CC BY
84
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 18 Выпуск 4
УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2017-18-4-187-207
ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ МОНОИДОВ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ С ОДНОЗНАЧНЫМ РАЗЛОЖЕНИЕМ НА ПРОСТЫЕ
МНОЖИТЕЛИ1
Н. Н. Добровольский (г. Тула) Аннотация
В работе рассматривается новый класс рядов Дирихле — дзета-функции моноидов натуральных чисел. Изучаются обратные ряды Дирихле для дзета-функции моноидов натуральных чисел. Показано, что вопрос о существовании эйлерова произведения для дзета-функции моноида связан с однозначностью разложения на простые множители в этом моноиде.
Вводится понятие взаимно простых множеств натуральных чисел и показано, что для таких множеств имеет место мультипликативность минимальных моноидов и соответствующих дзета-функций моноидов.
Показано, что если все простые элементы моноида являются простыми числами, то характеристическая функция моноида будет мультипликативной функцией и в этом случае дзета-функция моноида будет обобщённой L-функцией.
Рассматриваются различные примеры моноидов и соответствующих дзета-функций моноидов. Изучена связь вопросов обращения дзета-функции моноида и обобщённой функции Мёбиуса на моноиде как частично упорядоченном множестве с помощью отношения делимости натуральных чисел. Получены ряд свойств дзета-функций моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители.
В работе рассмотрен вопрос о логарифмировании эйлерова произведения, как функции комплексного аргумента. Показано, что непрерывная функция, задающая значение логарифма эйлерового произведения вблизи полюса пробегает все ветви бесконечно-значной функции логарифма. Получены следствия о значения комплекснозначной функции специального вида вблизи особой точки. Из этих свойств вытекают утверждения о значениях дзета-функции Римана вблизи границы области абсолютной сходимости.
С помощью постулата Бертрана введены бесконечные экспоненциальные последовательности простых чисел. Показано, что соответствующие дзета-функции моноидов натуральных чисел абсолютно сходятся во всей полуплоскости с положительной действительной частью. Так как такие дзета-функции моноидов натуральных чисел во всей области абсолютной сходимости раскладываются в эйлерово произведение, то они во всей полуплоскости с положительной действительной частью не имеют нулей.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.
Ключевые слова: дзета-функция Римана, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел, эйлерово произведение, логарифм эйлерова произведения.
Библиография: 17 названий.
THE ZETA-FUNCTION IS THE MONOID OF NATURAL NUMBERS WITH UNIQUE FACTORIZATION
N. N. Dobrovol'skii ( Tula)
1Работа подготовлена по гранту РФФИ №16-41-710194_р_центр_а
Abstract
In this paper we consider a new class of Dirichlet series, the zeta functions of monoids of natural numbers. The inverse Dirichlet series for the zeta function of monoids of natural numbers are studied. It is shown that the existence of an Euler product for the zeta function of a monoid is related to the uniqueness of the factorization into prime factors in this monoid.
The notion of coprime sets of natural numbers is introduced and it is shown that for such sets the multiplicativity of minimal monoids and corresponding zeta-functions of monoids takes place.
It is shown that if all prime elements of a monoid are prime numbers, then the characteristic function of the monoid is a multiplicative function and in this case the zeta function of the monoid IS cl generalized L-function.
Various examples of monoids and corresponding zeta functions of monoids are considered. The relation between the inversion of the zeta function of a monoid and the generalized Mobius function on a monoid as a partially ordered set is studied by means of the divisibility of natural numbers. A number of properties of the zeta functions of monoids of natural numbers with a unique decomposition into prime factors are obtained.
The paper deals with taking the logarithm of an Eulerian product as a function of a complex argument. It is shown that a continuous function that determines the value of the logarithm of an Euler product runs through all branches of the infinite-valued function of the logarithm near its pole. The corollaries on the value of a complex-valued function of a special form near a singular point are obtained. These properties imply statements about the values of the Riemann zeta function near the boundary of the region of absolute convergence.
Using Bertrand's postulate, infinite exponential sequences of prime numbers are introduced. It is shown that corresponding zeta-functions of monoids of natural numbers converge absolutely in the whole half-plane with a positive real part. Since such zeta-functions of monoids of natural numbers can be decomposed into an Euler product in the whole region of absolute convergence, they do not have zeros in the entire half-plane with a positive real part.
In conclusion, topical problems with zeta-functions of monoids of natural numbers that require further investigation are considered.
Keywords: Riemann zeta function, Dirichlet series, zeta function of the monoid of natural numbers, Euler product, logarithm of the Euler product.
Bibliography: 17 titles.
1. Введение ................................................................................188
2. Примеры моноидов и обобщённая функция Мёбиуса ..................................191
3. Логарифм эйлерова произведения .....................................................194
3.1 Лемма о ветвях логарифма ...........................................................194
3.2 Значения логарифмируемой функции.................................................195
3.3 Логарифм обобщённой L-функции с эйлеровым произведением ......................198
3.4 Логарифм дзета-функции Римана ....................................................199
3.5 Ветви логарифма одной обобщённой ¿-функции с эйлеровым произведением ........204
4. Экспоненциальная последовательность простых чисел ................................204
5. Заключение.............................................................................205
Список цитированной литературы ........................................................206
1. Введение
Для любого множества А натуральных чисел определим дзета-функцию ((А\а) равенством
Если множество А конечное, то равенство (1) задает дзета-функцию ((А\а) на всей комплексной а-плоскости. Если множество А бесконечное, то равенство (1) задает дзета-функцию ( (А\а) только п ри а > од, при этом обязательно в точке а = ста будет полюс первого порядка и 0 ^ а а ^ 1, так как это следует из свойств дзета-ряда для дзета-функции ( (а) (см. [13], [14]). Отметим, что при ст > и а ряд абсолютно сходится, а при ст ^ сто для любо го сто > а а ряд равномерно сходится.
Будем через M (А) обозначать минимальный мультипликативный моноид, содержащий множество А. Таким образом, мы имеем:
M (А) = {ai ...ailai,...,ai G A,l ^ 0}.
Здесь мы используем естественное соглашение, что пустое произведение равно 1.
Будем говорить, что два множества натуральных чисел А и В взаимно просты, если для любых a G А и b G В выполнено (а, Ь) = 1. В этом случае будем писать (А, В) = 1. Нетрудно видеть, что при (А, В) = 1 справедливы равенства
M (А • В ) = M (А) • M (В), ( (М (А • B)la) = ( (M (A)Ia)( (М (В)1а). (2)
Ясно, что последнее равенство имеет место при ст > ам(А-в) и ам(А-в) = тах(ам(А),ам(в))-Равенство (2) следует из того, что при (А, В) = 1 представление п = П1П2, гд е п G M (А • В), n1 G M (А) ъ п2 G M (В ), единственное.
Если через (*(^|а) обозначается обратный ряд, то есть (*(^|а) = (-1(А1а), то нетрудно понять, что если 1 G А, то
С *(А1а)= Е ^, (3)
пем (А)
где коэффициенты ха(п) удовлетворяют соотношениям
хА(1) = 1, ^ хА(—) =0 (п G M(А),п> 1). (4)
min, теА
Обозначим через стад число, такое что для А* = А \ {1} и
1
5 (А,а)=
п" еА*
выполнено IS(А, а)| < ^и ст > стад, тогда
1 X
= + ^, ^ у^ 1 = у^ хл(п)
па > (П1 ...п^)а па
пеА* и=2 п1,...,пи еА* к 1 пем (А)
и для ха(п) выполнены соотношения
хА(1) = 1, хА(п) = (п) п еМ*(А),
где у и (п) — количество решений уравнения п = П1... пи в натураль ных т,... ,п„ е А*.
Таким образом, если а* определяет правую полуплоскость а > а*А абсолютной сходимости обратного ряда £*(А|а), то а*А ^ стад•
Если М\ та. М2 — два взаимно простых моноида2 (М\, М2) = 1, то из равенства
с (М1 ■ М2)\о) = С (М\\а)( (М2\а)
вытекает
с*(Мг ■ М2)\а) = (*(М1\а)(*(М2\а),
хм1-м2(п\п2) = хМ1 (п1)хМ2(п2), пи е М„ (V = 1, 2).
Пусть М — произвольный мультипликативный моноид натуральных чисел. Будем через Р(М) обозначать множество его простых элементов. Понятно, что если через Р мы обозначаем множество простых чисел, то М Р| Р С Р(М). ^^^^^^е чисел, попавших в М, множество
простых элементов Р(М) состоит из псевдопростых чисел. Если любые два простых элемента из Р(М) взаимнопросты, то моноид М имеет однозначное разложение на простые элементы. Это достаточное условие однозначности разложения на простые элементы, но оно не является необходимым.
Обозначим через Р(М\а) эйлерово произведение:
Р(М\о)= П ^ - -1)1
геР(м) 4 7
тогда для произвольного моноида М натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы справедливо равенство
С (М\а) = Р (М\а).
Будем называть каноническим разложением элемента х из мультипликативного моноида М натуральных чисел представление вида
х = г"1 ...г1к, 1 <г1 <...<Гк, г1,...,гк е Р (М).
Через к(х) будем обозначать количество различных канонических представлений числа х, тогда эйлерово произведение Р(М\а) будет раскладываться в следующий ряд Дирихле
ПМ\а) = ^ .
хем
Таким образом, равенство эйлерова произведения и дзета-функции моноида М равносильно однозначности разложения на простые элементы в этом моноиде.
Для произвольной мультипликативной функции /(п) через Ь(а, /) будем обозначать обобщенную ¿-функцию, если ряд Дирихле
) = t ^ (3)
п= 1
абсолютно сходится в некоторой полуплоскости а = а + И, а ^сто > 1.В этой полуплоскости будет справедливо разложение в эйлерово произведение
- -1? т)
2Как правило здесь и далее слово мультипликативный будем опускать, так как все моноиды в данной работе мультипликативные.
Если выполнено дополнительное условие /(ри) = (р), то эйлерово произведение будет иметь более компактный вид
L(a, f) = U 1 -
п О
f(p)\
-i
ра
р ч
Если выполнено другое дополнительное условие / (ри) = а(р) при V ^ 1, то эйлерово произведение будет иметь другой компактный вид
= % ™ = П {i+ аШ ^
Хм (п) = |
п=1 п" Ра -fi(p)J •
Если для мультипликативной функции f(u) выполнено соотношение f(u) = 0(п£) для произвольного е > 0, то ряд Дирихле (5) абсолютно сходится в полуплоскости а = а + it, а > 1 и равномерно в полуплоскости а ^ ао > 1.
Обозначим через Хм (п) характеристическую функцию мультипликативного моноида М натуральных чисел:
1, при п £ М, 0, при п £ N \ М•
Если Р(М) С Р, то Хм (п) — мультипликативная функция и мультипликативный моноМ
((М| а) является обобщённой L-функцией Ь(а,хм)•
Цель данной статьи — изучить свойства дзета-функций мультипликативных моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители и её логарифмов.
2. Примеры моноидов и обобщённая функция Мёбиуса
Простейшем примером моноида натуральных чисел является геометрическая прогрессия. Пусть А = {1,а} и а> 1, тогда М(А) = {а^|v ^ 0} Р(М(А)) = {а},
С(А\а) = 1 + -, С(А\а) = V — = У —,
bv 1 У аа 17 ^ ava ^ па
v=0 пеМ(А)
где ^а(п) — обобщённая функция Мёбиуса на моноиде М(А):
^а(п) = (—i)u при п = а•
М( А)
аМ(Ща)= £ ± = ^ - 00 1, ПМ(А)|а) =1 - -1 •
пем(А) v у
Будем для любого простого числа р £ Р через М (р) обозначать геометрическую прогрессию произведение простых чисел можно записать следующим образом
N = ПМ (р),
рёР
а теорема об однозначности такого разложения означает, что к(п) = 1 — число канонических разложений для натурального числа п.
Таким образом, наиболее известными моноидами натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители являются N и М(р) (р е Р). Для случая М(р) обратный ряд С*(М(р)1«а) для ((М(р) |а;) выписан выше, а для случая N он хорошо известен:
^N10) = ^«), С*№) = С-1(а) = £ ^пг,
£-' п"
п=1
где ц(п) — обычная функция Мёбиуса.
Рассмотрим ещё два примера. Пусть (а, Ь) = й, а = йа^ Ь = йЬь а1 > 1, Ъ1 > 1 и А(а, Ь) = {1,а, Ь}. Ясно, что
М(А(а, Ь)) = {а"Ь»1 V, ц ^ 0}, Р(М(А(а, Ь))) = {а, Ь}
М( А( а, )) Лемма 1. Справедливо равенство
с (А(а, Ь)) =£
(
аь»)а
и,»=0 у '
Доказательство. Действительно, перемножая ряды Дирихле, получим
аА(а, Ъ))(*(А(а, Ь)) = V С+(»\ V + V + V Ц =1+
1 ' у 1 ' " ^ (аиЪ»)а ^ (аи+1 Ь»)а ^ (аиЪ»+1 )а
+ А (-1у + (-1у-1 + А (-1)» + (-1)»-1 + А (-1У+Ч.си» - си— - Г+1-1) =1
а )а (Ь»)а (аиЪ»)а ,
ь>=1 ^ ' »=1 у ' ^,»=1 4 '
что и доказывает утверждение леммы. □
Пусть а > 1 ж V > 1, тогда для А(а, аи) имеем:
М(А(а, а")) = {а»1ц ^ 0}, Р(М(А(а, а"))) = {а}
и М(А(а,аи)) — моноид с однозначным разложением на простые множители.
Лемма 2. Справедливо равенство
х(ц)
»=0
где х(ц) = (-1)» при 0 ^ ц ^ V - 1 и х(ц) = -х(ц - 1) — х(ц - и) при ц ^ и. Доказательство. Действительно, перемножая ряды Дирихле, получим
/ ч ^ / ч
«А(а, а• Ж*( А(а, а')) = £ ££ + £ + £ = „
Еи 1 х(ц) + х(ц - 1) ^ х(ц) + х(ц - 1) + х(ц - и)
(а»)а (а»)а = .
»=1 к ' »=ь> к '
Отсюда следует, что х(ц) = (-1)» при 0 ^ ц - 1 и х(ц) = -х(ц - 1) - х(ц - и) при ц ^ V,
□
С( А(аУ »^(а^,
Из доказанной леммы следует, что при всех значениях V ^ 2 минимальные моноиды М(А(а, аи)) совпадают, а коэффициенты в числителях отличаются.
Если М — моноид с однозначным разложением на простые множители, то существует эйлерово произведение и мы легко находим обратный ряд
ам\а) = Р(М\а) = П ^ - 1,
геР(м) 4 7
<*( М\а)= П (1 - = £ ^
геР(м) 4 ' пем где Км(п) — обобщённая функция Мёбиуса, заданная равенствами
{1, при п = 1,
(-1), при п = г1... ги, г1 < ... ги,
0, при п = г2п1, г,п1 Е М.
В общем случае, описываемым формулами (3) и (4), для нахождения явного вида коэффициентов ха(п) нам потребуется обобщённая функция Мёбиуса на частично упорядоченном М( А)
М( А)
делимости натуральных чисел.
Определение 1. Говорим, что для а,Ь Е М(А) выполнено а <Ъ, если а|6; а Е А и а < Ь. Соотношение а означает, что либо а <Ъ, либо а = Ь.
Воспользуемся известными обозначениями и фактами из комбинаторной теории (см. [12],
И):
дельта функция Кронекера
1, если х = у, 0, если х = у;
Ь^,. У) = |
дзета-функция
1, если х < у, 0, если х ^ у;
((x, У) = |
функция Мёбиуса
к(х, у) = (-1(х,у).
Последнее равенство означает, что
(( *K)(x, У)= C(x, , У)= Е , У)=ë(x, y),
(К * C)(x, у)= Жх г)С(г, у)= ^ к(x, z)=5(x, у).
Если
то
9(х) = Е/ (X)
у<х ЧУ/
!(х) = ^9 Iх) Ку,х).
Лемма 3. Для коэффициентов хд(п) справедливо равенство
хА(п) = ц(1,п)
п е М( А)
Доказательство. Действительно, перемножим ряды £(А|а) и £*(А|а), получим
С(А|а) С *(А|а) = Е ¿Ех (т )
пеМ (А) т<п
Отсюда следует, что
' £*(£) = Ц1-п>-
т^п
Поэтому
х(п) = ^ 5(1,т)ц(т,п) = ц(1,п),
т~<п □
3. Логарифм эйлерова произведения
3.1. Лемма о ветвях логарифма
Будем в этом разделе через (1п,г) обозначать, следуя [9], главное значение 1п х. Таким образом, если г = рег1р, р > 0 -к < ф ^ к, то (1п,г) = 1п р + гф, где 1пр — обычный вещественный логарифм, изменяющийся от -те до те. Отсюда следует, что
9 = (1п ш) ■
Приведём важное тождество для главного значения логарифма произведения:
гз = , Рз > 0, -к < фэ ^ к (] = 1, 2),
(1п = (1п г1) + (1п + 2тгпг,
0, при - к < ф1 + ф2 ^к, п = п(ф1,ф2) = ^ 1, ПРИ - 2тт < + ф2 ^ -к, -1, при к < + ф2 ^ 2к.
(6)
(7)
(8)
Нетрудно видеть, что
п = п(ф1,ф2) =
+ф2 + 1 2к 2
+ф2 + 1 " 2к 2
(1п Х1Х2) = (1п Х1) + (1п г2) + 2к
й) + (Ь й) , 1
=
= (1п Х1) + (1п Х2)+2ж
2к
+ 2
1п
пронумеруем все ветви номерами к от -те до те следующим образом:
1пкг = (1пг)+2кттг (к е Z).
Тождество (7) можно обобщить следующим образом
\пк1+к2 = \пк1 хг + \пк2 х2 + 2 т
й) + (1п й) , 1
2 т
+ 2
г.
Как известно (см. [9], стр. 81) каждая ветвь \пкх — регулярная ветвь в области И, состоящей из всех точек комплексной плоскости, за исключением точек отрицательной части действительной оси (в том числе и точки г = 0). При переходе через этот разрез происходит переход с одной ветви на другую соседнюю, согласно нумерации.
Лемма 4. (О логарифме) Пусть в окрест,ност,и точки а0 логарифм аналитической функции ¡(а) задан непрерывной функцией Н(а): \п ¡'(а) = Н(а). Если в точке а0 функция Н(а) переходит с одной ветви логарифма на другую, то значение ¡'(ао) — отрицательное.
Доказательство. Рассмотрим малую е-окрестность точки ао- \а — ао| < е, в которой непрерывная функция к(а) принимает либо значение \п& /(а), либо \пд.+г /(а). Так как значения ветви \п& /(а) имеют вид а + Ъг, — т + 2тк < Ь ^ т + 2тк, а значения ветви \п&+1 /(а) имеют вид а + Ьг, —т + 2т(к + 1) < Ь ^ т + 2т(к + 1), то равенство двух ветвей может достигаться только в тех точках, где Ь = т + 2тк = —т + 2т(к + 1). Но если к(а) = а + (т + 2тк)г, то значение /(а) — отрицательное. Если мы через 7 обозначим границу между областью
= [а\к(а) = \пи /(а), \а — а0\ < е} (и = к, к + то для всех точек а е 7 значение /(а) будет отрицательное. Так как по условию ао е 7, то лемма полностью доказана. □
Важно отметить, что если дано какое-то значение \п х = а + Ы, то легко определить номер ветви логарифма и выразить главное значение, а именно
\п х = \пк х, к = — (\пх) = \пх + 2т
1
---+ -
— 2 т 2
1
---+ -
2т 2
,1\Ь 1
г = а + 2т-----Ъ-
2 I 2т 2
Замечание 1. Пользуясь этой формулой, можно легко указать как меняются ветви логарифма и как выражаются главные значения, если \п /(а) = к(а):
^Н(а) 1 2т + 2
\п/(а) = \пк{а) ¡(а), к(а) = —
^к(а)
(\п ¡(а)) = к(а)+2т
2 т
1
+ 2
3.2. Значения логарифмируемой функции
1< а<2
Р (а) = е "2 М«-г)+f (»)
и непрерывная функция f (а) ограничена, конскпанкпой с > 0 \!(а)\ ^ с < 2, тогда на интервале (1, 2) существует бесконечная последовательность 2 > аг > а2 > ... > 1 нулей действительной части Р(а);
ЩР (а, )) = 0 (1 = 1, 2,...); бесконечная последовательность 2 > > Р2 > ... > 1 нулей мнимой части Р(а):
3(Р (рз ))=0 и = 1, 2,...);
бесконечная последовательность 2 > Х1 > Х2 > ... > 1 отрицательных значений Р(а);
Р (\3) < 0 (з = 1, 2,...);
бесконечная последовательность 2 > > 52 > ... > 1 положительных значений Р(а):
Р (53) > 0 и = 1,2,...).
Доказательство. Обозначим через д(а) действительную часть /(а), а через к(а) мнимую часть. Таким образом, ¡(а) = д(а) + гН(а), |g(а)| ^ с, |h(а)| ^ с. Имеем:
Р(а) = е9(а) ^сое ^-11п(а - 1) + + г ет ^-11п(а - 1) + Ц(а)
Так как для непрерывной функции -11п(а - 1) + Ц(а) на интервале (1, 2) выполнены условия
-11п(а - 1) + Ц(а) > - с, Иш ( -11п(а - 1) + Ц(а) \ = те, 2 \ 2 у
то для любого р с -к < р ^ к на каждом отрезке вида
1 + ^—2(р—4тг к—2с 1 + ^—2(р—4тг к+2с
имеется хотя бы один корень уравнения
-11п(а - 1) + а) = р + 2кк.
Действительно, если положить а = 1 + е—21Р—4жк—2Р^т0 ПрИ р пробегающем от резок [-с, с], а будет пробегать отрезок [1 + е—2(р—47тк—2с, 1 + е—2<р—4ък+2с^ ^ ДрИ этом уравнение
-11п(а - 1) + Ц(а) = р + 2кк
перейдёт в уравнение
р + ц (1 + е-2—к-2^ = 0,
которое имеет хотя бы одно решение, так как график функции
y(ß) = —h (l + е-2
лежит в квадрате (ß, у) £ [—с, с]2 и диагональ квадрата имеет с графиком хотя бы одну точку пересечения, которая соответствует корню уравнения.
Так как все отрезки [l + е-2к-2с, 1 + е-2{р-'4жк+2с] при ^ к вложены в отрезок [1, 2] и их объединение при к ^ 0 вложено в отрезок [l, 1 + e-2ip+2c~\, то на отрезке [1, 2] имеется бесконечное множество значений а, для шторых argF(а) = р.
При р = ^, — § получаем первое утверждение леммы о бесконечном числе нулей действи-F( а)
При р = 0, п получаем второе утверждение леммы о бесконечном числе нулей мнимой F( а)
При р = п получаем третье утверждение леммы о бесконечном числе отрицательных F( а)
р = 0
жительных значений F(а). □
Другой вариант леммы 5 звучит так.
Лемма 6. Пусть N — натуральное и при 1 + е 2(N2 < а < 2 комплекснозначная функция
F (а) = е ~На~1)+í (а)
и непрерывная функция f (а) ограничена константой с > 0 |f(a)l ^ с < 2, тогда на интервале (1 + е~2(N2, 2) существует последовательность 2 > ai > а2 > ... > an > 1 нулей
F( а)
Щ F (aj ))=0 (з = 1, 2,...,N); последовательность 2 > р1 > р2 > ... > Pn > 1 нулей мнимой части F(а);
Q(F(Pj)) = 0 (з = 1, 2,... ,N); последовательность 2 > Х1 > Х2 > ... > Xn > 1 отрицательных значений F(а);
F (Xj) < 0 (j = 1, 2,...,N);
последовательность 2 > > 52 > ... > 5n > 1 положительных значений F(а);
F(5J) > 0 (3 = 1, 2,...,N).
Доказательство. Обозначим через д(а) действительную часть /(а), а через к(а) — мнимую часть. Таким образом, ¡(а) = д(а) + iк(а), |д(а)1 ^ с, №(а)1 ^ с. Имеем:
F(а) = е9(а) (cos (—1п(а — 1) + h(á)) + i sin (— 1п(а — 1) + h(á))). Так как для непрерывной функции — ln( а — 1) + к(а) на интервале
(1 + е ~2(м+1)ж+2, 2)
выполнены условия
— \п(а — 1) + к(а) > — с, Нш (— \п( а — 1) + к(а)) = ж, то для любого ф с —т < ф ^ т на каждом отрезке вида
1 + е—ф—2пк—с 1 + е—ф—2-кк+с
имеется хотя бы один корень уравнения
— \п( а — 1) + к(а) = ф + 2кт.
Действительно, если положить а = 1 + то при Р, пробегающем от резок [—с, с],
а будет пробегать от резок [1 + е-<р-2,кк-с, 1 + _ ДрИ этом уравнение
— \п(а — 1) + к( а) =ф + 2кт
перейдёт в уравнение
Р + к (1 + е-^-2жк-^ = 0, которое имеет хотя бы одно решение, так как график функции
У(Р) = —к (1 +
лежит в квадрате (ß, у) £ [—с, с]2 и диагональ квадрата имеет с графиком хотя бы одну точку пересечения, которая соответствует корню уравнения.
Так как все отрезки [1 + е-р-2тк-с, 1 + е-р-2тк+с^ прИ 1 ^ ^ ^ N вложены в отрезок [1 + e-2(N+1)т+ 2,2], то на отрезке [1 + e-2(N+1)т+5,2] имеется бесконечное множество значений а, для которых argF(а) = р.
При р = т;,, — 2 получаем первое утверждение леммы об N нулях действительной части
F( а) 2 2
При р = 0, к получаем второе утверждение леммы об N нулях мнимой части F(а). При р = к получаем третье утверждение леммы об N отрицательных значениях F(а). Наконец, при р = 0 получаем последнее утверждение леммы об N положительных значениях F (а) □
3.3. Логарифм обобщённой L-функции с эйлеровым произведением
Пусть мультипликативная функция f(n) удовлетворяет соотношениям
f(n) = П f(P)ap (n = ПРар), > 0 f (n)=0 (n£),
р\п р\п
тогда обобщенная L-функция, заданная рядом Дирихле
Ыа, f) = £ ^•
п=1
который абсолютно сходится в полуплоскости а = а + it, а > 1,в этой полуплоскости имеет разложение в эйлерово произведение
Ы(а, /) = ||(> = И (1 — ""4-1
П (S ^ ^ П ^ Р") '
Обобщённая ¿-функция Ь(а, /) для а = а+И при фиксированном значении £ и при а ^ те имеет предел
Нш Ь(а, /) = 1.
Поэтому для главного значения логарифма обобщённой ¿-функции Ь(а, /) справедливо предельное соотношение
Нш (1пЬ(а, /)) = 0, кроме того, всегда выполнено соотношение
(1пЬ(а, /)) = 1п\Ь(а, /)| + гр(а, /), -ж<<р(а, /)
Для дальнейшего потребуется частный случай леммы о степенном ряде для главного значения логарифма.
Лемма 7. Главное значение (1п(1-г)) логарифма при |z| < 1 представляется сходящимся, степенным рядом,
(ina — z)) =—£ -.
□
n
п=1
3.4. Логарифм дзета-функции Римана
Нам потребуется некоторые простейшие свойства дзета-функции Римана, которые в силу важности для дальнейшего кратко изложим.
Как известно, ((а) аналитически продолжается на всю а-плоскость кроме точки а = 1, в которой полюс первого порядка.
Определим сумматорную функции А(х): А(х) = ^хп=\ 1.
Лемма 8. При х ^ 0 справедливо равенство
А(х) = х — {х} . Доказательство. Действительно,
А(х) = Е 1 = [х]= х — {х} .
l^n^x
□
Лемма 9. При а = а + it, а > 0 справедливо интегральное представление
те
а а) = ^ + а—д
i
Доказательство. Действительно, по теореме Абеля (см. [14], стр. 106) имеем:
тете те
А( х) х — { х} 1 { х}
С(а) = а —--ах = а --—ах = 1 +--— а —--ах
sv ! J ха+1 J ха+1 V а — 1J J ха+1
и все интегралы абсолютно сходятся, так как а > 0. □
( а)
мощью указанного интегрального представления на полуплоскость а > 0 кроме точки а = 1,
1
а > 0
те
м
ха+1
в(а) = а j Lr,J-, (1х
справедливы соотношения
а — 1 а > 0
((а)=^1 + а--^) — в(а), 0 < в(а) < 1, а = 1. (9)
а.а) = (1 + ~^-)+е(а), \в(а)\ < М, а = 1. (10)
а — 1 а
Доказательство. Для числителя {х} подынтегрального выражения справедливы неравенства 0 ^ {х} < 1. Поэтому для в(а) при а > 0 имеем соотношения
те
в(а) = а j ах, 0 < в(а) < а j ^^ ах = 1
i i
и первое утверждение леммы доказано. При а > 0 имеем:
| ^(а)| = |а|
(
' {х} ¿х
I ха+1 1
I I I 1 7 |а| < |а| / —-г-ах = — | | ' ха+1 а
1
и лемма полностью доказана. □ а > 1
, , Г -1п(а-1)+1п(а), при 1 <а<2, /11Ч
-1п(а-1) < 1п((а) ^ 7 1 11
[ 1п2, при а ^ 2.
а > 1
ведливы неравенства
1 % 1 а -- < ((а) <-- + 1 =--.
а - 1 а - 1 а - 1
□
Положим при а ^ 1
(а) = ЕЕ
(1
пр па
р п=2 1
Лемма 12. При а ^ 1 функция 91(а) — непрерывная функция, заданная, абсолют,но, равномерно сходящемся, рядом,.
При а ^ 1 справедливо неравенство
111
| в^а^ <---+-< 1.
| и Л 2а - 1 2а за - 1
Доказательство. Нетрудно видеть, что |в1(а)| ^ в1 ( а), (а ^ 1). Далее имеем:
( 1 ( 1 1
® 1 ( а) ^ у ^ у п ,ппа < ^ > ^ у ,ппа ^ ;
прпа А^А^рпа ра (ра - 1)
р п=2 р п=2 р у '
1 1 Ч 1 1 1
- — < ^-7 - ^ +
^\ра - 1 ра 2а - 1 2а 3а - 1'
р 4 '
Нш 91(а) = 0, 0 < в1(а) < 1 (а ^ 1).
□
а > 1
1п((а) = Е ^ + °1(а), 0 < в1(а) < 1, (12)
Р р
-1п(а-1)- 1 <У -1 < ( Г1^ - 1)+1п(а)^Р^1 <а<2, (13)
V > А^ ра 1 1п2, при а ^ 2. х '
р 4
а > 1
0 < ^ < 1.
ра 2
Поэтому абсолютно и равномерно сходятся при а ^ 1 следующие ряды для логарифмов:
\п\1- —
(1 — =—£
V ра ) ^ и • раи
4 -1 / ь,= г
\пР(а) = \п I I I 1 ——
(Пи ра) ) ЕЕ
\ р 4 / / р и=1
а > 1
1 1 1 1
0 < \пР (а) — V - = уу^— < у у1 = У-^- < 1.
V > А^ ра А^ А^ и •рай А^А^ ри А^ р(р — 1) р 1 р и=2 р и=2 р '
Таким образом,
\п((а) — 1 < Е 1 < \п((а).
р Р
□
Хорошо известна формула для главного значения логарифма дзета-функции (см. [13], стр.
8):
(!п«а))= £ ^ (а > I), = (14)
' па \п п
п=2
и Л(п) — функция Мангольдта
Л(п) = { 0»'
г,т
п =
0, при и(п) > 1 или и(п) = 0.
Формулу для главного значения логарифма дзета-функции можно переписать в следующем виде:
те 1
(\п((а)) = УУ — = Ь(а)+вг(а) (а > ^
т рта
р т=1
1 „ , , ^^ 1
Ь(а)=Е ^, ^(а) = ЕЕ:
ра прпа
р р п=2
а > 1
, , л Т, ч Г —\п(а — 1)+\п(а)^ при 1 <а<2,
—\п(а — 1)— 1 <Ь(а) <{ , 7 1
[ \п 2, при а ^ 2.
Формула (14) требует уточнения, которое дается с помощью следующих лемм.
Лемма 14. Для произвольного Т > 1, а0 > 1 и е > 0 найдётся т > Т такое что во всей полуплоскости а ^ а0 выполняются неравенства
и
\Ь(а + гт) — гЬ(а)\ < е, \Ь(а — гт) + гЬ(а)\ < е.
Доказательство. Для произвольного е > 0 выберем Р = Р(е,а0) такое, что
1 £ | ра\ 4
/ 1—г < т (а ^ > 1),
р>р
тогда
у — -У ■
Z_j ^ a Z_j f\ a+г т
р>рv р>рv
< 2-
В силу равномерной, абсолютной сходимости ряда, задающего L(a), в полуплоскости а ^ ао это возможно.
Так как величины ln2, ..., lnP линейно независимые действительные числа, то по теореме Кронекера (см. [13], стр. 180) найдётся такое т > Т, что найдутся целые кр такие, что выполнены условия
ln 1
~2ж
т---кр + 4
< 5, при р ^ Р
которые можно переписать следующим образом
ж
rlnр — кр2ж + — = 5р, |6р\ < 2ж5, при р ^ Р.
Отсюда следует, что для любого р ^ Р имеем
p-iT = e-i rln р
\ ргт + i \
-
\p гт — г!
г = е 2
Д_ёр = i е ,
e-iS р — 1
= |cos( 5P) — 1 — ¿sin( ¿p)| =
^/2—2coe05p) = 2
. bp Sin — 2
< 15p| < 2ж5.
Отсюда следует, что
Y — — Y —
Z_j ^ a Z_j f\ a+г r
P^PP P^P
< 2ж5С(ао),
— a
P^P
P^P
< 2ж5((ао).
=
4жС (ао)
получим
|L(a + гт) — iL(a) < e, |L(a: — iт) + iL(a) < e
и лемма полностью доказана. □
Лемма 15. Для любого натурального N существует т^, такое что на отрезке
1+ р-2{ N+!)„+ § ^ + { ^ найдутся точки ак = (Гк + гTN, выражение для логарифма дзета-функции
ln<(*) = ЕЕ
1
тр"
p т=1
в которых принимает, значения, для к-ой ветей ln& ((а), а на отрезке
1+ n5 Tn .2 — i
ITN
1
1
a
найдутся, точки а_к = а_к — itn выражение для, логарифма дзета-функции, в которых принимает значения для —к-ой в emeu ln_£ ((а) (к = 0,1,..., N).
Доказательство. Во-первых, для любого вещественного £ имеем
ж2 ж
\1пС(2 + г*)| = \Ц(2 + И) + вг(2 + И)\ < 1п((2) = 1п — = 0.498..
6 6
1п((2 + й) = УУ
2 1
тпт(2+и)
р т=1 1
— главное значение логарифма.
Возьмём в лемме 14 ао = 1 + е-2(1^+2")Ж+ 2 и е = \, тогда найдётся т^ такое, что
Щ(т)1 - Ц(а + гтп)\ < 2, \ - £(а)г - Ь(а - гтп)\ < 2
для любого а ^ т0.
Действительная функция Ц(т) монотонно убывает. При а = то имеем
5
Ц(то) > - 1п(то - 1) - 1 = 2(И + 2)тт -- - 1.
Поэтому Ц(т0 + гтп) + в\(т0 + гтп) = а + Ы и
3 5 3
Ь = Ь(то) + 5, ^ < -, Ь> 2(Ы + 1)ж - - - 1 - 3 = 2(М + 1)ж - 5.
Но это означает, что величина Ц(то + %тп) + 9\(то + %тп) = а + Ъг принадлежит к-ой ветви логарифма, где
к =
1
---+ -
2тт 2
> -
2(И + 1)тт - 5 1 2т + 2
= N.
Отсюда следует, что непрерывная функция
1п((т + г тм ) = ЕЕ
т<рт(а+1 т^) р т=
при изменении а от то до 2 последовательно движется по ветвям 1пк от к = N до к = 0.
Аналогично доказывается второе утверждение леммы в силу сопряженности значения логарифма. □
Теорема 1. Для любого натурального N существует т^, такое что на, отрезке
\ + е-2(N+1 ^ 2 Тм. 2 + 1 тм'
найдутся точки ак = ак + гт^ что ((ак) — отрицательное число (к = = 1,..., N);
ак = Хк + гт^ ч,то ((ак) — положительное число (к = 1,..., N);
(хк = 5к + гTN т,а,кие, ч,то (((к) — чист,о мнимое число (к = 1,..., N).
Доказательство. Действительно, в силу предыдущей леммы на отрезке
"1 + е-2( N+1 2 + г TN ; 2 + г '
функция 1п а + гTN) принимает последовательно значения из различных ветвей логарифмической функции. При переходе от одной ветви к другой логарифмируемая функция проходит через отрицательное значение. Так как таких переходов не менее N, то первое утверждение теоремы доказано.
□
1
3.5. Ветви логарифма одной обобщённой ¿-функции с Эйлеровым произведением
Рассмотрим мультипликативную функцию К(пп) = гпри п = ПР\п Рар и РЯД Дирихле
М(а, К), заданный равенством
М(а,К) = Е па = П - р») '
п=1 Р
Следующая лемма показывает, что почленное логарифмирование Эйлерова произведения для М(а, К) не дает главного значения логарифма М(а, К).
Лемма 16. Существует 5 > 0 такое, что при 1 < а < 1 + 5 справедливо неравенство
™ АП
(ЫМ(а,К)) = ЕЕ ^.
Р п=1
а > 1
ра
1
< 2'
поэтому абсолютно и равномерно сходятся при а ^ 1 следующие ряды для логарифмов:
1п =- V 1п = V ^
V ра) ¿-^и • ра", V ра) ¿-^и • ра",
которые в силу леммы 7 задают главные значения логарифмов. Таким образом
'щ (г-= -Г* (п (1-±
(n(i - =-1—• (n(i - -) =£—
V V pa J J •pa v V ^ pa J J ^ v • pa v
Рассмотрим значение InM(a,h), заданное рядом
1пМ (а, К) = Е Е = Жа) + Ыа), Ян(а) = ЕЕ ^'
Р п=1 р п=2
который получен почленным логарифмированием Эйлерова произведения. Нетрудно видеть, что 1К^(а)1 ^ Ща) < 1, (а > 1) □
:п
:п
4. Экспоненциальная последовательность простых чисел
Пусть ц ^ 2 — произвольное натуральное число, тогда бесконечную последовательность простых чисел р1 < р2 <■ ■ ■< рп <• • .будем называть экспоненциальной, если выполняются соотношения д ^ р1 < ц2, с^ < ри < (и ^ 2).
В силу постулата Бертрана, доказанного П. Л. Чебышёвым, (см. [14]) для любого ц ^ 2 существует бесконечно много экспоненциальных последовательностей простых чисел.
Теорема 2. Для любого д ^ 2 и любой экспоненциальной последовательности простых чисел РЕ = {р 1, р2,..., рп, •••} дзет,а, ряд для дзета-функции ((М(РЕ))1а) абсолют,но сходится, для, любого а в полуплоскости а > 0 и равномерно в полуплоскости а ^ а0 для, любого ао > 0.
Доказательство. Так как М(РЕ) — моноид с однозначным разложением на простые множители, то в области абсолютной сходимости дзет-функция ((М(РЕ)) имеет эйлерово произведение
те / . \ 1 р (М (рЕ)\а) = П 1 - -а) .
Для логарифма эйлерова произведения с помощью почленного логарифмирования получаем равномерно, абсолютно сходящийся ряд
тете 1
1п((М (РЕ))\а) = УУ
ап : и=1п=1
так как для него при а ^ ао, ао > 0 имеется мажорирующий ряд
те те
у^у^ 1 = ^ -Х)
V=1п=1И Х=о 4
где
п(Х) = Е 1 < 1 + 1пХ
п|А п
□
Из существования эйлерова произведения вытекает, что для любой экспоненциальной последовательности простых чисел в правой полуплоскости а > 0 дзета-функция ((М(РЕ))\а) не имеет нулей.
5. Заключение
Данная тема исследований возникла в связи с изучением гиперболической дзета-функции решёток (см. [5, 6, 7], [17]). Другими источниками этих исследований были работы [2, 3, 4], [8, 10, 13, 15, 16].
В следующих работах мы планируем рассмотреть естественно возникающие в данной области проблемы, а именно:
• аналитическое продолжение для дзета-функции произвольного моноида натуральных чисел;
• получение функционального уравнения;
• обратные ряды для дзета-функции моноида натуральных чисел без однозначного разложения на простые множители.
Важным классом моноидов натуральных чисел без однозначного разложения на простые множители на наш взгляд являются моноиды соответствующие подгруппам мультипликативной группы классов вычетов по произвольному модулю.
В заключении автор выражает свою глубокую признательность профессорам В. И. Иванову и В. И. Чубарикову за внимание к работе и полезные обсуждения.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. М. Айгнер Комбинаторная теория. — М.: Мир, 1982. 558 с.
2. Э. Бомбьери, А. Гош Вокруг функции Дэвенпорта-Хейльбронна // УМН, 2011. Т. 66, вып. 2(398). С. 15-66.
3. С. М. Воронин Избранные труды: Математика / Под ред. А. А. Карацубы. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2006. - 480 с.
4. С. М. Воронин, А. А. Карацуба Дзета-функция Римана. — М.: Физ-матлит, 1994. — 376 с.
5. Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский И. \!.. Добровольский Н. И. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012 Т. 13. Вып. 4(44). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 4-107.
6. Добровольский М. И. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток // Доклады академии наук 2007. Т. 412, № 3. С. 302-304.
7. Н. М. Добровольский, И. Н. Добровольский, В. И. Соболева, Д. К. Соболев, Л. П. Добровольская, О. Е. Бочарова О гиперболической дзета-функции Гурвица // Чебышевский сб. 2016. Т. 17, вып. 3. С. 72-105.
8. Г. Дэвенпорт Мультипликативная теория чисел. — М.: Наука, 1971. — 200 с.
9. А. Гурвиц, Р. Курант Теория функций. — М.: Наука, 1968. — 618 с.
10. Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем. — М.: Мир, 1967. 511 с.
11. И. И. Привалов Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1977. - 444 с.
12. Р. Стенли Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990. — 440 с.
13. Е. К. Титчмарш Теория дзета-функции Римана. — М.: И-Л, 1952. — 407 с.
14. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974. 188 с.
15. Чандрасекхаран К. Арифметические функции, пер. с англ. — М.: Наука, 1975. 272 с.
16. Н. Davenport, Н. Heilbronn On the zeros of certain Dirichlet series //J. London Math. Soc. 1936. Vol. 11. P. 181-185.
17. L. P. Dobrovolskava, M. N. Dobrovolskv, N. M. Dobrovol'skii, N. N. Dobrovolskv. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices. In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. 2014. P. 23-62. DOLIO. 1007/978-3-319-03146-0^2.
REFERENCES
1. Ajgner M., 1982, Kom,binatornaja teorija, Izd-vo Mir, Moskva, 558 p.
2. Bombieria E., Ghoshb A., 2011, "Around the Davenport-Heilbronn function", Uspekhi Mat. Nauk, 66:2(398) pp. 15-66.
3. Voronin S. M., 2006, Izbrannye trudy: MatemMika. Pod red. A. A. Karacuby, Izd-vo MGTU im. N. Je. Baumana, Moskva, 480 p.
4. Voronin S. М.. Karacuba А. А., 1994, Dzeta-funkcija Rimana, Izd-vo Fiz-matlit, Moskva, 376 p.
5. Dobrovol'skaja L. P., Dobrovol'skij M. N., Dobrovol'skij N. M., Dobrovol'skij N. N., 2012, "Giperbolicheskie dzeta-funkcii setok i reshjotok i vvchislenie optimal'nyh kojefficientov" Che-byshevskii Sbornik vol 13, №4(44) pp. 4-107.
6. Dobrovol'skij M. N., 2007, "Funkcional'noe uravnenie dlja giperbolicheskoj dzeta-funkcii celochislennvh reshetok" , Doklady akademii nauk, vol 412, № 3, pp. 302-304.
7. Dobrovolskv N. M., Dobrovolskv N. N., Soboleva V. N., Sobolev D. K., Dobrovol'skava L. P., Bocharova О. E., 2016, "On hyperbolic Hurwitz zeta function" , Chebyshevskii Sbornik, vol 17, № 3 pp. 72-105.
8. Davenport H., 1971, Mul'tiplikativnaja teorija chisel, Izd-vo Nauka, Moskva, 200 p.
9. Gurvic A., Kurant R., 1968, Teorija funkcij, Izd-vo Nauka, Moskva, 618 p.
10. Prahar K., 1967, Raspredelenie prostyh chisel, per. s пет, Izd-vo Mir, Moskva, 511 p.
11. Privalov I. I., 1977, Vvedenie v teoriju funkcij kompleksnogo peremennogo, Izd-vo Nauka, Moskva, 444 p.
12. Stenli R., 1990, Perechislitel'naja kombinatorika, Izd-vo Mir, Moskva, 440 p.
13. Titchmarsh E. K., 1952, Teorija dzeta-funkcii Rimana Izd-vo I-L, Moskva, 407 p.
14. Chandrasekharan K., 1974, Vvedenie v analiticheskuju teoriju chisel, Izd-vo Mir, Moskva, 188 p.
15. Chandrasekharan K., 1975, Arifmeticheskie funkcii, per. s angl, Izd-vo Nauka, Moskva, 272 p.
16. Davenport H., Heilbronn H., 1936, "On the zeros of certain Dirichlet series" , J. London Math. Soc. Vol. 11. pp. 181-185.
17. Dobrovolskava L. P., Dobrovolskv M. N., Dobrovol'skii N. M., Dobrovolskv N. N., 2014, "On Hyperbolic Zeta Function of Lattices" , In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications, Vol. 211. pp. 23-62. DOPIO.1007/978-3-319-03146-0^2.
Тульский государственный университет
