Об одной бинарной аддитивной задаче Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н.А. Зинченко. Об одной бинарной аддитивной задаче УДК 511

ОБ ОДНОЙ БИНАРНОЙ АДДИТИВНОЙ ЗАДАЧЕ

Н.А. Зинченко

Белгородский государственный университет, кафедра алгебры и теории чисел E-mail: [email protected]

В работе решается бинарная аддитивная задача с полупростыми числами, на которые наложены дополнительные ограничения

вида {(pip2)1} < 1.

В 1940 году И.М. Виноградов методом тригонометрических сумм получил асимптотическую формулу для числа простых чисел, не превосходящих x и лежащих в промежутках вида [(2m)2, (2m+1)2), m Є N [1].

В 1945 году Ю.В. Линник в [2] решил подобную задачу с применением формулы Мангольдта для функции Чебышева и плотностных теорем.

В 1986 году С.А. Гриценко в [3] вывел асимптотическую формулу для числа простых чисел, не превосходящих x и лежащих в промежутках вида

[(2m)c, (2m + 1)c), (1)

где m Є N и c Є (1, 2].

Заметим, что главные члены в асимптотических формулах из [1] и [3] одинаковы и равны 2¡n(x), а остаточный член в [3] имеет степенное понижение.

В 1988 году С.А. Гриценко решил ряд аддитивных задач с простыми числами, лежащими в промежутках (1) [4, 5].

Позднее задачи подобного вида рассматривались в [6] А. Балогом и Дж. Фридлендером. Отметим, что в работах [4-6] аддитивные задачи являются тернарными, или решаются по схеме тернарной задачи.

На наш взгляд, представляют интерес бинарные аддитивные задачи с простыми числами из промежутков вида (1). В настоящее время они не поддаются решению. Из исследований в этом направлении отметим работу Д. Толева [7], в которой получен специальный вариант теоремы Бомбьери-Виноградова. Однако применение этой теоремы, даже в соединении с расширенной гипотезой Римана, не дает возможности решить, например, проблему делителей Титчмарша с простыми числами из промежутков (1).

В статье [8] получена асимптотическая формула для числа решений уравнения pip2 — xy = 1, где pi и p2 — простые, а x и y — натуральные числа, при условии, что p1p2 ^ x и числа p1p2 лежат в промежутках (1).

В настоящей работе решается родственная бинарная аддитивная задача о числе решений уравнения вида xy + p1 p2 = n, где p1, p2 — простые числа, а p1p2 лежат в промежутках (1).

В работе будут использованы следующие обозначения: p1 ,p2 — простые числа; т(n) — число

различных натуральных делителей числа n; {x} — дробная часть числа x; (a, b) — наибольший

1

общий делитель чисел a и b; [a,b] — наименьшее общее кратное чисел a и b; P = n(lnln n)2; запись означает, что суммирование идет по натуральным числам x, y и простым числам p1, p2,

P1 p2+xy=n

удовлетворяющим уравнению p1p2 + xy = n, причем p1 и p2 удовлетворяют еще неравенствам p¿ >

exp(Vln n), i = 1, 2.

Сформулируем основной результат статьи.

Теорема. Пусть

J (n) = 1 J1(n) = 1-

P1P2 +xy = n p 1 p2+xy = n

{ 2 (P1P2) 1 }< 2

Тогда справедлива формула

Л(п) = ^J(n) (1 + O (1П1ПІПnЦ , где J(n) x nlnlnn.

2 ln ln n

On the Binary Additive Problem N.A. Zinchenko

Let c be a number lying in the interval (1,2]. The binary additive

problem with semiprimes piP2 such that { 1 (piP2) 1} < 2 solved in this paper.

© Н.А. Зинченко, 2007

9

Доказательство. Обозначим через ф(у) характеристическую функцию промежутка [0, 2), продолженную периодически с периодом 1 на всю числовую ось.

Тогда (п) = ^2 Ф ( 2 (Р1Р2)С) • Преобразуем 71 (п) :

-п 1 п<~, -I— -у'/1 — -г) ' '

J1(n)=2 2(P1 Р2) '1 - 2(PlP2) 0 =2J11(n) - J12(n) (2)

Pi P2+Xy = n, ' pi p2 +xy = n, ^ '

x^y'ñ y^y'ñ

Рассмотрим сначала J11 (n). Имеем

J11 (n) = Jl i(n) + O(Rn (n)),

гДе J11(n)= X! 7(2(P1P2) у ’ R11(n)= 1

pip2+xy=n, pi p2 +xy=n,

x^vnp-i0 vñP-i0 <x^yn,

Pi ^л/ñ

Пользуясь теоремой Бруна-Титчмарша [9, с.20], имеем

^(x) Ü1 ln — lnln n’

y'ñP-i0<x^V'ñ PL ^л/ñ pix

то есть

J11(n) = j; 1 (n) +O( dh)- (3)

Аналогично рассуждая, приходим к равенству

n

J12(n) = J12 (n) + O'

ln ln n

где

J12 (n)= 1(P1 P2 )

-n 1 -L -y“»/ — n \ /

(n) = > 71 2'

pi p2+xy=n, '

x^^ñP-i0

У^л/ñ

Рассмотрим Jj 1 (n) и J12 (n). Имеем

J11(n) = J11(n) + O(r11(n)),

где

,7"11 (n) = V V V 7 ^ 2

X^l/nP 10 exp(Vln n)<pi <P p2 < P1 ,

pip2=n (mod x)

rii (n) = EE E 1

P<p1 ^VnX^VnP -i0 P2 ^ Pi ’

pip2 =n (mod x)

Оценим rii(n) сверху. Имеем

rn(n) = r1 i(n) + r'/i (n),

где rii(n)= E E n (pi, xi, pi) , ri'i(n)= E E n (pi,x',pl

P<pi^vnxi< V"f 10 P<pi<УПх<уПР 10,

" P1 (x,pi ) = i

Пользуясь теоремой Бомбьери-Виноградова, получаем

rii(n) « mln E pi E ¿y'ri‘(n) < inrn E pi E ¿y•

P<p1 <л/п X1 <^ p-10 P<p1<v/n x<^/nP-i0

1 ^ Pi

Отсюда имеем r 11(n) ^ n lnlnln n.

Итак, из (3) и (4) следует, что /и(п) = Л(п) + 0(п 1п1п1п п).

Аналогично получаем равенство 712(п) = (п) + 0(п 1п1п1пп), где

712 (п) = Е 0 (2(Р1Р2) 0 •

Р1Р2+ХУ=П, Р1^Р

х^уПР-10, У^Уп Займемся получением асимптотической формулы для (п).

Воспользуемся леммой о «стаканчиках» И.М. Виноградова [10, с. 23-26] и выберем параметры г, Д, а, в двумя способами.

Сначала определим эти параметры так: г = [1пп], Д = ^2^, а = Д, в = 2 — Д. Обозначим через 01 (х) функцию, существование которой следует из леммы о «стаканчиках».

Затем, при тех же г и Д положим а = — Д, в = 2 + Д, а соответствующую функцию обозначим как 02(х).

Тогда из леммы о «стаканчиках» следует, что

01 (х) < 0(х) < -02(х),

и

11 (п) < 711(п) < /2(п), (5)

где

1 (п) = Е 2(Р1Р2) 0 ’ * = 1 2.

Р1 Р2+ХУ=П, Р1 ^Р ^ /

х^упР-10

Заметим, что если будут получены асимптотические формулы для /1(п) и /2(п) с совпадающими главными членами, то из неравенства (5) следует, что формула с таким же главным членом будет верна и для 711 (п).

Выведем асимптотическую формулу для /1 (п).

Раскладывая функцию 01 (2 (р1 р2)с) в ряд Фурье, получим

/1(п) = (^ + °(Д)) Кц(п) + ^(п) + 0(1пп),

где

К11 (п) = Е 1 “^1 (п) = Е 1^т 11^т (п)|,

Р1Р2 +ху=п, р- ^Р 0<|ш|^1п3 п

Х^УПР-10

5™(п)= Е *> — Р1Р2)е""‘(р-и) 1, ('(к)= Е !-

р1р2 ху=к

Р1^Р х^УпР-1

дт — коэффициент Фурье с номером т для функции 01.

Оценим сумму $т(п). Для этого разобьем промежуток суммирования по р1 на 0(1п Р) промежутков вида (Р1, Р2], где ехр(\/1п п) < Р1 < Р, Р1 < Р2 < 2Р1; тогда

|£ш(п)| << 1пР|£т(Р1 ,Р2)|, где ^т(Р1,Р2) = Е I'(п — Р1Р2)вПгт(р1Р2) 1 •

Р1Р2 Р1 <Р1 ^Рг

Оценим ^т(Р^1, Р2). Имеем

|^т(Р1,Р2)| < Е I Е *> — кР1)епгт(кр1) 1 •

р- Р1 <Р1^Рг кр- <п

Возведем обе части неравенства в квадрат и применим неравенство Коши. Применяя лемму из работы Линника [11, с. 30], получим:

|зт(Р1 ,Р2)|2 < РП- Е I Е — ^^1 )епгт(кр1) 112 <

1 р- Р1 <Р1^Рг

кр- <п

Математика

11

^ рГ Е Е V(m;pi,p2) + р- Е Е T2(n-kpi) = S+O in2exp Г-1 VhnlY (6)

1 Pl<pl^P2 Pi <P2 ^P2 1 Pl<Pl^P2 ' ''

Pl =P2

- П • 1 1 -где S> = — E E V(m;pi,^2), V(m; pi, P2) = E ^(n - kpi)t(n - kp2)enim(p- -p2 )k 1.

1 P- <p-<P2 Pl<P2^P2 -p-

Pl=P2

Пусть Pi < p2 < pi < P2. Оценим сумму V(m; pi5 p2). Имеем:

V(m; pi, p2)= Е Е Е enim(p1 -p21 )k 1.

xl^VnP-l0 x2^^nP-l0 pl

kpl=n (mod x-) kp2=n (mod x2)

^ „ f kpi = n (mod x-i), „ , „

Рассмотрим систему сравнении < , ; , ; относительно переменной k. Если она

[ kp2 = n (mod x2).

неразрешима, то V(m; рг, p2) = 0; если же система сравнений разрешима, то она эквивалентна

сравнению k = ko (mod x3), где

[хг,x2], если (рг,хг) = 1 и (p2,x2) = 1,

[XT5X2], если pi | xi и pi | n, но P2 t X2,

[хГ , I2], если p2 | X2 и p2 | n, но pi t Xb

JXl5 Х2], если pi | Xi, pi | n, p2 | X2, p2 | П.

X3 = <

Рассмотрим сумму

vm (pi ,P2) = E

e

^ -1 ’ k=k0 (mod x3)

111 1

> C _ Г\ C ^ -Y> C (-t _l_ c -J= k0

Имеем vm(p1?p2) = enim(pic p2c )x3c (t+i0) c, где ^, 0 ^ < 1. В работе [8] для суммы

Ї0.

, Х3

t<(n —ko) —

"-V— 0 / — Q

Vm(pi,P2) получена оценка вида Vm(pi,p2) < exP (—(ininnje) > гДе Y > 0 — константа. Отсюда

и из (6) получаем, что |Sm(P1?P2)| ^ nexp(-vlnn) и, следовательно, |Sm(n)| ^ nexp(-lnn). Используя эту оценку и (6), приходим к формуле

Ii(n) = Q + O(A)^ Kii(n) + o(nexp ^-^л/Ьп^ .

Аналогичная асимптотическая формула получается и для /2 (n).

Далее, из (4) и (5) следует, что

J11 (n) = ^ + O(A)^ K11 (n) + O(n ln ln ln n) = 1 K11(n) + O(n lnlnln n).

Аналогично получается формула 712(п) = 1 К12(п) + 0(п 1п1п1пп), где К12(п) = ^ 1.

Р1Р2 +ху = п, Р1 ^Р х^^пР-10,

Теперь утверждение теоремы следует из равенства J(п) = 2К11(п) — К12(п) + 0(п 1п1п1пп), которое выводится аналогично формуле (2).

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (грант РНП. 2.1.1.3263).

Библиографический список

1. Виноградов И.М. Некоторое общее свойство распределения простых чисел // Мат. сб. 1940. № 7. С. 365372.

2. Линник Ю.В. Об одной теореме теории простых чи-

сел // Докл. АН СССР. 1945. Т. 47. С. 7-8.

3. Гриценко С.А. Об одной задаче И.М. Виноградова // Мат. заметки. 1986. Т. 39, вып. 5. С.625-640.

4. Гриценко С.А. Тернарная проблема Гольдбаха и про-

В.В. Кривобок. О рядах Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами

блема Гольдбаха-Варинга с простыми числами, лежащими в промежутках специального вида // УМН. 1988. Т. 43, вып. 4 (262). С. 203-204.

5. Гриценко С.А. Три аддитивные задачи // Изв. РАН. Сер. мат. 1992. Т. 56, № 6. С. 1198-1216.

6. Balog A., Friedlander КJ. A hybrid of theorems of Vinogradov and Piatetski-Shapiro // Pacific. J. Math. 1992. V. 156. P. 45-62.

7. Tolev D.I. On a theorem of Bombieri-Vinogradov type for prime numbers from a thin set // Acta Arithmetica. 1997. V. 81, № 1. P. 57-68.

8. Зинченко Н.А. Бинарная аддитивная задача с полу-простыми числами специального вида // Чебышевский сборник. 2005. Т. VI, вып. 2(14). С. 145-162.

9. Хооли К. Применения методов решета в теории чисел. М.: Наука, 1987.

10. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1971.

11. Линник Ю.В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах. Л.: Изд-во ЛГУ, 1961.

УДК 511.3

О РЯДАХ ДИРИХЛЕ С КОНЕЧНОЗНАЧНЫМИ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМ! УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ РИМАНОВСКОГО ТИПА

В.В. Кривобок

Саратовский государственный университет, кафедра компьютерной алгебры и теории чисел E-mail: [email protected]

В данной работе доказывается утверждение о том, что в классе рядов Дирихле, абсолютно сходящихся в полуплоскости а > 1, имеющих конечнозначные мультипликативные коэффициенты, только L-функции Дирихле удовлетворяют функциональному уравнению римановского типа.

About Dirichle’s Rows whith Finite-Valued Multiplicative Coefficients, Satisfy the Riman’s Type Functional Equation

V.V. Krivobok

In this paper the class of absolutely convergent on the half-plane a > 1 Dirichlet series with multiplicative finite-valued coefficients is considered. We prove that only Dirichlet L-functions are solutions of a functional Riemann type equation.

Известная теорема Гамбургера [1] говорит о том, что ряд Дирихле

ГО

/ (5) = Е п?, 5 = (1)

n=1

абсолютно сходящийся в полуплоскости а > 1 и удовлетворяющий функциональному уравнению Римана

' s \ „, , _ (1-3) _ /1 — s

,2,

П_2г (!) f (s) = п_11-1Г (і-i) f (1 — s),

с точностью до константы является £-функцией Римана.

Известно также [2], что функциональному уравнению римановского типа

з 1 — з

Э2 К ^/ м=( й ^ К2—9/ (1—^ (2)

где к — натуральное, кроме ¿-функций Дирихле удовлетворяют и другие функции, определяемые рядами Дирихле (1), и даже рядами Дирихле (1) с периодическими коэффициентами.

В данной работе будет показано, что в классе рядов Дирихле вида (1) с конечнозначными мультипликативными коэффициентами только ¿-функции Дирихле удовлетворяют функциональному уравнению вида (2).

1. О РЯДАХ ДИРИХЛЕ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ С ОПРЕДЕЛЕННЫМ ПОРЯДКОМ РОСТА МОДУЛЯ В ЛЕВОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ

В работе [3] было получено условие, при котором ряд Дирихле (1) определяет целую функцию, модуль которой в левой полуплоскости растет следующим образом:

|/(5)| <Се|в|1п|?|+А|?1, (3)

где А — некоторая положительная константа.

© В.В. Кривобок, 2007

13