CC BY
30
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ |^Ц Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38 53
MSC 11Р21
ОБ ОДНОМ ВАРИАНТЕ ПРОБЛЕМЫ ДЕЛИТЕЛЕЙ ТИТЧМАРША С ПОЛУПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Н.А. Зинченко
Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: zinchenkoQbsu.edu.ru
Аннотация. В работе рассматривается задача о числе решений уравнения — xy = 1 где pi и p2 — простые, a x и у — натуральные числа, при условии, что числа piPa лежат в промежутках [(2m)c, (2m + 1)c), где m € N,c € (1, 2], а простые числа pi и p2 удовлетворяют дополнительным условиям.
Ключевые слова: проблема делителей Титчмарша, бинарная аддитивная задача, полупростые числа, метод тригонометрических сумм, короткие (виноградовские) промежутки.
1. Введение. Задача о получении асимптотической формулы для числа решений уравнения p — 1 = xy, p ^ и, впервые поставленная в работе 1930 года [1], по имени автора этой статьи, получила название проблемы делителей Титчмарша. В [1] эта задача была решена в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана. Безусловное доказательство асимптотической формулы в задаче Титчмарша было получено Ю.В. Линником [2] е помощью разработанного им дисперсионного метода.
Заметим, что после появления в 1965 году теоремы Бомбьери-Виноградова (ем. [3] и [4]) для решения многих аддитивных задач вместо дисперсионного метода стала применяться эта теорема. Например, в работе Д.В, Горяшина [5] е помощью теоремы Бомбьери-Виноградова были решены некоторые задачи, являющиеся аналогами проблемы Титчмарша.
С работы И.М. Виноградова 1940 года [6] началось решение аддитивных арифметических задач е простыми числами из «коротких» («виноградовеких») промежутков. Такое название получили отрезки натурального ряда вида
[(2m)c, (2m + 1)c) (1)
где m € N, и c € (1, 2]. (В работе [6] c = 2.)
Задачи е простыми числами из промежутков вида (1) рассматривались, например, в работах С.А. Гриценко [7], [8], А. Балога и Дж. Фридлендера [9].
Отметим, что в работах [7]- [9] аддитивные задачи являются тернарными, или решаются по схеме тернарной задачи. Однако, бинарные аддитивные задачи е простыми числами из промежутков (1), к которым относится и проблема Титчмарша, в настоящее время не поддаются решению. Это связано с отсутствием аналогов классической теоремы Бомбьери-Виноградова, равных ей по силе, для простых чисел из промежутков вида (1).
Автором были решены некоторые бинарные аддитивные задачи с полупроетыми числами из «виноградовеких» промежутков ( [10]- [13]). В настоящей статье решается
54
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
задача, которую можно считать вариантом проблемы делителей Титчмарша. Доказывается теорема о числе решений диофантова уравнения p1p2* — xy = 1 которая была сформулирована в работе [11].
Теорема. Пусть п ^ 0 > 0, а ^ 2 - натуральные числа, Q = exp(VIn п ), Ai = [1 ,nQ-i], A = [1 ,Q1/a\H
G(n)
E E Ei
PiSAx P2&A2 , x,y PiP2“-xy=1
Gi(n)
Тоща справедливо равенство:
E E
PiSAx
P2SA2, PiP2“-xy=1,
{|(Р1Р2а)1/с}<|
Ei-
x,y
Gi(n) = 1 G(n)(l + 0(Q~V)),
(2)
где
G(n) = cU(Xy(Q'/°) Inn (l + 0(M=)) .
n > 0
абсолютная постоянная, c0
\ ^ y2(d)
h A‘l)d '
2. Обозначения и вспомогательные утверждения. Будем использовать следующие обозначения:
c,c1,c2, ■■■ — положительные постоянные, в различных формулах, вообще говоря,
различные;
a — произвольное натуральное число, a 2 2 p, p1,p2 — простые числа;
fm
\n.
ь^га "m ~ биномиальный коэффициент; Li х = J
2
т(n) — число различных натуральных делителей числа n;
^(n) — функция Эйлера (число натуральных чисел, непревосходящих n и взаимно простых с n);
y(n) — функция Мебиуса, которая равна единице при n = 1, равна нулю, если p2|n и равна (—1)fc , еели n равно произведению к различных простых сомножителей;
(a, b) — наибольший общий делитель чисел a и b; [a,b] — наименьшее общее кратное чисел a и b;
{ж} — дробная часть числа ж;
f (ж)
запись /(ж) ~ д{ж) означает, что lim ——— = 1.
x g(x)
В процессе доказательства мы будем использовать вспомогательные теоремы.
Лемма 1. [14, с. 50] При N > 2 и целом положительном I для т(m)
(т(m))1 < N(lnN)21-1 .
0 <m^N
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
55
Лемма 2. [15, с. 20] (теорема Бруна-Титчмарша) Для натуральных чисел а и к, удовлетворяющих условиям (а, к) = 1 и к Д х выполняется:
п(х, а, к)
Е
p Дx, p =a mod k
(2 + r])x д{к)\п{2х/к) ’
где п > 0 и х > х0(п)-
Лемма 3. [16, с. 476] (теорема Бомбьери-Виноградова) Пусть Lix а Д к, (а, к) = 1
п(х, а, к) = 1.
p Д х, p =amodk
Тогда для всякого A > 0 найдется такое B, что
Е
&Д\/ж(1п ж)
B
max
(i,k)=i
п(х, l, к)
Li х
о
х \ In"4 X'
X
шири
2
Лемма 4. [3, с. 85] Пусть А1,..., Ап — целые числа,
J = Jk,n(P))
/0 J 0
Е-
xДP
2ni(aix+---+anxn)
2k
da1... dan
— среднее значение модуля тригонометрической суммы и Jk,n(A1,..., Ап) — число решений системы уравнений
х1 + ' ' ' + xk — ^+1 — ■ ■ ■ — x2k = А1 ,
гДП I I тп тп ________ тп \
х1 + + xk xk+1 ■ ■ ■ x2k = Ап ,
1 Д х1,... ^2k Д P.
Тогда справедливы следующие соотношения:
Д Jk,n(A1, . . . , Ап)
Г1 Г1
Ю J 0
Е-
хДР
>2ni(aix+---+anxn)
2k
e-2ni(aiAl+-+anAn)da1 ...dan;
b) Jk,n(A 1, . . . , Ап) Д Jk,n(0, . . . , 0) Jk,n(P) J 1
c) J] Д,п(А1,..., Ап) = P2k;
Ai,...,An
d) |А11 < кР, ..., |Ап| < кРп ;
56 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ УЛЯ Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38
2 +
е) J= Jk,n(P) > (2к)-пР2к~^1.
Лемма 5. ( [3], е. 94) Пусть
a 9
а = - + — , (a,q) = 1 , q^l, \в\ ^ 1. q q2
Тогда при любом в, U > 0, P ^ 1 выполняется
tt,шп (U') - 6 (i + 0 {и + «1п9) •
3. Доказательство теоремы. Доказательство разобьем на несколько этапов.
1. Сначала получим асимптотическую формулу для G(n),
Так как Q = exp(Vlnn), то
Ai = [1, nQ-1], A2 = [1, Q1/a].
Преобразуем
G(n)= ^ 1.
PiSAi p2 GA.2 ,
pip2“—жу=1
где
Ограничим промежуток изменения переменной x положив
G(n) = 2G(n) - G"(n),
g» = A A A1
Pi&Ai P2&A2 , х^Дп P1P2—xy=1
(3)
о) A A A 1 ■
Pi&Ai P2&A2 , х^Дп,
pip%-xy=l y<y^
Сначала оценим сумму G' (n), представив ее в виде суммы двух слагаемых:
где
G"(n) = G1(n) + G'2(n),
о» = A A A 1
pi^Ai P2&A2 , х^д/nQ 1 ,
PiP2 xy= 1
g«o=A A A i-
Pi£Ai P2&A2 , л/nQ 1 <x^^n, Р1Р2~ху=1
(4)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
57
Заметим, что
G'[(n) < ^ т(m — 1)t1(m) ,
m^nQ-1 +1
Где
ti(m) = 1 •
pipja=m ,
PieAx,
P2&A2
Очевидно, что t1(m) = 1, если m = pa+1 или m = p1p2a и t1(m) = 0 во всех других случаях. Следовательно,
Gi(n) < т(m — 1) •
m<nQ-1 +1
Применяя лемму 1, получим:
G1 (n) ^ nQ 1 ln n •
Оценим G^(n). Так как в случае, когда p2 | x, уравнение p1p2a — xy = 1 не имеет решений, то
G'i(n)= Е Е Е 1 =
Дга(5_1<ж^Уга Р2&А2 , Pi&Ai ,
(p2,x)=1 pi=p2mod x
= 7Г(И<5~1:Т2>Ж) ,
pnPQ^1 <xX-pn P2&A2 ,
(P2,x) = 1
где p2 — решение еравнения p^t = 1 mod x.
Применяя теорему Бруна-Титчмарша, получаем:
сад < 5]
Дга(3-1 < иДДга
1
^(x)
(2 + rj)nQ 1
2^ In 2n
P2€A2 Qx
n
Q ln n
E
P2&A2
1
^(x) •
Для оценки внутренней суммы используем формулу, доказательство которой можно найти в [18, с. 71]:
Е
1<n<X
1
n
ln X + y + O
1
X
1
где y ~~ постоянная Эйлера. С помощью этой оценки и формулы для вычисления значений функции Эйлера <^(x) получаем:
Е
1
p(m)
Со ln X + O (1), Со
r^(r)
(5)
58
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
Используя (5), получаем
Подставляя оценки для G'((n) и G2(n) в (4), получим:
G>) « .
Q In n
Теперь оценим сумму G'(n), представив ее в виде суммы двух слагаемых:
G(n) = Gl(n)+ G2(n), (6)
где
Gi(n) = 5] 5] 5] !>
Pi&M P2&A2, xsi^/nQ-1
PlP‘2' — Xy=l
G’M У у у т
P1&A1 Р2&А2 , y/nQ^1 Кх^у/п
pip2“-xy=1
Заметим, что сумма G'2(n) оценивается так же, как и G'2(n). Поэтому
<?,(») < . и
Рассмотрим сумму G1(n) и получим для нее асимптотическую формулу. Имеем:
G[(n) = Y ^(nQ~\p*2,x) =
x^y/nQ^1 P2&A2 ,
(p2, x)=l
K§)E У
1
чОУ 7 , cp(x)
P2&A2 x^y/nQ 1 ,
(p2, x)=1
o{ у у
P2&A2 x^y/nQ 1 , (x, p2) = 1
n
7Г ( q>P2,X
Li(§)
^(x)
где P2 _ решение еравнения p%t = 1 (mod x).
Отсюда, в силу теоремы Бомбьери-Виноградова, получим
1
с;<п) = ы(ц) У У
4 Р2&А2 x<VAQ-\ V[ ) 4
(Р2, x)=1
+ oQIr((317“)(inn)-1)
Рассмотрим внутреннюю сумму
У
x^y/nQ 1
(Р2, x)=1
1
р(х) '
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е1Д Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38 59
Имеем
Е
х^-л/nQ 1 (P2, x)=1
Е
х^-л/nQ 1
1 Е 1
x\^y/nQ 1р2
/ У •
<Р(х) ¥>(ж) . -1 ^(Ж1Т2)
Так как ^(аЬ) ^ <р(а)<р(Ь), то, применяя оценку (5), получим:
Е
1 1
Е
Х<
y/nQ гр2 1
- 'f{xin) п ~ 1 и<Дг‘ ^
1 Лип
V Р2
Из (5) следует, что
~tg= coHVnQ + o(i),
' <р{х)
xi^pnQ
где
Поэтому
P2(d)
со = 2^
d=1
<p(d)d
Е Дх = ^п(Уйе-‘)+о/1п"
х^-л/nQ 1 (p2, x)=1
р{х)
Р 2
Просуммируем обе части полученного равенства по p2 £ Л2. Получим:
Е Е
1
д , <р(х)
Р2&А2 х^л/nQ 1 ,
(Р2, x) = 1
co\n(y/nQ l)n:(Qlla) + О (Inn lnln Q).
Поэтому
G[(n) = e„Li(M УДА InfVSg-1) (1 + o(^)) .
,QJ V V ln n.
Подставляя оценки для G1(n) и G2(n) в (6), получим:
ff(") = ?u(£)'w,/‘)tan(1 + 0(£!)
2. Рассмотрим сумму
Gi(n)= S S S 1 •
pxSAx P2&A2 , x,y
P1P2 xy= 1,
{\(P1P%)1/C}<\
Считаем далее, что n ^ n0 > 0, где n0 — достаточно большое число. Введем функцию
1, сел и 0 < х < 1/2 ,
Х(х)
0, сел и 1/2 < х < 1
(8)
60
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
и продолжим ее периодически на вею числовую прямую.
Воспользуемся леммой о «стаканчиках» И.М. Виноградова ( [19], е. 23) и выберем параметры г, Д, а, в двумя способами.
Сначала определим эти параметры так:
г = [In п], Д = , а = А, &= \ - А.
In n 2
Обозначим через Xi(x) функцию, существование которой следует из леммы о «стаканчиках». Затем, при тех же г и Д, положим а = —Д, /3 = \ + Д, а соответствующую функцию обозначим как x2(x).
Тогда из леммы о «стаканчиках» следует, что x1(x) ^ x(x) ^ X2(x) , и, следовательно
G11(n) ^ G1(n) ^ G12(n) ) (9)
где
Gu(n) = Y1 К (№“)1/с) , г =1,2.
Р1&А-! Р2&А2 иДДга,
pip2“-xy=1
Заметим, что если будут получены асимптотические формулы для Gn(n) и G12(n) с совпадающими главными и остаточными членами, то из неравенства (9) следует, что такая же формула будет верна и для G1(n).
3. Займемся подготовкой к выводу асимптотической формулы для G11(n). Раскладывая функцию Xi {\{PiP2 в РЯД Фурье, получим
Gn(n) = (1/2 — 2A)G(n) + R1(n) + R2(n), (10)
R1(n) = |gmllVm(n)l >
0<|тЩА-1 ln n
R2(n) 'У ] |gm||Vm(n)| ,
|m|>A-1 ln n
Vm(n) = ^ ^ t2(p1pa — 1)enim(pip2“)1/c ,
piSAi p2sA2 ,
pip 2 xy= 1
t2(k) = ^ 1 ,
xy=k, x^.y/nQ~1
gm — коэффициент Фурье с номером m для функции xn Оценим R2(n). Из леммы о «стаканчиках» следует, что
|gm| ^
1
п|т
г
пД | m
Г
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
61
Кроме того,
|V»| ^ Gi(n) ^ П.
Поэтому
' R2(n)=o(n У
Оценим R1(n). Имеем
|m|>А 1 ln n
д 1 т
0(1).
|Ri(n)| ^ Е
1
0<|m|< А 1 ln n
n|m|
|Vm(n)|
И
|Vm(n)| ^ £ | Y, *2(nip2° - 1)enim(nip2)1/c
nj^n/Q P2&A2
где n1 пробегает множество натуральных чисел.
Применяя неравенство Коши [3, е. 87], получим
|Vm(n)|2 ^ n/Q ^ t2(nipa - 1)enim(niP2“)1/c
n1^n/Q P2&A2
(И)
2
= *2(WiP2°- l)i2(Wi(Pa)
P2&A2 p'2&A2 n1^n/Q
1)e'nim(p'a/c — (p,2)a/c)n1/c __
= g(To(n) + r1(ri)), (12)
где сумма V0(n) соответствует слагаемым, в которых p2 _ p'2, а в сумме V1(n) p2 _ p'2.
Оценим V0(n). Заметим, что из мультипликативноети функции т(n) и формулы для вычисления ее значений следует, что т(ab) ^ т(а)т(b), Кроме того воспользуемся леммой 1. В результате, получим
Vo(n) ^ Y1 т2(nip2 - 1) ^
P2&A2 n1<n/Q
^ (a + 1)2Qi/a т2(ni) < nQi/a-:L ln3 n. (13)
n^nQ-1
Перейдем к оценке Vi(n). Заметим, что Vi(n) < ^ ^ ^ t2(ni(p2)a - 1)t2(ni(p2)
P2&A2 p'2£A2 , nrAnQ-1
P2=p2
1)e2ni(m/2)(pa/c-(p2)a/c)n1/c ^
^ Z) f (n),
p2&A2 p'2€A2
(14)
62
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
где
и
fH = s
ж 1У ОДУ1 X2<-\/nQ-1
s(m)
e2ni(rn/2)(p2/c-(p'2)“/c)nl/C
ni^nQ-1 , nip2a=1 modxi , ni(p2) a = 1mod X2
Будем считать, без ограничения общности, что (p2,xi) = 1 и (p'2,x2) противном случае сумма будет пустой, то сеть равной нулю.
Пусть p2q2 = 1 modx1 и p'2q'2 = 1 modx2. Решим систему сравнений:
(15)
1, так как в
{x = q^mod x1 , x = (q2)“modx2 .
Она разрешима тогда и только тогда, когда (x1,x2)|(q2“ — (q2) “) и, в случае разрешимости, ее решение имеет вид:
x = z2 + mD ,
где D = [x1,x2] (ем. [3, с. 65, 145]).
Таким образом,
s(m) = е2тя^+1)1с , (16)
где
*=у (р¥ - МО ■ {=%■
Очевидно, что 0 < £ < 1.
Чтобы вывести асимптотическую формулу для G11; требуется оценить s(m),
4. Займемся оценкой тригонометрической суммы s(m) из (16).
Представим эту сумму в следующем виде:
s(m) = s1(m) + s2(m),
где
s1(m)
Очевидно, что
Е
=2пгхЦ+1)1/с
s2 (m) =
32nix(§+1)1/c
DQ1’6
| s2(m) |^
^ 1< П
^ ~ - DQ1,5
n
Поэтому
s(m) = s! (т) + °(щц)
(17)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
63
Разобьем сумму si(m) на O(ln n) сумм вида:
s1(M) = в2ж^+1)1/с,
где
n
DQ1’5
< M <M1 ^ 2 M ,
M1 ^
n
Заметим, что, так как x1 ^
и x2 ^
то
D = [xi,x2] ^ xix2 ^ nQ 2 ,
поэтому
n
м > * 0м
и, следовательно, сумма s1(M) содержит «сравнительно много» слагаемых. Будем оценивать s1(M), считая, что
п <м< п
DQ1-5
Сначала рассмотрим случай, когда
DQ
1 < D < n0’99 ^ M >
n
0’01
- Q1’5
Если
1
M '10
то, применяя лемму о приближении суммы интегралом [3, е. 19], получим
г М1
S1 (M)
e2niK(?+1)1/cdl = O( 1) = O(M1-1/c).
' M
В дальнейшем считаем, что |к|M1/c/M > 1/10 и применим для оценки суммы s1(M) метод ван дер Корпута [20, е. 85-94].
Определим натуральное число к из условия:
1 ^ И Мх!с ^ 1
М2 < Мк - м ■
Если к = 2, то
\x\Mlc _ 1
м2 ~ м '
Оценивая s1(M) то второй производной, получасм, что при к = 2
Д(М) = 0(у/М).
64
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
Рассмотрим случай к ^ 3 и оценим s1(M) то производной порядка к [3, с. 66-70]. Имеем
s"i(M) < M1-5 ,
где 6 = 6 (к) > 0. Случай D < n0,99 полностью рассмотрен.
Пусть теперь
0 99 |к|М1/c 1
D > п ’ , -L-L—— > — .
’ М 10
Оценку s1(M) будем вести по схеме оценки дзетовой суммы, принадлежащей И.М. Виноградову [3, с. 66-70]. Пусть a = [M5/11 ], Тогда
1
si(M)\ < — ^2 \W(m)\ + 2a2
M<m4,M 1
где
W (m) =
(m) = e
u=1 v=1
Применим формулу Тейлора:
2 nix(£+m,+uv)1/c
(i + m + uv)1/c
E j (i + m)1/c-j (uv)j + r1+CJ (i + m)
j=0
Таким образом
uvy + «2 \ r + i J(i + m)1/c r V(r+1), |«2| ^ 1.
a2 \r+1
где
e2 «4C™+»)1/£ = e2KiF(uv) + 27Г0зИ Д + Cn,)1/Cf——-)
Vi + mJ
F(uv) = ^2 ^1/C^ (i + m)1/c-j(uv)j
|«з| ^ 1
Введем обозначения:
X,
(j), T = |K|(i + m)1/c
'XM , _M/c _ sgn(x) Г
+ rn,-) '
Тогда
(a2 \ r
—J a2M~1/n , |04| ^ 1
w = EE
2 niF (uv)
u=1 v=1
a a
EE
u=1 v=1
2ni(aiuv+a2 u2v2 +-|-ar ur vr)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
65
Выберем натуральное число r из условия
r — 1 <
111пТ In М
Д r
и заметим, что, так как D > 0, 99, то |к| Д n0,99/c. Поэтому го неравенетва MD Д nQ 1 заключаем, что M < n0,01. Следовательно,
1пТ In М
In
2
In п°>01
99
>-----
c
97
Т
и указанный выбор r возможен.
Следуя схеме Виноградова, получим:
|W
|4 к2
Д
8k2-4к т2 a j i
k,r
(0,..., 0)П
а
j >
j=i
где Jk,r(0,..., 0) определяется в условии леммы 4 и
а,
X] min(2A, >
\Ю \<Aj
11 а, Д,11
1
A, = kaj.
При
4 ln T 8 ln T
ln M
ln M
оценим а, по лемме 5, а при ост альных j, тривиально, — вели чиной (2A, )2
Итак, пусть
В силу леммы 5, имеем
4 ln T 8 ln T
ln M
2A,
ln M
^ 6 + 1 j (24- + Qj ln Qi) <
«6<2Д)2(^ + д + 4(Ду)'
>
-]•
где
— L
Оценим сверху сумму
T
1 1 q,
- + -г- +
q, A, 4(A,)2
66 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ УЛЯ Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38
Из определений Aj, qj и выбоpa j следует, что
■ 1
Aj ^ а7 ^ f-M5/nV ^ -Mnw = 1Т2о/п j V2 / 2" 2Г
Mj M4ln T/ln M о
----=----= T3
T
A2 4t
T
Оценим сверху xj
x3
1/c\ -1 c2
j
j!
C2 C2
----- ' 7-----ГТ7-------ГТ - -- (j — l/c — 1)^ ------j2 ^ ------r'2
c — 1 (2 — l/c)(3 — 1/c) u ' ’ c-lJ c-l
Итак, при
4 ln T 8 ln T
ln M
ln M
J_ I _L I ^ I < I _L I orr-20/ll , ^ 1firT_3/n I < ^ T~3/11
С.СмДц (с-d lb J jS-i •
Оценим ln qj при этих ж значениях j:
ln q3- = ln
^ + m)1 Sh(-A4'.2'.^)« ln (451 Г ) « 7151 Inn .
T V c — 1 T J V c — 1 / c —1
В итоге получаем, что при
4 ln T 8 ln T
ln M
ln M
42
(1000)r T-3/11 ln n(2Aj)2 .
Следовательно,
lb ^
j=1
(42)r(1000)
(c-l)2"
■(1пгг)гТ-ттта Д(2А,-):
j=1
Окончательно получаем
тт ^ (168fc2)" ,ггг_ш.1пт_ г+ 11а1 ^ 7-------С47ЧП пУТ 11 1пМа
j=1
(c - 1)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е1Д Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38 67
Выберем натуральное число т из условия ет 1 < 10000r ^ ет и применим теорему о среднем И.М. Виноградова ( [3], с. 89), положив в ней к = тт:
Jk>r(0, . . . , 0) ^ (гт)6ГТ(2rfrT(r+l)a2k-r(r+l)/2 ^ ^ .
Заметим, что
так как т/т ^ ln 10000. Поэтому
Кроме того,
Значит,
т < 1 +
< e-T/r 1 < ,
10000 ’
i-l)T < ar2/10000
T /
11 ln T 22 ln T
<
ln M ln M
f2/10000 < М5/11Л.^ < TlnT/401nM_
Отсюда получаем:
|W^2 У к12к (2r)8fc(r+1) ((с168^}2Гг (lnn)r10000r2r~lnT/lnMa8fc2 и, следовательно,
|W1| ^ k3/kT-ln T/4fc2 ln Ma2 ^ c1a2 (ln n)r/4k2T-lnT/4k .
Заметим, что
f / ln T \ 2 \ 2 / ln T \ 4
4fc2 S 4(r2ln 10000)2 > 484 ((—) ln 10000j > e2(—)
поэтому
ln3 M
IЮ| « c1a2e-TTT-(ln ny/** , (7 > 0).
ln T
Далее, учитывая, что M > Q(ln n) c, имеем
M > ^ln n/2 ,
Поэтому окончательно получаем, что
-,2^—7i Vlnn
In3 М > - \/ln3 гг.
|W1| ^ c2a2e~
С2 > 0 , Yi > 0 .
Следовательно,
n
Й(М)«
—yV ln n
T
2
68 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ УЛЯ Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38
, пЫп
Используя полученные оценки, из (17) имеем:
s(m) <С nQ~lе~1уГ^D~l In п + nQ~1,5D~1 < nQ-1e"7Vlnra/2n-1
где D = [x,x2].
(18)
5. Продолжим вывод асимптотической формулы для Gn(n). Из формул (10) и (11) (см. п. 3) следует, что
Gn(n) — (2 “ 2A^jGi(n) + О | у4
, 0<|m,|<A-1 lnn
n\m\
Vm(n) \
где Д = (ln2 n) 1,
Из (12) и (13) получаем
Vm(n) |2^ ^Vi(n) + o(n2Q1/a 2ln3nj .
Q
Поэтому, для получения асимптотической формулы нужна оценка V1(n). Из (14) имеем
Vi(n) < у уf (n) >
P2&A2 p'2&A2
где
/w = •
xi^y/nQ-1 x2^y/nQ~1
Подставив в эту формулу оценку (18), получим:
f(n) < nQ-'e-i^ У У D~\
x-i^^JnQ-1 x2^y/nQ~1
Оценим сумму в этом неравенстве:
(Xi,X2)
Е Е ^ = Е Е
xi^y/nQ 1 X2<-\/nQ 1 xi^y/nQ 1 X2<-\/nQ 1
X1X2
E E —
' X\X2 4
xi^^/nQ-1 X2 d\(xi,X2)
V(d)
Ет( E x-)2«hi>n.
d?
d^^nP-1 x4,^nQ^1d^1
1
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
69
Поэтому
f (n) ^ nQ 2 ln3 n. Отсюда и из (14) следует, что
|V1(n)| ^ n2Q1/a 3 ln3 n. (19)
Используя оценки (13) и (19), из (12) получим:
то есть Поэтому \Vm(n)\2 < n2Q~2+^e~xV^ + n2Q~2+1* In3n < \Vm(n)\^nQ-1+^e-s^ . \Ri(n)\ nQ~1+*e~In2 n . (20)
Из (11), (20) и (10) следует, что для Gn(n) получена асимптотическая формула:
Gn(n) = ^G(n)(l + 0(Q-v), г/ > 0 .
Для G12(n) аналогичными рассуждениями выводится асимптотическая формула с такими же главным членом и остатком. Поэтому, из (9) следует, что для G1(n) верна асимптотическая формула:
Gi(n) = )с(п)(1 + ОВД-’). ч>0.
то есть теорема доказана. ■
4. Заключение. Рассмотренная в статье аддитивная бинарная задача является аналогом проблемы Тичмарша. Подобная задача была решена в работе [10] для уравнения p1p2 — 1 = ту при а > 2. Особенность задачи, решение которой представлено в данной работе, заключается в том, что, при а > 2 последовательность p1pc^ является более редкой, чем последовательность p1p2 (при больших а она «близка» к последовательности простых чисел).
Литература
1. Titchmarsh Е.С. A divisor problem // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. -1930. - 54. - P.414-429.
2. Линник Ю.В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах / Л.: Изд-во ЛГУ, 1961. - 208 с.
3. Виноградов А.И. О плотностной гипотезе для L-рядов Дирихле // Известия АН СССР, серия Математическая. - 1965. - 29; 4. - С.903-934.
4. Bombieri Е. On the large sieve // Mathematica. - 1965. - 12. - P.201-225.
5. Горяшин Д.В. Аналоги проблемы делителей Титчмарша // Чебышевский сборник. -2007. - 8;2. - С. 11 55.
70
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
6. Виноградов II.M. Некоторое общее свойство распределения простых чисел // Математический сборник. - 1940. - 7. - С.365-372.
7. Гриценко С.А. Тернарная проблема Голвдбаха и проблема Голвдбаха-Варинга с простыми числами, лежащими в промежутках специалвного вида // Успехи математических наук. - 1988. - 43; 4 (262). - С.203-204.
8. Гриценко С.А. Три аддитивные задачи // Известия РАН, серия Математическая. -1992. - 56;6. - С.1198-1216.
9. Balog A., Friedlander K.J. A hybrid of theorems of Vinogradov and Piatetski-Shapiro // Pacific Journal of Mathematics. - 1992. - 156. - P.45-62.
10. Зинченко H.A. Бинарная аддитивная задача с полупростыми числами специалвного вида // Чебышевский сборник. - 2005. - 4;2(14). - С.145-162.
11. Зинченко Н.А. Две бинарные аддитивные задачи // Сибирские электронные математические известия. - 2006. - 3. - С.352-354.
12. Зинченко Н.А. Об одной аддитивной бинарной задаче // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2007. - 1;7. -С.9-13.
13. Зинченко Н.А. Асимптотическая формула для числа решений диофантова уравнения с полупростыми числами из коротких промежутков //Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. - 2014. - 7(183);35. - С.49-60.
14. Виноградов II.M. Основы теории чисел / СПб-M: Лайв, 2004. - 240 с.
15. Хооли К. Применение методов решета в теории чисел/ М.: Наука, 1987. - 136 с.
16. Прахар К. Распределение простых чисел / М.: Мир, 1967. - 511 с.
17. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел / М.: Наука, 1983. - 240 с.
18. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел / М.: Мир, 1974. - 187 с.
19. Виноградов II.M. Метод тригонометрических сумм в теории чисел / М.: Наука, 1971. -162 с.
20. Чанга М.Е. Методы аналитической теории чисел / Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2013. - 228 с.
ABOUT A VARIANT OF TITCHMARSH’S DIVISOR PROBLEM WITH SEMISIMPLE NUMBERS OF A SPECIAL TYPE
N.A. Zinchenko Belgorod State University,
Pobeda St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: zinchenkoQbsu.edu.ru
Abstract. The problem of solution number of the equation — xy = 1 where p1 и p2 are primes and x and y are natural, a ^ 2 is under consideration. The problem is solved at the condition that numbers p1pa are displayed in [(2m)c, (2m + 1)c) where m € N,c € (1, 2] and primes pi p2 satisfy some additional conditions.
Keywords: Titchmarsh’s divisor problem, binary additive problem, semisimple number, method of trigonometric sums, short Vinogradov intervals.
