О моноидах натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 19. Выпуск 1

УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-1-79-105

О моноидах натуральных чисел с однозначным разложением на

простые элементы1

Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственного университет.

e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com

Аннотация

В работе продолжены исследования нового класса рядов Дирихле — дзета-функций моноидов натуральных чисел. Изучаются обратные ряды Дирихле для дзета-функций моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы и для дзета-функций множеств простых элементов моноидов с однозначным разложением на простые элементы.

Для любого ft > 1 построены примеры рядов Дирихле, у которых абсцисса абсолютной сходимости а = J. И для любого натурального ft > 1 построены примеры пары дзета-функций Q(В|а) и Q(Ав,р|а) с равенством &ав,,з = ^¡f"-

Определено понятие сходимости последовательности множеств натуральных чисел. Доказано, что соответствующая последовательность дзета-функций этих множеств натуральных чисел будет равномерно сходиться в подходящей правой полуплоскости к дзета-функции предельного множества.

Рассматриваются различные примеры моноидов и соответствующих дзета-функций моноидов. Получены ряд свойств дзета-функций моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители.

Найден явный вид обратного ряда к дзета-функции множества простых чисел, дополненного единицей. Найден явный вид отношения дзета-функции Римана к дзета-функции множества простых чисел, дополненного единицей.

Рассмотрены вложенные последовательности моноидов, порожденные простыми числами. Для дзета-функций этих моноидов сформулирован принцип вложенности, который позволяет переносить результаты о коэффициентах одних дзета-функций на коэффициенты других дзета-функций.

В работе удалось впервые описать общий вид всех моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители.

В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

Ключевые слова: дзета-функция Римана, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел, эйлерово произведение.

Библиография: 18 названий. Для цитирования:

Н. Н. Добровольский. О моноидах натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, вып. 1, С. 106-123.

1Работа подготовлена по гранту РФФИ №16-41-710194_р_центр_а

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 1

UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-1-79-105

On monoids of natural numbers with unique factorization into

prime elements

Dobrovolsky Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, assistant of the department of applied mathematics and computer science, Tula State University. e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com

Abstract

The paper continues research on a new class of Dirichlet series — zeta functions of monoids of natural numbers. The inverse Dirichlet series for zeta functions of monoids of natural numbers with unique factorization into prime elements and for zeta-functions of sets of prime elements of monoids with unique factorization into prime elements are studied.

For any ft > 1 examples of Dirichlet series with an abscissa of absolute convergence a = 1 are constructed. For any natural ft > 1 examples of a pair of zeta functions ((B |a) and C(Ab„s |«) with the equality 0AB,p = ^jt are constructed.

Various examples of monoids and corresponding zeta functions of monoids are considered. A number of properties of the zeta functions of monoids of natural numbers with unique factorization into prime factors are obtained.

An explicit form of the inverse series to the zeta-function of the set of primes supplemented by one is found. An explicit form of the ratio of the Riemann zeta-function to the zeta-function of the set of primes supplemented by one is found.

Nested sequences of monoids generated by primes are considered. For the zeta-functions of these monoids the nesting principle is formulated, which allows to transfer the results about the coefficients of one zeta-functions to the coefficients of other zeta-functions.

In this paper the general form of all monoids of natural numbers with unique factorization into prime factors was described for the first time.

In conclusion, topical problems for zeta-functions of monoids of natural numbers that require further study are considered.

Keywords: Riemann zeta function, Dirichlet series, zeta function of monoid of natural numbers, Euler product.

Bibliography: 18 titles. For citation:

N. N. Dobrovol'skii, 2018, "On monoids of natural numbers with unique factorization into prime elements" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 106-123.

1. Введение .................................................................................81

2. Обращение дзета-функций произвольных множеств натуральных чисел ...............82

3. Дзета-функция множества простых чисел ..............................................86

4. Вложенные последовательности моноидов, порожденные простыми числами ..........89

5. Примеры моноидов с однозначным разложением на простые элементы ................93

6. Дзета-функция множества простых элементов моноида ................................97

7. Общий вид моноида натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы ....................................................................................99

8. Заключение.............................................................................103

Список цитированной литературы ........................................................103

1. Введение

В данной работе продолжаются исследования из работы [8] и сохраняются обозначения и определения из этой работы.

Будем через Рзд и Рз,2 обозначать множество всех простых чисел вида 3п + 1 и 3п + 2, соответствено. Таким образом, мы имеем:

Рз,1 = {7,13,19,31,37,43,61,67, 73, 79,97,...}, Рз,2 = {2, 5,11,17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89,...}

Рз,1

и Рз 2 — бесконечные множества.

Рассмотрим мультипликативные функции Хзд(^) и Хз,2(п), заданные равенствами ХздН =

1, 0,

ПР|п Хз,1(Рар ),

при п = ра, р = 3т, + 1, а ^ 0, при п = ра, р = 3, 3т + 2, а ^ 1, при п = Пр|га Рар;

Хг,2(п) =

1, 0,

при п = ра, р = 3т + 2, а ^ 0, при п = ра, р = 3, 3т + 1, а ^ 1,

ПР|П Хз,2(рарпри П = Пр|гар'

Основными объектами исследования в данной работе будут моноиды Мзд, Мздд, Мзд,2 и ^з,1,2,0) заданные равенствами

Мзд = {п = 3к + 1|Л ^ 0}, Мз,1,1 = {п = 3к + 1|хздН = 1}, Мз,1,2 = {п = 3к + 1|хз,2(п) = 1}, Мз,1,2,0 = {п е Мз,1,2|п = ра}.

Ясно, что Мзд = Мз,1,1 ■ Мз,1,2, поэтому ((Мз,1|а) = ((Мз,1,1|а) ■ ((Мз,1,2|а).

Нетрудно описать Р(М) — множество простых элементов для этих моноидов.

Р (Мз,1,1) = Рз,1.

Р(Мз,1,2) = Рз,2 ■ Рз,2 и состоит из псевдопростых чисел вида Р1Р2, где Р1, Р2 — произвольные простые числа вида 3т + 2. В частности, в это множество псевдопростых чисел входят квадраты простых.

Множество простых элементов Р(Мзд,2,0) состоит из псевдопростых чисел вида Р1Р2, где Р1, р2 — произвольные различные простые числа вида 3т + 2.

V

Таким образом, Р(Мз,1,2,0) С Р(Мз,1,2) и в Р(Мэ,1,2,о) не входят квадраты простых. Ясно, что Р(Мэд) = Рад и(Рз,2 • Рз,2). Обозначим через Р(М|а) эйлерово произведение:

Р(М 1а) = П I1 - 1'

геР(м) 4 7

М

стые элементы справедливо равенство

((М 1а) = Р (М 1а).

В частности,

С(Мздд|а) = Р (Мз,1,1|а).

Будем называть каноническим разложением элемента х из мультипликативного моноида

М

х = г"1 ... г%к, 1 < г1 <...< гк, г1у..., гк еР (М).

Через &(х) будем обозначать количество различных канонических представлений числа х,

Р( М| а)

Р(М|а) = £ ^ ■

хем

М

однозначности разложения на простые элементы в этом моноиде.

Так как в моноиде Мз,1,2 нет однозначности разложения на простые элементы, то

С(Мз,1,2|а) = Р (Мз,1,2|а).

Цель данной статьи — описать моноиды натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы, изучить их свойства, дзета-функции этих моноидов натуральных чисел и найти их обратные ряды Дирихле.

2. Обращение дзета-функций произвольных множеств натуральных чисел

Для произвольного непустого множества А натуральных чисел рассмотрим дзета-функцию ((А|а), заданную равенством

С(А|а) = ^ -1 (а = a + it,a>aA), (1)

xeA

где a a ^ 1 — абсцисса сходимости дзета-ряд а, и через £*(А|а) обозначается обратный ряд, то есть С*(А|а) = (-1(А|а).

Если А — конечное множество натуральных чисел, то дзета-функция £(А|а) задается конечной суммой, которая определяет аналитическую функцию на всей комплексной а-плоскости, поэтому a a = —то.

Если А — бесконечное множество натуральных чисел, то ряд для дзета-функция £(А|а) при а = 0 расходится, поэтому ал ^ 0. По теореме Ландау (см. [15], стр. 156) в точке а = ал будет особая точка дзета-функции £( А|а).

Пусть Р > 1 и множество натуральных чисел А^/з имеет вид

Ащ,/з =

| п13 п G n} .

Лемма 1. Для, любого натурального п справедливо неравенство [п^] < [(п + 1)3].

Доказательство. Рассмотрим при Р ^ 1 функцию /(Р) = (п + 1)3 — п3. Так как /'(Р) = (п + 1)31П(П + 1) — п31пп > 0 то при Р > 1 имеем /(Р) > /(1) = 1. Отсюда следует, что [(п + 1)3] > п3 и, следовательно, К] < [(п + 1)3], что и требовалось доказать. □

Теорема 1. Для Р > 1 и дзета-функции £(А^,з|а) справедливо равенство = Доказательство. Из доказательства предыдущей леммы следует, что

1 1 1 1

<(Ра) — = < с(А^,з |а) = Еог <^Ет^^ = 1 + с(Ра).

п=2 п=1 ^ ' п=2

Так как ряд для ((Ра) сходится при Ра > 1 и расходится при Ра ^ 1, то утверждение теоремы □

Доказанная теорема допускает следующее частичное обобщение. Пусть В — произвольное

Р > 1

натуральных чисел А^,з равенством

п е В

Ав,р = {п3|п G Б}

= j п

Теорема 2. Для натурального Р > I и дзета-функции ((Ав,р|а) справедливо равенство а Л = °в

аАв,р =

Доказательство. Действительно,

mp*) = Е ^ = Е ^ = ^Ав,зи.

пЕВ т£Ав,р

Так как ряд для (( В | Ра) сходится при Ра > а в и расходится при Ра ^ ав, то утверждение теоремы доказано. □

Нетрудно понять, что если 1 G А, то

С*(А|а) = £ Х-Ап, (2)

пем (А)

где коэффициенты ха(п) удовлетворяют соотношениям

ха(1) = 1, ^ ха[—) =0 (п G M(А),п> 1) (3)

т|п, теА

M( А) А

Обозначим через иа,1 число, такое что для А* = А \ {1} и

. п'

пеА*

выполнено |5( А, а;)| < 1 щи и > иад, тогда

5(А,«)= Е

^ па пем (а)

ха(п)

и для ха(п) выполнены соотношения

ха(1) = 1, ха(п) = (п) п еМ*(А*),

где уи(п) — количество решений уравнения п = П1 ...пи в натуральных т,... ,пи е А*. Ясно, что М(А) = М*(А*)и{1}.

Таким образом, если иА определяет правую полуплоскость и > иА абсолютной сходимости обратного ряда £*(А|а), то иА ^ иад-

Определим последовательно следующие множества натуральных чисел:

то а е (А*) и (А*) Р| М1(А*) = 0, что доказывает утверждение леммы. □

А М( А)

ный моноид, справедливы соотношения

Доказательство. Действительно, так как Б (А, и) монотонно убывает при росте и, то найдётся иа,1 ^ 0 такое, что Б (А, иа, 1) = 1- Очевидно, что при и > иа,1 будет выполнено неравенство |5( А, а)| < 1. Тем самым доказано первое утверждение леммы. Далее заметим, что при и > иа,1 выполняется равенство

М1(А*)= А*, М+1(А*) = М (А*) -А* (и ^ 1).

Моноид М(А) называется свободным, если (А*) Р| МДА*) = 0 для любых и = у. Лемма 2. Если М(А) — свободный моноид, то Р(М(А)) = А*.

а е А*

а = г1 ■ г2 ■ ... ■ ги (и ^ 2),

Б (А,Иа,1) = 1, иА = иа,1.

М( А)

1 -1 + Е(-1)" Е У"(п)

1 + 5(A, a) у ^ п

V ' ' "=1 n&v (А*)

1 _1 + ^ У"(п)

1 - S(A, a) ^ ^ па

v ' ' "=1 n&4v (а*)

Отсюда следует, что если ряд для 1+5^4 „) сходится абсолютно, то и ряд для 1_^1а „) сходится.

Так как ряд для 1_^1а „^и а = аад расходится, то следовательно аА = ^ад и лемма полностью доказана. □

A

аа,1 < 2.

a = а + |S( A, a)| < 5(A, а) < S(N,a).

Далее имеем

2

S(N, 2) = £ -2 = С(2) - 1 = ^ - 1 < 1,

n=2

□

Пусть имеется бесконечная вложенная последовательность множеств натуральных чисел с единицей:

(1}cA1 CA2 С ... С An С ... CA. (4)

Определение 1. Будем говорить, что бесконечная последовательность (4) сходится, к

A

lim An = A,

если для, любого натурального Т найдется натуральное п(Т) такое, что для любого п выполняется равенство

[1;Т] f]An = [1; Т] f]A. Теорема 3. Для любой сходящейся, последовательности (4) выполняются соотношения

а Aí ^аА2 ^ ... ^аАп ^ ... ^ а а (5)

и

lim C(An|a) = C(A|a) (6)

n—^^o

равномерно сходится в любой a-полуплоскости а ^ ао > а а-

Доказательство. Действительно, из определения сходимости следует, что для любого е > 0 и ао > а а найдётся натурал ьное Т (е, ао) такое, что для любого Т ^ Т (е, ао) выполняется

О < aA,rT|ао)= Е ^ <£.

n£A,n>T

Отсюда следует, что для любого натурального п ^ п(Т) выполняются неравенства

О < С(A|aо) - C(An|ао) < C(A,Т|ао) < е,

□

и

3. Дзета-функция множества простых чисел

В работе [8] важную роль играл ряд Дирихле

Вд = £ ^, р р

через который выражается логарифм дзета-функции

оо

ln((a)=L(a) + 6i(a) (а > 1), = 1

Прпа р п=2 1

Если Р — множество всех простых, то Ь(а) = £(Р|а).

Будем через Ро обозначать множество простых дополненное 1. Тогда ("(Ро|а) = 1 + £(Р|а). Так как согласно лемме 4 |£(Р|а;)| < 1 при а ^ 2, то справедливо равенство

те

С(Ро|«) = 1 + £(—1)4"№) (а>аР0), 1 < аР0 < 2. =1

Пусть и(п) — количество различных простых делителей числа п, & V(п) — общее число

и(п)

простых делителей числа п с учётом их кратности. Таким образом, если п = Л р,3 — кано-

=1

и(п)

ническое разложение числа п на простые множители 1 < р1 < ... < ри(п), то V(п) = ^ а^.

3 = 1

Функция V(п) является аддитивной арифметической функцией, так как для любых взаимно простых п и т имеем V(пт) = и(п) + и(т). Функция V(п) является вполне аддитивной арифметической функцией, так как для любых натуральных пит имеем V (пт) = V (п) + V (т).

Обозначим через N и (и ^ 0) множество всех натуральных чисел п с V(п) = и. Ясно, что справедливо разбиение

те

N = U N, No = {1}, N ПN = 0 (v = v). (7)

v=0

Нетрудно видеть, что

Ni = P, N v = N „-i ■ P ( v > 0).

Для дальнейшего нам потребуется ещё одна мультипликативная функция rad(n) — радикал натурального числа, которая определяется следующими условиями

rad(n)|n, v (п) = z/(rad(n)), z/(rad(n)) = V (rad(n)).

Другими словами, если п = П р"р, то гad(n) = П Р-

р\п р\п

В силу разбиения (7) можно определить единую функцию х(п) такую, что

Г(P|a) = £ (V > 0).

Лемма 5. Справедливы рекуррентные соотношения

х(1) = 1, х(п) = ^х(П) (п > 1).

р\п

Доказательство. Первое утверждение тривиально.

Пусть и = 1, тогда N1 = Р и х(р) = 1 и утверждение леммы выполнено.

Пусть и > 1, тогда

I х(п) \ ^ 1 1 (п\

( | о) 1 ' у па i у v" у п" у Х \ V / ,

\пем^_1 у реР^ пем^ р|п ч-р/

что и доказывает утверждение леммы. □ Лемма 6. Справедливо равенство

(V (n))!

x(n) =

ПЫ!'

р|»г

п

п = 1

Пусть п = т > 1 и для всех п < т утверждение леммы выполнено. Предположим, что "к

т = П V"% тогда по лемме 5 имеем:

^=1

к ( п \ к х(п) = 5хЫ = £

п\ ^ (а1 + ... + ак — 1)!а^

" ПК)

и=1 4 / и=1 .

р|п

= («1 + ... + ак - 1)!(« + ... + «к) = (V(п))!

П ( Ор)! П Ы!,

р|п р|п

□

Теорема 4. Справедливо равенство

/ 1)У(п) (V(п))!

~ ( 1) П ("р)!

С*(рс|«) = 1 + Е—.

п=2

Доказательство. Действительно,

х(п)

те

\v

c*(Pq|«) = 1 + е(—w (Pi«) = 1 + £(—ir е

^=1 ^=1

= 1+ ~ (—1)V(n)x(n) = 1 + ~ y(n) (V(n))! 2.

+ ^ n" + ¿í( ) ПК)! ^ n"'

ra=2 ra=2 V v p

p|ra

□

Обозначим через £(N,Po|a) отношение двух дзета-функций:

C(N, P0H =C(a) C-1(Po|a). Обозначим коэффициенты соответствующего ряда Дирихле через у (и):

га=2

C(N, Po|a) = 1 + £ ^Г, 1/(1) = 1. (8)

—' n"

Лемма 7. Справедливо рекуррентное равенство

У(п) = 1 - Еу (П) .

р\п

Доказательство. Действительно,

С( a) = 1 + £ Е ^, Po|a) = 1 + Е Е ^, C(Po|a) = 1 + £

^=i n€N^ v=i n€N^ n€P

поэтому

«Nía) = E Упп1 + Í £ Уп) 1 = У(п) + ЕУ(п) ■

что и доказывает утверждение леммы. □ Лемма 8. Справедливо равенство

1+ (-!)"

у(ра) =

Доказательство. Действительно,

2ч -, п 1 + (-1)С

у(ра) = 1 — у(ра-1),

поэтому

у(р) = 0, у(р2) = 1, у(рз) = 0,..., у(ра) =

□

Лемма 9. Если п = гай(п), то справедливы равенства,

и(п)

м=1

Доказательство. Действительно, если п п = р\р2...pvи ^ = рл при

р = А.

( п) = 1 п =

Далее проведём индукцию по величине v(ri), получим при v(n) = m + 1:

( т (_i)A / m+i (_dm

у(п) = 1 - (m + 1)(-1)mm! I 1 + £ Ц^ I = (-1)m+1(m + 1)! I 1 + £ (-f-

V m=I / v ^=i

что и доказывает утверждение леммы. □

С помощью принципа вложенности, который будет разработан в следующем разделе, можно доказать общую теорему о величине у(п).

Теорема 5. Пусть v(n) = k ^ 1м

п = pi1 ...plk, Pi <...<Рк, ni,...,nk ^ 1, тогда справедливо равенство

П1 пк

у(п) = Е... Е (-1)^1+-+" ( ^ +к...+щ )!.

^ =0 vk=° ^ (г/.)!

=1

Доказательство. Действительно,

р0|«) = Е ^ = ((«) (*№)= (5: п")

\п=1 )

п=1

п)

ПК)!

р\п

£ п" В-1>"(

п=1 т|п

Так как из т|п следует, что т = VI1 .. . Vkfc> т0

п1 пfc

V

т) (V(т))!

П («р)!.

р|т

п=1

^(-1)у (т)

т|п

□

( V (т))!

ПК)!

р|т

и1 =0 и^=0

П( иг)!

г=1

/

£ ... £ (-ЦИ+-4« (+к- + ик

4. Вложенные последовательности моноидов, порожденные простыми числами

Рассмотрим естественную нумерацию простых чисел

Р = {2 < 3 < 5 < 7 < 11 < ... < Vn <...},

где через vn обозначается п-ое простое число в порядке их следования в множестве натуральных чисел N. Обозначим через Рп начальный отрезок последовательности простых чисел:

Рп = {2 < 3 < 5 < 7 < 11 <...< Vn} (п ^ 1).

Через Рп0) будем обозначать последовательность простых чисел VI < ... < Vn с добавленной единицей:

Рп0) = {1} иРп = {1 < VI <...< Vn}.

Вложенная последовательность множеств простых чисел

Р1 С Р2 С ... С Рп С ... С Р

(9)

порождает вложенную последовательность моноидов с однозначным разложением на простые числа

{1} С М(Р1) С М(Р2) С ... С М(Рп) С ... С М(Р) = N. (10)

Теперь рассмотрим свойства соответствующих последовательностей дзета-функций:

С(Р1|а), С(Р2|а), ..., С(Рп|«), ..., <№), (0

С*(Рг|«), С*(Р20)|О), ..., С*(Рп0)|О), ..., С*(Р0|а),

С({1}|а), С(М(Р1)|а), С(М(Р2)|а), ..., С(М(Рп)|о), ..., С(М|а) = ((«),

С(М(Р1),Р1(0)|о), С(М(Р2),Р2(0)|О), ..., с(М(Рп),Рп0)|«), ..., С(МР0|а),

(11)

(12)

(13)

(14)

где С(М(Рп),рП0)|о) = С(М(Рп)|а)С*(рП0)|«).

Во-первых, мы имеем

а{1} = api = ар2 = • • • = аРп = • • • = аР = (15)

так как С({1}|°0 = 1 и Для люб ого п дзета-функц ия ((РГ1\а) = ^ — аналитическая функ-

-I Ръ,

v=1

ция на всей комплексной а-плоскости. Последнее равенство в (15) хорошо известно (см. [14]).

Во-вторых, на обратные дзета-функции £*(Р»10) |«) удается перенести некоторые свойства обратной дзета-функции £*(Ро|а:), а именно, справедливы следующие утверждения.

Обозначим через N (Рп) ( и ^ 0) множество всех натуральных чисел п из М(Рп) с V(п) = и. Ясно, что справедливо разбиение

оо

М (Р„)=и N (Рп), ^(Р„) = {1}, N (Рп)р| ^(Рга) = 0 (и = р). (16) V=о

Нетрудно видеть, что

^(Р„) = Рп, Nv(Рп) = ^-1(Рп) ■ Рп (V > 0)

и моноид М(Рп) — свободный моноид, следовательно, к нему применимы леммы 2—4 и теорема 3, которые можно сформулировать следующим образом.

Лемма 10. Для любого п и свободного моноида М(Рп) выполняется равенство

Р (М (Рп)) = Рп.

Лемма 11. Для любого п и свободного моноида М(Рп) справедливы, соотношения

Я(Рп,аРп,1) = а* (0) = арп,1 < аР(0) .

Рп Рп + 1

Таким образом, имеем цепочку неравенств:

0 = аР(0) < аР(0) < . . . < аР(0) < ... < аР0, 1 < аР0 < 2.

Р1 Р2 Рп

ОО

' п■

Теорема 6. Последовательность множеств прост,ых (9) сходится, кР = IJ Рп

п=1

ОО

Последовательность вложенных моноидов (10) сходится, к N = [J М (Рп).

п=1

Предел,

lim С(Рп|а) = С(Р|а) (17)

п—^^о

равномерно сходится в любой а-полуплоскости а ^ а0 > 1. Предел,

lim С*(Рп0)|а) = С(Ро|а) (18)

л* !

п—о

равномерно сходится в любой а-полуплоскости а ^ а0 > аро. Предел,

lim С(М(Рп)|а)=((а) (19)

п—о

равномерно сходится в любой а-полуплоскости а ^ а0 > 1. Предел,

lim С(М(Рп),Рпо)|а) = C(N,Ро|а) (20)

п—о

равномерно сходится в любой а-полуплоскости а ^ а0 > аро-

В-третьих, мы обнаруживаем важное свойство вложенности дзета-функций вложенных моноидов, которое заключается в том что каждая из четырех дзета-функций £(Рга|а), (*(Р»10)|а:), ((М(Рга)|а:) и С(М(Рга), Дг0)|а) образуется из соответствующих дзета-функций с номером п + 1 сужением области суммирования, а значения коэффициентов остается неизменным. Более того, это остается применительно и к предельным дзета-функциям. Тот факт, что £(Рп|а;) и £(М(Рга)| а) получаются сужением области суммирования из £(Р|а) и ((а) тривиально следуют из определения этих дзета-функций.

Аналогичное утверждение для £*(Р^0)|а:) и £(М(Рп), |а) можно обосновать на основании того факта, что количество решений уравнения m = mi... m^ в натуральных mi,..., m^ £ Рга и в натуральных mi,..., m^ G P одинаково для m £ М(Pn). Из свойства вложенности сразу вытекают утверждения следующих теоремы и леммы.

п

(-1)v ММ

c*(^0V) = Е -mr^-.

тем (Р„)

п

«м(р„),р,(0)|а}= е ^ ■

тем (Р„)

( m)

Будем доказательство с помощью обобщенного свойства вложенности называть принципом вложенности. Покажем его применение. Пусть q — произвольное простое число, А = {<?} — одноэлементное множество, А(0) = {1, д} и М(g) = {g^|г/ ^ 0} — геометрическая прогрессия с

С(АН = ±, (21)

(_ 1)У(т) ( V(т))!

~ (_1)г, ( 1) П Ю! С*(А(0)|а)= * = Е fe^ = Е -(а = " + <0), (22)

1 + ^=0 W ) тем(,) m

те 1 1

С(М(9)|а) = ^—— = --г (а = + ii, 0), (23)

n=0 w ) 1 - ^

С(М(<?), А(0)|а) = 1 1 1

1 - -1 1 + -1 1 - -1-

те 1 (_1)У (т)+1

= Е Т^2пЛа = Е ^ (« = * + 0). (24)

га=0 ' теМ(д)

Из формулы (23) следует, что дзета-функция геометрической прогрессии аналитическая функция во всей а-плоскости кроме точек ао = 0, где у неё простой полюс с вычетом

Ыезо С( М (д)|а) = ^.

и точек = -¡щу (к = ±1, ±2,...), в которых простые полюса с вычетами

Пев^кж С(М (д^а) = -1-.

1п д 1п д

Можно показать, что для мероморфпой функции ((М(<?)|а) справедливы следующие представления:

— те / 2 1 2 -

л / „ „■/ м ч Я 2 тг / а2 1п2а

С(МШа) = ^Т\ (1+ 4

а 1п д

Пте / а21п2<Л 1 V 4тг2п2 )

п=1 4 7

1

= ^ +

п=

ОО

+

4тг2п2 2а 1пд

2 а 1п д а2 1п2 а + 4п2п2

п=1 ^

д2а 1пд 4п2

Г

Ж—

аг 1пд^ 2п ,

которые справедливы во всей комплексной плоскости, за исключением простых полюсов.

Перейдем к более сложному случаю. Пусть д < г — произвольные простые числа, А = {д, г} — двухэлементное множество, А(0) = {1, д, г} и М(д, г) = {дVr^i|V, л ^ 0} — произведение двух

ственно, тогда

С(А|а) = — + —,

'у 17 да ^а1

1 те (_1)v+/^ (

е*(А(о)|оо = 1 , 1 = £ ( ) "!"!

1 + — + — -1- I п а I

(д )с

да 1 га V, ц=о

( 1)у(т) (V(т))!

(—1) ( ) "ПК)Г

Ер\т , ,

-—- (а = а + %г,а>аА > 0),

тем (д,г)

ти

((М( д, т)Уу)= £ (^ц«

п,т=о

11

-ц- ■-ц- (а = а + гI, а > 0),

1 — 1 1 — г"

(25)

(26) (27)

С(М(д, г),А(о)|а) =

Е

I п,т=о

гу>т)с

1 - 1 1 - 1 1+ 1 + -1

-1- п ос ,*> ос \ п ос \

Е

. v,ju=0

д" г"

ОО

да I га

п т

(д

v+^l

V+Ц (г/ + л)!

). гт.)п / у / у( ) г/!д!

п,т=0 4-1 V=0 ^=0

Е

V (а = а + гг,а>а* (0)),

тем (Р„)

ти

(28)

где

»(? Vя) = ££(—:[)

v=0^=0

v+(u (г/ +л)!

и!/л!

В общем случае, когда < ... < — произвольные простые числа, п € М(д 1,..., ), то для

п = д™1 ... д^к, п,1,...,пк ^ 1

1

1

1

1

1

имеем

"-1 Пк

*(*) = £... £ (-1Г+...+-(^+...+у*)!.

=0 «ь=0 П (^г)!

г=1

5. Примеры моноидов с однозначным разложением на простые элементы

Рассмотрим множество псевдопростых четных чисел

¿3,1,2,2 = Ь = 3п + 2, п ^ 1} и минимальный моноид М(.Аз,1,2,2) для которого выполнено соотношение

М(А3,1,2,2) = { п = П(2^)с

р|га

р е Рз,2, Р > ^ .

М( А3,1,2,2)

тели. Поэтому для дзета-функции этого моноида имеет место разложение в Эйлерово произведение

С(М(Аз,1,2,2)|а) = Р(М(Аз,1,2,2)|а) = П (1 - 72^) .

п п(1) п(2)

ламп

п = ^ , п(1) = П , п(2) = 2"2.

р|га р|га,р>2

Ясно, что если 2 /п, то п(2) = 1.

Лемма 13. Справедливо равенство

^(п(1))

С* (М (Аз,1,2,2)|а)= £

п"

гаем (Аэ, 1,2,2)

Доказательство. Действительно, если п е М(Азд,2,2), то п = П (2р)"р и

р|га,р>2

п(1) = П , п(2) = 2"2,

р|га, р>2

где «2 = X] ар

р|га, р>2

Так как

С(М(Аз,и,2)|а)=п^/ ,.,= П 0 - Щ")

реРэ,2,р>2

1 + £ (-1)" £ = £ м(п(1))

2" и1 ■ ... ■ и, ^ п"

"=1 2<р1<...<р^ еРэ,2 гаеМ(Аэ,1,2,2)

то утверждение леммы доказано. □

Доказанная лемма — частный случай следующего общего утверждения.

р

Теорема 8. Если М — моноид с однозначным разложением, на простые множители, то справедливо равенство

с ( М И = п (1 - ¡^) = £ ^ •

геР(м) 4 7 пем

где ^м (п) — обобщённая функция Мёбиуса, заданная, равенствами

(1, при п = 1,

(—1)и, при п = Г1 ... , Г1 < ... < е Р(М), 0, при п = г2П1, г,п1 е М, г > 1.

Доказательство. М

эйлерово произведение и мы легко находим обратный ряд

ами = р(м\а) = п (1 — 1,

е Р( м)

<*(М\а)= П (1 — ^) = £ ^

е Р( м) пе м

и теорема полностью доказана. □

Следующая конструкция даёт несчетное множество моноидов с однозначным разложением на простые множители.

Пусть Р — произвольное непустое собственное подмножество множества Р всех простых чисел. Через Р обозначим его непустое дополнение: Р = Р \ Р. Рассмотрим произвольную функцию / : Р ^ М(Р). Моноид М(Р, /) определим следующим равенством

М (Р, /) = \п = Ц(/(р)р)а? реР

у] аР < то

ре Р

п М( Р, ) п( Р) п( Р) ламп _

п = П (¡шар, п(р) = п рар, п(р) = п шгр.

ре Р ре Р ре Р

Теорема 9. Для любого множества прост,ых Р и любой функции f : Р ^ М(Р) мо-М( Р, )

((М(Р, /)\а) имеется разложение в эйлерово произведение

((М( Р /)И = Р(М(Р л\а) = П (1 — (Т(^) 1.

Для множества Р(М(Р, ¡)) простых элементов моноида М(Р, /) выполняется равенство

Р (М (Р, /)) = {¡(р)р\реР}.

Справедливо равенство

а.МР/)\а)= п (1 — ^) = £ •

геР(м(Р,/)) 4 ' пем(Р,/)

где ^м(р,/) (п) _ обобщённая функция Мёбиуса, заданная, равенствами

{1, при п = 1,

(-1)^, при п = п ... /V, п < ... < /V е Р(М(Р, /)), 0, при п = г2П1, г, П1 еМ (Р, /), г > 1.

Доказательство. Действительно, пусть

П ( /(р»ар = П ( / (р)р)3р,

рер рер

тогда в силу основной теоремы арифметики имеем

П = П г/р, П №))ар = П (/(р))3р.

рер рер рер рер

Из первого равенства следует, что для любого ре Р выполняется равенство показателей степеней: ар = ¿6р. тем самым однозначность разложения на простые элементы доказана. Одновременно отсюда следует, что Р(М(Р, /)) = {/(р)р|р е Р}. Все остальные утверждения теоремы вытекают из однозначности разложения на простые элементы. □

Так как различных подмножеств счетного множества несчетное множество, то мы получаем несчетное множество различных моноидов М(Р, /) с однозначным разложением на простые элементы.

Рассмотренную конструкцию можно обобщить следующим образом. Прежде всего заметим, что моноиды М(Р) и М(Р) взаимно просты. Пусть п (г е /) — конечная или бесконечная

М( Р)

и / — произвольная функция на последовательности п с /(Гг) е М(Р). Моноид М(г^,/, /) определим следующим равенством

|п = П (/(П) П < то! .

I ге/ ге/ J

М(гг,/, /) = п = П(/(Гг)Гг) I ге/

Для любого натурального числа п из М(Гг, /, /) определим два сомножителя п(/\ п(^',/) формулами

п = П(/( п) п)", п(/) = П С, п(/^ = П(/( . ¿е/ ¿е/ ¿е/

г ( е )

туральных чисел больше 1 из моноида М(Р) и любой функции / с /(гг) е М(Р) моно-М( г, , )

£(М(Гг,/, /)|а) имеется разложение в эйлерово произведение

аМ(^ ^ /)|а) = Р(М(^ /)|а) = П (1 - (Д^)") 1.

Для множества Р(М(гг,/, /)) простых элементов моноида М(гг,/, /) выполняется равенство

Р( М( г, , )) = { ( г) г| е }.

Справедливо равенство

<•(М(„,/,/)!„) = п(1 - ) = Е •

геЛ ( /(Гг)Гг) / пем(г*,/,/) п

где ^м(п,1,/)(п) _ обобщённая функция Мёбиуса, заданная, равенствами 1, при п = 1,

Vм (п,1,/}(п) = { (-1)", при п = (/() )... (/(Гъ) Гъ), П-1 <...< (г ^ е I, 1 < р < ^), 0, при п = Г2П1, Г,П1 еМ(Гг,/, /),Г> 1.

Доказательство. Действительно, пусть

П(/(Г г) ^ = П(/( ^ ^,

ге! ге1

тогда в силу основной теоремы арифметики имеем

П Г? = П Ггг, П(/(Гг))аг = П(/('г))13*.

г€1 г€1 г€1 г€1

Из первого равенства следует, что для любого г е I выполняется равенство показателей степеней: аг = Рг. Тем самым однозначность разложения па простые элементы доказана. Одновременно отсюда следует, что Р(М(Гг,1, /)) = {/(гг)гг|г е I}. Все остальные утверждения теоремы вытекают из однозначности разложения па простые элементы. □

Остановимся на вопросе о количестве простых элементов в моноиде М(А), не превосходящих ж, которое будем обозначать через км(а)(х)• В общем случае это непростая задача, однако для случая любой экспоненциальной последовательности простых чисел РЕ = {р\,р2,... ,Рп,...} и моноида М(РЕ) можно дать удовлетворительный ответ.

Теорема 11. Для любого д ^ 2 и любой экспоненциальной последовательности простых чисел РЕ = {р1,р2,..., рп,...} для количества простых элементов в моноиде М (РЕ), не х

■м(РЕ) (х) = КРЕ(х) = 1ПХ - ОрЕ(х),

где 0 < врЕ(х) < 2.

Доказательство. Действительно, по определению экспоненциальной последовательно' сти простых чисел имеем: qv ^ pv < q(и ^ 1) Поэтому, если qn ^ х < qn+1, тс п — 1 ^ жре(х) ^ п. Но п ^ |nf <п + 1- Отсюда следует утверждение теоремы. □

Лемма 14. Для в ре (х) при qn ^ х < qn+1 справедливо равенство

0 (х) - / — _ 1п Pn\ + i In Pn\ \ ln q ln q J \ ln q J '

Доказательство. Действительно,

Г 1пх — lupn 1 = i 1 + fe} — { fe} , ПРИ ^ <х< Pn, l1n9 1nq J | jlnf} — {тПу} , npnpn ^ х < qn+1

□

6. Дзета-функция множества простых элементов моноида

Предыдущие утверждения переносятся со случая множества простых Р на случай моноида М(Гг, /, /) с однозначным разложением на простые элементы и множества его простых элементов Р(М(Гг, /, /)). Будем для краткости считать, что А = Р(М(Гг, /, /)), М(А) = М(Гг, /, /). Через = /(гг)гг ( г е /) будем обозначать простые элементы из А.

Пусть г^(п) — количество различных простых элементов моноида М(А), делящих число п е М(А), а ^д(п) — общее число простых элементов, на которые разлагается число п с

учётом их кратности. Таким образом, если п = П <?г ■ — каноническое разложение числа п

^(га)

на простые элементы моноида М(А) 1 < г1 < ... < ^л(га), то Уд(п) = ^

^=1

Функция гд(п) является аддитивной арифметической функцией на моноиде М(А), так как для любых взаимно простых относительно делимости в М(А) п и т имеем

г/л(п т) = г/^(п) + гм(т).

Функция Уд(п) является вполне аддитивной арифметической функцией на моноиде М(А),

п т М( А)

Уд(пт) = Уд(п) + Уд(т).

Обозначим через N ^(А) ( г/ ^ 0) множество всех натуральных чисел п из М(А) с Уд(п) = г. Ясно, что справедливо разбиение

M (A) = Q N (A), Nq(a) = {1}, N (А) П ^(А) = 0 (î/ = ^). (29)

i=0

Нетрудно видеть, что

Ni(A) = A, N(А) = N_i(A) ■ А (г/ ^ 0).

Для дальнейшего нам потребуется ещё одна мультипликативная функция rad^(n) — радикал натурального числа из M (А), которая определяется следующими условиями

гаёл(п)|п, z^(n) = ^(rad^n)), ^(rad^n)) = VA(racU(n)).

Другими словами, если n = П <7i Л т0 racU(n) = П (j^..

i=i j i=i В силу разбиения (29) можно определить единую функцию ж^(п) такую, что

С(А|а)= Е ^ (" > 0).

ra€N„ (А)

Лемма 15. Справедливы рекуррентные соотношения

ж^(1) = 1, ж^(п) = £ жа ( (n > 1).

Доказательство. Первое утверждение тривиально.

Пусть V = 1, тогда А) = А и ха(т) = 1 и утверждение леммы выполнено. Пусть V > 1, тогда

С (А|а) = I Е "а"- ) £ г° = £ £ ха\р) ,

\пем^-1(а) ) геа пем^(а) г|п, геа 4 7

□

Лемма 16. Справедливо равенство

Шп))!

ха(п) =

П ( «г)!'

rln, reA

п

п = 1

Пусть п = т > 1 и для всех п < т утверждение леммы выполнено. Предположим, что "к

т = П 1 тогда по лемме 15 имеем:

"=1

,, /п\ ^ («ri + ... + «rk - 1)!«

ха(п) = 4 " ■ ' 1 4 1 к

К / \ К

Еха(-) = Е

rj ^ П («r)!

r|n, reA

(ari + ... + a.rk - 1)!(ari + ... + «rk) _ (VA(n))!

П К)! п (аг)!'

| п, е А | п, е А

что доказывает утверждение леммы. □

Будем через Ао обозначать объедипение Ао = {1} и А.

Теорема 12. Справедливо равенство

( 1)уа(п) (уа(п))\

( 1) П К)! Г(Ао|а) = 1+ £ -^^^.

пем *(а)

Доказательство. Действительно,

ха(п)

<х <х

С(Ао\а) = 1 + Y^(-1)uC(A\a) = 1 + £(-1)" £ ^

"=1 "=1 n€N^ (а)

v (-1)ул(п)ха(п) = 1 + v VA(n) (Va(u))\ 2

+ ^ па + ^ ( ) П («r)! п

пем *(а) пем *(а) r\n,reA

что и доказывает утверждение теоремы. □

Обозначим через С,(М( А),Мо\«) отношение двух дзета-функций:

С( М (А),Ас\«) = С(М (А)\«)(-1(Ао\«). Обозначим коэффициенты соответствующего ряда Дирихле через Уа(п):

((М (А), Ао\«) = 1+ £ У-АП, уа(1) = 1.

пем *(А)

и

Лемма 17. Справедливо рекуррентное ра венет во

(Ю

Ып) = 1 - £ /м(-).

г|»г, гба

Доказательство. Действительно,

С(«) = 1 + £ , Ро1«) = 1 + £ Е , с(Рс1«) = 1 + Е ^,

.=1 «е^ .=1 «е^ гаеР

поэтому

«N.1«) = £ ^ + ( Е ^) «Р°>. 1 = + Е»(п) ■

что и доказывает утверждение леммы. □ Лемма 18. Справедливо равенство

1+ (-!)"

//(ра) =

Доказательство. Действительно,

2^ п , - _ 1 + (-1)С

//(Р а) = 1 - //(Р а-1),

поэтому

//(р) = 0, //(р2) = 1, //(р3) = 0,..., //(ра) = 2 что и доказывает утверждение леммы. □

Лемма 19. Если n = rad(n), то справедливы, равенства

/(n) = (-1)"<"Mn)). f 1 + Е <=£V lim /(П)(-1>у'"' = 1.

Доказательство. Действительно, если n = rad(n), то n = ...P^(n; и Рм = Ра пРи ß = A.

( n) = 1 n =

Далее проведём индукцию по величине z/(n), получим при г/(п) = m + 1:

/ m (_1)/Л / m+1 (-1)^

/(n) = 1 - (m + 1)(-1)mm! ( 1 + £ Ц^ I = (-1)m+1(m + 1)! ( 1 + J] )

V m=I ß! / V ^=1 ß!

□

7. Общий вид моноида натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы

Из предыдущих рассмотрений возникает естественный вопрос об общем виде моноида натуральных чисел М(А), где А — множество его простых элементов, с однозначным разложением на простые элементы. Будем элементы из А обозначать через Таким образом

А = {<?1 < <?2 < ... < <?П <...}.

(30)

Допускается как конечное множество А, так и бесконечное. Определим конечную или бесконечную последовательность вложенных множеств Ап, где

Ап = {д! <д2<...< дп}. (31)

Последовательность вложенных множеств вида (31) порождает последовательность вложенных моноидов

{1} С М(А1) С М(А2) С ... С М(Ап) С ... С М(А). (32)

Лемма 20. Если А ^ бесконечное множество простых элементов и М(А) — моноид с однозначным, разложением на простые элементы, то

оА = ом (А). (33)

Доказательство. Действительно, из однозначности разложения па простые элементы следует, что дзета-функция моноида М(А) равна эйлерову произведению Р(М(А)|а):

1 те / 1 \ -1

С(М(А)|а) = £ - = П 1 - ^ =Р(М(АШ

пем(а) г=1 4 Ч% /

Прологарифмируем эйлерово произведение в правой полуплоскости о > ом(а)> получим

тете

1пС (М (А)|а) = ЕЕ ^ = С(А|а) + ^ А (а),

п=1т=1 п

где

тете 1

<№) = Е Е

т дп?"

п=1т=2 Чп

При а > а а имеем:

< т=2 тяпг v 0-п) ^ тдпт7 (т - 1) с7 )

2 т=2тдта V Чп) \_отс7 - 1)ч

и -1 У1 - у

V €) 12 дп

1 П-ЧV_1_= <

vU V 2 gl- т=3 (т - 1)тдта ) "2q%> 1 - ¿ 23- 3

< 2е (1 + з(2--•

Отсюда вытекают неравенства

5« А|2а) < «аИ < ^¡¡а) (l + 3(2—1)) •

Таким образом, ряд для 0а(о) сходится в толуплоскости а > Уг > 0 и логарифм эйлерова произведения существует при а > а а Отсюда следует утверждени е леммы. □

Лемма 21. Если А — бесконечное множество простых элементов и М(А) — моноид с однозначным, разложением на простые элементы, то для любого натурального п имеем, ам(а„) = 0 и в правой полуплоскости а > 0 справедливо разложение в эйлерово произведение

1 п / 1 \ -1 С(М(Ап)|а)= £ - = П 1 - ^ =Р(М(Ап)|а). (34)

пем(а„) í=ik Чг 7

Кроме того, в любой полуплоскости а ^ а0 > а а равномерно сходится предел,

lim С ( М(Ап)|а) = С (М(А)|а). (35)

п^-те

Доказательство. Действительно, из однозначности разложения на простые элементы следует равенство (35). Более того, из равенства

С(М( А„)|«) = П (1 - Л

г

1

вытекает, что ((М(Ага)|а) — аналитическая функция на всей комплексной плоскости, кроме точки а = 0, в которой у неё полюс порядка п. При этом в левой полуплоскости а < 0 имеет место функциональное уравнение

с ( М(Ап)|а) = (-1)(91... ^ГС ( М( Ап)| - а).

Обозначим через Хм^4)(т) характеристическую функцию моноида М(А), а через — Хм(А„)(т) характеристическую функцию моноида М(Ага):

, , ( 1, при т е М(А), , . Г 1, при т е М(Ага),

Хм(^)(т)^о^рит е N \М(А), Хм(^™)(т) = \ 0, при т е N \М(Ага).

Ясно, что 0 < Хм(а)(т) - Хм(а„) (т) < 1 и Хм(¿)(т) - Хм(ап)(т) = 0 при 1 < т < дга.

Пользуясь этими обозначениями, получим

к (М (Ага)|а) - С( М (А)|а) | =

^ Хм(А)(т) - Хм(Ап)(т)

т

т> д„

<

, ^ 1 - Хм(Ап)(т)

^ >--0 при п —> оо.

^ тСТ0

тем (А),т>

□

Определим множество простых Рга(А) равенством

Рга(А) = (р | р| 91 ...

Количество элементов в Рга(А) обозначим через Так как выполнена цепочка вложений

Р1(А) с Р2(А) с ... с Рга(А) с ... с Рте(А),

оо

где Ро(А) = У Рга(А), то определим единую нумерацию простых чисел из Ро(А) следующим

га=1

образом:

{ркп+1 < №п+1 < ... < №п+1} = Рп+1(А) \ Рп(А).

г

а«,г = (а„,г,1,..., ага,г,кп),

исходя из равенства

кп

9г = П (г < п).

.=1

Лемма 22. Если справедливо неравенство

< п,

то в моноиде М(Ага) отсутствует единственность разложения на простые множители.

Доказательство. Действительно, рассмотрим рациональное линейное арифметическое пространство 0>к" размерноети < п. Отсюда следует, что п векторов а«,г (1 ^ г ^ п) будут линейно зависимы. Таким образом, найдутся п рациональных чисел А^ (1 ^ г ^ п), одновременно неравные нулю, такие что

=1

а^

0.

Представив рациональные числа А^ (1 ^ г ^ п) в виде А^ = т^) ГДе М — наименьший общий знаменатель, а т^ — целые числа, получим

Отсюда следует, что

£ т^г = 0. г=1

Пт^ | i —т^

т^>0 т^<0

Следовательно, однозначность разложения на простые элементы нарушена и утверждение □

Лемма 23. Если справедливо равенство

= п,

то моноид М(Ага) имеет единственность разложения на простые множители тогда и только тогда, когда

ага, 1,1 . . . ага, 1,и

ага,га,1

= 0.

Доказательство. Действительно, из доказательства предыдущей леммы видно, что если вектора показателей линейно зависимые, то однозначность разложения на простые элементы отсутствует.

Если выполнено условие леммы, то вектора показателей будут линейно независимы.

С другой стороны, если однозначность разложения на простые элементы отсутствует, то

□

Лемма 24. Если справедливо неравенство

> п,

то моноид М(Ага) имеет единственность разложения на простые множители тогда и только тогда, когда в матрице

(

а„,1,1

ага, 1,к"

\

\ ага,»г,1 . . . ага,»г,кп )

п

Доказательство. Действительно, наличие такого минора является необходимым и достаточным условием линейной независимости векторов показателей, что, в свою очередь, является необходимым и достаточным условием однозначности разложения на простые множи-

□

А М( А)

ет единственность разложения на простые множители тогда и только тогда, когда для любого п в матрице

/ а„,1,1 ... ап,1,к„ \

\ ага,га,1 . . . ага,га,кп )

п

Доказательство. Если условия теоремы выполнены, то любой моноид М(Ага) имеет единственность разложения на простые множители. Так как

те

М(А) = У М(Ага),

га=1

то отсюда следует утверждение теоремы. □

8. Заключение

Данная тема продолжает исследования из работы [8].

В следующих работах мы планируем рассмотреть естественно возникающие в данной области проблемы, а именно:

• аналитическое продолжение для дзета-функции произвольного моноида натуральных чисел;

• получение функционального уравнения;

• обратные ряды для дзета-функции моноида натуральных чисел без однозначного разложения на простые множители.

Важным классом моноидов натуральных чисел без однозначного разложения на простые множители, на наш взгляд, являются моноиды соответствующие подгруппам мультипликативной группы классов вычетов по произвольному модулю.

На наш взгляд, актуальным является вопрос о справедливости аналога теоремы Дэвен-порта-Хельброна для случая дзета-функции произвольного моноида натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы.

В заключении автор выражает свою глубокую признательность профессорам В. И. Иванову и В. И. Чубарикову за внимание к работе и полезные обсуждения.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. М. Айгнер Комбинаторная теория. — М.: Мир, 1982. 558 с.

2. Э. Бомбьери, А. Гош Вокруг функции Дэвенпорта-Хейльбронна // УМН, 2011. Т. 66, вып. 2(398). С. 15-66.

3. С. М. Воронин Избранные труды: Математика / Под ред. А. А. Карацубы. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2006. - 480 с.

4. С. М. Воронин, А. А. Карацуба Дзета-функция Римана. — М.: Физ-матлит, 1994. — 376 с.

5. Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. \!.. Добровольский Н. Н. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012 Т. 13. Вып. 4(44). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 4-107.

6. Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток // Доклады академии наук 2007. Т. 412, № 3. С. 302-304.

7. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Л. П. Добровольская, О. Е. Бочарова О гиперболической дзета-функции Гурвица // Чебышевский сб. 2016. Т. 17, вып. 3. С. 72-105.

8. Н. Н. Добровольский Дзета-функция моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 187-207.

9. Г. Дэвенпорт Мультипликативная теория чисел. — М.: Наука, 1971. — 200 с.

10. А. Гурвиц, Р. Курант Теория функций. — М.: Наука, 1968. — 618 с.

11. Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем. — М.: Мир, 1967. 511 с.

12. И. И. Привалов Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1977. - 444 с.

13. Р. Стенли Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990. — 440 с.

14. Е. К. Титчмарш Теория дзета-функции Римана. — М.: И-Л, 1952. — 407 с.

15. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974. 188 с.

16. Чандрасекхаран К. Арифметические функции, пер. с англ. — М.: Наука, 1975. 272 с.

17. Н. Davenport, Н. Heilbronn On the zeros of certain Dirichlet series //J. London Math. Soc. 1936. Vol. 11. P. 181-185.

18. L. P. Dobrovolskava, M. N. Dobrovolskv, N. M. Dobrovol'skii, N. N. Dobrovolskv. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices. In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. 2014. P. 23-62. DOLIO. 1007/978-3-319-03146-0^2.

REFERENCES

1. Ajgner M., 1982, Kombinatornaja teorija, Izd-vo Mir, Moskva, 558 p.

2. Bombieria E., Ghoshb A., 2011, "Around the Davenport-Heilbronn function", Uspekhi Mat. Nauk, 66:2(398) pp. 15-66.

3. Voronin S. M., 2006, Izbrannye trudy: Matematika. Pod red. A. A. Karacuby, Izd-vo MGTU im. N. Je. Baumana, Moskva, 480 p.

4. Voronin S. M., Karacuba A. A., 1994, Dzeta-funkcija Rimana, Izd-vo Fiz-matlit, Moskva, 376 p.

5. Dobrovol'skaja L. P., Dobrovol'skij M. N., Dobrovol'skij N. M., Dobrovol'skij N. N., 2012, "Giperbolicheskie dzeta-funkcii setok i reshjotok i vvchislenie optimal'nyh kojefficientov" Che-byshevskii Sbornik vol 13, №4(44) pp. 4-107.

6. Dobrovol'skij M. N., 2007, "Funkcional'noe uravnenie dlja giperbolicheskoj dzeta-funkcii celochislennvh reshetok" , Doklady akademii nauk, vol 412, № 3, pp. 302-304.

7. Dobrovolskv N. M., Dobrovolskv N. N., Soboleva V. N., Sobolev D. K., Dobrovol'skava L. P., Bocharova O. E., 2016, "On hyperbolic Hurwitz zeta function" , Chebyshevskii Sbornik, vol 17, № 3 pp. 72-105.

8. Dobrovolskv N. N., 2017, "The zeta-function is the monoid of natural numbers with unique factorization" , Chebyshevskii Sbornik, vol 18, № 4 pp. 187-207.

9. Davenport H., 1971, Mul'tiplikativnaja teorija chisel, Izd-vo Nauka, Moskva, 200 p.

10. Gurvic A., Kurant R., 1968, Teorija funkcij, Izd-vo Nauka, Moskva, 618 p.

11. Prahar K., 1967, Raspredelenie prostyh chisel, per. s nem, Izd-vo Mir, Moskva, 511 p.

12. Privalov I. I., 1977, Vvedenie v teoriju funkcij kompleksnogo peremennogo, Izd-vo Nauka, Moskva, 444 p.

13. Stenli R., 1990, Perechislitel'naja kombinatorika, Izd-vo Mir, Moskva, 440 p.

14. Titchmarsh E. K., 1952, Teorija dzeta-funkcii Rimana Izd-vo I-L, Moskva, 407 p.

15. Chandrasekharan K., 1974, Vvedenie v analiticheskuju, teoriju chisel, Izd-vo Mir, Moskva, 188 p.

16. Chandrasekharan K., 1975, Arifmeticheskie funkcii, per. s angl, Izd-vo Nauka, Moskva, 272 p.

17. Davenport H., Heilbronn H., 1936, "On the zeros of certain Dirichlet series" , J. London Math. Soc. Vol. 11. pp. 181-185.

18. Dobrovolskava L. P., Dobrovolskv M. N., Dobrovol'skii N. M., Dobrovolskv N. N., 2014, "On Hyperbolic Zeta Function of Lattices" , In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications, Vol. 211. pp. 23-62. DOLIO.1007/978-3-319-03146-0^2.