CC BY
66
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 19. Выпуск 2
УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-123-141
О количестве простых элементов в некоторых моноидах
натуральных чисел1
Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственного университет.
e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com
Калинина Алина Олеговна — студентка механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. e-mail: kalininaalina2008@ram,bler. ru,
Добровольский Михаил Николаевич — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Геофизического центр РАН. e-mail: т. dobrovolsky@gcras.ru,
Добровольский Николай Михайлович — профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого. e-mail: dobrovol@tsput.ru,
Аннотация
В работе исследуется вопрос о числе простых элементов в моноиде МЧ}1, состоящем из натуральных чисел сравнимых с 1 по модулю q. При q > 2 моноид Mq, 1 не является моноидом с однозначным разложением на простые элементы, так как наряду с обычными простыми числами, которые сравнимы с 1 по модулю q, в число простых элементов попадают псевдопростые числа, которые являются составными числами. Случай q = 3,4, 6 выделяется из числа других тем, что псевдопростые числа являются произведением двух простых чисел сравнимых с q — 1 то модулю q. Таким образом, для множества простых элементов Р(Mq 1) моноида Mq 1 в этом случае справедливо равенство
Р (Mq,l) = P,,iU (P q,q-1 • Pq,q-1)-
Так как моноид Mqд не имеет однозначности разложения на простые элементы, то дзета-функция
С (Mq,i\a) = £ JL
neMq, 1
моноида Mq1 не равна эйлерову произведению
1
р(^дИ = п - .
г€Р(Мч, 1) 4 '
Поэтому, изучение распределения простых элементов в моноиде с помощью аналитических свойств логарифмической производной дзета-функции моноида не представляется возможным.
Для полноты изложения сначала в работе изучается вопрос о количестве составных чисел, равных произведению двух простых чисел, с помощью неравенств Чебышёва, так как в этом году исполнилось 170 лет со дня выхода первого мемуара П. Л. Чебышёва о простых числах.
1 Работа подготовлена по гранту РФФИ №16-41-710194_р_центр_а
Затем с помощью неравенства Бруна-Титчмарша получена верхняя оценка количества составных чисел сравнимых с 1 по модулю q и равных произведению двух простых чисел.
Подход, применённый к общему случаю, затем переносится на случай простых элементов в моноидах Mqд при q = 3,4, 6.
В заключение рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.
Ключевые слова: дзета-функция Римана, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел, эйлерово произведение.
Библиография: 16 названий. Для цитирования:
Н. Н. Добровольский, А. О. Калинина, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский. О количестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, вып. 2, С. 123-141.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 2
UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-123-141
On the number of prime elements in certain monoids of natural
numbers
Dobrovolsky Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, assistant of the department of applied mathematics and computer science, Tula State University. e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com
Kalinina Alina Olegovna — student of mechanics and mathematics faculty of Moscow state University named After M. V. Lomonosov. e-mail: kalininaalina2008@ram,bler. ru,
Dobrovolsky Mikhail Nikolaevich — candidate of candidate of physical and mathematical sciences, senior researcher, Geophysical centre of RAS. e-mail: m.dobrovolsky@gcras.ru
Dobrovolsky Nikolai Mihailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the department of algebra, mathematical analysis and geometry, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University. e-mail: dobrovol@tsput.ru,
Abstract
In this paper we study the number of prime elements in the monoid Mq, 1 consisting of natural numbers comparable to 1 modulo g. For q > 2, the monoid Mq,1 is not a monoid with a unique decomposition into prime elements, since along with ordinary primes that are comparable to 1 modulo q, pseudo-primes that are composite numbers fall into the number of prime elements. The case q = 3,4, 6 is distinguished from the others by the fact that pseudo-primes are the product of two primes comparable to q — 1 modulo ^^us, in this case for the set of prime elements P(Mq,1) of monoid Mq,1 the equality P(Mq,1) = Pq^ U(Pg,g-1 • Pg,g-1) is true.
Since the monoid Mq,1 does not have the uniqueness of decomposition into prime elements, then the Zeta-function
C(Mg»= £ JL
neMq, i
of the monoid Мдд is not equal to the Euler product
P(МяЛ\а)= П -
reP (M,,i)
Therefore, it is not possible to study the distribution of prime elements in the monoid Mq<1 using the analytical properties of the logarithmic derivative of the zeta function of the monoid.
For completeness, the paper first studies the question of the number of composite numbers equal to the product of two primes using Chebyshev's inequalities, since this year marks the 170th anniversary of the release of the first memoir of P. L. Chebyshev about primes.
Then, using the Brun-Titchmarsh inequality, we obtain an upper bound on the number of composite numbers comparable to 1 modulo q and equal to the product of two primes.
The approach applied to the general case is then transferred to the case of prime elements in monoids Mq,1 with q = 3, 4, 6.
In conclusion, topical problems with zeta-functions of monoids of natural numbers that require further investigation are considered.
Keywords: Riemann zeta function, Dirichlet series, zeta function of monoid of natural numbers, Euler product.
Bibliography: 16 titles. For citation:
N. N. Dobrovol'skii, A. O. Kalinina, M. N. Dobrovolsky, N. M. Dobrovolsky 2018, "On the number of prime elements in certain monoids of natural numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2, pp. 123-141.
i
1. Введение
В работах [6], [7] начато исследование дзета-функций мультипликативных моноидов натуральных чисел. При изучении моноидов натуральных чисел существенную роль играют простые элементы моноида. Если М — произвольный моноид натуральных чисел, то Р(М) — множество его простых элементов состоит из тех элементов моноида М отличных от единицы, которые нельзя представить в виде произведения других неединичных элементов моноида М. Таким образом, если простое число р € М,тор € Р(М), но, вообще говоря, не все элементы из Р(М) являются простыми числами. В Р(М) могут входить и псевдопростые числа. Элемент д из М, являющийся составным числом, будет псевдопростым числом в М, если ни один его собственный делитель не является элементом из М.
В работе [7] дано описание общего вида моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы. В случае произвольного моноида М натуральных чисел общий вид Р(М) множества его простых элементов очень просто описать. А именно, Р(М) является максимальным множеством элементов из М таким, что ни один элемент из Р(М) не делится ни на какой другой элемент из Р(М). Через жм (%) будем обозначать количество простых элементов в моноиде М, не превосходящих х.
Так как множество простых элементов Р(М) может содержать псевдопростые числа, то можно определить порядок простого элемента д € Р (М) как величину V(д) — общее число простых делителей числа д с учетом их кратности.
Таким образом, простые числа р из Р(М) выделяются среди всех простых элементов д, как те, у которых порядок равен 1.
Как указывает К. Холли в своей монографии [12]: "Современный метод решета разрабатывается в надежде на то, что он сможет привести к доказательству гипотезы Гольдбаха и других подобных важных гипотез в теории чисел ... метод оказался полезным при изучении
проблем, в которых простые числа заменяются числами с ограниченным количеством простых делителей." Таким образом, случай псевдопростых чисел разумно изучать с помощью методов решета.
"Метод решета традиционно ассоциируется с Эратосфеном. Ему принадлежит способ определения простых чисел между у/х и х посредством вычеркивания из ряда натуральных чисел, не превосходящих х, всех тех, простые делители которых не превосходят у/х. Способ Эрато-сфена обладает отличительной чертой метода решета, который связан с пересчетом числа элементов множества, не обладающих определенными предписанными свойствами. Метод решета прежде всего является процессом исключения." 2
Естественно, что решето Эратосфена применимо для любого моноида М натуральных чисел. Действительно, если нам известно множество простых элементов Р(М, д/ж), не превосходящих у/х, то для нахождения Р(М, х) достаточно в множестве А(М,у/х, х) всех чисел моноида М, больших у/х и не превосходящих х, вычеркнуть все числа кратные простым элементам из Р(М, у/х). Оставшиеся числа необходимо добавить к множеству Р(М,у/х) для получения множества Р(М,х).
Будем через Рзд и Рз,2 обозначать множество всех простых чисел вида 3п + 1 и 3п + 2, соответственно. Таким образом, мы имеем:
и согласно теореме Дирихле о простых в арифметической прогрессии множества простых Рзд и Рз,2 — бесконечные множества, объединение которых исчерпывает все множество простых за исключением числа 3.
Если через Рб,1 и Рб,5 обозначать множество всех простых чисел вида 6п + 1 и 6п + 5, соответственно, то:
и объединение этих множеств исчерпывает все множество простых за исключением чисел 2 и
Аналогично, рассмотрим множества Р4Д и Р4,з всех простых чисел вида 4п + 1 и 4п + 3, соответственно. Таким образом, мы имеем:
и объединение этих множеств исчерпывает все множество простых чисел за исключением числа 2.
Рассмотрим мультипликативные функции %зд(п) и Хз,2(п), заданные равенствами
Рз,1 = {7,13,19,31,37,43,61,67, 73, 79,97,...}, Рз,2 = {2, 5,11,17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89,...}
Рб,1 = {7,13,19,31, 37,43,61, 67, 73, 79, 97,...} = Рзд, Рб,5 = {5,11,17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89,...} = Рз,2 \ {2}
3.
Р4,1 = {5,13,17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97,...}, Р4,з = {3, 7,11,19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83,...}
при п = ра, р = 3т + 1, а ^ 0, при п = ра, р = 3,3т + 2, а ^ 1,
при п = ра, р = 3т + 2, а ^ 0, при п = ра, р = 3,3т + 1, а ^ 1,
2
См. [12], стр. 11.
Основными объектами исследования в данной работе будут моноиды Мзд, Мздд, Мэд,2, М3,2 и множества М3д,2,0, N3,2 и N3,2,2) заданные равенствами
N3,1 = М3д = {п = 3к + 1\к ^ 0}, М3,1д = {п = 3к + 1|х3д(и) = 1}, (1)
М3,1,2 = {п = 3к + 1\Х3,2(п) = 1}, М3,1,2,о = {п е М3,1,2\п = ра}, (2)
М3,2 = {п\х3,2(п) = 1}, N3,2 = {п = 3к + 2\Л ^ 0}, N3,2,2 = {п = 3к + 2\к ^ 0, Хз,2(п) = 1}.
(3)
Ясно, что имеются равенства моноидов: М3д = М3дд ■ М3,1,2, М3,2 = М3,1,2{] N3,2,2. Кроме этого, справедливы тождества для множеств N3,2 и N3,2,2:
N3,2 = М3,1 ■ Р3,2 = М3,1,1 ■ М3,1,2 ■ Р3,2, N3,2,2 = М3,1,2 • ?3,2. (4)
Если через Аа обозначать произведение числовых множеств А- А■... ■ А из п сомножителей, которое состоит из всевозможных произведений 0102 ... ап чисел из А, то можно записать равенства:
оо
М3,1,1 = {1}^ Р?,1, М32 = {1^0 Р?,2, ^3,1,2 = {1^0 Р2™2, N3,2 ^ Р2га2+1.
га=1 га=1 га=1 га=0
Нетрудно описать Р(М) — множество простых элементов для этих моноидов.
Р (М3,1,1)= Р3,1, Р (М3,2)= Р3,2.
Р(М3,1,2) = Р3,2 ■ Р3,2 и состоит из псевдопростых чисел вида Р1Р2, где Ръ Р2 — произвольные простые числа вида 3т + 2. В частности, в это множество псевдопростых чисел входят квадраты простых.
Множество простых элементов Р(М3,1,2,0) состоит из псевдопростых чисел вида Р1Р2, где Р1, р2 — произвольные различные простые числа вида 3т, + 2.
Таким образом, Р(М3,1,2,0) С Р(^3,1,2) и в Р(М3,1,2,0) не входят квадраты простых.
Ясно, ЧТО Р(М3,1) = Р3Д и(Р3,2 ■ Р3,2).
Обозначим через ((М\а) дзета-функцию моноида М:
с(М\а) = £ -1,
па
гаем
а через Р(М\а) эйлерово произведение:
-1
^(мИ= П (1 - ¿У
геР(м) 4 7
тогда для произвольного моноида М натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы справедливо равенство
С (М\а) = Р (М\а).
В частности,
С (М3,1,1\а) = Р (М3,1,1\а).
Будем называть каноническим разложением элемента х из мультипликативного моноида М натуральных чисел представление вида
х = г"1 ...г1к, 1 <г1 <...<гк, г1,...,гк е Р (М).
Через к(х) будем обозначать количество различных канонических представлений числа х, тогда эйлерово произведение Р(М|а) будет раскладываться в следующий ряд Дирихле
* (^w = Е ^
хем
Таким образом, равенство эйлерова произведения и дзета-функции моноида М равносильно однозначности разложения на простые элементы в этом моноиде.
Так как в моноиде Мзд,2 нет однозначности разложения па простые элементы, то
C(Ms,i,2|a) = Р (Мз,1,2|а).
Ясно, что аналогичные утверждения справедливы для моноидов Мбд, Мбдд, М4Д и М^ц. Моноиды Мз,1, М^,1 и Мб,1 выделяются из множества всевозможных моноидов Mq,i тем, что только для этих моноидов множество простых элементов состоит из множества простых чисел Pg,i и множества псевдопростых чисел втор ого порядка P^ i.
Цель данной статьи — изучить свойства функции распределения простых элементов ■кМъ1 (ж) для q = 3, 4, 6.
В данной работе для полноты изложения будут получены оценки для:
• количества натуральны чисел N таких что, N < х, N = Р1Р2, где pi,р2 — простые числа (для определенности pi ^ р2). Обозначим количество таких натуральных чисел через ^2 (х).
N
N < х, N = 1 (mod q), N = р1р2,
где pi,р2 — простые числа (для определенности pi ^ р2). Обозначим количество таких натуральных чисел через ж2(х, q).
• функции распределения кмч 1 (ж) при q = 3, 4, 6.
2. Общие формулы для числа составных с двумя делителями
Прежде всего выразим П2(х) число патуральпых N таких что,
N < х, N = pip2, где pi,р2 — простые числа, через функцию ж(х). Лемма 1. Справедливо равенство
П2(х)= ^п(р)+ Е
p^V* f
Доказательство. Действительно, если р2 ^ ж, N = pip2 ^ ж и р1 ^ р2, то Pi ^ min(^P2, И Р2 ^ §• Отсюда следует, что
* *2(*)=Е Е 1+ Е Е 1.
Первая внутренняя сумма равна к (р2), а вторая — к ^. Поэтому, полагая р = р2 и разбивая сумму по р па две суммы: р ^ у/х и у/х < р ^ получим утверждение леммы. □ Можно получить и другое выражение К2(ж) чере з к (ж).
Лемма 2. Справедливо равенство
ж2(х) = ^ (ж (j) - ^ - •
Доказательство. Действительно, p1 ^ у/х ж p1 ^ p2 ^ Так как количество p2, удовлетворяющих этим условиям, равно ж ^^^ — ^(pi — 1), то лемма доказана. □
Замечание 1. Фактически лемма 2 использует, идею Дирихле, которая позволяет в проблеме делителей использовать короткую сумму длиной л/х вместо суммы длиной х. Эти же соображения используются в леммах 4 и 5.
Количество натуральных чисел N таких что pi,p2 — различные простые числа будем обозначать через ж2,0(х, q). Таким образом величины ж2(х, q) и ж2,0(х, q) отличаются не более
х
Ж2(х, q) ^ Ж2,о(х, q) + ж(^х) = ж2,о(х, q) + О ^• (5)
Нетрудно найти выражение для Ж2(х, q). Для этого нам потребуются обозначение ж(х, а, q) — количество простых чисел p, не превосходящих х, для которых p = а (mod q). Кроме того, будем полагать a* — обратное натуральное число по mod q к натуральному числу а. Таким образом, если 1 ^ а ^ q — 1, (a, q) = 1, то 1 ^ а* ^ q — 1 и аа* = 1 (mod q).
Лемма 3. Справедливо равенство
Ж2(х, q)= ^ I ^ K(p,ti*, q)+ ^ ж^а*,^
1, (a,,g)=1 (mod g) VS<P^,p=a. (mod g)
Доказательство. Действительно, если
p2 ^ х, p2 = а (mod q), N = p1p2 = 1 (mod q)
и p1 ^ p2, то p1 = а* (mod q) и p1 ^ min (p2, .
Отсюда следует, что
Ж2(х, 0)= ЕЕ Е 1
(a,g) = 1p2^V5,P2=a (mod g) P1^min(p2,,pi=a* (mod g)
Внутренняя сумма равна ж |^min ур2, ,a*,qj, поэтому, полагая р = р2 и разбивая сумму по
р на две суммы: р ^ л/х ш у/х < р ^ х, получим утверждение леммы. □
Докажем лемму аналогичную лемме 2 только для Ж2(х, q). Лемма 4. Справедливо равенство
ж 2 (х, q) = ^ ^ fWX,a*,g J ж(р - 1, a*, q)J .
l^a^g—1, (a,,g)=1 p^^5,p=a (mod g)
Доказательство. Действительно, для р1 = a (mod q) с р1 ^ у/х имеем
р2 = a* (mod q) и р1 ^ р2 ^ —.
Pi
Так как количество р2, удовлетворяющих этим условиям, равно ж ^^, a*,q^ — n(pi — 1, a*, q), то лемма доказана. □
Наконец, выразим жмч1 (—) при q = 3, 4, 6 через ж(х, 1, q) и ж2(х, q — 1, g), где ж2(х, q — 1, q) количество натуральных N таких что,
N = 1 (mod q), N < х, N = р1р2,
где pi,p2 = q — 1 (mod q) — простые числа.
= 3, 4, 6
жмчЛ (х)=ж(х, 1, q) + Е — 1,q ")—ж(Р — 1,q — 1, .
p^y/x,p=q-1 (mod q)
Доказательство. Действительно, при q = 3,4,6 имеем Р(МЯг1) = P^U Pq,q-1 ■ Отсюда и из леммы 4 следует утверждение доказываемой леммы, так как слагаемое, соответ-a = 1 ( — 1) * = — 1 □
3. Исторические замечания
24 мая 1848 г. П. Л. Чебышёв представил в Санкт-Петербургскую Академию наук мемуар "Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины" (Полн. собр. соч., т. I, с. 173-190). Таким образом, в этом году исполнилось 170 лет со дня выхода этой принципиальной работы, с которой началась современная теория распределения простых чисел. Во втором мемуаре он доказал оценки
(0, 92 ...)т^ ^ ж(х) < (1,105 ..
1пх 1пх
Обозначим через С1 = 0, 92... и с2 = 1,105... константы из неравенств Чебышёва для функции ж (ж). Заметим, что конечная разность Атт(п) = ж(п) —ж(п — 1) является на множестве натуральных чисел характеристической функцией множества простых чисел. Положим х1 = [у/х], х2 = [§] и
X
ЗД^Е^ Аж(п), S2 (х)= Е ^ Аж(п).
п=2 n=xi + 1 п
Лемма 6. Для ж2(х) справедливы неравенства:
С1(Б1(х) + ^(х)) < ж2(х) < с2(Б1(х) + S2(х)). (6)
Доказательство. Пользуясь леммой 1 и неравенствами Чебышёва, получим
(х) 2 Е £Е = с*Е ^Аж(п) + ^2 Е ^Аж(п);
Р^/х /х<р^ § Р П^/х /х<П^ | п
**(х) > c1 Е ^+с1 Е ^ = с1 Е ^Аж(п)+* Е ^А7г(п),
р^/х /х<р< f Р п^/х /х<п< | п
□
Лемма 7. Справедливо неравенство
5 (х) < С2--2— + 1. 1п х
Доказательство. Действительно, имеем:
Б (х) = Е^ = Е^ - -1)) =
га=2 га=2
х Ж1 — п Х1-1 П + 1
х ) + Е ¿п^ - Е 1пПтп^(п) =
1пх ^-^1п(п + 1)
-1 / I 1
х 1 п + 1 п
1-1 п + 1 п
1пх/(х1) - ^/Кет - 1пУ =
х\ п + 1 п \ 1п1,125
= ) - ^ "(ПЧ1п(п + 1) - ЫП) + 1п2 ■ 1п3.
Так как ¡^ыз = 0,155 ... и
п + 1 п
> 0
1п(п + 1) 1пп п > 2
(хл \2 4х
1- +1 < с^7~2—
1п х1 1п2 х
□
Перейдём к оценке величины 52 (х). Положим
1 ж(п)(1пх — (п + 1) 1п(п + 1)+п 1пп) п4с+1 п(1пх — 1пп)(п + 1)(1пх — 1п(п + 1))'
Лемма 8. Справедливо соотношение
52(Х) = ЗД + 0 (^) — О (¡^).
Доказательство. Имеем:
х 1
52= Е тп^ Д'<П>=* Е П(1п х — 1пп) <"-'— "(П -1)) =
га=жх + 1 га га=жх+1
(^2 1 Ж2-1 1 \
^ п(1пх — 1пп)"(п) ^ (п + 1)(1пх — 1п(п + 1))^(п) )
^—1 + 1 ^—Х\ /
(
^(х2) + 1 ^(п)(1пх — (п + 1) 1п(п + 1) + п 1пп) х2(1пх — 1пх2) га=п(1пх — 1пп)(п + 1)(1пх — 1п(п + 1))
к(х1)
(х1 + 1)(1пх — 1п(х1 + 1))
х
По неравенствам Чебышёва имеем:
1 ^ ж(х2) 1
СП-л-;-ч < —л-;-N < С2й
in х2(1п х — 1пх2) х2(1пх — 1пх2) 1пх2(1пх — 1пх2)' Слх1 <_ж(х{)_<
(1пх1)(х1 + 1)(1пх — 1п(х1 + 1)) (х1 + 1)(1пх — 1п(х1 + 1))
<_с^хц_
^ (1пх1)(х1 + 1)(1пх — 1п(х1 + 1))
Отсюда следует, что
ж(х2) = Qf 1 \ _ж(х1)_ =Q( 1 А
х2 (1п х — 1пх2) V Ьх/ (х1 + 1)(1пх — 1п(х1 + 1)) \ 1п2 х) '
□
Так как выражение
f (п) = 1пх — (п + 1) 1п(п + 1) + п 1пп х1 х2
с1Б4(х) < 5*3(х) < с2Б4(х),
где
(1пх — (п + 1) 1п(п + 1) + п 1пп)
54(х) = / у
(1пп)(1пх — 1пп)(п + 1)(1пх — 1п(п + 1)) Ж2-1 (1пх — 1п(п + 1) — п 1п (1 + I))
Е
(1пп)(1пх — 1пп)(п + 1)(1пх — 1п(п + 1)) '
□
3.1. Другой путь оценки
Лемма 2 открывает другой путь оценки величины ж2(х). Положим
X1
= Е „(1пхх- ,„ „) д-<»>
Лемма 9. Справедливы неравенства
2 /х 2 /X
С1^*(х) - С2^1(х) + С\~- — Ж2(х) — С2^*(х) - Сх^х(х) + С2"-.
1пх 1пх
Доказательство. Так как ж(р — 1) = ж(р) — 1, то из леммы вытекает
^2(х) = е (х)— ж(р—= е ^х)— ^ж(р)+
Р — ^Х р — ^Х р — ^Х
Применяя неравенство Чебышева и доказательство леммы 7, получим
С1-Т— — ^^х) - С2^~, 1п х 1п х
(х) - Е ж(р) — С2^ (х),
р—^х
С1^(х) — — С2^*(х).
Отсюда следует утверждение леммы. □
Лемма 10. При х ^ 9 справедливы соотношение
М=О ( ^ ).
Доказательство. Из определения величины 5*(х) вытекает
5;(1)=5 П(1пх — 1пп) АЧП) =
Х\ Х\ — 1
= ^п(1пх — 1ппГ(п) ^ (п + 1)(1пх — 1п(п + 1))^(п) =
х^(х1) 1 1
у 1 + х > 1
1,п) (_1___1 N
\п(1пх — 1пп) (п + 1)(1пх — 1п(п + 1)) )
х1(1пх — 1пх1) ^ \п(1пх — 1пп) (п + 1)(1пх — 1п(п + 1)),
Рассмотрим функцию /(п) = (п + 1)(1пх — 1п(п + 1)) — п(1пх — 1пп). Для неё имеем: /(п) = 1пх — 1п(п +1) — п 1п(1 + ^), /'(п) = 1пх — 1п(п +1) — 1 — 1пх + 1пп +1 = — 1п (1 + < 0. Так как /(х1 — 1) = 1пх — 1пх1 — (х1 — 1) 1п(1 + ) и /(х1 — 1) > 2 1пх — 1 > 0 при х ^ 9, то /(п) > 0 при 2 ^ п ^ х1 и можно применить неравенство Чебышёва, получим для
±, , { 1 V 1пх — 1п(п + 1) — п 1п(1 + -1-) 5*(х) =х (--—---( ) (
х1 — 1 / га=2 \(
(1пх1)(1пх — 1пх1) ^ \ (1пп)(1пх — 1пп)(п + 1)(1пх — 1п(п + 1)) }}' С1Б*(х) < Б*(х) < С2Б*(х).
Из предыдущего следует, что при х ^ 9 найдется некоторая константа Со > 0, такая, что выполнены неравенства
с0(1пх — 1п(п + 1)) ^ 1пх — 1п(п + 1) — п 1п + ^ ^ 1пх — 1п(п + 1).
Численные расчёты показывают, что в качестве значения со можно взять Отсюда вытекает, что для величины
га=2
справедливы неравенства
5 *(х) = V1 (_1_^
\(1пп)(1пх — 1пп)(п + 1))
С1х{(1пх1)(1п1х — 1пх1) + !53(х0 ^ Б*(х) ^ С2х{(1пх1)(1п1х — 1пх1) + 5*(х)) .
Рассмотрим величину
— { 1 \ 54 (х) Е (^(1п п)(1п х — 1п п)п )
га=2
для которой выполнены соотношения
53*(х) < 54* (х),
Ж1—V 1 \ Ж1—V 1 \ 1
54(х) — 53(х) = ^ \(1пп)(1пх — 1пп)п(п + 1)У \(п(п + 1) У < 2.
Применим формулу суммирования Эйлера ь-1
Ед(п) = ^ д(х)<1х — 2(д(ь) — 9(а)) + ^ (V} — ^ gl(х)dх,
ПОЛУЧИМ
X1
Б1(х)= Г <
--I I - I —
(1пу)(1пх — 1пу)у )—((
2
\ / 1 \\
+
2 \\(1пхх)(1пх — 1пхх)хх / \(1п2)(1пх — 1п2)2
X1
+ / ({х} 2)(1пу)(1пу — 1пх)у2 (1 + 1пу — 1пх + 1пу)
Вычисляя первый интеграл, получим
Х\ 1п Х\ 1п Х\
<у [ < 1 Г Л+ 1 )<й =
У ^ 1пх — г;
У (1пу)(1пх — 1пу)у У ¿(1пх — ¿) 1п^У \ £ 1пх — £
2 1п 2 1п 2
1п 1п хх — 1п 1п 2 + 1п(1п х — 1п 2) — 1п(1п х — 1п хх)
1п х
Нетрудно видеть, что первый интеграл по порядку есть величина 0("^пт)' втоР°й член в
формуле суммирования имеет порядок О (¡П^)) а третий — О Объединяя эти оценки,
□
Теорема 1. Для количества составных чисел, равных произведению двух простых, справедливо соотношение
х 1п 1п х
"2(х) = Ч ).
Доказательство. Действительно, применяя последовательно леммы 3, 7 и 10, получим □
Замечание 2. Из доказательства леммы 10 видно, что можно выписать константы сверху и снизу в знаке 0(), но мм не стали этого делать в силу громоздкости необходимых вычислений.
4. Вспомогательные утверждения
Нам потребуются следующие результаты, которые уже стали классическими.
Теорема 2. (Теорема Бруна-Титчмарша) Для ( а, к) = 1 и к — х имеем
. (2 + г])х ...
*(х,а,к) < ф)Ы{2ф) (х>х0(Г])),
где ж(х, а, к) — количество прост,ых чисел р, не превосходящих х, для которых р = а (шоё к), ц>(х) — функция Эйлера.
ь
1
1
Доказательство. См. [12], стр. 19-20. □
В монографии К. Прахара [10], стр. 53 имеется другой вариант этой теоремы: Теорема 3. Пусть 1 ^ к <х, 0 ^ I <к, (к, 0 = 1 и
ж(х,к, I) = N(р ^ х, p = l (mod к)). (7)
Тогда
х
^1) <\{к)\п{х/к), (8)
х к □
Доказательства теорем 2 и 3 проводится методами решета. С помощью L-функций Дирихле удается получить асимптотическое равенство.
Теорема 4. Равенство
ж(х,к, 1) = ^ li ж + О ^pL + хе-С9'^ 1 (9)
<p(k) \ <р(к)
выполняется равномерно при к ^ exp(CwV 1пх) Доказательство. См. [10], стр. 157. □ Теорема 5. При постоянном к
т
в част,ноет,и,
п(х, к, 1) = -^-Их + о(хе-с, (10)
х
ж(х,к, I) ~ . ,—, х ^ то. (11)
р(к) 1пх
□
Теорема 6. При х ^ то имеют место соотношения
V1 = 1n1nx + а + 0 ( 7—— ) —' р \ 1п х I
р^ж 4 7
(12)
П (1 - -) = В 1п х + О (1). (13)
р^ж ^ ^ '
Здесь а и В — некоторые константы, причём В > 0.
Доказательство. См. [10], стр. 28-30. На стр. 92 дается вариант теоремы с более точным остаточным членом чем в формуле (12):
У- = 1п1пх + 7 - V V + О (е-^*) . ^р ^ ^ трт V )
р^ж р т.^2
На стр. 94 дается более точное выражение формулы (13) в виде
П р] 1 пх(+0(6
р^ж 4 1 у
— CVIn ж
(га N 1 °°
тА 1 \ /1 - е-и [ е-и
>--Inn = -du — -du.
т / / u I u
m=l / 0 1
□
5. Количество составных с двумя делителями в прогрессии
Проведем аналогичные рассуждения, но вместо неравенства Чебышёва будем использовать оценку Бруна-Титчмарша.
Теперь приступим к оценке ж2(х, д).
4
произведению двух простых, при х > 64 справедливо соотношение
3(2 + ^) х(1п1пх + 2а) ( Xs ip(q) 1пх - 1пд V 1п2 x ,
Доказательство. По лемме 4 (стр. 129) имеем:
ж2(х, q)= Е Е
l<a<g— l,(a,g)=l p<^—,p=a (mod д)
- Е Е П(Р - 1,а*, q)-
l<a<g-l,(a,g) = l p<^-,p=a (mod g)
Так как х > q2, то при p < л/X будем иметь - ^ л/X > q. Поэтому равенство для ж2(х, q) можно переписать следующим образом:
^2(х, q)= Е Е П(р,а*,д)-
l<a<g —l,(a,g)=l p<^—,p=a (mod g)
- E E П(Р - 1,a*, q) - E E П(Р - 1,а*, q) =
l<a<g —l,(a,g)=l p<g,p=a (mod g) l<a<g—l,(a,g) = l g<p<-^x,p=a (mod g)
= S,(x, q) - 52(x, (?) - 5э(х, q).
Вторую сумму оценим тривиально с помощью неравенства Чебышева, аналогично лемме 7, получим
1 / п IQ
о < S2(х, q) < Е n(pj) < с2 Е 1пп А^(п) = С2 ( hbn(q)
p<q п=2 ^ q
^г1 / л ( п + 1 п \ 1п1,125 \ 2 q2
-Е/(п)^ппт1) - тп) + < с2^ +
Для первой и третьей сумм можно применить оценку из теоремы Бруна-Титчмарша (стр. 134), получим:
0 ^Ss(x, q)= Е Е *(Р - 1, а*, d) <
l<a<g — l,(a,g) = l g<p<^x,p=a (mod g)
(2 + v)('P - 1)
<
E E
.< < , , ), < < /- ( d ) 1п(2(р - 1)/q
l<a<q—l,(a,g) = l g<p<y'-,p=a (mod g)
а а*
а исчезнет, а останется только суммирование по q < p < y/X. Таким образом, получим
S (хп) < v V (2 + ^)(Р -1) = V (2 + ^)(Р -1)
3( , Q) < 1<< ^ )1 <</-Z" ( . )^(?)1п(2(р - 1)/9) ^)1п(2(р - 1)/9).
l< a< —l,( a, )=l < p< -, p= a (mod ) < p< -
Положим
— 1 Ж1 — 1 s|(x'5)=X inrai)ДЧп)=„Е имо*'<»>■
тогда
S3(х, q) < -^S*3(x, q).
Аналогично, для Sl(x, q) имеем:
Sl(x, q)= E E ^\J),a*,q
g— 1,(a,<jf) = 1 (mod g)
2 + ^ ^ ^ х 2 + ^ ^ х
<
E^ х _ 2 + у
rn 1п(2х/ (n n)) m(n)
v(q) v( )1 . г , ,p 1п(2х/(да)) ^ ^ ^ . 1п(2х/(^))'
g—1,(a,g)=1 р^^/ж,р=а (mod g) р^^/ж, (p,g)=1
Сначала оценим S| (х, g), действуя аналогично доказательству леммы 7, получим:
Ж1 _ i Ж1 _ 1
">=jc in(2(„-1)/9) A"<n>=ад»— 1)/„) - '<» -1» =
1 ж1—1 1 ж1—1
х1 — 1 , . ^ п — 1 . . ^ п , .
^(х1) + Е 1п(2(п — в/п) ^ — Е^ =
1п(2(х1 — 1)/g) v ^ ^^+11п(2(п — 1)Л?) v ' ^ 1п(2п/q)
1 —1 / 1 \ = х1 — 1 ( ( ) / п___п — 1 \ д
1п(2(х1 — 1)/q)^(х1) ^(п \1п(2п/q) 1п(2(п — 1)/g)J 1п2П<?)
Так как при п > Щ коэффициенты
п п - 1
> 0,
\1n(2n/q) 1п(2(п - 1)/д),
а при q < п < Щ- эти коэффициенты ОТрИЦЕТбЛЬНЫб, ТО ддя (х, О) |3][:)и[][0днябТСЯ оценка
Ых ") = 0 (¡П^з) =0 ()■
4
Перейдём к оценке 5**(х, д). Прежде всего, заметим, что при х > 64 справедливо соотношение ^ ^
— (1п х — 1пд) < 1п2 ±— 1пх — 1п q. 3 2
Поэтому при 2 ^ р ^ у/х выполняются неравенства
1 1 2х
— (1п х — 1по) < 1п2 ±— 1пх — 1по ^ 1п — ^ 1пх — 1п q.
32
Отсюда следует, что
5*(х ^ 2±г у х ^ з(2 + ^)х у 1
* ' "" Ч>(<1) ^ ^ , ЛР 1п(2х/(<?р)) ^ <р(д)(1пх — 1пд) ^ р
р^л/ж, (Р,<?) = ! Р^л/ж
К сумме по р применим теорему 6, получим:
о*/ \ ^ 3(2 + ])х ,— . 3(2 + ]) х(1п1пх ±2а)
5*(х, ч) ^ ^-(1п \п^/х + 2а) < 1 " ---
^>(д)(1пх — 1nq) <рщ) 1пх — 1п
Объединяя эту оценку с оценками величин S2(х, q), S3(x, q) S3* ( х, )
, . 3(2 + r) х(1п1пх + 2а) _ / х \
K2(X, q) < -^---;-;- + O
<p(q) 1пх - mq \1п2 х J
и теорема доказана. □
6. Количество простых элементов в трех моноидах
Согласно лемме 5 при q = 3, 4, 6 справедливо равенство
КМЧЛ(х)=ж(х, 1, q)+ Е - 1,^)-^(р - 1,q - 1,
p<y/x,p=q—l (mod q)
Так как ^>(3) = ^>(4) = ^>(6) = 2, то неравенство Бруна-Титчмарша запишется наиболее просто:
(p'"-L")
ж(р - 1,q - 1, q) <
(2 + ) х х (2 + ) х
n(X, 1 Q) < 21п(2х/q), n\P,q - 1,9J< 2р1п(2х/(pq)),
(2 + r)(p - 1)
21п(2(р - 1)/q)•
= 3, 4, 6
^2(х, q)= Е (^(j), )-^(P - 1,1, +
p<y/—, p= l (mod q)
+ E (?(!p,q - 1,^)-^(P - - 1, .
p<y/x,p=q—l (mod q)
Отсюда следует, что
^М„,1 (х) < к(х, 1, q) +Ж2(х, q) и справедлива следующая теорема.
Теорема 8. При q = 3, 4, 6 для количества простых элементов в моноиде Mq>l при
4
х > 64 справедливо соотношение
(2 + г)х + 3(2 + r) х(1п 1п х + 2а) + 21п(2х/q) ip(q) 1пх - 1пд O ^ 1п2х
(JL- V
1п2 х
Так как моноид Мдд = Мддд ■ Мдд,д_1, где моноиды Мддд и Мдд,д_1 заданы равенствами N,1 = МдЛ = {п = дк + 1\к ^ 0}, МдДД = {п = дк + 1\ХдД(п) = 1}, (14)
МаХ= {п = qк + 1\хя,д-1(п) = 1}, Мд,1,д-1,0 = {п е МаХд_1\п = ра}, (15) Мд^д_1 = {п\хд,д_1 (п) = 1}, Мд,д_1 = {п = дк + д - 1 \к ^ 0},
Мд,д — 1,д_1 = {п = qк + q — 1 \к ^ 0, Хд,д_1(п) = 1}. (16)
где мультипликативные функции Хдд(п) и Хд,д_1(п) заданы равенствами
{1, при п = ра, р = qm + 1, а ^ 0,
0, при п = ра, р\q,p = qm + q — 1, а ^ 1,
ПР|пХд,1 (Рарпри п = Пр1пРар;
{1, при п = ра, р = qm + q — 1, а ^ 0,
0, при п = ра, р\3, р = qm + 1, а ^ 1,
ПР|п Хд,д_ 1 ), при п = Пр|п Рар, то справедлива следующая теорема.
Теорема 9. При q = 3,4,6 для количества простых элементов в моноиде Mq,i,q-i при
х > справедливо соотношение
64
KMq 1 q—1 (х) ^ ч'" ' + О у —2"
g,1,g 1 y(q) lnx - ln g \ln2 х,
3(2 + r) x(ln ln x + 2a)
(—) \ ln2 x J '
вица ( ( a,1) по формуле
С теоремами 8 и 9 связаны следующие замечания.
Во-первых, дзета-функция £(Mq,i|a) моноида Mq>i выражается через дзета-функцию Гур-
C(Mq,i|a) = ^ 1).
Отсюда следует, что дзета-функция £(Mq,i|a) моноида Mq>i аналитически продолжается на всю комплексную плоскость, кроме точки a = 1, где v неё полюс первого порядка с вычетом
ResC(Mg>i|a) = 1.
Так как моноиды М^дд и Mq,i,ç_i взаимно просты, то имеет место равенство для дзета-функций
C(M9>i|a) = C(M9>iii|a)C(M9>i> q_ 11 a) a = a + i t, a> 1. (17)
Возникает вопрос об аналитическом продолжении сомножителей в правой части равенства
a = 1
Во-вторых, как известно, дзета-функция Гурвица имеет нули как справа от прямой а = 1, так и в полосе 2 < а < 1 (см. [1, 2, 3, 15]). Отсюда следует, что дзета-функция C(Mq>i)q_i|a) имеет нули справа от прямой а = 1. Вопрос о нулях в полосе i < а < 1 будет следующим, после того как удастся получить аналитческое продолжение для этой дзета-функции.
7. Заключение
1. Из анализа оценки теоремы из введения видно, что формула из леммы 3 более удобная для оценок, чем формула из леммы 2. Это объясняется тем, что она содержит только один интервал суммирования длины у/х и возникающие на нём функции знакопостоянные.
2. Переход к изучению величины составных, равных произведению двух простых, в классе вычетов требует применения неравенства Бруна-Титчмарша вместо более точного неравенства Чебышева. Поэтому таким способом можно получить только оценки сверху.
3. Результат для класса вычетов сравнимых с единицей должен быть справедлив для любого класса вычетов, взаимно простого с модулем.
4. Вопросы о распределении простых элементов в моноидах М^д при q = 2, 3, 4, 6 являются более сложными, так как требуют подсчета псевдопростых чисел порядка больше 2.
5. На наш взгляд очень интересным является вопрос об аналогах теоремы Дэвенпор-та-Хейльбронна для разбиения произвольных моноидов натуральных чисел на классы вычетов по модулю произвольного q > 2.
В заключении авторы выражают свою благодарность за полезные обсуждения и внимание к работе профессору В. Н. Чубарикову.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Э. Бомбьери, А. Гош Вокруг функции Дэвениорта-Хейльбронна // УМН, 2011. Т. 66, вып. 2(398). С. 15-66.
2. С. М. Воронин Избранные труды: Математика / Под ред. А. А. Карацубы. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2006. - 480 с.
3. С. М. Воронин, А. А. Карацуба Дзета-функция Римана. — М.: Физ-матлит, 1994. — 376 с.
4. Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток // Доклады академии наук 2007. Т. 412, № 3. С. 302-304.
5. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Л. П. Добровольская, О. Е. Бочарова О гиперболической дзета-функции Гурвица // Чебышевский сб. 2016. Т. 17, вып. 3. С. 72-105.
6. Н. Н. Добровольский Дзета-функция моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 187-207.
7. Н. Н. Добровольский О моноидах натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы // Чебышевский сб. 2018. Т. 19, вып. 1. С. 79-105.
8. Н. Н. Добровольский Дзета-функция моноидов с заданной абсциссой абсолютной сходимости // Чебышевский сб. 2018. Т. 19, вып. 2. С. 142-150.
9. Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Н. Балаба, И. Ю. Реброва Гипотеза о "заградительном ряде" для дзета-функций моноидов с экспоненциальной последовательностью простых // Чебышевский сб. 2018. Т. 19, вып. 1. С. 106-123.
10. К. Прахар Распределение простых чисел. — М.: МИР. 1967, 511 с.
11. И. Ю. Реброва, А. В. Кирилина Н. М. Коробов и теория гиперболической дзета-функции решёток // Чебышевский сб. 2018. Т. 19, вып. 2. С. ??-??.
12. К. Хооли Применение методов решета в теории чисел. — М.: Наука, 1987, 20 с.
13. Чебышёв П. Л. Полное собрание сочинений, т. I-V. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1944-1951.
14. Чебышёв П. Л. Избранные труды. — М.: Изд-во АН СССР, 1955, 926 с.
15. Н. Davenport, Н. Heilbronn On the zeros of certain Dirichlet series //J. London Math. Soc. 1936. Vol. 11. P. 181-185.
16. L. P. Dobrovolskava, M. N. Dobrovolskv, N. M. Dobrovol'skii, N. N. Dobrovolskv. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices. In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. 2014. P. 23-62. DOLIO. 1007/978-3-319-03146-0^2.
REFERENCES
1. Bombieria E., Ghoshb A., 2011, "Around the Davenport-Heilbronn function", Uspekhi Mat. Nauk, 66:2(398) pp. 15-66.
2. Voronin S. M., 2006, Izbrannye trudy: Matematika. Pod red. A. A. Karacuby, Izd-vo MGTU im. N. Je. Baumana, Moskva, 480 p.
3. Voronin S. M., Karacuba A. A., 1994, Dzeta-funkcija Rim,ana, Izd-vo Fiz-matlit, Moskva, 376 p.
4. Dobrovol'skij M. N., 2007, "Funkcional'noe uravnenie dlja giperbolicheskoj dzeta-funkcii celochislennvh reshetok" , Doklady akademii nauk, vol 412, № 3, pp. 302-304.
5. Dobrovolskv N. M., Dobrovolskv N. N., Soboleva V. N., Sobolev D. K., Dobrovol'skava L. P., Bocharova O. E., 2016, "On hyperbolic Hurwitz zeta function" , Chebyshevskii Sbornik, vol 17, № 3 pp. 72-105.
6. Dobrovolskv N. N., 2017, The zeta-function is the monoid of natural numbers with unique factorization Chebyshevskii Sbornik, vol. 18, № 4. P. 187-207.
7. Dobrovolskv N. N., 2018, "On monoids of natural numbers with unique factorization into prime elements" , Chebyshevskii Sbornik, vol. 19, № 1. P. 79-105.
8. N. N. Dobrovol'skii, 2018, "The zeta function of monoids with a given abscissa of absolute convergence" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2, pp. 142-150.
9. N. N. Dobrovol'skii, M. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, 2018, "About «zagrobelna the series» for the zeta function of monoids with exponential sequence of simple" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2, pp. 106-123.
10. Prahar K., 1967, Raspredelenie prostyh chisel, per. s nem, Izd-vo Mir, Moskva, 511 p.
11. I. Yu. Rebrova, A. V. Kirilina 2018, "N. M. Korobov and the theory of the hyperbolic zeta function of lattices" , // Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2. P. ??-??.
12. C. Hoolev 1987, "Applications of seive methods to the theory of numbers " ,M.: Nauka, 20 p.
13. Chebvshev P. L. 1944-1951 "Complete works, v. I-V. ", M.-L.: Izd-vo AN SSSR.
14. Chebvshev P. L. 1955, "Selected works.", M.: Izd-vo AN SSSR, 926 p.
15. Davenport H., Heilbronn H., 1936, "On the zeros of certain Dirichlet series" , J. London Math. Soc. Vol. 11. pp. 181-185.
16. Dobrovolskava L. P., Dobrovolskv M. N., Dobrovol'skii N. M., Dobrovolskv N. N., 2014, "On Hyperbolic Zeta Function of Lattices" , In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications, Vol. 211. pp. 23-62. DOI:10.1007/978-3-319-03146-0_2.
