Проблема Варинга с натуральными числами специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

MSC 11P05

ПРОБЛЕМА ВАРИНГА С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

С.А. Гриценко, Н.Н. Мотькина

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, 308015, Белгород, Россия, e-mail: Motkina@bsu.edu.ru

Аннотация. В работе решается вариант проблемы Варинга с натуральными числами x, такими, что a < {nxn} < b, где а и b — произвольные числа из отрезка [0,1], п — квадратичная иррациональность.

Ключевые слова: аддитивные задачи, проблема Варинга, число решений, асимптотическая формула, квадратичная иррациональность.

1. Введение. Настоящая работа является продолжением исследований авторов аддитивных задач с числами из специальных множеств. Для числа решений I3;i(N) задачи Гольдбаха о представимости нечетного натурального N в виде суммы трех простых чисел:

Pi + P2 + Рз = N

в 1937 г. И.М. Виноградов получил асимптотическую формулу [1], а именно доказал. что:

hllN) ~ 2(log Nf П 0 + (р_ і)3) П (! - р2 _ зр + з

В 1938 г. Хуа Ло-Кен доказал [2], что достаточно большое натуральное N, N = 5 (mod 24), представимо суммой квадратов пяти простых чисел (задача Хуа Ло-Кена):

Pi + P2 + P2 + p4 + P2 = N •

Для числа представлений I5,2(N) Хуа показал [3], что

N 3/2

І5,2 (N )

(log N )5

В 1770 г. Ж. Лагранж доказал, что каждое натуральное число есть сумма не более четырех квадратов натуральных чисел (задача Лагранжа):

12 + /22 + /32 + /42 = N.

6 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ШЯ Серия: Математика. Физика. 2014. №12(183). Вып. 35 Для числа решений /42 ) задачи Лагранжа известно, что [4]

3 = 1

Пусть п — квадратичная иррациональность, а и Ь — произвольные действительные числа, 0 < а < Ь < 1. Ранее нами получены следующие результаты.

Теорема 1 [5]. Для числа решений J3,l(N) задачи Гольдбаха с простыми рі} а <

Теорема 2 [б]. Пусть J5,2(N) — число решений задачи Хуа Ло-Кена с простыми

Теорема 3 [7]. Число решений J4,2(N) задачи Лагранжа в целых числах I^ а < {пк} < Ь, г = 1, 2, 3, 4 для любого положительного малого е выражается формулой

Полученные нами в теоремах 1 и 2 формулы отличаются от асимптотических формул классических задач Гольдбаха и Хуа Ло-Кена в простых числах без ограничений. У нас в главных членах появляются ряды а3(^ а, Ь), а5 (N, а, Ь) специального вида. Изучение поведения этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая исследуется авторами в [8].

В данной работе рассмотрена проблема Варинга:

q=1 1<a<q

(a,q) = 1

где

{n'Pi} < b, i =1, 2, 3, при любом фиксированном положительном C справедливо равен-

ство

J3,1(N) = MN Уз (N,a,b) + O(N2 log-C N) ,

где

<73(N,a,b)= e2nim(nN-1’5(a+b))

sin3 nm(b — a)

n3m3

|m|<<^

числами pi, a < {np2} < b, i = 1, 2, 3, 4, 5. Для достаточно большого N = 5 (mod 24) справедлива формула

J5,2(N) = І5,2(N)75(N,a,b) + O(N3/2-0’00002) ,

где

75(N,a,b)= e2nim(nN-2’5(a+b))

sin5 nm(b — a)

n5m5

|m|<^

J4,2(N) = (b — a)4!4,2(N) + O(N0’9+£) •

хП + хП + • • • + xnk = N

(1)

с натуральными числами x1,x2,...,xk специального вида. Число решений J(N) рассматриваемой задачи связано с числом решений I(N) классической задачи, причем в главном члене появляется ряд 7(N, a, b) того же типа, что и в теоремах 1, 2.

Теорема 4. Пусть k > cn2 log n, n > 3. Тогда для числа решений J(N) проблемы Варинга в натуральных числах x1,x2, . . . ,xk таких, что a < {nxn} < b (j = 1, 2,... ,k), справедлива асимптотическая формула.

J(N) = I(N)a(N, a, b) + 0(N>

где I ^) — число решений уравнения (1) в произвольных натуральных числах

x1, x2,

,xk,

7

(N,a,b) = e

|m|<^

2mm(i1N-k(a+b)/2) SmA 7Г)п(Ь — a)

nk mk

Для I(N) известно [9], что при k > cn2 log n,

2. Вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть

а 9

а=—I-------, (а,д) = 1, 0 < а < д < т, \9\ < 1.

Я

Пусть п — алгебраическое число степени в > 2, т — натуральное число, т < 2М. Тогда существуют целые взаимно простые числа А и Q такие, что

A

a + ipn — — Q

<

1

2 VrqQ

(со Vr)

1

s — 1

8Mq

< Q < 2 y/rq ,

где Со = Со(п) > 0.

□ В силу теоремы Дирихле существуют целые числа А! и Q1 такие, что

n

По условию леммы 1

Qi

<

VtQ і ’

(2)

a

a----

q

1

< — , (a, q) = 1, 1 < q < t .

qT

(3)

n

1

Тогда из теоремы Дирихле следует, что существуют целые взаимно простые числа А и Q такие, что

А

а + /рп — — Q

<

1

Докажем, что

2 \frqQ

1 < <3 < 2 у/тд.

8Мд

< Я < 2 л/тд ,

где Со = Со(п) > 0.

Из неравенства (2) имеем

А1т

Q1

<

т

\frQi

Пусть

тогда

= (-42.(52) = 1 , Q2<<21</?.

Q1 Q2

А‘2

(^2

<

т

Из (3) и (5) следует, что

а + пт —

aQ2 + ?А2

\frQ2

1т

<— +

дт у/т(Э2

Поскольку <52 < у/?,

т 2т

то

где

1

дт л/т<Э2 ~ у/тС}2 2т

А3

а + 1]т — —

Q3

А3 ^2 + ЯА2

<

л/г<3 2

(4)

(5)

Q3 qQ2

Пусть в приближении (4) числа а + пт рациональной дробью A/Q сначала Q = Q3. Тогда

А3

<

А СО

Я Qз

А

— а — пт

— I — — /1/ —

Q3

а — пт

<

1 2т

< . ^ - +

2 ^^2 Поскольку <5з < <52 < из (6) имеем

1 1 2т 1 2т

< ■ ^ +

<5<5з 2^дС} \frQ2 2(5(5з ’

п

п

поэтому

т

(} ~ 4т '

Рассмотрим теперь случай, когда в неравенстве (4) Q совпадает с Q3. Пусть S|(aQ2 + qA2,qQ2), тогда S|(aqQ2 + q2A2,q2Q2), следовательно, 5|(q2A2,q2Q2) = q2, откуда 6 < q2. Тогда имеем:

С2з> — ■ q

Кроме того.

«2 > — >

значит,

т 2М

<ь>^.

2Mq

По теореме Лиувилля,

Ql <

п

М

Я\

<

1

где с0 = С0(п) > 0. Тогда имеем

<?1 > (соу/т)^, <5з >

<51-/г ’ (со^)^

1

в — 1

2Mq

Мы доказали, что существуют целые взаимно простые числа А и Q такие, что

А

а + /рп — —

<

1

2

при

< тт (,£) <Я< 2 ^д.

8Mq у 2Мд 1/// у

Лемма 2 ( [10], с. 22). Пусть г — натуральное число, а и в — вещественные числа,

0 < А < 1/4, А < в — а < 1 — А. Тогда существует периодическая с периодом 1 функция ф(х), удовлетворяющая условиям:

1. ф(х) = 1 в промежутке а + А/2 < х < в — А/2,

2. 0 < ф(х) < 1 в промежутках а — А/2 < х < а + А/2 и в — А/2 < х < в + А/2,

3. ф(х) =0 в промежутке в + А/2 < х < 1 + а — А/2,

4. ф(х) разлагается в ряд Фурье вида

ф(х) = в — а + с(т)е

0<|т|<^

2пгтх

где

|с(т)| < шіп в — а:

1 1

п|т| ’ п|т| \п |т| А

Лемма 3 ( [9], с. 85). Пусть А1}... ,Ап — целые числа, Зкп(А1,..., Ап) — число решений системы уравнений

х1 + ■ ■ ■ + хк — хк+1 — ■ ■ ■ — х2к = А1,

2к

Ап■

ук ^ к+1 1 < х1,. . . ,х2к < Р-

Справедливы следующие соотношения:

1. Jk,n(А1, ■ ■ ■ , Ап) < Jк,п(0; • • • , 0);

2. Ел,....д. Л,п(А1,...,Ап) = Р2к;

3. |А1| < кР, ..., |Ап| < кРп.

Лемма 4 ( [10], с. 76). Пусть f (х) = апхп + ... + а1х, а^ Пусть п — постоянное, п > 12, г — целое, г > 2г1,

вещественные числа.

г1 = [п2(2к^ п + loglog п + 2,

Тогда

Г

'О ио

Е-

х<Р

2пг/(х)

п(п+1)

с1ап ... сіа і С Р г 2

Лемма 5 ( [9], с. 198). Пусть f (х) = ап+1хп+1 + ... + а1х, а^ — вещественные числа.

а П

ап+і = ~ + ^ , (а,д) = 1, 1 < д< Рп+1, \9\ < 1.

д д2

Тогда

где

Е'

х< Р

32пг(ап+1Хп+1+...+а1х)

< с1(п)РД

/ рп+1 \ 1б1г21о8,

А = тт ( Р, ------- , д I

\ q /

с1 (п) —положительная константа.

Доказательство теоремы 4. 1. Функцию

1, если а < х < Ь,

Фо(х) =

0, если 0 < х < а или Ь < х < 1

Г

Г

Г

продолжим периодически на всю числовую ось с периодом 1. Пусть

So (а) = ^2 Mnxn)e2max

x<P

n

где Р = N1/п. Тогда число решений уравнения (1) в натуральных числах х^, удовлетворяющих условию а < {щ™} < Ь, 3 = 1, 2,... ,к, равно

J(N)= / S0k(a)e-2niaNda.

o

В лемме 2 о «стаканчиках» И.М. Виноградова выберем r = [log N], А = log- N. При выборе а = а + А/2 и в = b — А/2 функцию ф из леммы о «стаканчиках» И.М. Виноградова обозначим как ф1, а и в — как ai и в1, соответственно. Положив а = а — А/2 и в = b + А/2, соответствующую функцию ф обозначим ф2, а и в — как а2 и в2, соответственно.

Определим

Jv(N) = j0 ^2 фV(щп)е2пгах"^ e-2maNda , v =1, 2 . (7)

Из свойств ф1(х) и ф2(х) следует:

Ji(N) < J(N) < J2(N).

Для J1(N) и J2(N) выведем приближенные формулы, главные члены в которых одинаковы.

В представлении функции фv (пхп) рядом Фурье

фv (пхп) = ^2 cv (m)

|m|<<^

оценим сумму при 1т1 > г А 1. Из леммы о «стаканчиках» И.М. Виноградова имеем

1 ( г V 1

|m|>rA-1 |m|>rA-1

Разложение в ряд Фурье функции фv (щп)

— log П

фv (nxn)= J2 Cv (m)e2mmnxn + O(N— log П)

|m|<rA-1

подставим в (7):

/ ( 2 cv(m) 2

\lmKrA-1 x<P

Jv(N)= M Cv(m)5^ e2ni(a+mn)^ e—2niaNda + O(Nk—1—logП)

Jm|<

k

с^(т1)... X] с^(тк) Г ^ е2™(а+т1ч)л? х

|тх|<гА-1 |т^ |<гА-1 0 х,<Р

х.

е2пг(«+ткп)х.е-2пг«м^а + 0^к—1—^П) .

хк <Р

2. При т1 = т2 = . . . = тк = т рассмотрим

)= £ ск(т.)е2"т"К£

|т|<гА-1 х,<Р Хк<Р

х [ е2пг(а+тп)(х. +х.+,,.+х.—М)^

0

Учтем, что подынтегральная функция периодична по х с периодом 1, получим

1^) = I^) ^ ск(т)е2пгтопМ .

|т|<гА-1

Промежуток суммирования по т разобьем на два промежутка: |т| < М и М < |т| < гА-1. На втором промежутке сумму оценим тривиально, используя известные оценки для коэффициентов Фурье:

^ ск(т)е2пгтопМ = 0(М-к+1) .

М <|т|<гА-1

Поскольку при т = 0

е—2пгтв^ е—2пгта^ / ^п^тА/г е—'пгтА/г

Сту(т) = г-------------------------(-—--------

2пт \ 2пгтА/г

или после преобразования

си(т) = с~™^+^)8[п7гт^ ~ (^пптА/гУ

и пт \ птА/г )

то для 0 < | т| < М

сЦт) = е-ш^М^(Ь~а) + 0(МА) / + Ь-Л

пктк V /

= е-к,гш{а+Ь) кт(Ь - а) + 0^мд^ _ пктк

Тогда

ск (т)

|т|<гА-1

ск (т)е2пгтпМ

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е»|Я Серия: Математика. Физика. 2014. №12(183). Вып. 35 13

_ у- с2тггш(??^У-А:(а+Ь)/2) ^П' 7Г?П(^ ~ а) | | (){\1 А ' 1 | .

кк

к

тіт/пЛІ— Ь(п.-\-К\ /0\

|т|<гс

При выборе М = Д-1/к получим

1г(М) = 1(М)(а(М, а, Ъ) + 0(Д V)).

3. Если среди т1,т2,..., тк есть два не равных друг другу числа, то допустим, что т1 < т2. Рассмотрим

I ^,т1,т2,... ,тк )= / |$ (а + т1п)| ■■■ |$ (а + тк п)|^а,

0

где __

_2пгахп

Б (а) = £ •

а) = 2_^ е

х< Р

Сделаем замену Ь = а + ш1п- Поскольку подынтегральная функция является периодичной по Ь с периодом 1, интеграл можно рассматривать на промежутке Е = [—1/т; 1 — 1/т), где т = 2пРп-1.

По теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами Ь представимо в виде

Н П

і = --\-----, (с?,д) = 1, 1 < д < т , \9\ < 1. (8)

д дт

Промежуток интегрирования по Ь разобьем на два непересекающихся множества: Е1 — «большие» дуги и Е2 — «малые» дуги. На «больших» дугах Е1 в разложении (8) выберем д < Р1/4. Тогда Е2 = Е\Е1. Тогда

I(Ы,т1,т2,... ,тк) = / Р(Ь)НЬ + Р(Ь)НЬ ,

J Еі */ Е2

где

Р(Ь) = |Б(Ь)||Б(Ь + (т2 — т1)п)| ... |Б(Ь + (тк — т1)п)| .

4. Пусть /к,п(А1,..., Ап) — число решений системы уравнений

х1 + ■ ■ ■ + хк — хк+1 — ■ ■ ■ — х2к = А1;

грП \ I тп _ тп _ _ тп _ Л

х1 + ■ ■ ■ + хк хк+1 ■ ■ ■ х2к = Ап,

1 < х1,...,х2к < Р ■

При 5п2 log п < к1 < к/2 по лемме 3 получим

[ |Б (Ь)|2кі НЬ = ^ ^кі)п(А1,...,Ап-1,0) < Лип(0,..., 0) ^ 1 <

0 Аі,...,Л„_і Лі,...,Лп_і

^7 .(.+ 1) п(п — 1) гч?

< Р2к 1--— (2к1)п~1Р= {2к\)п~ Р ~п .

Здесь для оценки /к1,п(0, ... , 0) применили лемму 4.

Пользуясь полученным неравенством, оценим интеграл по множеству Е1, как

у Р(г)(И < Р2к1—п шах |£(г + тп)|к—2к1 Для интеграла по множеству Е2 получим оценку

[ р(г)(г < Р2к1—пшах 1в(г)|к—2к1.

5. Оценим

'Ё2 *€Е1

шах \Б(г + тп) *€Ё1

сверху. Для этого изучим рациональные приближения числа г + тп.

По теореме Дирихле

А 9

*7 = 77 + 7Г-. (Д^) = 1, 1^11 < 1, (9)

Q Qтl

Значение т1 выберем позже.

Поскольку п — квадратичная иррациональность, согласно теореме Лиувилля имеем

Ф) < <?2 “

Из (9), (10) получаем

А

11 ~ Я

Ф) < 1

с(п) > 0 . (10)

Q2 - Qтl '

следовательно, Q х т1. Тогда

Для г, принадлежащих «большим» дугам Е1, рассмотрим 7 = г + тп. Тогда

( Ат 9 92т dQ + Amq 9 92т

7 + Я + цт + (52 <?(5 + дг + (52

А1 9 92т

= 7Г + — + -^2“ > =1-

Ql qт Q2

Поскольку

О = ^ Г1П

41 № + Аггщ,д<2) ’ 1 >

то

Ql < qQ■

При выборе т\ = у/т выполняется

9 1 {я

qт Q2 \

9 92т

9

^ |03| < (1 + \т\)д2.

qт Q2

Обозначим (dQ + Amq, Q) как 6, тогда 5|mq и

(dQ + Атд, qQ) < q(dQ + Атд^ Q) = q6 < |m|q2 Тогда из (11), (13) имеем

<31 > —г > — ■ mq2 mq

(12)

(13)

(14)

6. Повторим рассуждения доказательства теоремы 2 (глава XI, [9]) в нашей ситуации. Рассмотрим

5(а) = ^ е2пгах"+1

х<Р

Пусть У = [Р п2 ]. Тогда

1

ад = V Е Е

е2пг«(х+у).+1 + о (У) = ^ + о (у).

(а') = -

у<У х<Р

Воспользуемся неравенством Коши, леммой 3:

|ру|2А- ^ | е2жга{хп+1 +д1{у)хп +...) |2А-

у<У х<Р

У

7к,п+1(А1,...,Ап+1)^е2пга(д.+1 +«1(у)Лп+...)| <

л 1 ,...,Л.+1

у<Г

Л1 ,,..,Л.

у<У

5] Л2п(А1,...,Л„) / |^е2^(а1(у)Л„+...+а„(у)Л1|2<

Л1,...,Лп V Л1,...,Лп у<г

1

< л.п(о,...,0)р2к \^2е2та{п+1)Хп{у~у1)\(

у<У У1<У Л. Л1,...,Лп—1

<

2

1

1. -«--+■> £ тш (2А-Р», 1 _ )(2Ц--Р"Т-

y<Y yl<Y V У1Л|

« ^“е/е е min (р

У ^у<У^<У К ’||а(п + 1)(У — У^И

Зафиксируем у 1, это можно сделать У способами. Положим в = —а(п + 1)у1. Имеем

V тіпГр”,-—--------г---—Л < V тіпГр”,--------------

' И» + 1)» + /»|/ V 1<ч»+

Положим

_ _ А1 $3

а~1~о1 + яГ

Сумму по у разобьем на суммы длины ^1? таких сумм будет

У (п + 1)

Q1

Рассмотрим одну такую сумму.

+ 1.

,«,<,<(.+1)0, ІІ1У +в1 SQ, v ІІУ +в1

™+ft- (§E§)!/+/31

где в1 = в + 1yQ1. Рассмотрим

'Ai , Оз

Я-

где |0э| < (1 + |m|)q2. Тогда

, р Ащ + [)3iQi] + Озу/Qi + {/3iQi}

1У + Р1 = --------------------7л------------------ :

Q1

имеем

У mill (Рп, ----------1——) = У mill (Рп, -------------------

V \\yv + вА' ^ lly +

y<Qi 11 'у ^1Н |y|<Qi/2 ||У

где |%)| ^ |m|q2. В результате.

1

Y min (V\ Л < |?в|Рга+1/2 + Qi logQi < \m\Pn+l/'2 .

|y|<0l/2 1У У

Отсюда

Y Y min ( Р“, -— --------і---------) «г('^г + і)|т.|Р”+1-'2«У|т.|Р’“+1/2.

ІІ7(п+1)(!/-!/і)І|/ VQi 1' 1 1

Тогда

I Г I- ф-1ш| р«+1/2 = 11 Ш, )

s(7)«p.+A (И)*.

7. Для оценки

max |S (t)| teE

воспользуемся леммой 5. В рассматриваемой задаче для t £ E2

/ Pn—1 \ f ъ если P1/4 < q < P,

min ( P,------, 7 ] < P, если P < q < Pn~2 , < P.

\ q J ( если Pra“2 < q < Pn~l

Тогда

i____1___

max \S(t)\ <C P 16cn2 los,J . t€E2

8. Выбирая k = 2k1 + 16n2, получим утверждение теоремы.

Заключение. В данной работе получена асимптотическая формула для проблемы Варинга с числами специального вида. В главном члене появляется ряд специального вида, поведение которого было изучено авторами ранее. Причина появления такого ряда представляет интерес и требует дальнейшего исследования.

Литература

1. Виноградов И.М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // ДАН СССР. - 1937. - 15. - С.169-172.

2. Hua L.K. On the representation of numbers as the sum of powers of primes // Math. Z. -1938. - 44. - P.335-346.

3. Хуа Ло-ген. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел / М.: Мир, 1964. - 194 с.

4. Kloosterman H.D. On the representation of numbers in the form ax2 + by2 + cz2 + dt2 // Acta mathematica. - 1926. - 49. - P.407-464.

5. Gritsenko S., Motkina N. Ternary Goldbach’s Problem Involving Primes of a Special type. Режим доступа: http://arXiv.org/abs/0812.4606 - 25 Dec 2008.

6. Gritsenko S., Motkina N. Hua Loo Keng’s Problem Involving Primes of a Special Type / Режим доступа: http://arXiv.org/abs/0812. 4665 - 26 Dec 2008.

7. Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. Представление натуральных чисел суммами четырех квадратов целых чисел специального вида // Современная математика и ее приложения. - 2010. - 67. - С.71-77.

8. Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. О вычислении некоторых особых рядов // Чебышевский сборник. - 2011. - 12; Вып.4. - С.85-92.

9. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел / М.: Наука, 1983. - 240 с.

10. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел / М.: Наука, 1980. -160 с.

WARING’s PROBLEM WITH SPECIAL NATURAL NUMBERS

S.A. Gritsenko, N.N. Motkina

Belgorod State University,

Pobedy St., 85, 308015, Belgorod, Russia, e-mail: Motkina@bsu.edu.ru

Abstract. It is proposed the solution of the variant of Waring’s Problem with given natural numbers x such that a < {nxn} < b where a and b are arbitrary values of the segment [0,1] and n is quadratical irrational.

Key words: additive problems, Waring’s Problem, number of solutions, asymptotic formula. quadratic irrationality.