CC BY
40
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №11_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, Ф.З.Рахмонов
СУММА КОРОТКИХ ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ
Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан
Найдена нетривиальная оценка коротких тригонометрических сумм вида
W (x, y) = 2
k <K
2 a(m) 2 b(n)e(akmn)
G<n<G2 x-y<mn<x
Ключевые слова: короткая двойная тригонометрическая сумма - распределение дробных частей - нетривиальная оценка.
Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одной из проблем является распределение дробных частей {ар}, в которой он [1,2] получил намного более точную оценку тригонометрической суммы, чем в общем случае распределения дробных частей { аирп +... + ар} и её основу составляют нетривиальные оценки тригонометрических сумм вида
W (x) = ^
k <K
2 a(m) 2 b(n)e(akmn)
<m<F2 G <n<G2
mn<x
, a = — + —, (a, q) = 1, q q
где а(т) и Ь(п) - произвольные комплекснозначные функции, К, Р, О - натуральные, а , х - вещественные числа, Р < р < р < 2Р, О < 0г < О — 20.
Работа посвящена изучению коротких тригонометрических сумм
F <m<F
W (x, y) = 2
k<K
2 a(m) 2 b(n)e(akmn)
<m<F2 Gi <n<G2
x-y<mn<x
которые из W(х) получаются заменой условия тп — х на условие х — у < тп — х, где
-ч/х < у < , & = 1п xq.
Лемма 1. [2] Пусть Н и у произвольные целые числа, Н > 1. Тогда справедливо соотношение
y+H
2 e(ax) < min
x=y+1
r 1 Л H ^
v 2IK
W = min{a,1 -a}.
Адрес для корреспонденции: Рахмонов Зарулло. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: zarullo_r@mail.ru; Рахмонов Фируз: rakhmonov.firuz@gmail.com
Лемма 2. [2] При вещественном а, подчинённом условиям
а О
а = - + — (а, д) = 1, 1 < д < N, \О\< 1,
д д
а) для суммы
я+ч' ( 1 Л
V = 2 тп
и,
к у
д'< д, и > 0
имеем неравенство
б) а для суммы
V <¿11 + д\пд,
V = £ ^
0<2<0,5д \\а2\\
имеем неравенство
V д 1п д.
Теорема 1. Пусть в сумме Ж(х, у) выполняются условия: ¥ < у, К < у, 1 < д < Ку,
г<2 К¥
2 \а(т) \
1=тк ,1<к<К К ¥ <т<2 ¥
(1)
£ - абсолютная постоянная. Тогда при Ь(п) = 1 справедлива оценка
Щх;у)«
( 1 ¥ |1 £-+1 Ку — + — & 2 , если д < 4К¥;
К д у)
\Ку
Ку ■.— & 2 , если д > 4К¥.
Доказательство. Имеем
Ж = Ж (х; у) = 2 Ж (к )|, Ж (к) = 2 -т 2 е(актп),
к <К
¥1 <т<¥2 О '<п<0"
где
О' = шах |О,I, О" = ттI О2,—|, О" - О' < у.
т ) К т) ¥
2
с~ +1
Переходя к оценкам и применяя к внутренней сумме лемму 1, найдём
IV(к)|< X I
F' 2\\akm\
Суммируя обе части последнего неравенства по к , 1 < к < К, имеем
W < 2 l(t)mm
F <t<2 KF
v F' 2|\at[;
l(t) = 2
I a_
t=mk ,\<k < K F <m<2 F
Применяя неравенство Коши, затем соотношение (1), найдём
W2 Ку&а 2 min
t<2KF
fL
v F' 2| \at[;
Рассмотрим отдельно случаи 2КР > 0,5д и 2КР < 0,5д .
При 2КР > 0.5д, разбивая интервал изменения t на не более
2 К¥ л -+1«-
Ч Ч
интервалов вида % < t < % + ^, ^ < ^, применяя утверждение а) леммы 2, найдём
К2Ру .(у 1 ^ К2Ру(у , Л с 2{ 1 ^
Р 2 Ми Ч ) КЧ У)
q ^
N min
t=g
Jg>ca+l
При 2КР < 0.5д, воспользовавшись утверждением б) леммы 2, получим Ж2 « Ку&с" У -гг^-гг« КуЗ?и ■ = Куц&с" 1.
«0,5? 1М1
Следствие 1.1. Пусть А - абсолютная постоянная, тогда при &2Л+Са+У < ^ < КуЗ^~2А~С"~1 и
„ 2 А+ с„ +1
y > FL Ca справедлива оценка
W (x, y) = 2
k <K
2 am 2 e(^kmn)
F<m<F2 G <n<G2
x — y<mn<x
la
Доказательство. При ' с" ' С{ < АКР и у > ¡' У1' с" 1, воспользовавшись первым утверждением теоремы 1, получим
W(x,y)«Ky\
1
F
2A+c„+l
L
FL
2A+c„+l
L 2 <iC
la
А при ^ > 4KF, воспользовавшись вторым утверждением теоремы 1, найдём
Ж(х,у)«Ку
Ч
& 2 «
Ку
V Ку &
Теорема 2. Пусть в сумме Ж(х, у) выполняются условия: ¥ < у, О < у, К < у, 1 < д < Ку2х -,
2 + 2 (2)
£ и £ - абсолютные постоянные, т* = 0 или ¥ < т* < 2¥. Тогда справедлива оценка
Щх,У)«
2 Т7 -2 г„-4 14
^ 1 ¥ 2 ¥
Ку — + — + х---
I д у у )
& 2 + , если д < 2КуО;
Ку
2т7-2 4 14
дх х ¥ &
Ку2 у2
если д > 2КуО.
Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что /'(7 х х . Пользуясь неравенством Коши, найдём
Ж2 = Ж 2( х; у) = (2 \ Ж (к) \1 < К 2 \ Ж (к) \2, (3)
К к<К ) к<К
где
\Ж (к )\2
2 Ь(п) 2 а(т)е(актп)
О1 <П<О2 ¥<т<¥2
х-у<тп<х
< 2 \ь(п)\2 2
О1<п<О2 О1<п<О2
2 а(т)е(актп)
¥<т<¥2 х-у<тп<х
Воспользовавшись условием (2), находим
\Ж(k)f<¿.G&Cb 2 2 2 С1{т2у{ак{тх-т2)п).
01<П<02 ^<Щ<Р2 1\<т2<Г2
х- у<щ п< х х- у<т2 п<х
Разбивая сумму по т2 на три части, для которых соответственно выполняются условия т2 < т1,
т = т2 и т2 > т, имеем
| Ж (к) I2« С<?Сь (Жг(к) + Ж2(к) + Жъ(к)\
(4)
где
Ж(к) = 2 2 а(т1) 2 а(т2)е(ак(т1-т)п1
М/ 2 " 2/
О1 <п<О2 ¥,<Щ<¥2 ¥1<т2 <т1
Ж2(к) = 2 2 \а(т)
-у<т2 п<х 2
О1 <п<О2 ¥1< т1< ¥2
х- у<т1п<х
с„+1
¥ <т<¥
О <п<О-
1 2
1
х- у<т1 п<х
Шк) = X X а(т1) X а(т2)е(ак(т1 - т2)п1
01 <П<<Э2 Fl<ml<F2
х- у<т1 п<х
т1 <т2 <^2 х-у<т2п<х
Воспользовавшись условием (2), оценим сумму W2 (к) :
Ж2(к) = X |аИ)|2 X 1 < X |аИ)|2
F1<m1<F2
01 <п<02 F1<m1<F2
х-у<т\п<х
(у л
у+1
V т1 у
<
У
F
' F1<m1<
(5)
Суммы V(к) и V(к) оцениваются одинаково. Сделав в Wъ(к) суммирование по п внутренним, имеем
Шк) = X а(т1) X а(т2) X е(ак(т1 - т2)п) =
К <т т <т <F-,
О<п<02
х-у<т1п,т2п< х
= X а(т1) X а(т2) X в(ак(т1 - т2)п).
^ <т 0<т2-т -т
О <п<о
х-у<т1п,т2п< х
В сумме по т2, полагая т2 = Щ + т, сделаем замену переменных и при этом, имея в виду, что
т = т2 - т =
т2п - щпкх - (х - у) _ у ^ у п п п О'
найдём
Wз(к) = X а(т) X а(т + т) X е(-актп),
F1 <m1<F2 0<т<тп(Щ-щ, уО'1) 0'<п<0"
где
О' = тах
01,
т
(
О" = тт
1 У
О
х
V 2' т + ту
О"-О'<-Л__х-у <х - у-у = у < у.
т + т т т т т F
Переходя в сумме V (к) к оценкам, а затем воспользовавшись леммой 1, имеем
V (к) < X | а(т) | X | а(т + т) | тт
F1<m1< 0<т<тт( F2-т1, уО'1)
'у,
F' 2||акт||
<
<
тт
0<т< уО
Ч]
Р' 2| |акт|| ^ ^^
X | а(т) || а(щ + т) |
Обозначая через т*, 0 < т* < уО 1, такое т*, при котором сумма по щ максимальная, найдём
Ж3(кк) < 2 \а(т)\\а(т + т ) №(к), V{к) = 2 Шп
0<т< уО-
¥ <т < ¥,
^ 1 ^ ¥' 2||акт||
Воспользовавшись неравенством Коши и условием (2), имеем
Щк)« £ \а(тг)\2 Е \а(т1+т)\
Подставляя эту оценку и оценку (5) в (4), найдём
| Ж (к) |2« С(РГ(к) + у)&с«+с\ Отсюда с учётом неравенства (3), найдём
Ж2 « КС (РГ + Ку) &С«+Сь, V = 2 У(к).
к <К
Сумму V представим в виде
V = 2 Г(г) ш1п
г<КуО-
¥' 2||аг||
г' (г) = 2 1 <г( г)-
(6)
Применяя к сумме V неравенство Коши, находим
V2 <2 г2(г) 2 шт
г<КуО- г<КуО-
у 1
к ¥ 2|\аг\ у
I
К?
Ш1П
г<КуО-1
г>
к¥' 2\аг[у
Возможны следующие случаи длины суммирования по г: г) КуО 1 > 0.5д; II) КуО 1 < 0.5д. г) КуО- > 0.5д. Разбивая интервал изменения г на не более
КуО1 , Ку
—-+ 1
д дО
интервалов вида д < г < д + д', д' < д, получим
„2 К2уъ<?ъ^ . ( V «с —¿и тш
дРО1
у 1
к¥ 2\\аг\у
Применяя к сумме по г утверждение а) леммы 2, находим
К у & (у , ^ К'У( 1 ^ V —| — + д\пд ^
дРО2 ^
ТО
р) и у)
Отсюда и из квадрата неравенства (6) найдём
г=кт
-1
к <К ,т< уО
W4 < K2G2 [F2 ■ V2 + К2у2 )<?2с"+2с> «
«KZGZ F ■
K2 y
2 4 f
F 2G2
1 F
\
—+ — ^ q yj
22
L 4 + K2 y
L 2Ca + 2Cb =
(
= K 4 y4
1 F G L
— +— +-T-
2 ^—4 Л
L
2Ca+2cb +4
q y y J
Далее, воспользовавшись соотношением FG x x, находим
f
W^Ky
1 F xzFzL
2 17 2o>—4 Y
+-+ -
{Я У
y
ca +cb
L 2
ii) KyG 1 < 0.5q . Воспользовавшись утверждением б) леммы 2, получим
V2«
Ky2L3
ку2
Ky 2q
У 71—
^ II „Л Z7r< 11 pQ
FG r<0,5q ШП FG
Отсюда и из квадрата неравенства (6) с учётом соотношения FG х х, найдём
W* К4у4
(
qFG G 5?
ку2 '
2 r^-4 ^
У
^,2са+2сь+4
«К4 у4
(
АТч —2™—4 ^
qx x F L—
L 2Ca+2Cb +4
ЛУ у-
Следствие 2.1. Пусть A - абсолютная постоянная, тогда при выполнении одного из следующих условий:
i. y > max(FL4A+2Ca+2Cb+4 ,xF2A+Ca+Cb) и L 2Ca+2Cb+4A+4 < q < 2KyG—;
ii. y > xF-yL2A+Ca+Cb и 2KyG-1 < q < Ky2x-'l^—2Cb—4A—4, следует оценка
W(x,y)«^.
L
Доказательство. При выполнении неравенств условий i), воспользовавшись первым утверждением теоремы 2, получим
W{x,y)«Ky
f 1 F x2F 2L—4 ^? ^ - + — +-^—
\я у
У
л Ку L 2
А при выполнении условий И), воспользовавшись вторым утверждением теоремы 2, найдём
Ку
Щх,у)«Ку
f qx x 2F 2L—4 ^7 + 4 +-Г- J5? 2
Ky1
У
J
L
Поступило 15.09.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Виноградов И.М., Карацуба А.А. Метод тригонометрических сумм в теории чисел — Труды МИАН СССР, 1984, т. 168, с. 4 - 30.
2. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1976, 120 с.
ЗД.Рахдоонов, Ф.З.Рахдоонов
СУММАИ СУММА^ОИ ТРИГОНОМЕТРИИ ДУКАРАТАИ КУТО^
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Бах,ои гайритривиалии суммах,ои тригонометрии кутохд намуди
W (x, у) = 2
k <K
2 a(m) 2 b(n)e(akmn)
G<n<Ü2
x —y<mn<x
ёфта шудааст.
Калима^ои калиди: суммаи тригонометрии дукаратаи кутоу - тацсимшавии цисмуои касрй бауои гайритривиалй.
Z.Kh.Rakhmonov, F.Z.Rakhmonov SUM OF SHORT DOUBLE EXPONENTIAL SUMS
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Nontrivial estimate was obtained for short exponential sums of the form
w (x, у) = 2
k <K
2 a(m) 2 b(n)e(akmn)
F <m<F2 G <n<e2
x—y<mn<x
Key words: Short double exponential sum — distribution of the fractional parts — trivial estimate.
F <m<F
