Об одном варианте проблемы Хуа Ло-Кена Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

23

MSC 11Р32

ОБ ОДНОМ ВАРИАНТЕ ПРОБЛЕМЫ ХУА ЛО-КЕНА *С.А. Гриценко, **Н.Н. Мотькина

*Финансовый университет при Правительстве РФ,

Ленинградский пр., 49, Москва, Россия Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова,

Ленинские горы, 1, Москва, Россия, e-mail: [email protected] **Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. В работе решается вариант задачи Хуа Ло-кена с простыми числами р, такими, что а < {пр2} < Ь, где а и b — произвольные числа из интервала [0,1], п — квадратичная иррациональность.

Ключевые слова: аддитивные задачи, простые числа специального вида, число решений, асимптотическая формула, квадратичная иррациональность.

1. Введение. В 1938 г. Хуа Ло-Кен доказал [1], что достаточно большое натуральное N, N = 5 (mod 24), представимо суммой квадратов пяти простых чисел:

р1 + p2 + p2+р4 + p2 = N •

(1)

Задача Хуа Ло-Кена состоит в оценке числа I5,2(N) таких представлений. Хуа показал

[2], что

/5 2(JV) = ldXX(iV)+0д3/2фь8Аз

, А ' 3 log5 N 1 ' V log6 N J’

где

а

(N ) = 2^[(1

p\N

p> 3

5p2 + 10(^)p+l (P- l)4

x

x

/ 5p2 + 10(-d)p + 1 /А\Р2 + 10(тд)р + 5ч i

П(1 +-----(р-ф +Ky) (Р- Ц ) > 4

p> 3

при N = 5 (mod 24) и a(N) = 0 в противном случае.

В настоящей работе мы рассматриваем задачу Хуа Ло-Кена с простыми числами специального вида. Пусть ц — квадратичная иррациональность, а и b — произвольные фиксированные действительные числа, 0 < а < b < 1. Пусть J5,2(N) — число решений уравнения (1) с простыми числами р^, а < {ppf} < b, i = 1, 2, 3, 4, 5. Полученный нами результат представлен в следующей теореме.

Теорема. Для достаточно большого натурального N N = 5mod24, справедлива формула

J5,2(N) = I5,2(N)s(N, a, b) + O(N3/2-0,00002),

24 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ |^Ц Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38 где

s(N,a,b) = У .

4 ^ n5m5

|m|<^

2. Вспомогательные утверждения.

Лемма 1 ( [2], с. 22). Пусть r — натуральное число, а и в — вещественные числа, 0 < Д < 1/4 А < в — а < 1 — А. Тогда существует периодическая с периодом 1 функция ф(х), удовлетворяющая условиям:

1. ф(х) = 1 в промежутке а + Д/2 < x < в — Д/2,

2. 0 < ф(х) < 1 в промежутках а — Д/2 < x < а + Д/2 и в — Д/2 < x < в + Д/2,

3. ф(х) = 0 в промежутке в + Д/2 < х < 1 + а — Д/2,

4. ф(х) разлагается в ряд Фурье вида

ф(х) = в — а + ^ c(m)e2” ,

0<|т|<те

где

c(m)| < min ^в — а,

1

1

п|т| ’ n|m| Vп|т|Д

Лемма 2 ( [3], с. 158). Пусть т > 1, а — вещественное число. Тогда существуют целые взаимно простые числа an q, 1 < q < т, такие, что

a

a----

q

1

< — .

qT

r

Лемма 3 ( [4], с. 264). Для любого действительного алгебраического числа а степени n можно подобрать положительное с, зависящее только от а, такое, что для всех рациональных чисел a/b (a/b = а) будет иметь место неравенство

a

а~ь

> — - bn

Лемма 4 ( [3], с. 29). Пусть f (х) — комплекснозначная непрерывно дифференцируемая на [a, b] функция, cn — произвольные комплексные числа,

С(х) = ^2 Cn .

a<n<x

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е1Д Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38 25

Тогда.

г b

YCnf(n) = i C(x)//(x)dx+с(ь)/(ь)

Ja

a<n<b

Лемма 5 ( [5], c. 62). Пусть 1 < U < N, где N — натуральное число. Тогда для любой комплекснозначной функции / (х) справедливо тождество

Y Л(п)/(n) = Wi - W2 - W3,

U <n<N

где

W3

Wi = Yj p(d) E (logl)/ (1d),

d<U l<Nd-1

W2 = Y Md) Y Л(п) Y / (ndr) ,

d<U n<U r<N(dn)-1

Y Md)) ^ Л(п)/(nm) •

U<m<NU-1 d|m U<n<Nm-1

d<U

Лемма 6 ( [3], c. 94). При P > 1 имеет место оценка

| Y e2niax | < min(p• o, 5|М|-1).

x<P

Лемма 7 ( [3], e. 94). Пусть

a ^

a = - + — , (a,q) = 1, q> 1 , \9\ < 1. q q2

Тогда при любом в, U > 0, P > 1 имеем

p

y^min(U, ||ax + в|| 1) < 6(Pq 1 + 1)(U + qlogq).

x=1

3. Доказательство теоремы. 1. Определим характеристическую функцию интервала (а, Ь):

До(х)

1, если а < х < Ь,

0, если 0 < х < а или Ь < х < 1,

продолжим ее с периодом 1 на всю числовую ось. Тогда

J5,2 (N )

о

Y MnP2)e2mxp2)\-2mxNdx.

p<pN

26

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

В лемме 1 положим r = [logN], Д = N-0,01, Обозначим через ф1 функцию ф из леммы при а = a + Д/2, в = b — Д/2 и через ф2 при а = a — Д/2, в = b + Д/2. Соответственно а и в для функции ф1 обозначим чсрез а1 и въ для функции ф2 — через а2 и в2- Справедливо неравенство

Ji(N) < J5,2(N) < J2(N), (2)

где

Jk (N )= [ Фк (np2)eW)5 e-2nixN dx, k = 1, 2. (3)

' p<\/~N

Далее покажем, что главные члены приближенных формул для J1(N) и J2(N) совпадают.

Разложим фк(np2) в ряд Фурье

Фк(ПР2)= ^ ck(m)e2nimnp2.

\m\<<x>

Оценим сумму при |m| > гД 1, пользуясь неравенствами из леммы 1 о «стаканчиках» Виноградова:

^2 Ск (m)e2nimnp2 < ^

\m\>rA-1 \m\>rA

1

nlm

r

n|m| Д

r

1

7Tr+1

< N- log n.

Имеем

Фк (ПР2) = J2 ck (m)e2nimnp2 + O(N- log n).

\m\<rA-1

Полученное разложение для фк(np2) подставим в (3). Введем обозначение

S (x)

Е

^2 nixp2

p<Vn

Пользуясь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим, получим

г 1

|S(x + m1n)||S(x + m2n)||S(x + m3n)||S(x + m4n)|dx ^

^ |S(x)|4dx C

J 0

J] i«Viv J] l

Pl,P2,P3,P4<\6V ,

p1+p2=p2+p4

l<y/N,

p1+p2=i

1

<. vn ^2 i ^^2т^ ^ Ni°gN.

l<y/N, 1<P~N

x2+y2=l

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е1Д Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38 27

Тогда

Jk (N) = £ ck(mi) 22 ck(m2) x

|mi|<rA-1 |m2|<rA—1

x 22 Ck (m3) 22 Ck(mA) 22 Ck (m5)

|тз|<гА—1 |m4|<rA-1 |m5|<rA—1

X

x / S(x + min)S(x + m2n)S(x + m3n)S(ж + m4n)S(x + m5n)e 2nixNdx+

J 0

+O(N3/2-logn log N).

2. При mi = m2 = m3 = m4 = m5 = m рассмотрим

1i(N)= £ ck(m)e2"m"N E E E E £

X

|m|<rA

pi<\Tn p2<\Tv P3<Vn Р4<л/У P5<Vn

x / e2ni(x+mn)(p2 +p2+pi+p4+p2-N)dx Jo

Учтем, что подынтегральная функция периодична по x с периодом 1, и получим

1i(N) = /5,2(N) ^ c5 (m)e2nimnN.

|m|<rA—1

Сумму no m разобьем на две: при |m| < M и при M < |m| < гД-1, значение M выберем позже. Вторую сумму оценим с помощью леммы 1 тривиально как O(M-4):

J2 c5k (m)e2mmnN = O(M-4).

M <|m|<rA—1

Для коэффициентов Фурье при m = 0 известно представление ( [3], с. 16)

ск(т) = c-^m(aM)S4I17rm(^ - <Xk) /siiiTrmA/ry

nm V nmД/г /

При 0 < |m| < M имеем

4(ш) = е-5”"***) S‘”5 ,ГТО'(6 ~ а> + °(МА) (! + 0(МД)2

n5m5 \

= Л + 0(мд)\

n5m5 \ )

Далее,

X! c5 (m)

|m|<rA—1

c5 (m)e2nimnN

1

28

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

= c2TTim(VN-2,5(a+b)) S^n птФ а) _|_ 0(М~А.

, ■“ n5m5

|m|<^

При выборе M = Д 1/5 получим

h = h,2(N )(s(N,a,b) + 0(Д4/5)).

3. Рассмотрим наборы (m1,m2,m3,m4,m5) = (m,m,m,m,m) и интегралы

(4)

I (N,mi,m2,m3,m4,m5) =

i

|S(x + m1n)||S(ж + m2n)||S(x + m3n)||S(x + m4n)||S(x + m5n)|dx .

Обозначим x + m1n зa t. Без ограничения общности положим, что m1 < m2. Введем обозначения:

m2 = m2 — m1, ..., m'5 = m5 — m1,

F(t) = |S(t)||S(t + m2n)||S(t + m3n)||S(t + m4n)||S(t + m5n)|.

Тогда

1

I(N,m1,m2,m3,m4,m5)= F(t)dt.

J 0

Поскольку подынтегральная функция от переменной t имеет пер иод 1, полагаем, что промежуток интегрирования имеет вид E = [— 1/т; 1 — 1/т), где т = N1-0,001,

К t G E применим лемму 2. Пусть d,q G Z такие, что

t=- + —, (d,g) = l, 1 < q < т, \вг\ < 1.

q qT

(5)

Те значения t, для которых в представлении (5) q < N0,001, отнесем к «большим» дугам Е1; остальные — к «малым» дугам Е2.

В соответствии е данным делением интервала интегрирования на большие и малые дуги интегралы I(N, m1, m2, m3, m4, m5) разобьем на сумму двух слагаемых:

F (t)dt

Ei

E2

F(t)dt.

4. Оценим суммы вида S(t + m'n) для значений t, принадлежащих большим дугам Е^ Примем, к при меру, t + m2n з а 7 при m2 = 0.

Рассмотрим рациональное приближение 7. Для этого вначале приблизим ц рациональным числом (лемма 2)

A в

— , {A,Q) = 1, И < 1, l<Q<ri.

Q QT1

Значение т1 выберем позже.

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

29

Поскольку п — квадратичная иррациональность, то из лемм 2, 3 имеем Q х пи

Тогда

ч = 4 + (|. (А«) = Ь N<1-

, d 9i A1 92т'2 X в, 92т'2 7 = t + т2ц = - Н---------Ь — + = — Н--------Ь

q qr Qi Q2 Y qr Q2

(Ai,Qi) = 1 , (X,Y ) = 1.

Из представления 7 имеем Y < qQ, то есть

Q~Y

Так как Y < qQ и Q x n, то при выборе n = л/т/q имеем У2 qr. Тогда выполняется

(h_ 92m2

qr Q2

y~2, |03| < l + \m'2\q2 .

Обозначим (dQ1 + A1q,Q1) через 5. Поскольку (A1,Q1) = 1, то 5|q и, следовательно, 5 < q. Оценим сверху (dQ1 + A1q,qQ1):

Тогда для

имеем

(dQ 1 + A1q, qQ1) < q(dQ 1 + A1q, Q1) < q2

qQ1

Y

(dQ1 + A1q, qQ1) y>9i> Q

q m!2q

5. Перейдем к оценке суммы S (7):

S (7 )= 5]

2 nvyp2

Положим U = N0,05, имеем

p<Yn

S(7) = ^2 e2nilp2 + O(U).

u<p<Yn

Пусть

a(x)

1, если x = p, 0, если x = p.

Используя формулу частного суммирования (лемма 4), выбрав

C(x)= J2 a(n)e2niYn2 logn,

U <n<x

30 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ УЛЯ Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38

получим

r-y/N

У е2"7р2 < / |ОД|

u<p<Vn

dx \<C(VN)\

и x log2 x log N

max

u<x<Vn

У e2mip2 logp

U <p<x

Поскольку

log N

У е2жчп2Л(п) = У в2жг1р logp + E E е2жг1р2 log p

u<n<VN

u<p<Vn

fc=2 U<pk<\fN 2

У е2жгг'р2 logp + O(N1/4 log2 N).

u<p<Vn

Окончательно,

где

|У(7)|= max У е2жггп2А(п) + 0(№4/4 log2 N).

и<х^ u7?<x

6. В лемме 5 положим f (п) = е2жгтп2. Тогда

У е2жг^2к(п) =А1-А2- Аз,

и<п<Ам

Ai = 5ДМ Е eMim’log/,

d<U l<PNd-1

A2 = У Md) У Л(п) У e2niY(dnr)2,

d<U n<U r<y/N(dn)~1

Аз= У am У А(п)е2жг^2,

U<rn<'/NU~1 U<n<\/Nrn~1

am —

У Md).

d|m, d<U

7. Во внутренней сумме A1 проведем частное суммированне по l (лемма 4):

У e2nil(dV)2 log l <

l < y/N d~1

r-PNd-1

< \C(x)\d(logx) + \C(^d-l)\log(VNd~l),

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

31

где

C(x) = Y e2mid42 .

l<x

Тогда

Ai « log N^]| Y e2niYd212 .

d<U iK^Nd-1

Промежутки суммирования по l, d разобьем на промежутки вида

D < d < D1 < 2D, L < l < L1 < 2L, получится « log2 N промежутков:

Ai « log3 N Y, |Ai(L)|, (6)

d

где

Ai(L) = ^2 e2ni7d212 ,

и модуль суммы в правой части неравенетва (6) максимален. Рассмотрим

|Ai(L)|2

Е

Е

^2п»7 d2 (h2+2hl)

hK^Nd,-1 L<l+h<Li 0 <h<L L<l<Li

По лемме 6

M(L)2 < Y min(L, tfd2h\\ *) < Y min(L> IIt^II *) •

hK^Nd,-1 h<^Nd

0 <h<L 0<h<Ld2

Пусть h = h1 + Ys, 0 < h1 < Y. Воспользуемся, полученным выше, рациональным приближением д:

X Й

Т = 7 + |(Х,У) = 1, |03|<1 + КД2.

Обозначим yYs через во тогда

Yh = Yh1 + в1

Xh\ + [/5iY] + 9sh\Y 1 + {/ДМ} Y

Имеем

Ai(T)2 C + l) X min (lJ7^i +/3iH_1) •

0<hp<Y

Обозначим Z1 наименьший неотрицательный вычет числа Xh1 + [fitY] то модулю Y. Полагая

J Z1, если Z1 < Y/2,

| Y — Z1, если Y/2 < Z1 < Y,

32 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ УЛЯ Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38

имеем

min(L, ||Yhi + ^i|-1) < ^ min (l,

0<hi<Y | Z |<0,5Y

где \B4(Z)\ < 2\m!2\q2 . Следовательно,

Ai(L)2 C + l) {L\m'2\q2 +

Z В 4 (Z)

Y Y

-i

У

|Д| - 2\m'2\q2

Так как

имеем

L < л/Nd 1, d < U, \m'2\ < A 1 log N ,

W«(^+1)(^ + T)bg.«

i(L)

^Уд2 ,

<iA "/°g

+ v^C + y) logy.

V Y Д dA

8. Проведем аналогичные рассуждения для Л2. В результате получаем

Ai,A2 < U2 log3,5 N Параметры выбраны так, что

q

q

и

VYA VdA</N

U = N

0,05

q < N0’001 , Д = N

-0,01

Q

— < У < qQ, \m2\ <

,, / log N

m2q

что позволяет получить оценки

Д

Q

N1-

0,001

q л/log N

1 log N

У ^ iV°>488 > А У0’238 ’ VdA^N У0-244

Л1,Л2 < N0,4 log4 N.

Лз < \Лз(М,К)\ log2 N ,

Тогда

9. Оценим сумму Л3.

где

Лз(М,К )= £

Y1 л(п)

2nijm2n2

U<m<\fNU 1 , U<n<\fNm 1 ,

M<m<2M K<n<2K

Если MK < N1/2-0,00002 log-4 N, то достаточно тривиальной оценки

Л3(М,К) < MK log2 N,

2

q

m

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

33

чтобы A3 « N1/2 0>00002. В дальнейшем полагаем, что

^1/2-0,00002 bg-4 N < мк < ^

Возведем сумму A3(M, K) в квадрат, воспользуемся неравенством Коши: A3(M,K)2 « (£<£,) £ | Y,Л(п)е2"1т2”2|2.

m m n

Так как

тогда

£ am« £т'2 (m) « M log3 N,

m<M m<M

A3(M, K)2 « M log5 N^MK+

e^ni-ym? (2n+j)j

j<\/NU^1 , С/<ra<\//V77~1 1/<т<СУ(га+/)-1 ,

0<j<K K<n<2K M <m<2M

Возведем обе части полученного неравенства в квадрат и еще раз воспользуемся неравенством Коши:

A3(M, K)4 « M2 log10 N(M2K3 + S(M, K)),

где

s(m,k)« k2(k2M + £££| £ e

j n m 0 <l<M

2mj(2m+l)l(2n+j)j

По лемме об оценке модуля линейной тригонометрической суммы (лемма 6), получим S(M,K) « K2(K2M + £ £ £ min(M, Идти/1| 1)).

j<K n<5K m<2M

Далее

min(M, Цдтид'Ц 1) « ^ 73(h) min(M, ||дЛ,|| 1) «

h< 10MK2

m< 2M

/ АЛ K 2 \

< N4 M2K2

K2|g2 \m'21q2 log №

У + MA2 + M

+ Y log N).

При |m2| < A 1 log N получаем

.43<м.аД«М'(м‘аД1 + |7 + дма,2 ,

9 i) + m2k2y

34 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ УЛЯ Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38

С учетом неравенств U < M <

U

имеем

U < K <

Аз <С N£ (y/N ( .— 4—4— . ^ ^ + y/NY ^ .

V V4/77 лУлу AamktjJ )

N1/2

-0,00002

U ’ log4 N

<

МК < у/N

Параметры выбраны так, что

U = N0,05 , q < N0,001

v^/ </AMKU'

Д = N-0>01

т- < У < I "41 < logiV

Q

IN 1-0,001

m'2q "' Д

Ж4/2-0’о0002 log”4 У < MA < VN .

q

Тогда

1 1

1 log N

— —-—

4/Ц "" jyo,oi25 ’ Y 4V°>488

log У

^bgiv

л^ДУ ~ 4V°>119 ’

у < л/iv.

y/AMKU до >134 В результате при е < 0, 001 получаем оценку

A3 < N0>49.

Таким образом, для суммы |S(t + т/2ц)| при t G E1 справедлива оценка

|S(t + m2n)| < N 1/2-0>00002.

10. Применив неравенство .между средним арифметическим и средним геометрическим, оценим интеграл по множеству Е1 как

>E i

F(t)dt ^ max |S(t + m'2n)I I |S(t)|4dt.

tee i

Учитывая полученную при t G E1 оценку |S(t + т/2ц)|, имеем

I F(t)dt < n3/2-0,00002.

(7)

' Ei

11. При t G E2 рассмотрим сумму S (t):

s(0 = У <

p<Fn

2nitp2

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

35

Пусть U = N°’0002. Совершая преобразование Абеля, имеем

J2nitn2 С

U <n<x

12. В лемме 5 выберем f (п) = e2nitn2, Тогда

|ЭД|= max У e2mtn2A(n) + 0(ЛА/4).

u<x<Vn

где

У eWЛ(п) = Bi - B2 - Вз,

U<n<VN

Bi = У Md) У e2nit(d1)2 log l,

=2nit(dnr)2

d<U l<XNd-1

B2 = У Md) У Л(п) У е- .

d<C7 n<U r<y/N(dn)~1

= У У A(n)e2mt^2

U<m<\fNU~1 U<n<y/Nmr1

bm = У ^(d) .

d|m, d<U

13. Рассмотрим сумму Bi.

Bi « log3 N У |Bi(L)| ,

d<U,

D<d<2D

где

Bi(L) = У eW12.

1<\/Ndr1 ,

L<l<2L

Возведем |Bi(L)| в квадрат:

Bi(L)|2

E

hK^Nd-1

0<h<L

^2 nitd2 (h2 +2hl)

L<l+h<Li,

L<l<Li

По лемме 6 имеем

Bi(L)2 С У min(L, ||td2h|| 1) С У min(L, ||th|| 1).

h<\/N dr1 h<y/Nd,

°<h<L 0<h<Ld2

По лемме об оценке суммы минимумов (лемма 7) получаем неравенство:

Bi(L)2 С (VNdq 1 + 1)(L + qlogq) <.

36

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

С (л/NdLq 1 + y/Nd + q) log q < (Nq 1 + л/Nd + q) log N. Проведя аналогичные рассуждения для суммы В2, в результате имеем

Въ В2 < U2 log3’5 N(^Nq~l + UNl/i + y/q) .

При выборе параметров

U = N0’0002, N0’001 < q < N 1-0’001

получаем

Bi ,B2 < N 1/2-0’0001 log3’5 N.

14. Получим оценку суммы В3,

Вз < |Вз(М,К)| log2 N ,

где

В3(М,К) = bm Hn)e2mtm2n\

U<m<X~NU~1, U<n<X~NmT1,

M<m<2M K<n<2K

Оценку суммы B3(M,K) проведем для л/N > МК > X1 2 .........2 1<>g ' .Y. Для МК <

N 1/2-°,00002 log-4 N достаточно тривиальной оценки B3(M, K).

Возведем B3(M, K) в квадрат, применим неравенство Коши:

b3(m,k)2 < мlog5 n(mk + £ £ *

jK^NU-1 , и<п<ХХи-г ,

0<j<K K<n<2K

2nitm2 (2n+j)j J

U <m<y/N(ro+j)-1 ,

M<m<2M

Далее, Возведя обе части полученного равенства в квадрат, применим неравенство Коши и лемму 6:

B3(M, K)4 < M2 log10 N(M2K3 + K4M + K2 Y, T3(h)min(M, ||th||-1)).

h<10MK2

Применяя лемму 7, имеем

min(M,

h< 10MK2

< (M2K2(- +

f MK \

) < ^—-----h 1J (M + <?) log iV c

,1 M/o + if)+?)l0giV-

Тогда

B3(M, K)4 « (m4X4(-^ + ^ + ^) + M2K2q)N'

2т^2Л at2s

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

37

При выборе параметров

U < K <

U

U < M <

N1/2

-0,00002

U ’ log4 N

< MK <

-0,00002

U = N0,0002, N0,001 < q < N1-0’001, е < 0, 00001

выполняется неравенство

В3 < N£(Vn(U~1/a + q“1/4) + (qA)1/4) < N1/2 Таким образом, если t G E2, то справедлива оценка

|S(t)| < N 1/2-0>00002.

15. Поскольку

F(t)dt ^ max |S(t)| / |S(t)|4dt

' E2

t&E 2

имеем

F(t)dt < N3/2

-0,00002

' E2

Окончательно утверждение теоремы следует из (2), (4), (7), (8).

(8)

Литература

1. Hua L.-K. On the representation of numbers as the sum of powers of primes // Math. Z. -

1938. ^44. 1У335-3 16.

2. Хуа Л.-К. Аддитивная теория простых чисел / М.: Изд. АН СССР. -1947. - 22.

3. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел / М.: Наука, 1980. -160 с.

4. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел / М.: Наука, 1983. - 240 с.

5. Бухштаб А.А. Теория чисел / М.: Просвещение, 1966. - 384 с.

6. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана / М.: Физматлит, 1994. - 376 с.

HU A LOO KENG’S PROBLEM FOR PRIMES OF A SPECIAL TYPE

*S.A. Gritsenko, **N.N. Motkina

* Financial University of Russian Federation Government,

Leningradsky Av., 49, Moscow, Russia Lomonosov Moscow State University,

Leninskie Gory, 1, Moscow, Russia, e-mail: [email protected] **Belgorod State University,

Pobeda St., 85, 308015, Belgorod, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. Let n be a quadratic irrationality. A variant of Hua Loo Keng’s problem on the basis of primes such that a < {np2} < ft, where a and b are arbitrary real numbers of the interval [0,1] is solved.

Key words: additive problems, primes of special type, solutions number, asymptotic formula, quadratic irrationality.