CC BY
59
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
71
MSC 11Р32
ТЕРНАРНАЯ ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА С ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
*С.А. Гриценко, **Н.Н. Мотькина
*Финансовый университет при Правительстве РФ,
Ленинградский пр., 49, Москва, Россия Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,
Ленинские горы, 1, Москва, Россия, e-mail: [email protected] **Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, Россия, e-mail: [email protected]
Аннотация. В работе решается вариант тернарной проблемы Гольдбаха с простыми числами р, такими, что a < {пр} < Ь, где а и Ь — произвольные числа из интервала [0,1], п — квадратичная иррациональность.
Ключевые слова: аддитивные задачи, простые числа специального вида, число решений, асимптотическая формула, квадратичная иррациональность.
1. Введение. Тернарная проблема Гольдбаха — это задача о числе решений уравнения
Р1 + Р2 + Рз = N (1)
в простых числах p1,p2,p3 для нечетного N, большего пяти. Обозначим количество решений задачи I3>1(N). В 1937 г. И.М. Виноградов получил асимптотическую формулу
[1], а именно доказал, что:
ыю = «ю^ + 0(^),
ДМ = п (1 + —гд) п (J - р2 _ зр+ з) > ь
В настоящей работе решается вариант тернарной проблемы Гольдбаха е простыми числами, на которые наложены ограничения.
Пусть N — достаточно большое нечетное натуральное число, п _ квадратичная иррациональность, а и b — произвольные фиксированные действительные числа из отрезка [0,1]. Обозначим J3>1(N) число решений уравнения (1) в проетых числах pi; удовлетворяющих условию a < {пРг} < b, i = 1, 2, 3 Для J3;1(N) нами получена приближенная формула. Результат работы содержится в следующем утвереждении.
Теорема 1. Для любого фиксированного положительного C справедливо равенство J3,1 (N) = I3,1(N)a(N, a, b) + O(N2 log-C N) ,
72
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
где
ij(N, а, Ь) = У
\т\<<х
Заметим, что полученная формула будет асимптотической при большом нечетном N и Ъ — а > -у/2ф(3)/7г > 0,42. Если неравенство не выполняется, то мы не можем утверждать, что сумма ряда a(N, а, Ь) отлична от нуля.
2. Вспомогательные утверждения.
Лемма 1 ( [2], с. 22). Пусть r — натуральное число, а и ft— вещественные числа, 0 < Д < 1/4 А < в — а < 1 — А. Тогда существует периодическая с периодом 1 функция 'ф(х), удовлетворяющая условиям:
1. ф (x) = 1 в промежутке а + Д/2 < x < в — Д/2,
2. 0 < ф(х) < 1 в промежутках а — Д/2 < x < а + Д/2 п в — Д/2 < x < в + Д/2,
3. ф (x) = 0 в промежу тке в + Д/2 < x < 1 + а — Д/2,
4. ф^) разлагается в ряд Фурье вида
ф^) = в — а + ^ c(m)e2nimx ,
0<\т\<те
где
|c(m)| < min ^в — а
1
1
п|т| ’ п|т| Vп|т|Д
— а, —
п| т|
> 1 а —
1 < ь VI
а — а <
Q
1
qr
r
Лемма 3 ( [4], с. 264). Для любого действительного алгебраического числа а степени n можно подобрать положительное с, зависящее только от а, такое, что для всех рациональных чисел а/Ь (а/Ь = а) будет иметь место неравенство
с
> — .
- bn
Лемма 4 ( [3], с. 29). Пусть f (x) — комплекснозначная непрерывно дифференцируемая на [а, Ь] функция, cn — произвольные комплексные числа,
C(x) = ^2 Cn .
a<n<x
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЦД Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38 73
Тогда г ь Cnf (n) = — / C(x)f(x)dx + C(b)f (b). a<n<b Ja
Лемма 5 ( [5], с. 62). Пусть 1 < U < N, где N — натуральное число. Тогда для любой комплекснозначной функции f (x) справедливо тождество
где Е Л(n)f (n) = Wi - W2 - W3 , U <n<N Wi = Y M(d) Y (log l)f(Id), d<U l<Nd-1 W2 = Y ^(d) Y Л(П) Y f (ndr) > d<U n<U r<N (dn)-1 W3 = Y (Y ^(d)) Y ^n)f(nm). U<m<NU-1 d|m, U<n<Nm-1 d<U
Лемма 6 [3], c. 94). При P > 1 имеет место оценка | ^2 e2niax < min(P; 0.5||a||-1). x<P
Лемма 7 [3], c. 95). Пусть uv,vv > 0. Тогда (Y u^) < (Yu2) (Yv2). V=1 V=1 V=1
Лемма 8 [6]). При N,k > 2 н натуральном l выполняется неравенство Y (Tk(n))1 < c(k,l)N(log N +1)fci-i. n<N
Лемма 9 [7], c. 35). Предположим, что (a,q) = 1, q < N н \a — a/q\ < q-2. Тогда Y e2map logp < (log N)4(Nq-1/2 + N4/5 + N1/2q1/2). P<N
74
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
3. Доказательство теоремы. 1. Функцию
, ( ) _ J 1, если a < x < b, ф„( ) |^0 , если 0 < x < а или b < x < 1
продолжим периодически на вею числовую ось е периодом 1. Пусть
S„(x) _ £ ф„(Чр)е2'“р ,
p<N
тогда число решений уравнения (1) в простых числах pi, удовлетворяющих условию а < {npi} < b, i _ 1, 2, 3, равно
J3,i(N) _ [ S„(x)e-2nixNdx.
J„
В лемме о «стаканчиках» И.М. Виноградова (лемма 1) выберем r _ [logN], Д _ log-1,5C N. При выборе а _ а + Д/2 и в _ b — Д/2 функцию ф из леммы о «стаканчиках» обозначим как ф1; а и в ~~ как а1 и въ соответственно, По л ожив а _ а — Д/2 и в _ b+Д/2, соответствующую функцию ф обозначим ф2, аж в — как а2 и в2, соответственно.
Определим
Jk(N) _ Г (V фк(vp)e2mxp) 3e-2nixNdx , k _ 1, 2 . (2)
J„ Kp<n '
Из свойств ф^) и ф2(x) следует:
Ji(N) < J3,i(N) < J2(N).
Для J1(N) и J2(N) выведем приближенные формулы, главные члены в которых одинаковы.
В представлении функции фк (цр) рядом Фурье
Фк(пр) _ Y, ck(m)e2mmvp
\ш\<<х>
оценим сумму при |т| > гД . Из леммы 1 о «стаканчиках>> Виноградова имеем
ck(m)e2mmvp < У]
\m\>rA-1
\m\>rA
n|m| Vп|т|Д
r 1 i
< -ГТТ < og7r
nr+1
r
1
Разложение в ряд Фурье функции фк (цр)
Фк(пр) _ ck(m)e2nimnp + O(N- logп)
\m\<rA-1
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
75
подставим в (2):
Г ( у Ck(m) у e2ni(x+mn)^) V2nixNdx + O(N2-logn) |m|<rA-! p<N
У Cfc(mi) У Cfc(m2) У Ck (m3) / У
2ni(x+min)pi
|mi|<rA-1 |m2|<rA
X E e2ni(x+m.24)P2 g2ni(x+m3 п)рз g—2nixN dx + O(N2-log ж )
P2<N P3<N
2. При m1 = m2 = m3 = m рассмотрим
1i(N)= У ck(m)e2nimnN У У У / e2ni(x+mn)(pi +p2+p3—N)dx.
/у».. АГ nr, АГ с'"’ АГ ^ °
2nimpN
ck (1 m) g
|m|<rA-1 pi<N p2<N p3<N
Учтем, что подынтегральная функция периодична по x с периодом 1, получим
h(N)= l3,i(N) У c3 (m)e2nimnN
|m|<rA-1
Промежуток суммирования по m разобьем на два промежутка: |m| < M и M < |m| < гД-1. На втором промежутке сумму оценим тривиально, используя известные оценки для коэффициентов Фурье (лемма 1):
У ck(m)e2nimnN = O(M-2).
M <|m|<rA-1
Поскольку при m = 0 ( [3], с. 16)
ck (m) = i
g—2nim^fc g-2nimak , gnimA/r g—nimA/r ,r
2 nm
»(<**+/?*) sin7rm(/3fc -од) /sinvrmA/r nm V nm Д / г
2 я^Д/г
или после преобразования ck (m) = e" то для 0 < |m| < M
4(m> = e-^.(»+>)sin3irm(6-°) + 0(MA)(i + о(мд)2)
= ЕДДЬАЛ + О(МД)
n3m3
76
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
Тогда
ck (m)e
2 nim^N
|m|<rA
= ^2 e27rim'(’?JV~1,5(a'+b)) Sm ^ + O(MA) + 0(M~2).
|m|<^
При выборе M = Д-1/3 получим
h(N) = l3,i(N)(a(N,a,b) + 0(Д2/3)).
3. Если среди m1,m2,m3 есть два не равных друг другу числа, то допустим, что m1 < m2. Рассмотрим
I (N, mi, m2, m3)
|S (x + m1n)||S (ж + m2n)||S (x + m3n)|dx
где
S (x) =
2 nixp
P<N
Сделаем замену t = x + m1n- Поскольку подынтегральная функция является периодичной по t с периодом 1, интеграл можно рассматривать на промежутке Е = [-1 /т; 1 - 1/т), где т = N log-B N, B > 2C + 8.
По теореме Дирихле (лемма 2) о приближении действительных чисел рациональными числами t представимо в виде
d в
t = - + —, (d,q) = 1, 1 <q<r, \вг\ < 1.
q qT
(3)
Промежуток интегрирования по t разобьем на два неперееекающихея множества: Е1 — «большие» дуги и Е2 — «малые» дуги. На «болыних» дугах Е1 в разложении (3) выберем q < logA N, где A — фиксированное число, A > 2C + 8. Тогда Е2 = Е\Е1. Обозначим m = m2 — m1; m! = m3 — m1. Тогда
I(N,m1,m2,m3)= F(t)dt + F(t)dt,
«/ Ei «/ E2
где
F(t) = |S(t)||S(t + mn)||S(t + m'n)| .
4. Пользуясь неравенством Коши, оценим интеграл по множеству Е1; как
F(t)dt ^ max |S(t + mn)|'
' Ei
teEi
|S(t)|2dt^ ^ n(N) max |S(t + mn)| .
teE 1
Для интеграла по множеству Е2 получим оценку
f F(t)dt ^ n(N) max |S(t)|.
' E2
t€E2
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
77
5. Оценим
max IS(t + mn)I
tee i
сверху. Для этого изучим рациональные приближения числа t + mn.
По теореме Дирихле (лемма 2)
Ч=4+4Д (де> = 1, m<i, i<q<t,. (д
Значение т1 выберем позже.
Поскольку n — квадратичная иррациональность, согласно теореме Лиувилля (лемма 3) имеем
с(у)
Q2
<
А
Q ’
c(n) > 0.
(5)
Из (4), (5) получаем
c(v) < JL
Q2 ~ Qt\
следовательно, Q х т1. Тогда
П
A (h
Q Q2
Ш < 1.
Для t, принадлежащих «большим» дугам Ei; рассмотрим 7 = t + mn- Тогда
d Al 9l 92m X 9l 92m
—I----- + — + —— =----h — + ——
q Q1 qr Q2 Y qr Q2
Поскольку
то
При выборе Ti
(Ai,Qi) = 1, (X, Y ) = 1.
Y
qQ 1
(dQi + Aiq,qQi) ’
Y < qQ.
т выполняется
9i 1
qT Q2
9_
Y
2
5
9\ 92m
7 + ye
= X, |Д| < (1 + \m.\)q2
Обозначим (dQl + Alq,Ql) как S, тогда S|q и
(6)
(7)
(dQi + Aiq, qQi) < q(dQi + Aiq, Qi) = qS < q2 .
(8)
78
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
Тогда из (6), (8) имеем
Q1 Q
Y > — > — .
q mq
6. К сумме S(у) применим интегральное преобразование Абеля (лемма 4);
1 IN dx
5(7)«|C(JV)|-— + |ОД|
(9)
log N J2
xlog2 x ’
где
C(x) = Y e2mip log P-
p<N
При выборе U = N0,02 имеет место соотношение
C(x)= J] е2т1ПЛ(п) +
U <n<N
Действительно, оценивая тривиально разность этих сумм, имеем:
У~* logp < 7г(л/Т) log N
pk<N k> 2
И
У^ А(п) = ф(у/и) л/й .
n<U
Для оценки тригонометрической суммы с функцией Мангольдта преобразуем ее согласно лемме 5:
У] e2minЛ(п) = Wi - W2 - W3 ,
U <n<N
где
Wi = Y, Md) (log l)e2ni7d',
d<U l<Nd-1
W2 = £ Md) E Л(п) E e2"7dnr ■
d<U n<U r<N (dn)-1
W3 = Y am Y Л(n)e2пiYmn,
U<m<NU-1 U<n<Nm-1
am ^ ^ ^(d) .
d|m,
d<U
Из внутренней суммы W1 с помощью формулы частного суммирования (лемма 4) вынесем множитель log/.Учтем, ч то |^(d)| < 1, Л(п) < log п. Тогда
Wi, W2 < log N у I У е—
d<U2 l<Nd-1
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
79
Пользуясь леммой об оценке модуля линейной тригонометрической суммы (лемма 6), получим
Wi,W2 « log N ^ min(Nd-1, ||Yd||-1|).
d<U 2
Согласно неравенствам (7), (9) для
Yd
Xd + OsdY-1 Y
имеем |03dY 1| < 0, 5. Полагая
к, если k < Y/2,
Y — к, если Y/2 < к < Y,
где к — наименьший неотрицательный вычет числа Xd по модулю Y, имеем
W1}W2<^ log2 N V —— < У log3 N.
r — 0, 5
0<r<Y/2
7. Перейдем к оценке суммы W3. Суммы по m, п разобьем каждую на « log N сумм с пределами, различающимися не более чем вдвое. Пусть
U<M < NU-1, U<K < NM-1, M1 < 2 M, K1 < 2 K,
MK < N.
Тогда
где
W3 « |W3(M,K)| log2 N .
02тушп
W3(M,K )= ^2 am ^2 Л(п)е-
M<m<Mi K<n<K\
Возведем сумму W3(M,K) в квадрат, с помощью неравенства Коши (лемма 7) получим неравенство:
Wa(M,K)2 «( £ ai) £ | £ A(n)e2nlYmn"
M<m<Mi M<m<Mi K<n<Ki
Поскольку am < t(m), применяя лемму 8 к первой сумме, имеем
£ a2m « M log3 N.
M <m<M1
Для второй суммы
S (M,K)
E
M<m<M1
£ A(n)e2ni7mn
K<n<Ki
80
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
раскрывая квадрат модуля, делая внутренним суммирование по т, получим
S(M, K) < log2 N Е I Е
e
2niYm(n\—U2)
K<nliU2<K1 M<m<M2
где M2 = min(Mi, N/n1, N/n2), и n1 независимо от n2 пробегает те же значения, что и n2. При n1 = n2 внутренняя сумма равна M2 — M, что даст оценку ^ N log2 N. В остальных случаях для оценки внутренней суммы применим лемму 6:
G(M,K )= Y, I Е
K<n2<ni<Ki M<m<M2
2niym(ni —n2)
< ^ min(M, ||y(ui — n2)\\ 1) < K ^ min(M, ||Yh\| 1) .
K<n2<ni<Ki 1<h<K
Сумма no h оценивается по аналогии, что и соответствующая сумма у И.М. Виноградова ( [3], с. 94). Поскольку условия леммы ( [3], с. 94, лемма VI.2.5) в рассматриваемом случае не выполняются, приводим все рассуждения. Пусть h = h1 + Ys, 0 < h1 < Y. Тогда
Xh1 + [^1Y ] + &3h1Y 1 + {^1Y}
Yh = Yh + @1
Y
где в1 = YYs.
min(M,
-1
1< h<K
К
Y
C ( — + lj ^ min\M,
0 <hi<Y
II Yh1 + ^1
1
Делая замену Z = Xh1 + [^1Y], учитывая периодичность функции ||x\| с периодом 1, имеем
V mm(M- fYYYji)« Е ™(м-
0<hi<Y 11 1 1 | Z |<0,5Y
где 194(Z)| < 2|m|q2. Следовательно,
я | d4(Z) Y * у
G(M,K) <
«Л-(^ + 1)(м(4|ш.|52 + 2)+ £
Y
2|m|q2<|Z |<0,5Y
|Z | — 2|m|q2
Учитывая, что q < log N, |m| < Д 1 log N, имеем
K
G(M, К) < К (у + l) + y) log1+2A N <
<<(K4A + b+ik)+KY)]^+2AN-
Тогда
Ws(M, K)2 < M log3 N(N log2 N+
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е1Д Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38 81
+K4l(A+b + ik)+KY)]ogH2AN^
Поскольку
получаем
U < M < NU-1 , U < K < NU-1 , MK < N
W3(M, Kf « (лг2 (уд + ту + ш) + лгу) log8+M N
Окончательно:
W3 < (n(
1 1 1
+ —p= +
Vya Vu Vua
+ ^/NY^ log4+A N.
При выборе параметров
U = №’02, Д = log-1,50 N, —<Y<qQ,
mq
1 < q < log"4 N, \m\ < log1+1,5C N, Qx \J N\og~B N
убеждаемся, что для |W3| получена требуемая оценка.
8. По лемме 9 имеем
max |S(t) | < log4 N(N log-A/2 N + N4/5 + N1/2т1/2).
2
Собирая вместе полученные оценки, имеем утверждение теоремы.
Литература
1. Виноградов И.М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // ДАН СССР. -1937. -15. - С. 169-172.
2. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел / М.: Наука, 1980. -160 с.
3. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел / М.: Наука, 1983. - 240 с.
4. Бухштаб А.А. Теория чисел / М.: Просвещение, 1966. -384 с.
5. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана / М.: Физматлит, 1994. - 376 с.
6. Марджанишвили К.К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР. - 1939. -22:1. - С. 391-393.
7. Вон Р. Метод Харди-Литтлвуда / М.: Мир, 1985. - 184 с.
82
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
TERNARY GOLDBACH’S PROBLEM WITH PRIMES OF A SPECIAL TYPE
*S.A. Gritsenko, **N.N. Motkina
* Financial University of Russian Federation Government,
Leningradsky Av., 49, Moscow, Russia Lomonosov Moscow State University,
Leninskie Gory, 1, Moscow, Russia, e-mail: [email protected] **Belgorod State University,
Pobedy St., 85, 308015, Belgorod, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. Let n be a quadratic irrationality. The variant of ternary Goldbach’s problem involving primes such that a < {np} < b where a and b are arbitrary numbers in the interval [0,1] is solved.
Key words: additive problems, primes of special type, number of solutions, asymptotic formula, quadratic irrationality.
