CC BY
72
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №12_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, Ф.З.Рахмонов, С.Н.Исматов
ОЦЕНКА СУММ КОРОТКИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ С
ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ
Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан
2
Для сумм коротких тригонометрических сумм с простыми числами при Н » А'" .2? + и
&4 А+20 < q < KH2 N V
1 —--4A-20
найдена нетривиальная оценка вида
к=1
У K(n)e(akn)
КН а в . л ,
«—Т, а = - + — , (a,q) = l, & q q
где & = 1п Nq, К < Н, А - абсолютная постоянная. Полученная оценка является обобщением соответствующей оценки И.М.Виноградова на случай коротких тригонометрических сумм с простыми числами.
Ключевые слова: короткая тригонометрическая сумма с простыми числами - короткая двойная тригонометрическая сумма - метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами.
Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одной из проблем является распределение дробных частей [ар], в которой он [1,2] получил намного более точную оценку тригонометрической суммы чем в общем случае: пусть К - целое, К < N, а - вещественное,
а 0
а = - + —, (а,q) = 1, 1 < q < N,
q q
тогда будем иметь
Vk =у
к=1
У е{акр)
р< N
<sc KN
1+гг
1+q+n -02
q N
Основу этой оценки составляют нетривиальные оценки тригонометрических сумм вида
W (х) = у
к <K
У a(m) У b(n)e(akmn)
Gi<n<G2 mn< х
K
N-H <n<N
F <m<F
Адрес для корреспонденции: Рахмонов Зарулло. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]; Рахмонов Фируз: [email protected]; Исматов Сайфулло: [email protected]
где а(т) и Ъ(п) - произвольные комплекснозначные функции, К, Е, О - натуральные,
Е < Е < Е < 2Е, О < О < О < 2О.
Полученные в работе [3] оценки коротких тригонометрических сумм вида
Ж (х, у) = У
к <К
У а(т) У Ъ(п)е(актп)
Е <т<Е2 О <п<О2
х —у<тп< х
х
, у <
1п х
которые из Ж(х) получаются заменой условия тп < х на условия х — у < тп < х, в сочетании с методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова и методами работ [4 - 6] позволили доказать:
Теорема 1. Пусть К, Н, N и ч - натуральные числа, К < Н, А - абсолютная постоянная, 3 = 1п Nq, а - вещественное и
а = а + 4, (а, 4) = 1, *4Л+2° < q < КНт^4"" q q N
2
Тогда при Н » Къ3 + справедлива оценка
Ш
к=1
N—Н <п<N
У К(п)е(акп)
Н<п
Доказательство теоремы 1. Имеем
Я = У |Я(к)|, Я(к) = У К(п)е(акп). (1)
к=1 N—Н<п^
1
Применяя к сумме Я(к) лемму 6 работ [4,5] при г=2, п=Ы2 и /(т) = е(акт), находим
Я(к) = —2Я (к) + Я (к), (2)
Я (к) = У /(т) У 1п пе(актп),
т<и1 N—H<mn<N
Я2(к) =Уи(т1) У ^(т2)У У 1пп е(акт1т2п1п2)-
т1<Ы1 т <щ п N—H <тт2п^2 <N
Разобьём в Я (к) и Я2 (к) области изменения каждого щ , т2, п и п2 на не более 3 интервалов вида М. < т < 2М., N. < п. < 2^ , 7 = 1,2. В случае Я получим не более сумм вида
Я (к, М, Ы) = У /(т) У 1п п е(актп),
М <т<2Щ N1 <п<2 N1
N—Н <тп< N
а в случае Я2 получим не более 3 4 сумм вида
Я2(к, М, N) = У /(т1) У /(т2) У 1п п1 У е(акт1т2п1п2) =
М <т <2М1 м2 <т <2М2 ых <п <2 N N2 < п2 <2 N2
N—Н <т1т2пп2
2 N1
= | У /(щ ) У /и(т2) У У е(акт1т2п1п2 М 1п и.
1 М1<т1<2М1 М2 <т2 <2М2 max(u,N1 )<n<2N1 N2 <п2 <2«2
N—H <т1т2Щп2
Через и = тах(и, N), и < обозначим такое число и, при котором модуль подынтегральной функции принимает максимальное значение, тогда
| 1« &\32(к,М,Щ, N] < С/. < 2Кр 7 = 1,2 (3)
Я (к,М, N) = У /(т) У /л(т2) У У е(актт2пп2).
М1<т1<2М1 М 2 <т2 <2М2 U1<n<2N1 ^ <п2 <2»2
N—Н <тт2п1п2 ^
Аналогично покажем, что
{^(кМ^^^кМ,^, 81(к,М,Ю= У Кт) У (О^йп).
N—Н <тп<М
Отсюда, из (3), (2) и (1) получим
К _ _
/ = 1,2. (4)
к=1
Вводим следующие обозначения:
1 1
П = У, П Мрз = X, У < X, М < N 1. (5)
7=1 7=1
При 221У < N — Н или X > N, У < X сумма Я (к,М, N) пустая, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что У < N и 221 У > N — Н, то есть
N < у < н- (6)
Оценим суммы Я и Я отдельно и, не ограничивая общности, будем считать, что
М > М, N > N. (7)
Оценка Я . Имеем
Я=У
к=1
У /(т) У е(актп)
М <т<2М и <п<2»1
Сплошное суммирование по п является длинным, поэтому оценим сумму ^ пользуясь следствием 1.1 теоремы 1 работы [3], полагая
¥ = Мх, ¥ = 2МР в, = и,, в2 = 2Nl, х = N, у = Н, ат = 1, са = 0.
1
Согласно этой лемме, имея в виду, что М1 < N2 при
Н > N2&2А+1, & 2А+1 < q < КН&-2А-1 (8)
имеем
„ кн £
1
Оценка . Рассмотрим следующие возможные значения параметра N :
1. N > N1;
2. NW21< N < ^
1 ,
3. N < N1N.
1. N > N3. В этом случае в сумме (к, М, Ы) сплошное суммирование по п является длинным. Представляя сумму (к, М, N) в виде двойной суммы, имеем
— — X У
£2 (к,М, N) = У а(т) £ е(актп), — = МХМР2 > МХМN = —,
XV-1 <т<8УМ[1 и1 <п<2 «1
N - Н <тп< N
а(т) = £ ¡л(т^)^(т^), \ а(т) \< £ 1 <т3(т). (9)
т=т1т2П2 М1 <т1 <221 т=т^2П2 М1 <т1 <2М1
М2 <т2 <2М2,N2 <П2 <2N2 М2 <т2 <2М2,N2 <П2 <2N2
Разобьём в двойной сумме (к,М, N) область изменения т на интервалы вида ¥ < т < ¥ , ¥ < ¥ < ¥ < 2¥ . Получим не более трёх сумм вида
— — УХ 4У
ЗД М, N Л = £ ^^^^ £ е(актп), — < х < ¥< —.
¥ <т<¥ и1 <п<2 N1 Nх NI
N-Н ктп^
В сумме (к,М, N, ¥) , переходя к оценкам и суммируя по всем к , 1 < к < К с учётом (4), получим
к=1 к=1
У ^ е{актп)
Щ <п<2Щ N-Н <тп<Ы
Для оценки этой суммы применим следствие 1.1 теоремы 1 работы [3], полагая
Gi = Ui, G2 = 2Ni, х = N, y = H
'2
и проверим выполнение каждого из следующих её условий:
• для функции a(m) , пользуясь неравенством (9) и теоремой 1 работы [7], находим
.7
У | а(т) |2< У г2 (да) <sc FjS?7,
то есть са = 7 ;
• для параметра ¥ , пользуясь неравенством (6), найдём
4У 4М 2
¥ < ¥ < — <—г = 4Ы3. 1 N. N-3
Следовательно, согласно следствию 1.1 теоремы 1 работы [3], при
7-1 «2Л+8 л»2Л+8 ^ „ ^ КН „-2Л-8
<q<-^<?lAb (10)
jV
справедлива оценка
„ кн
S,
2 ^
1 -1 1
2. N< N < N3. Из соотношений (7) и условия рассматриваемого случая найдём
1 т 2 1 У 2
N3 < NN < N < N3, N3 < М,М2 =-< N3. (11)
1 2 1 12 NN
Представляя сумму (к, М, N) в виде двойной суммы, имеем
(к, М, N) = £ а(т) £ Ь(п)е(актп),
ЩМг <т<4М1М1 Щи2 <п<4 NlN2
N-Н <тn<N
а(т) = £ /и(т1) £ /(т2), \ а(т) \<т(т), (12)
М1 <Ш1 <2М1 М2 <т2 <2М2
т=т1т2
Ь(п) = £ £ 1, \Ь(п)\<т(п). (13)
Ul<nl<2Ыl ^2 <П2 <2N2
П=П1П2
Разобьём в (к,М, N) области изменения т и п соответственно на интервалы вида ¥ < т < 2¥ и в < п < в . Получим не более четырёх сумм вида
(к,М, N, ¥, в) = £ а(т) £ Ь(п)е(актп),
¥<т<2¥ в <п<в2
N-Н ктп^
F <m<F
ММ2 < е < 2МХМ, NN < О < О < 2NN.
(14)
В сумме Я2 (к,М, N, Е, О), переходя к оценкам и суммируя по всем к , 1 < к < К с учетом (4), получим
к=1
к=1
У а{т) У Ъ{п)е{актп)
О1<п<О2 N—Н <тп<М
Оценим эту сумму, воспользовавшись следствием 2.1 теоремы 2 работы [3], при х = N и у = Н и проверим выполнение каждого из следующих её условий:
• для функций а(т) и Ъ(п) , воспользовавшись неравенствами (12) и (13), согласно теореме 1 работы [7], найдем
У \а{т)\2< у г20)«Е^3, У \Ъ(п)\2< у т\п)«Сз\
01<п<02
О<п<2О
то есть са = 3 и с = 3; • из (14) и (11) следует неравенство
тах
Е&4А+2са + 2сЪ +4 &2 А+Са +Съ
, Е
< тах [ ^М1М234А+16 32А+6
ММ2
<
< тах 2N134А+16 ,Д-32А+6
I N
= 2 N 4
Таким образом, согласно следствию 2.1 теоремы 2 работы [3] при
2 Л г— ^„—4 А—16
Я » з'А+1Ь <д< ШгИ13
(15)
имеем
„ КН
^—г-
2
2 1
3. NN < N1 < N3 • Из соотношений (7), (5), (6) и условия рассматриваемого случая найдём
М > (ММ2)^ =
(у V ^ч-5лЛ2
V ^2 J
>
2—5 N
V N^2 J
>
2Г_Ы
V N3 J
>
Nу
Представляя сумму Я2 (к, М, N) в виде двойной суммы, имеем
2
^ (к,М, N) = £ /(т) £ Ь(п) е(актп), — = Мрр2 > М^Д, =—,
М1 <т<2Мх ХМ,-1 <п<8¥М~1 М1 М1
N-Н<тп<N
Ь(п) = £ /т), |Ь(п) |< £ 1 < Тз(п). (17)
п=т2ЩП2,М2 <т2 <2М2 п=т2щп2,М2 <т2 <2М2
и1 <П1 <2N1 ,П2 <П2 <2N2 и <П1<2N1^2 <П2 <2N2
Разобьём в двойной сумме $2 (к,М, N) область изменения п на интервалы вида в < п < О2 , в < в < в < 2О. Получим не более трёх сумм вида
— — УХ 4У
^2(к,М, N, в) = £ /т) £ Ь(п)е(актп), — < — < О < в < —.
М1 <т<2М1 01 <п<в2 М1 М1 М1 N-Н <тп< N
В сумме $2 (к,М, N, о) , переходя к оценкам и суммируя по всем к , 1 < к < К с учетом (4), получим
К
к=1 к=1
У //(да) ^ Ъ{п)е{актп)
Мх<т<1Мх вукпйв^
N-Н <тп<М
Оценим эту сумму воспользовавшись следствием 2.1 теоремы 2 работы [3], при х = N, у = Н и ¥ = Мх и проверим выполнение каждого из следующих её условий:
• для функций /(т) и Ь(п) , воспользовавшись неравенствами (17) согласно теоремы 1 работы [7], найдём
X \Кт)\2<М1, X | Ъ{п) |2< X т2ъ(п)«0&\
м1<т<2м1 а1<п<а1 а<п<ю
то есть с = 0 и с = 7 ;
из (5) и (16) следует неравенство
тах ¥2*А+2с"+2сь+4, ^ & 2А+с-+сь ¥
= тах
М ^А+18 ,—&2 А+
1 М
V 1 У
<
< тах(N4А+18, Д-2 2А+7) = 2А+7. N3
Таким образом, согласно следствию 2.1 теоремы 2 работы [3], при
2
Я » Л^2А+7, ^4А+18 < ц < Й/2ГУ
имеем
„ КН
Отсюда из (8), (10) и (15) при
Я » 34А+2° < д < КН2^1^-20,
ввиду (4), следует утверждение теоремы.
Поступило 15.04.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Виноградов И.М., Карацуба А.А. Метод тригонометрических сумм в теории чисел - Труды МИАН СССР. 1984. Т. 168. С. 4-30.
2. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. - М.: Наука. 1976. 120 с.
3. Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З. Сумма коротких двойных тригонометрических сумм // ДАН РТ. 2013. Т. 56. №11. С. 853-860.
4. Рахмонов З.Х. Средние значения функции Чебышева // Доклады РАН. 1993. Т. 331. №3. С. 281-282.
5. Рахмонов З.Х. Теорема о среднем значении Х?Х) и ее приложения // Известия РАН. сер. матем. 1993. Т. 57. №4. С. 55-71.
6. Рахмонов Ф.З. Оценка квадратичных тригонометрических с простыми числами // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2011. №3. С. 56-60.
7. Марджанишвили К.К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР. 1939. Т. 22, №7. С. 391-393.
ЗД.Рах,монов, Ф.З.Рахдоонов, С.Н.Исматов БА^ОИ СУММА^ОИ СУММА^ОИ ТРИГОНОМЕТРИИ КУТО^ БО
АДАД^ОИ СОДДА
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Барои суммахои суммахои тригонометрии кутох бо ададхои содда, хднгоми Я » N]Sf4 I H) ва З4120 <q< KH2N 41 20 бахои гайритривиалиинамуди
k=1
У A(n)e(akn)
N-H <n<N
Ш а в , . л
«—Т, а = - +—, (а, q) = 1, Sf q q
ёфта шудааст, ки дар ин чо 3 = 1п ^, К < Н, А - доимии мутлак аст. Бахои гирифташуда бах,ои И.М.Виноградовро дар полати суммахои тригонометрии кутох, умумй мекунад.
Калима^ои калиди: суммаи тригонометрии кутох; бо адад;ои содда - суммаи тригонометрии ду-каратаи куто; - усули ба;о;ои сумма;ои тригонометрии куто; бо адад;ои содда.
к
Z.Kh.Rakhmonov, F.Z.Rakhmonov, S.N.Ismatov ESTIMATE OF SUMS OF SHORT EXPONENTIAL SUMS OVER PRIME
NUMBERS
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Nontrivial estimate of the form
к=1
У A(n)e(akn)
N-H <n<N
KH а в , л ,
«—г, a = - +—, (a,q) = l, & q q
has been obtained for the sums of short exponential sums over prime numbers when H » N334A+16 and
34A+20 < q < KH2N 4A~20 where L = ln Nq, K < H, A is absolute constant. This result is a generalization of the corresponding Vinogradov estimate for short exponential sums over prime numbers. Key words: Short exponential sums over prime numbers - Short double exponential sum - Method for estimating exponential sums with prime numbers.
K
