2) справедлива для D ^ X^~£l ( S\ > 0 сколь угодно малое число) .
2. При к = 3 формула (2) справедлива для D ^ Х^~£2 (е2 > 0 сколь угодно малое число) .
При доказательстве используется следующая
Лемма. (Виноградова-Пойа) Пусть х - примитивный характер по модулю D. Тогда справедлива оценка:
X (и) ^ у/D In D
u<a
Доказательство см. в [6, с. 123].
2. Доказательство теоремы. Пусть к = 2 . Тогда из ортогональности характеров имеем:
S Ф') = -7^у 5] Ш х(пщ2).
n^X X (mod D) nin2^X
n=l (mod D)
Выделим слагаемое с х0:
n^X, n=l (mod D)
где
W = ^D) E !. Я=^Е*Й E
^ ' n^X, ^ X=X0 n1n2 ^X
(ni,D)=l, (n2,D) = l
Тогда
2
X1
р(Д)\ р % |Я V ^
где 7 - константа Эйлера.
Оценим сумму Я, представив ее как сумму ^ 1п2 X слагаемых вида:
Е Е
Х=Х0 ^1<П1^2^1 ^2<П2^2^2
П1П2^Х
1 л
Пусть N\ ^ N2, 0 < 6 ^ вещественное число. Если N2 ^ X , то имеем:
s« Е
N2 <n2^2N2
X(ni)
N1 <ni^2Ni, ni<X/n2
X
i-л
D
при Д ^ Хз 2(5, то есть первое утверждение теоремы для этого случая доказано.
Если N > X5, то разобьем промежуток суммирования (N1, 2^] на промежутки , N1
длины Н = —^7. В этом случае получим:
X 2Л'
Ni/H'
X (n1n2) .
X=X0 H<ni^H+H' N2<n2^2N2 ,
n2 ^Xn-i
Заменим условие п2 ^ Хп-1 на условие п2 ^ ХН 1 и оценим получившуюся при этом ошибку Я1:
Ni/H'
Ni/H'
1
X
H<ni^H+H' X(H+H')-i<n2^XH-n2=ln—i (mod D)
p(D) ^ H2
' H<ni^H+H'
X / H2\ I NA X
1-25
D
В результате, находим: S X25 max
X=X0
X(ni)
H<ni^H+H'
^(D)
E
X=X0
X (n2)
N2<n2^2N2
+ O
X
1-25'
D
Применив теперь неравенство Коши, имеем:
1
a
P(D)
E
X=X0
X(n2)
N2<n2^2N2
1/2
где
1
ai
p(D)
E
X(n2)
N2<n2^2N2
X (mod D)
Заметим, что a1 равняется числу решений сравнения
n2 = n;2 (mod D); N2 < n2, n;2 ^ 2 N2 .
i
1
2
Число решений этого сравнения не превосходит величины
N2 N22
Е Е К< Е 77+1 )<<-n+N“
D I D
^2<П2^2М2 iV2~n2 2~n2 ./V2<^2 <^2 \
D D
Отсюда
N> rw
(T С —¡= + \/N2 ■
Используя лемму , имеем:
S < X2S^D\nD ( -^= + s/N^2\
1. Если N2 ^ D, to S < ^/W2y/DX3S ^ DX3S.
N2 Vd
2. Если iV2 > Д to 5 < -^L^/DX36 < ^/XX3S.
x1-6 a1_f
Выберем oi = 5$, тогда в обоих случаях S < ——— при D < Хз £l . Следователвно, первое утверждение теоремы полностью доказано .
Пусть к = 3. Используя ортогональность характеров и выделяя слагаемое с х0, получим:
^2 T3(n) = W + R ,
n^X, n=l (mod D)
где
И'=^) Е !• Л=^)Ех(') Е Х(п1П2щ).
nin2n3^X, X=X0 nin2n3^X
(ni,D)=1, (n2,D)=1, (n3,D) = 1
Тогда
ln2 X
—+ lnX(372 -l) + (37- 372 + l)
X 5/6
+ 0
Оценим сумму Я, представив ее как сумму ^ 1п3 X слагаемых вида: 5 = 5] \{,) 5] 5] 5] Х(п1п2п3) •
Р( ) Х=Х0 ^1<П1^2^1 ^2<П2^2^2 ^3<П3^2^3
П1П2П3^Х
1
Пусть ^ N2 ^ N3, 0 < 8 ^ -. Справедливы неравенства: Л^Л^Хз X, Х\ ^
6
х1/3.
Если теперь N2 ^ X6 , то Л^з ^ X6. Следовательно, 5 у/ЛЫПХ26 , и, очевидно, утверждение теоремы выполняется.
Пусть N > X5. Тогда, если N ^ X5, доказательство сводится к случаю к = 2, рассмотренному выше.
Пусть N > X5. Как и в случае к = 2, разобьем промежуток суммирования (^, 2^]
, N1
на промежутки длины Н = ——г. Далее рассмотрим сумму
X 25
1
р(Б)
Е XV) Е
Е Е х(п1П2Пз).
Х=Хо Я<«4^Я+Я! N2 <«2 ^2 N2 , ^3<П3^2^3
П2^Х(ЯП3)-1
Разобьем промежуток суммирования (N3, 2^] на промежутки длины Ш1 =
Получим:
Хз
Х2Й
М3/Ж'
« Е ЙВ) Е *<»> Е
Х=Х0
Жга^Я+Я'
Е Е х(п1П2Пз)
^<П3^Ж/ N2 <«2 ^N2,
П2^Х(ЯП3)-1
Заменим условие п2 ^ X(Нп3) 1 на условие п2 ^ X(НШ) 1 и оценим получившуюся при этом ошибку Я2:
N3/^'
Я2 ^ ё ё
Я<щ<Я+Я'
Е Е 1 +
Ж<«3<^' Х(Я(Ж+Ж'))-1<га2^Х (Я№ )-1,
га2=1га- 1га3 1 (шоё Д)
N3/^'
+ Е
1
р(В)
Е
Е
Е
1
X
1 25
Н1
Я<«4^Я+Я'
Таким образом получаем: 1
Х(Я(Ж'))<п2<1(ЯЖ )3
Б \ Н
S<X
45
Р(Б)
Е
Х=Х0
Отсюда следует:
Х(п1)
Я<щ<Я+Я'
X (п2)
N2 <«2 ^N2
Х(пз)
Ж<«3<^'
+ О
X
1 25
Б
5 ^ X45 тах
Х=Х0
Х(п1)
Я<щ<Я+Я'
р(Б)
Е
X (шоё Д)
Х(п2)
N2 <«2 ^N2
Х(пз)
^ X45 тах
Х=Х0
Х(п1)
Жга^Я+Я'
X
1
X
p(D)
Е
X (mod D)
Y1 хы
N2<«.2^2N2
1/2
p(D)
Е
X (mod D)
X(n3)
W<n3^W+W'
Применив неравенство Коши, получим оценки:
p(D)
Е
X (mod D)
X (n2)
N2<n2^2N2
n22
<<^- + x2;
1/2
p(D)
E
X (mod D)
E X(n3)
W<n3^W+W'
W'2
«— + И-".
Тогда
S ^ X4á max
X=X0
Жга^Я+H'
x2 \ / w'
7B+^ b+
<
< Vdx
5¿
D
+
/D
fv/iW •
Учитывая, что N1 ^ X1/3, Х2Ж' ^ X2/3 и сравнивая каждое слагаемое с величиной
X1-* а4_
получаем результат: Б ^ Хэ £2, где е2 = 5$. I
D
Литература
1. Лаврик А.Ф. Функциональное уравнение для L-функций Дирихле и задача делителей в арифметических прогрессиях // Изв. АН СССР, Серия математическая. -1966. - 30. - C.433-448.
2. Iwaniec H., Kowalsky E. Analytic number theory / Colloquium Publications, V.53 / American Mathematical Society, 2004.
3. Friedlander J., Iwaniec H. Incomplete Kloosterman sums and divisor problem // Ann. Math. - 1985. - 121. - P.319-350.
4. Карацуба А.А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях // Докл. АН СССР, - 1970. - 192;4. - C.724-727.
5. Петечук М. М. Сумма значений функции делителей в арифметических прогрессиях с разностью, равной степени простого нечетного числа // Изв. АН СССР, Серия математическая. - 1979. - 43;4. - C.892-908.
6. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел / А.А. Карацуба. - 2-е изд. -М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983.
2
2
1
1
2
1
2
1
ON SUMMATION OF DIVISOR FUNCTION VALUES IN ARITHMETIC PROGRESSION
M.V. Shevtsova
Belgorod State University,
Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: shevtsova@bsu.edu.ru
Abstract. The asymptotic formula of value sums of functions t(n) and T3(n) on numbers lying in arithmetic progression is solved.
Key words: plan of ternary additive problem solution, Vinogradov-Poya estimate.