CC BY
39
МАТЕМАТИКА
MSC 11P05
ПРОБЛЕМА ВАРИНГА С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
С.А. Гриценко, Н.Н. Мотькина
Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, 308015, Белгород, Россия, e-mail: [email protected]
Аннотация. В работе решается вариант проблемы Варинга с натуральными числами x, такими, что a < {nxn} < b, где а и b — произвольные числа из отрезка [0,1], п — квадратичная иррациональность.
Ключевые слова: аддитивные задачи, проблема Варинга, число решений, асимптотическая формула, квадратичная иррациональность.
1. Введение. Настоящая работа является продолжением исследований авторов аддитивных задач с числами из специальных множеств. Для числа решений I3;i(N) задачи Гольдбаха о представимости нечетного натурального N в виде суммы трех простых чисел:
Pi + P2 + Рз = N
в 1937 г. И.М. Виноградов получил асимптотическую формулу [1], а именно доказал. что:
hllN) ~ 2(log Nf П 0 + (р_ і)3) П (! - р2 _ зр + з
В 1938 г. Хуа Ло-Кен доказал [2], что достаточно большое натуральное N, N = 5 (mod 24), представимо суммой квадратов пяти простых чисел (задача Хуа Ло-Кена):
Pi + P2 + P2 + p4 + P2 = N •
Для числа представлений I5,2(N) Хуа показал [3], что
N 3/2
І5,2 (N )
(log N )5
В 1770 г. Ж. Лагранж доказал, что каждое натуральное число есть сумма не более четырех квадратов натуральных чисел (задача Лагранжа):
12 + /22 + /32 + /42 = N.
6 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ШЯ Серия: Математика. Физика. 2014. №12(183). Вып. 35 Для числа решений /42 ) задачи Лагранжа известно, что [4]
3 = 1
Пусть п — квадратичная иррациональность, а и Ь — произвольные действительные числа, 0 < а < Ь < 1. Ранее нами получены следующие результаты.
Теорема 1 [5]. Для числа решений J3,l(N) задачи Гольдбаха с простыми рі} а <
Теорема 2 [б]. Пусть J5,2(N) — число решений задачи Хуа Ло-Кена с простыми
Теорема 3 [7]. Число решений J4,2(N) задачи Лагранжа в целых числах I^ а < {пк} < Ь, г = 1, 2, 3, 4 для любого положительного малого е выражается формулой
Полученные нами в теоремах 1 и 2 формулы отличаются от асимптотических формул классических задач Гольдбаха и Хуа Ло-Кена в простых числах без ограничений. У нас в главных членах появляются ряды а3(^ а, Ь), а5 (N, а, Ь) специального вида. Изучение поведения этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая исследуется авторами в [8].
В данной работе рассмотрена проблема Варинга:
q=1 1<a<q
(a,q) = 1
где
{n'Pi} < b, i =1, 2, 3, при любом фиксированном положительном C справедливо равен-
ство
J3,1(N) = MN Уз (N,a,b) + O(N2 log-C N) ,
где
<73(N,a,b)= e2nim(nN-1’5(a+b))
sin3 nm(b — a)
n3m3
|m|<<^
числами pi, a < {np2} < b, i = 1, 2, 3, 4, 5. Для достаточно большого N = 5 (mod 24) справедлива формула
J5,2(N) = І5,2(N)75(N,a,b) + O(N3/2-0’00002) ,
где
75(N,a,b)= e2nim(nN-2’5(a+b))
sin5 nm(b — a)
n5m5
|m|<^
J4,2(N) = (b — a)4!4,2(N) + O(N0’9+£) •
хП + хП + • • • + xnk = N
(1)
с натуральными числами x1,x2,...,xk специального вида. Число решений J(N) рассматриваемой задачи связано с числом решений I(N) классической задачи, причем в главном члене появляется ряд 7(N, a, b) того же типа, что и в теоремах 1, 2.
Теорема 4. Пусть k > cn2 log n, n > 3. Тогда для числа решений J(N) проблемы Варинга в натуральных числах x1,x2, . . . ,xk таких, что a < {nxn} < b (j = 1, 2,... ,k), справедлива асимптотическая формула.
J(N) = I(N)a(N, a, b) + 0(N>
где I ^) — число решений уравнения (1) в произвольных натуральных числах
x1, x2,
,xk,
7
(N,a,b) = e
|m|<^
2mm(i1N-k(a+b)/2) SmA 7Г)п(Ь — a)
nk mk
Для I(N) известно [9], что при k > cn2 log n,
2. Вспомогательные утверждения.
Лемма 1. Пусть
а 9
а=—I-------, (а,д) = 1, 0 < а < д < т, \9\ < 1.
Я
Пусть п — алгебраическое число степени в > 2, т — натуральное число, т < 2М. Тогда существуют целые взаимно простые числа А и Q такие, что
A
a + ipn — — Q
<
1
2 VrqQ
(со Vr)
1
s — 1
8Mq
< Q < 2 y/rq ,
где Со = Со(п) > 0.
□ В силу теоремы Дирихле существуют целые числа А! и Q1 такие, что
n
По условию леммы 1
Qi
<
VtQ і ’
(2)
a
a----
q
1
< — , (a, q) = 1, 1 < q < t .
qT
(3)
n
1
Тогда из теоремы Дирихле следует, что существуют целые взаимно простые числа А и Q такие, что
А
а + /рп — — Q
<
1
Докажем, что
2 \frqQ
1 < <3 < 2 у/тд.
8Мд
< Я < 2 л/тд ,
где Со = Со(п) > 0.
Из неравенства (2) имеем
А1т
Q1
<
т
\frQi
Пусть
тогда
= (-42.(52) = 1 , Q2<<21</?.
Q1 Q2
А‘2
(^2
<
т
Из (3) и (5) следует, что
а + пт —
aQ2 + ?А2
\frQ2
1т
<— +
дт у/т(Э2
Поскольку <52 < у/?,
т 2т
то
где
1
дт л/т<Э2 ~ у/тС}2 2т
А3
а + 1]т — —
Q3
А3 ^2 + ЯА2
<
л/г<3 2
(4)
(5)
Q3 qQ2
Пусть в приближении (4) числа а + пт рациональной дробью A/Q сначала Q = Q3. Тогда
А3
<
А СО
Я Qз
А
— а — пт
— I — — /1/ —
Q3
а — пт
<
1 2т
< . ^ - +
2 ^^2 Поскольку <5з < <52 < из (6) имеем
1 1 2т 1 2т
< ■ ^ +
<5<5з 2^дС} \frQ2 2(5(5з ’
п
п
поэтому
т
(} ~ 4т '
Рассмотрим теперь случай, когда в неравенстве (4) Q совпадает с Q3. Пусть S|(aQ2 + qA2,qQ2), тогда S|(aqQ2 + q2A2,q2Q2), следовательно, 5|(q2A2,q2Q2) = q2, откуда 6 < q2. Тогда имеем:
С2з> — ■ q
Кроме того.
«2 > — >
значит,
т 2М
<ь>^.
2Mq
По теореме Лиувилля,
Ql <
п
М
Я\
<
1
где с0 = С0(п) > 0. Тогда имеем
<?1 > (соу/т)^, <5з >
<51-/г ’ (со^)^
1
в — 1
2Mq
Мы доказали, что существуют целые взаимно простые числа А и Q такие, что
А
а + /рп — —
<
1
2
при
< тт (,£) <Я< 2 ^д.
8Mq у 2Мд 1/// у
Лемма 2 ( [10], с. 22). Пусть г — натуральное число, а и в — вещественные числа,
0 < А < 1/4, А < в — а < 1 — А. Тогда существует периодическая с периодом 1 функция ф(х), удовлетворяющая условиям:
1. ф(х) = 1 в промежутке а + А/2 < х < в — А/2,
2. 0 < ф(х) < 1 в промежутках а — А/2 < х < а + А/2 и в — А/2 < х < в + А/2,
3. ф(х) =0 в промежутке в + А/2 < х < 1 + а — А/2,
4. ф(х) разлагается в ряд Фурье вида
ф(х) = в — а + с(т)е
0<|т|<^
2пгтх
где
|с(т)| < шіп в — а:
1 1
п|т| ’ п|т| \п |т| А
Лемма 3 ( [9], с. 85). Пусть А1}... ,Ап — целые числа, Зкп(А1,..., Ап) — число решений системы уравнений
х1 + ■ ■ ■ + хк — хк+1 — ■ ■ ■ — х2к = А1,
2к
Ап■
ук ^ к+1 1 < х1,. . . ,х2к < Р-
Справедливы следующие соотношения:
1. Jk,n(А1, ■ ■ ■ , Ап) < Jк,п(0; • • • , 0);
2. Ел,....д. Л,п(А1,...,Ап) = Р2к;
3. |А1| < кР, ..., |Ап| < кРп.
Лемма 4 ( [10], с. 76). Пусть f (х) = апхп + ... + а1х, а^ Пусть п — постоянное, п > 12, г — целое, г > 2г1,
вещественные числа.
г1 = [п2(2к^ п + loglog п + 2,
Тогда
Г
'О ио
Е-
х<Р
2пг/(х)
п(п+1)
с1ап ... сіа і С Р г 2
Лемма 5 ( [9], с. 198). Пусть f (х) = ап+1хп+1 + ... + а1х, а^ — вещественные числа.
а П
ап+і = ~ + ^ , (а,д) = 1, 1 < д< Рп+1, \9\ < 1.
д д2
Тогда
где
Е'
х< Р
32пг(ап+1Хп+1+...+а1х)
< с1(п)РД
/ рп+1 \ 1б1г21о8,
А = тт ( Р, ------- , д I
\ q /
с1 (п) —положительная константа.
Доказательство теоремы 4. 1. Функцию
1, если а < х < Ь,
Фо(х) =
0, если 0 < х < а или Ь < х < 1
Г
Г
Г
продолжим периодически на всю числовую ось с периодом 1. Пусть
So (а) = ^2 Mnxn)e2max
x<P
n
где Р = N1/п. Тогда число решений уравнения (1) в натуральных числах х^, удовлетворяющих условию а < {щ™} < Ь, 3 = 1, 2,... ,к, равно
J(N)= / S0k(a)e-2niaNda.
o
В лемме 2 о «стаканчиках» И.М. Виноградова выберем r = [log N], А = log- N. При выборе а = а + А/2 и в = b — А/2 функцию ф из леммы о «стаканчиках» И.М. Виноградова обозначим как ф1, а и в — как ai и в1, соответственно. Положив а = а — А/2 и в = b + А/2, соответствующую функцию ф обозначим ф2, а и в — как а2 и в2, соответственно.
Определим
Jv(N) = j0 ^2 фV(щп)е2пгах"^ e-2maNda , v =1, 2 . (7)
Из свойств ф1(х) и ф2(х) следует:
Ji(N) < J(N) < J2(N).
Для J1(N) и J2(N) выведем приближенные формулы, главные члены в которых одинаковы.
В представлении функции фv (пхп) рядом Фурье
фv (пхп) = ^2 cv (m)
|m|<<^
оценим сумму при 1т1 > г А 1. Из леммы о «стаканчиках» И.М. Виноградова имеем
1 ( г V 1
|m|>rA-1 |m|>rA-1
Разложение в ряд Фурье функции фv (щп)
— log П
фv (nxn)= J2 Cv (m)e2mmnxn + O(N— log П)
|m|<rA-1
подставим в (7):
/ ( 2 cv(m) 2
\lmKrA-1 x<P
Jv(N)= M Cv(m)5^ e2ni(a+mn)^ e—2niaNda + O(Nk—1—logП)
Jm|<
k
с^(т1)... X] с^(тк) Г ^ е2™(а+т1ч)л? х
|тх|<гА-1 |т^ |<гА-1 0 х,<Р
х.
е2пг(«+ткп)х.е-2пг«м^а + 0^к—1—^П) .
хк <Р
2. При т1 = т2 = . . . = тк = т рассмотрим
)= £ ск(т.)е2"т"К£
|т|<гА-1 х,<Р Хк<Р
х [ е2пг(а+тп)(х. +х.+,,.+х.—М)^
0
Учтем, что подынтегральная функция периодична по х с периодом 1, получим
1^) = I^) ^ ск(т)е2пгтопМ .
|т|<гА-1
Промежуток суммирования по т разобьем на два промежутка: |т| < М и М < |т| < гА-1. На втором промежутке сумму оценим тривиально, используя известные оценки для коэффициентов Фурье:
^ ск(т)е2пгтопМ = 0(М-к+1) .
М <|т|<гА-1
Поскольку при т = 0
е—2пгтв^ е—2пгта^ / ^п^тА/г е—'пгтА/г
Сту(т) = г-------------------------(-—--------
2пт \ 2пгтА/г
или после преобразования
си(т) = с~™^+^)8[п7гт^ ~ (^пптА/гУ
и пт \ птА/г )
то для 0 < | т| < М
сЦт) = е-ш^М^(Ь~а) + 0(МА) / + Ь-Л
пктк V /
= е-к,гш{а+Ь) кт(Ь - а) + 0^мд^ _ пктк
Тогда
ск (т)
|т|<гА-1
ск (т)е2пгтпМ
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е»|Я Серия: Математика. Физика. 2014. №12(183). Вып. 35 13
_ у- с2тггш(??^У-А:(а+Ь)/2) ^П' 7Г?П(^ ~ а) | | (){\1 А ' 1 | .
кк
к
тіт/пЛІ— Ь(п.-\-К\ /0\
|т|<гс
При выборе М = Д-1/к получим
1г(М) = 1(М)(а(М, а, Ъ) + 0(Д V)).
3. Если среди т1,т2,..., тк есть два не равных друг другу числа, то допустим, что т1 < т2. Рассмотрим
I ^,т1,т2,... ,тк )= / |$ (а + т1п)| ■■■ |$ (а + тк п)|^а,
0
где __
_2пгахп
Б (а) = £ •
а) = 2_^ е
х< Р
Сделаем замену Ь = а + ш1п- Поскольку подынтегральная функция является периодичной по Ь с периодом 1, интеграл можно рассматривать на промежутке Е = [—1/т; 1 — 1/т), где т = 2пРп-1.
По теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами Ь представимо в виде
Н П
і = --\-----, (с?,д) = 1, 1 < д < т , \9\ < 1. (8)
д дт
Промежуток интегрирования по Ь разобьем на два непересекающихся множества: Е1 — «большие» дуги и Е2 — «малые» дуги. На «больших» дугах Е1 в разложении (8) выберем д < Р1/4. Тогда Е2 = Е\Е1. Тогда
I(Ы,т1,т2,... ,тк) = / Р(Ь)НЬ + Р(Ь)НЬ ,
J Еі */ Е2
где
Р(Ь) = |Б(Ь)||Б(Ь + (т2 — т1)п)| ... |Б(Ь + (тк — т1)п)| .
4. Пусть /к,п(А1,..., Ап) — число решений системы уравнений
х1 + ■ ■ ■ + хк — хк+1 — ■ ■ ■ — х2к = А1;
грП \ I тп _ тп _ _ тп _ Л
х1 + ■ ■ ■ + хк хк+1 ■ ■ ■ х2к = Ап,
1 < х1,...,х2к < Р ■
При 5п2 log п < к1 < к/2 по лемме 3 получим
[ |Б (Ь)|2кі НЬ = ^ ^кі)п(А1,...,Ап-1,0) < Лип(0,..., 0) ^ 1 <
0 Аі,...,Л„_і Лі,...,Лп_і
^7 .(.+ 1) п(п — 1) гч?
< Р2к 1--— (2к1)п~1Р= {2к\)п~ Р ~п .
Здесь для оценки /к1,п(0, ... , 0) применили лемму 4.
Пользуясь полученным неравенством, оценим интеграл по множеству Е1, как
у Р(г)(И < Р2к1—п шах |£(г + тп)|к—2к1 Для интеграла по множеству Е2 получим оценку
[ р(г)(г < Р2к1—пшах 1в(г)|к—2к1.
5. Оценим
'Ё2 *€Е1
шах \Б(г + тп) *€Ё1
сверху. Для этого изучим рациональные приближения числа г + тп.
По теореме Дирихле
А 9
*7 = 77 + 7Г-. (Д^) = 1, 1^11 < 1, (9)
Q Qтl
Значение т1 выберем позже.
Поскольку п — квадратичная иррациональность, согласно теореме Лиувилля имеем
Ф) < <?2 “
Из (9), (10) получаем
А
11 ~ Я
Ф) < 1
с(п) > 0 . (10)
Q2 - Qтl '
следовательно, Q х т1. Тогда
Для г, принадлежащих «большим» дугам Е1, рассмотрим 7 = г + тп. Тогда
( Ат 9 92т dQ + Amq 9 92т
7 + Я + цт + (52 <?(5 + дг + (52
А1 9 92т
= 7Г + — + -^2“ > =1-
Ql qт Q2
Поскольку
О = ^ Г1П
41 № + Аггщ,д<2) ’ 1 >
то
Ql < qQ■
При выборе т\ = у/т выполняется
9 1 {я
qт Q2 \
9 92т
9
^ |03| < (1 + \т\)д2.
qт Q2
Обозначим (dQ + Amq, Q) как 6, тогда 5|mq и
(dQ + Атд, qQ) < q(dQ + Атд^ Q) = q6 < |m|q2 Тогда из (11), (13) имеем
<31 > —г > — ■ mq2 mq
(12)
(13)
(14)
6. Повторим рассуждения доказательства теоремы 2 (глава XI, [9]) в нашей ситуации. Рассмотрим
5(а) = ^ е2пгах"+1
х<Р
Пусть У = [Р п2 ]. Тогда
1
ад = V Е Е
е2пг«(х+у).+1 + о (У) = ^ + о (у).
(а') = -
у<У х<Р
Воспользуемся неравенством Коши, леммой 3:
|ру|2А- ^ | е2жга{хп+1 +д1{у)хп +...) |2А-
у<У х<Р
У
7к,п+1(А1,...,Ап+1)^е2пга(д.+1 +«1(у)Лп+...)| <
л 1 ,...,Л.+1
у<Г
Л1 ,,..,Л.
у<У
5] Л2п(А1,...,Л„) / |^е2^(а1(у)Л„+...+а„(у)Л1|2<
Л1,...,Лп V Л1,...,Лп у<г
1
< л.п(о,...,0)р2к \^2е2та{п+1)Хп{у~у1)\(
у<У У1<У Л. Л1,...,Лп—1
<
2
1
1. -«--+■> £ тш (2А-Р», 1 _ )(2Ц--Р"Т-
y<Y yl<Y V У1Л|
« ^“е/е е min (р
У ^у<У^<У К ’||а(п + 1)(У — У^И
Зафиксируем у 1, это можно сделать У способами. Положим в = —а(п + 1)у1. Имеем
V тіпГр”,-—--------г---—Л < V тіпГр”,--------------
' И» + 1)» + /»|/ V 1<ч»+
Положим
_ _ А1 $3
а~1~о1 + яГ
Сумму по у разобьем на суммы длины ^1? таких сумм будет
У (п + 1)
Q1
Рассмотрим одну такую сумму.
+ 1.
,«,<,<(.+1)0, ІІ1У +в1 SQ, v ІІУ +в1
™+ft- (§E§)!/+/31
где в1 = в + 1yQ1. Рассмотрим
'Ai , Оз
Я-
где |0э| < (1 + |m|)q2. Тогда
, р Ащ + [)3iQi] + Озу/Qi + {/3iQi}
1У + Р1 = --------------------7л------------------ :
Q1
имеем
У mill (Рп, ----------1——) = У mill (Рп, -------------------
V \\yv + вА' ^ lly +
y<Qi 11 'у ^1Н |y|<Qi/2 ||У
где |%)| ^ |m|q2. В результате.
1
Y min (V\ Л < |?в|Рга+1/2 + Qi logQi < \m\Pn+l/'2 .
|y|<0l/2 1У У
Отсюда
Y Y min ( Р“, -— --------і---------) «г('^г + і)|т.|Р”+1-'2«У|т.|Р’“+1/2.
ІІ7(п+1)(!/-!/і)І|/ VQi 1' 1 1
Тогда
I Г I- ф-1ш| р«+1/2 = 11 Ш, )
s(7)«p.+A (И)*.
7. Для оценки
max |S (t)| teE
воспользуемся леммой 5. В рассматриваемой задаче для t £ E2
/ Pn—1 \ f ъ если P1/4 < q < P,
min ( P,------, 7 ] < P, если P < q < Pn~2 , < P.
\ q J ( если Pra“2 < q < Pn~l
Тогда
i____1___
max \S(t)\ <C P 16cn2 los,J . t€E2
8. Выбирая k = 2k1 + 16n2, получим утверждение теоремы.
Заключение. В данной работе получена асимптотическая формула для проблемы Варинга с числами специального вида. В главном члене появляется ряд специального вида, поведение которого было изучено авторами ранее. Причина появления такого ряда представляет интерес и требует дальнейшего исследования.
Литература
1. Виноградов И.М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // ДАН СССР. - 1937. - 15. - С.169-172.
2. Hua L.K. On the representation of numbers as the sum of powers of primes // Math. Z. -1938. - 44. - P.335-346.
3. Хуа Ло-ген. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел / М.: Мир, 1964. - 194 с.
4. Kloosterman H.D. On the representation of numbers in the form ax2 + by2 + cz2 + dt2 // Acta mathematica. - 1926. - 49. - P.407-464.
5. Gritsenko S., Motkina N. Ternary Goldbach’s Problem Involving Primes of a Special type. Режим доступа: http://arXiv.org/abs/0812.4606 - 25 Dec 2008.
6. Gritsenko S., Motkina N. Hua Loo Keng’s Problem Involving Primes of a Special Type / Режим доступа: http://arXiv.org/abs/0812. 4665 - 26 Dec 2008.
7. Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. Представление натуральных чисел суммами четырех квадратов целых чисел специального вида // Современная математика и ее приложения. - 2010. - 67. - С.71-77.
8. Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. О вычислении некоторых особых рядов // Чебышевский сборник. - 2011. - 12; Вып.4. - С.85-92.
9. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел / М.: Наука, 1983. - 240 с.
10. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел / М.: Наука, 1980. -160 с.
WARING’s PROBLEM WITH SPECIAL NATURAL NUMBERS
S.A. Gritsenko, N.N. Motkina
Belgorod State University,
Pobedy St., 85, 308015, Belgorod, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. It is proposed the solution of the variant of Waring’s Problem with given natural numbers x such that a < {nxn} < b where a and b are arbitrary values of the segment [0,1] and n is quadratical irrational.
Key words: additive problems, Waring’s Problem, number of solutions, asymptotic formula. quadratic irrationality.
