CC BY
98
MSC 11D09
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ ДИОФАНТОВА УРАВНЕНИЯ С ПОЛУПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ ИЗ КОРОТКИХ ПРОМЕЖУТКОВ
Н.А. Зинченко
Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: zinchenko@bsu.edu.ru
Аннотация. В работе доказывается асимптотическая формула для числа решений дио-фантова уравнения xy + pip2 = n, где pi и p2 — простые, а x и у — натуральные числа, при условии, что числа ргр2 лежат в промежутках [(2т)с, (2т + 1)с), где т Є N, с Є (1, 2], а простые числа pi и р-2 удовлетворяют дополнительным условиям: pi > ехр(\/1п?г ), г = 1,2.
Ключевые слова: бинарная аддитивная задача, полупростые числа, метод тригонометрических сумм, короткие (виноградовские) промежутки.
1. Введение. В 1940 году И.М. Виноградов в [1] методом тригонометрических сумм получил асимптотическую формулу для числа простых чисел, не превосходящих х и лежащих в промежутках вида [(2т)2, (2т + 1)2), т Є N .В 1986 году С.А. Гриценко в [2] вывел асимптотическую формулу для числа простых чисел, не превосходящих х и лежащих в промежутках вида
[(2т)с, (2т + 1)с) , (1)
где т Є N и с Є (1, 2]. Такие промежутки принято называть короткими или «вино-градовскими». В 1988 году С.А. Гриценко решил ряд аддитивных задач с простыми числами, лежащими в промежутках (1) (см. [3], [4]). Позднее, задачи подобного вида рассматривались в [5] А. Балогом и Дж. Фридлендером. Отметим, что в работах [3]- [5] аддитивные задачи являются тернарными, или решаются по схеме тернарной задачи.
Естественно задаться вопросом о разрешимости бинарных аддитивных задач с простыми числами из промежутков вида (1). В связи с тем, что не существует вариантов теоремы Бомбьери-Виноградова для простых чисел из промежутков вида (1), сопоставимых по силе с классической теоремой Бомбьери-Виноградова, решать бинарные аддитивные задачи с простыми числами из (1) в настоящее время не удается. Автором были решены некоторые бинарные аддитивные задачи с полупростыми числами из «виноградовских» промежутков ( [6], [7], [8]). В данной статье выводится асимптотическая формула для числа решений некоторого диофантова уравнения, которая была сформулирована в работе [7] без доказательства.
Теорема. Пусть с — произвольное число из полуинтервала (1,2], pi,p2 — простые числа,
J(n) = 1, *(п)= £ 1, i = 1, 2 •
PiP2+xy=n: PiP2+xy=n:
рг>ехр(л/1пп) Pi>exр(л/1пп) ,
{b(Pl'P2)1/c}<b
Тогда справедлива формула
J,(„) = ij(„)(l+o(!^)), J(n)~e„»hilnn, Co = jrttJLL
r= 1
2. Вспомогательные утверждения.
Лемма 1 (теорема Бруна-Титчмарша) ( [9], с. 20). Для натуральных чисел a и к, удовлетворяющих условиям (а, к) = 1 и к ^ х имеем:
/ , \ 1 (2 + П)х
ir(x,a,k) = > 1 < ———-15— ,
^ ip(k)\n(¥-)
p^x, p=amod к 4 ' к '
где п > 0 и х > х0(п).
Лемма 2. Пусть X ^ 2 и <p(m) — значение функции Эйлера (число натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m). Тогда справедливо равенство
1 , v ^ ^2(r)
m<X
^(m) ’ r=i r^(r)
Лемма 3 ( [12], с. 136). При N > 2 и целом положительном I для т(т) (число натуральных делителей т)
^2 (т(т))1 < N(1п N)21-1.
0<т^М
X
г ^и
Лемма 4 ( [10], с. 476) (теорема Бомбьери-Виноградова). Пусть Ы х = ----и при
J 1п и 2
а < к, (а, к) = 1
п(х, а, к) = 1 •
p<x p=amod к
Тогда для всякого A > 0 найдется такое B, что
V max тт(х,1,к)-----------—
^ „ (f,fc)=1 4 ' ю(к)
к^^х(Ых)~в
О' *
lnA х
Лемма 5 ( [11], с. 30). Пусть x — большое число, D ^ xl а, где
0 < а < - , (/, D) = 1 , Х\ < х , X — Х\ > х1~^
Тогда
' X — Х\ /Л \а(к)'
^2 (r(Dm + 1))к = о('Г ,/‘| (In.г Г' )
т
Xl^Dm+1^x
где а (к) — константа, зависящая только от к.
3. Доказательство теоремы 1. Доказательство теоремы разобьем на несколько этапов.
1. Сначала преобразуем сумму /1(п). Прежде всего заметим, что
Мп) = ш + О (^), (2)
где
^1(п) = ^ 1
Р1Р2+ху=п:
рг>ехр(\/1пп),
(|(Р1Р2)Ъ<^
Р1\п, Р2\п
Далее, при суммировании по pi (г = 1, 2) будем подразумевать, что pi не делит п. Обозначим через х(у) характеристическую функцию промежутка [0,1/2), продолженную периодически с периодом 1 на всю числовую ось. Тогда
М'П)= x(j(plp2)c)
pip2+xy=n:
/< | > сX f ) f \/111 n ), р2>ехр(л/1п »г )
Везде далее будем иметь в виду, что pi > exp (\/ln п), г = 1,2. Ограничивая промежутки изменения по переменным х и у, получим:
J1(n) = 2J11(n) — J12(n) , (3)
где
Лі(«) = X! Х^(р1р2)^У ЛгЫ = ^ х(^(РіР2)‘У
РіР2+ху=п: РіР2+ху=п:
Х^л/п Х^у/п, у^л/п
Рассмотрим сначала 3п(п). Ограничим дополнительно промежуток изменения пере-
1
менной х, выделив случай х ^ л/п,Р~10, где Р = п{1п1пп)3 , и оценим соответствующую ошибку. В результате, получим
3п(п) = 3[і(п) + 0(Яц(п)), (4)
где
J'iM)= х(^(Р1Рг) = ), Ru{n)= L
pip2+xy=n: pip2+xy=n:
Х^у/пР-10 л/пР~10 <Х^л/п,
pisC^/ra
Оценим сверху Rn(n). Так как сумма R11(n) соответствует слагаемым, для которых p1 f п, то из уравнения p1p2+ху = п, следует, что в этой сумме будут собраны слагаемые, для которых p1 f х, то есть (р1,х) = 1. Поэтому
Ru(n) = Y1 1 ^ S 1 ’
Pl^Vn у/пР~10<Х^у/п, , y/nP~10<X^y/n Р1<у/п
(x,pi)=1 p2=pJnmod x p2=pJnmod x
где p] — решение сравнения p1y = 1 (mod х).
Так как ^ у^п. и х ^ ^/п, то х ^ ^ . Поэтому для оценки внутренней суммы по р2 можно воспользоваться теоремой Бруна-Титчмарша (лемма 1). В результате, получим
дц(")«” Е siE
</?(;г) ' р1 1п —
^/гаР 10<.т$^/га Р1,т
Оценивая внутреннюю сумму в полученном неравенстве, рассмотрим отдельно случаи, когда р\ ^ у/п. и у/п. < р1 ^ ^/п:
V —* = а г (х, п) + <т2(х, п) ,
' р! ш —
Р1^^п Р1Х
где 1 1
<т1(х,п)= V —а2(х,п) = V —р-аг-
П1 , ' РI 1п —
1 р1х <Р1р1-т
Для оценки (7\(х, п) воспользуемся тем, ЧТО X ^ у/п., р ^ у/п.. В результате, получим
1 1 1 1п 1п п
(71 (^,/г) ^ \ —-——-= С --------- \ —< —----------- .
7—' р11п2^//г 1п п £—' р1 1п п
Р1^\/п Р1^\/п
Применяя для оценки а2(ж, п) формулу частного суммирования (преобразование Абеля [12, с. 29]), получим:
л/«
д,и ^ (1п 1п п\ 1п 1п п
du zlnln n\
сг2{х, п) = —---------—^ + О --------
./ и In и In— V 111 п )
4Л7 Хи
и In и In — V In п ) In п
уа
Следовательно,
1 In In п , .
pi In — ^ In п
Pl^^/n Р1Х
Далее, пользуясь леммой 2, получим, что
ф) у/п.Р-10 (1п1п/?)2 '
уПР 1и<х^л/п
Отсюда и из (5) имеем
п 1п 1п п 1п п п
Яи{п) < —:----------^ :---- •
1п п (1п 1п п) 2 1п 1п п
Следовательно, из (4) следует, что
Мп) = ./;,(») + о(^). (6)
Аналогично рассуждая, приходим к равенству
ы»)= £ х(|(р^){) = ^<»)+ 0(ш^) •
Р1Р2+Ху=П
причем суммирование ведется по х ^ л/п.Р~10 и у ^ л/п., а простые числа р\ и р2 больше, чем ехр(л/1п'/?,).
2. Рассмотрим 311(п) и 312(п) и выделим случаи, когда р1 ограничено сверху величиной Р, оценив при этом погрешность приближения. Для 311(п) имеем:
311(п) = /11(п) + 0(Г11(п)), (7)
где
КМ)= X! X! х(^(р1Р2)'
Х^у/пР-10 Pl^P
pip2=nmod x
rll(") =5] 5] 5] L
P2sS— ,
Pi ’
pip2=nmod x
Р<Р1^л/п xs't^nP-10 Pl^j,Y'
Оценим r11(n) сверху. Заметим, что, так как (p1,n) = 1, то имеют решения только те из сравнений p1y = n (mod х), в которых ^,х) = 1. Для всех остальных х соответственные слагаемые будут равны нулю, и поэтому
ru(n)= Y1 1= S S 1г^,пр1,х
Р<Р1^л/п Х^л/пР~10 , Р<Р1^\/п Х^у/пР~10,
(x,pi)=1 p2=pinm od x (x,pi) = 1
где p1p1 = 1 (mod х).
Так как ^ ^ у/п. ^ х, то для оценки тг, пр1, х) можно воспользоваться теоремой Бруна-Титчмарша (лемма 1). Получаем
Заметим, что число решений уравнения р1р2 = п — т, то есть ^Р1Р2 =п-т 1 — величина ограниченная. Действительно, обозначив разность п — т через п1, легко проверить, что число решений выше упомянутого уравнения не превосходит 2. Для этого рассмотрим три случая:
1) если п1 = р2, то уравнение р1р2 = п1 имеет 1 решение: р1 = р, р2 = р;
2) если п1 = д1д2, то уравнение р1р2 = п1 имеет 2 решения: р1 = д1, р2 = д2 и р1 = д2,
В работе [6] была получена оценка для внутренней суммы:
Отсюда и из леммы 2 следует, что г11(п) ^ п 1п1п1п п. Поэтому из (6) следует, что
311(п) = 311 (п) + 0(п 1п1п1п п).
Аналогично, получаем равенство:
312(п) = 312 (п) + 0(п 1п1п1п п) .
(8)
(9)
где
Р1Р2+ху=п: ехр(л/1пга)< р\^.Р, х^у/ЕР-10, у^л/п
Из (3), (8) и (9) следует,что
3^п) = 231/1(п) — 312 (п) + 0(п 1п1п1п п).
(10)
3. Оценим 312 (п):
т (т)
1.
.т^^/гаР-10 , р1р2=п-ху т^^пР-10
У^л/п
Р2 = ?1;
3) если п1 = д1д2 и п1 = р2, то уравнение р1р2 = п1 не имеет решений. Отсюда и из леммы 3 следует, что
^12 (/? ) ^ У т(?7?.) С /?.Р 10 1п /?, < /?,Р 9 < -—^--------------------------------
~ ~ 1п 1пп
т$^/пР~10
Учитывая эту оценку, из (10) и (2) получим:
J1(n) = 2J" (n) + O(nlnlnlnn) . (11)
Аналогичными рассуждениями получается формула для J(n):
J (n) = J] 1 = 2K11(n) + O(n lnlnln n), (12)
pip2+xy=n
где
Ku(n)= Y, E E x-
xsC^/raP-10 pisJP,
(pi’ n) = 1 pip2=nmod x
Для доказательства теоремы нам понадобится асимптотическая формула для K11 (n). Ожидаемый главный член этой формулы по порядку должен быть равен n ln ln n.
Заметим, что из взаимной простоты чисел p1 и n, удовлетворяющих уравнению p1p2+ ху = n, следует взаимная простота чисел p1 и х. Поэтому имеем:
Kn(n) = Е Е Е 1
Pl^P xsi^nP-10 ,
(x,pi) = 1 p2=p^nmod x
n
= Е Е ж^-.пр^х
Р1^р х^^/гаР-10, 1
(х,р1)=1
где р^ — решение сравнения р1у = 1 (mod х).
Далее, представим эту сумму в виде:
^ _ и (^)
^иЫ=Е Е +
Р1<Р х.^л/ЕР-10 ^ '
(х,Р1)=1
где
( ^ (-'Л
кЛп) = £ £ ^ ^
Р1$Р Х^^пР~10 (х,Р1)=1
Воспользовавшись теоремой Бомбьери-Виноградова (лемма 4), получим:
п 1 п 1п 1п п
кф) < ------ V — < —;---------- •
1п п р1 1п п
Р1^Р^1
Используя лемму 2, делаем заключение:
и Г-
7Г — ,npvX
Vp1 / ^(х)
1
Е Е —гг = иЕ^г Е +
Ifilx) Pi In — ф(х) V 111 '/?,
Pl^P Х.^л/ЕР-10, ' pis;pj р 1 xscv^~10-
(x,pi)=1 (x,pi)=1
поэтому
1 1 1п1пп\ . ,
кп(п) = п У2 —-—- V] + I-)• (13)
^ Р11пр 7^-ю ^ 1п /г '
ехр(\/1п»г)<р1$Р х^у/пР 10 1
(ж,рх) = 1
Преобразуем внутреннюю сумму в первом слагаемом полученного равенства:
У —= У —- У" —■
(ж,рх)=1 рх|ж
Воспользуемся теперь леммой 2:
Е = с«111 ^р~'° + 0(1) = 11п” + °((ьп^) ■
•т <^р-10,
Воспользовавшись тем, что для функции Эйлера <р(а- Ъ) > <р(а) ■ <р(Ь), <р(р) = р—1 и учитывая, что р\> ехр(\Дп п), получим:
5-ю Ф) -1 ^ -1 Ф^Ф^ ’
Х^у/пР 1и, Х1 ^л/пР~10р1 X 1^л/пР~10р1
р 1 |х
Следовательно,
у 4- = ^]пя + о(>| ‘""У
2 \(1п1п/г)2/
(х,р1) = 1
Применяя суммирование по Абелю и интегрирование по частям, получаем формулу:
1 1п1п/г гл( 1
ги 1п Л. ~ 91п п + '
р11п ~ 21п п V (1п 7г) о
ехр(\/1п»г)<р!$Р Р1
Подставляя полученные формулы в (13), имеем:
Кп(/?.) = Лпкт + о( ,П ■ (14)
4 \у/ы/г; к 7
Очевидно, что формула (14) является асимптотической.
4. Займемся получением асимптотической формулы для Л(п). Для этого воспользуемся леммой о «стаканчиках» И.М. Виноградова ( [13], с. 23) и выберем параметры г, А, а, в двумя способами.
Сначала определим эти параметры так: г = [1п ?г], А = а' = А, /3 = ^ — А. Обозначим через Х1(х) функцию, существование которой следует из леммы о «стаканчиках». Затем, при тех же г и А, положим а = —А, /3 = | + А, а соответствующую функцию обозначим как Х2(ж)- Тогда из леммы о «стаканчиках» следует, что
Х1(х) < Х(х) < Х2(х) , и
Д(гс) < Л(п) < ^(п) , (15)
где
ЬН = Е Хі > г = 1,2.
РіР2+ху=п: ' '
Рі^Р, Х^л/пР~10
Если будут получены асимптотические формулы для /і(п) и 12(п) с совпадающими главными членами, то из неравенства (15) следует, что формула с таким же главным членом будет верна и для Л(п).
Выведем асимптотическую формулу для /і(/г). Раскладывая функцию Хі(^(рір2) = ) в ряд Фурье, получим:
1\(п) = (^ + 0(А)^Кп(п) + Йі(/?) + 0(1п?г) , (16)
где
Кц(п) = ^ 1, ^(п) = ^ |^т||^т(п)| ,
ргр2+ху=п: р1$Р, 0<|т|$1п3 п
х^Р-10
5т(п)= - р1р2)етт^\ 1,(к)= ^ 1,
Р1Р2^га, жу=й,
Р1^-Р ,Т5С^Р-10
дт — коэффициент Фурье с номером т для функции Х1(п).
Оценим сумму Зт (/?.). Для этого разобьем промежуток суммирования по р\ на 0(1пР) промежутков вида (Р\, Р2], где Р\ < Р2 ^ '2Р\, ехр (л/1п п) < Р\ ^ Р. Тогда
|5т(п)| « 1п Р|5т(Рь Р2)| , 5т(Рь Р2) = - №)е™т(Р1Рз)* . (17)
РіР2^га,
Рі<рі<р2
Далее, оценим 5т(Р1,Р2):
|5т(Рь Р2)| ^ ^ | ^(п -
А-гС-р- Р1<Р1$Р2,
1 Йр1<га
Возведем обе части неравенства в квадрат и применим неравенство Коши. Используя лемму 5, получим:
|5т(рь р2)і2 ^ Е | Е ~ кріУжгт[крі)1"2
1 А-іС-р- Рі<р1$Р2,
1 крі<п
<
Е Е у(т’р^р‘2) + у Е Ег2(п-^)
1 Рі<рі^Рз Рі<р2$Рг 1 Рі<рі^Рг к^-р-
Рі=Р2 і
n
Е Е ^('Щ Pi,Р2) + О (п2 ехр ^ — -л/ln n^j ^ , (18)
Pi ^ ^ ,^^2/ V г V 2
Pi<Pi^P2 Pi<P2<P2 ,
Pl=P2
111
V(m; pi, p2) = E “ kp2)e*im{p?-pZ)ki; .
к^
Пусть Pi < p2 < p1 < P2. Оценим сумму V(m; p1; p2):
V(m; pi, p2)= E E E (1Q)
x^y/nP-10 X2<y/nP~10 к,
kpi=nmodxi , kp2=nmod X2
Рассмотрим систему сравнений
kp1 = n (mod x1) , kp2 = n (mod x2) .
относительно переменной k. Если она неразрешима, то V(m; p1; p2) = 0. Если же
система сравнений разрешима, то, она эквивалентна сравнению k = k0 (mod x3), где x3 = [x1,x2] и 0 ^ k0 < x3.
Рассмотрим внутреннюю сумму в (19). Обозначив ее через vm(p1,p2), имеем:
iii 1 1 1 1
7rnn(p-f — Р2 )кс ^ Л ^Kim(p£ —р% )х§ (£+£о) с
к к ,.........1.г, VP1
где £о = о < Со < 1.
В работе [6] для суммы ^т(р1,р2) получена оценка вида
n / ln n \
Мрърг) <----------ехР - 7тп----------\ё ’ 7 > 0 •
p1x3 V (lnln n)V
Отсюда, из (19) и (18) получаем, что |5m(Pi, Рг)| ^ /гехр(—л/1п?г) и, следовательно, из (17) следует оценка:
\Sm(«)1 ^ «ехр ^ — -Vhmj.
Используя эту оценку и (18), приходим к формуле:
Ii(n) = ^ + 0(А)^Кп(п) + О(^гехр ^ - ^-Vbnj j .
Аналогичная асимптотическая формула получается и для /2(п). Поэтому, из (15) следует, что для Р"(п) верна асимптотическая формула:
1"Лп) = + 0(А)^Кп(п) + о(пезср ( - |V/^n?г^.
Далее, из (11) получаем, что
Jn(/?.) = ^ + 0(А]^Кп(п) + 0(/?.lnlnln /?.) = ^Кц(п) + 0(/?.lnlnln/?.).
Теперь утверждение теоремы 1 следует из равенства:
J (n) = 2K11(n) + O(n lnlnln n).
На этом доказательство теоремы 1 завершено.
Заключение. Бинарная аддитивная задача, рассмотренная в статье, решена с помощью метода тригонометрических сумм И.М. Виноградова [12]. Использована идея И.М. Виноградова сглаживания двойной тригонометрической суммы (получение оценки (18)). Существенную роль в доказательстве Теоремы 1 играет оценка тригонометрической суммы вида
exp(2nixk1/c) .
k^K, k=komodx
доказательство которой проводится с использованием как теоремы о среднем значении, так и оценок ван дер Корпута по s-й производной. Рассмотренная задача решена с по-лупростыми числами p1p2 из промежутков (І). Метод Виноградова позволяет решать бинарные аддитивные задачи и для некоторых других «редких» последовательностей, «близких» к последовательности простых чисел, например, вида p1p^ из виноградов-ских промежутков.
Литература
1. Виноградов И.М. Некоторое общее свойство распределения простых чисел jj Мат. сб. -1940. - №7. - С.365-372.
2. Гриценко С.А. Об одной задаче И.М. Виноградова j j Мат. заметки. - 1986. - 39, Вып.5. -С.625-640.
3. Гриценко С.А. Тернарная проблема Гольдбаха и проблема Гольдбаха-Варинга с простыми числами, лежащими в промежутках специального вида jj УМН. - 1988. - 43; Вып.4(262). - C.203-204.
4. Гриценко С.А. Три аддитивные задачи j j Изв. РАН. Сер. мат. - 1992. - 56;№6. - C.1198-1216.
5. Balog A., Friedlander K.J. A hybrid of theorems of Vinogradov and Piatetski-Shapiro jj Pacific. J. Math. - 1992. - 156. - P.45-62.
6. Зинченко Н.А. Бинарная аддитивная задача с полупростыми числами специального вида jj Чебышевский сборник. - 2005. - VI; Вып.2 (14). - С.145-162.
7. Зинченко Н.А. Две бинарные аддитивные задачи jj Сибирские электронные математические известия. - 2006. - 3. - С.352-354.
8. Зинченко Н.А. Об одной аддитивной бинарной задаче jj Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика, информатика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. - 2007. - 7; Вып.1. - С.9-13.
9. Хооли К. Применение методов решета в теории чисел j М.: Наука, 1987. - 136 с.
10. Прахар К. Распределение простых чисел j М.: Мир, 1967. - 511 с.
11. Линник Ю.В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах j Л.: Изд-во ЛГУ,
1961. - 208 с.
12. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел j М.: Наука, 1983. - 240 c.
13. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел / М.: Наука, 1971. -162 с.
ASYMPTOTIC FORMULA OF SOLUTIONS NUMBER OF DIOPHANTINE’s EQUATIONS WITH SEMISIMPLE NUMBERS
IN SHORT INTERVALS N.A. Zinchenko
Belgorod State University,
Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: zinchenko@bsu.edu.ru
Abstract. The asymptotic formula of the solutions number of Diophantine’s equations xy + P1P2 = n is proved where pi and p2 are primes, pi > exp(\/ln n) i = 1,2; x, у are natural numbers such that p1p2 are in the [(2m)c, (2m + 1)c) and m € N, c € (1, 2].
Keywords: binary additive problem, semisimple number, trigonometric sum, short (Vinogradov) intervals.
