Оценка сумм коротких тригонометрических сумм с простыми числами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №12_

МАТЕМАТИКА

УДК 511.325

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, Ф.З.Рахмонов, С.Н.Исматов

ОЦЕНКА СУММ КОРОТКИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ С

ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ

Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан

2

Для сумм коротких тригонометрических сумм с простыми числами при Н » А'" .2? + и

&4 А+20 < q < KH2 N V

1 —--4A-20

найдена нетривиальная оценка вида

к=1

У K(n)e(akn)

КН а в . л ,

«—Т, а = - + — , (a,q) = l, & q q

где & = 1п Nq, К < Н, А - абсолютная постоянная. Полученная оценка является обобщением соответствующей оценки И.М.Виноградова на случай коротких тригонометрических сумм с простыми числами.

Ключевые слова: короткая тригонометрическая сумма с простыми числами - короткая двойная тригонометрическая сумма - метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами.

Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одной из проблем является распределение дробных частей [ар], в которой он [1,2] получил намного более точную оценку тригонометрической суммы чем в общем случае: пусть К - целое, К < N, а - вещественное,

а 0

а = - + —, (а,q) = 1, 1 < q < N,

q q

тогда будем иметь

Vk =у

к=1

У е{акр)

р< N

<sc KN

1+гг

1+q+n -02

q N

Основу этой оценки составляют нетривиальные оценки тригонометрических сумм вида

W (х) = у

к <K

У a(m) У b(n)e(akmn)

Gi<n<G2 mn< х

K

N-H <n<N

F <m<F

Адрес для корреспонденции: Рахмонов Зарулло. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: zarullo_r@mail.ru; Рахмонов Фируз: rakhmonov.firuz@gmail.com; Исматов Сайфулло: saifullo@mail.ru

где а(т) и Ъ(п) - произвольные комплекснозначные функции, К, Е, О - натуральные,

Е < Е < Е < 2Е, О < О < О < 2О.

Полученные в работе [3] оценки коротких тригонометрических сумм вида

Ж (х, у) = У

к <К

У а(т) У Ъ(п)е(актп)

Е <т<Е2 О <п<О2

х —у<тп< х

х

, у <

1п х

которые из Ж(х) получаются заменой условия тп < х на условия х — у < тп < х, в сочетании с методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова и методами работ [4 - 6] позволили доказать:

Теорема 1. Пусть К, Н, N и ч - натуральные числа, К < Н, А - абсолютная постоянная, 3 = 1п Nq, а - вещественное и

а = а + 4, (а, 4) = 1, *4Л+2° < q < КНт^4"" q q N

2

Тогда при Н » Къ3 + справедлива оценка

Ш

к=1

N—Н <п<N

У К(п)е(акп)

Н<п

Доказательство теоремы 1. Имеем

Я = У |Я(к)|, Я(к) = У К(п)е(акп). (1)

к=1 N—Н<п^

1

Применяя к сумме Я(к) лемму 6 работ [4,5] при г=2, п=Ы2 и /(т) = е(акт), находим

Я(к) = —2Я (к) + Я (к), (2)

Я (к) = У /(т) У 1п пе(актп),

т<и1 N—H<mn<N

Я2(к) =Уи(т1) У ^(т2)У У 1пп е(акт1т2п1п2)-

т1<Ы1 т <щ п N—H <тт2п^2 <N

Разобьём в Я (к) и Я2 (к) области изменения каждого щ , т2, п и п2 на не более 3 интервалов вида М. < т < 2М., N. < п. < 2^ , 7 = 1,2. В случае Я получим не более сумм вида

Я (к, М, Ы) = У /(т) У 1п п е(актп),

М <т<2Щ N1 <п<2 N1

N—Н <тп< N

а в случае Я2 получим не более 3 4 сумм вида

Я2(к, М, N) = У /(т1) У /(т2) У 1п п1 У е(акт1т2п1п2) =

М <т <2М1 м2 <т <2М2 ых <п <2 N N2 < п2 <2 N2

N—Н <т1т2пп2

2 N1

= | У /(щ ) У /и(т2) У У е(акт1т2п1п2 М 1п и.

1 М1<т1<2М1 М2 <т2 <2М2 max(u,N1 )<n<2N1 N2 <п2 <2«2

N—H <т1т2Щп2

Через и = тах(и, N), и < обозначим такое число и, при котором модуль подынтегральной функции принимает максимальное значение, тогда

| 1« &\32(к,М,Щ, N] < С/. < 2Кр 7 = 1,2 (3)

Я (к,М, N) = У /(т) У /л(т2) У У е(актт2пп2).

М1<т1<2М1 М 2 <т2 <2М2 U1<n<2N1 ^ <п2 <2»2

N—Н <тт2п1п2 ^

Аналогично покажем, что

{^(кМ^^^кМ,^, 81(к,М,Ю= У Кт) У (О^йп).

N—Н <тп<М

Отсюда, из (3), (2) и (1) получим

К _ _

/ = 1,2. (4)

к=1

Вводим следующие обозначения:

1 1

П = У, П Мрз = X, У < X, М < N 1. (5)

7=1 7=1

При 221У < N — Н или X > N, У < X сумма Я (к,М, N) пустая, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что У < N и 221 У > N — Н, то есть

N < у < н- (6)

Оценим суммы Я и Я отдельно и, не ограничивая общности, будем считать, что

М > М, N > N. (7)

Оценка Я . Имеем

Я=У

к=1

У /(т) У е(актп)

М <т<2М и <п<2»1

Сплошное суммирование по п является длинным, поэтому оценим сумму ^ пользуясь следствием 1.1 теоремы 1 работы [3], полагая

¥ = Мх, ¥ = 2МР в, = и,, в2 = 2Nl, х = N, у = Н, ат = 1, са = 0.

1

Согласно этой лемме, имея в виду, что М1 < N2 при

Н > N2&2А+1, & 2А+1 < q < КН&-2А-1 (8)

имеем

„ кн £

1

Оценка . Рассмотрим следующие возможные значения параметра N :

1. N > N1;

2. NW21< N < ^

1 ,

3. N < N1N.

1. N > N3. В этом случае в сумме (к, М, Ы) сплошное суммирование по п является длинным. Представляя сумму (к, М, N) в виде двойной суммы, имеем

— — X У

£2 (к,М, N) = У а(т) £ е(актп), — = МХМР2 > МХМN = —,

XV-1 <т<8УМ[1 и1 <п<2 «1

N - Н <тп< N

а(т) = £ ¡л(т^)^(т^), \ а(т) \< £ 1 <т3(т). (9)

т=т1т2П2 М1 <т1 <221 т=т^2П2 М1 <т1 <2М1

М2 <т2 <2М2,N2 <П2 <2N2 М2 <т2 <2М2,N2 <П2 <2N2

Разобьём в двойной сумме (к,М, N) область изменения т на интервалы вида ¥ < т < ¥ , ¥ < ¥ < ¥ < 2¥ . Получим не более трёх сумм вида

— — УХ 4У

ЗД М, N Л = £ ^^^^ £ е(актп), — < х < ¥< —.

¥ <т<¥ и1 <п<2 N1 Nх NI

N-Н ктп^

В сумме (к,М, N, ¥) , переходя к оценкам и суммируя по всем к , 1 < к < К с учётом (4), получим

к=1 к=1

У ^ е{актп)

Щ <п<2Щ N-Н <тп<Ы

Для оценки этой суммы применим следствие 1.1 теоремы 1 работы [3], полагая

Gi = Ui, G2 = 2Ni, х = N, y = H

'2

и проверим выполнение каждого из следующих её условий:

• для функции a(m) , пользуясь неравенством (9) и теоремой 1 работы [7], находим

.7

У | а(т) |2< У г2 (да) <sc FjS?7,

то есть са = 7 ;

• для параметра ¥ , пользуясь неравенством (6), найдём

4У 4М 2

¥ < ¥ < — <—г = 4Ы3. 1 N. N-3

Следовательно, согласно следствию 1.1 теоремы 1 работы [3], при

7-1 «2Л+8 л»2Л+8 ^ „ ^ КН „-2Л-8

<q<-^<?lAb (10)

jV

справедлива оценка

„ кн

S,

2 ^

1 -1 1

2. N< N < N3. Из соотношений (7) и условия рассматриваемого случая найдём

1 т 2 1 У 2

N3 < NN < N < N3, N3 < М,М2 =-< N3. (11)

1 2 1 12 NN

Представляя сумму (к, М, N) в виде двойной суммы, имеем

(к, М, N) = £ а(т) £ Ь(п)е(актп),

ЩМг <т<4М1М1 Щи2 <п<4 NlN2

N-Н <тn<N

а(т) = £ /и(т1) £ /(т2), \ а(т) \<т(т), (12)

М1 <Ш1 <2М1 М2 <т2 <2М2

т=т1т2

Ь(п) = £ £ 1, \Ь(п)\<т(п). (13)

Ul<nl<2Ыl ^2 <П2 <2N2

П=П1П2

Разобьём в (к,М, N) области изменения т и п соответственно на интервалы вида ¥ < т < 2¥ и в < п < в . Получим не более четырёх сумм вида

(к,М, N, ¥, в) = £ а(т) £ Ь(п)е(актп),

¥<т<2¥ в <п<в2

N-Н ктп^

F <m<F

ММ2 < е < 2МХМ, NN < О < О < 2NN.

(14)

В сумме Я2 (к,М, N, Е, О), переходя к оценкам и суммируя по всем к , 1 < к < К с учетом (4), получим

к=1

к=1

У а{т) У Ъ{п)е{актп)

О1<п<О2 N—Н <тп<М

Оценим эту сумму, воспользовавшись следствием 2.1 теоремы 2 работы [3], при х = N и у = Н и проверим выполнение каждого из следующих её условий:

• для функций а(т) и Ъ(п) , воспользовавшись неравенствами (12) и (13), согласно теореме 1 работы [7], найдем

У \а{т)\2< у г20)«Е^3, У \Ъ(п)\2< у т\п)«Сз\

01<п<02

О<п<2О

то есть са = 3 и с = 3; • из (14) и (11) следует неравенство

тах

Е&4А+2са + 2сЪ +4 &2 А+Са +Съ

, Е

< тах [ ^М1М234А+16 32А+6

ММ2

<

< тах 2N134А+16 ,Д-32А+6

I N

= 2 N 4

Таким образом, согласно следствию 2.1 теоремы 2 работы [3] при

2 Л г— ^„—4 А—16

Я » з'А+1Ь <д< ШгИ13

(15)

имеем

„ КН

^—г-

2

2 1

3. NN < N1 < N3 • Из соотношений (7), (5), (6) и условия рассматриваемого случая найдём

М > (ММ2)^ =

(у V ^ч-5лЛ2

V ^2 J

>

2—5 N

V N^2 J

>

2Г_Ы

V N3 J

>

Nу

Представляя сумму Я2 (к, М, N) в виде двойной суммы, имеем

2

^ (к,М, N) = £ /(т) £ Ь(п) е(актп), — = Мрр2 > М^Д, =—,

М1 <т<2Мх ХМ,-1 <п<8¥М~1 М1 М1

N-Н<тп<N

Ь(п) = £ /т), |Ь(п) |< £ 1 < Тз(п). (17)

п=т2ЩП2,М2 <т2 <2М2 п=т2щп2,М2 <т2 <2М2

и1 <П1 <2N1 ,П2 <П2 <2N2 и <П1<2N1^2 <П2 <2N2

Разобьём в двойной сумме $2 (к,М, N) область изменения п на интервалы вида в < п < О2 , в < в < в < 2О. Получим не более трёх сумм вида

— — УХ 4У

^2(к,М, N, в) = £ /т) £ Ь(п)е(актп), — < — < О < в < —.

М1 <т<2М1 01 <п<в2 М1 М1 М1 N-Н <тп< N

В сумме $2 (к,М, N, о) , переходя к оценкам и суммируя по всем к , 1 < к < К с учетом (4), получим

К

к=1 к=1

У //(да) ^ Ъ{п)е{актп)

Мх<т<1Мх вукпйв^

N-Н <тп<М

Оценим эту сумму воспользовавшись следствием 2.1 теоремы 2 работы [3], при х = N, у = Н и ¥ = Мх и проверим выполнение каждого из следующих её условий:

• для функций /(т) и Ь(п) , воспользовавшись неравенствами (17) согласно теоремы 1 работы [7], найдём

X \Кт)\2<М1, X | Ъ{п) |2< X т2ъ(п)«0&\

м1<т<2м1 а1<п<а1 а<п<ю

то есть с = 0 и с = 7 ;

из (5) и (16) следует неравенство

тах ¥2*А+2с"+2сь+4, ^ & 2А+с-+сь ¥

= тах

М ^А+18 ,—&2 А+

1 М

V 1 У

<

< тах(N4А+18, Д-2 2А+7) = 2А+7. N3

Таким образом, согласно следствию 2.1 теоремы 2 работы [3], при

2

Я » Л^2А+7, ^4А+18 < ц < Й/2ГУ

имеем

„ КН

Отсюда из (8), (10) и (15) при

Я » 34А+2° < д < КН2^1^-20,

ввиду (4), следует утверждение теоремы.

Поступило 15.04.2013 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Виноградов И.М., Карацуба А.А. Метод тригонометрических сумм в теории чисел - Труды МИАН СССР. 1984. Т. 168. С. 4-30.

2. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. - М.: Наука. 1976. 120 с.

3. Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З. Сумма коротких двойных тригонометрических сумм // ДАН РТ. 2013. Т. 56. №11. С. 853-860.

4. Рахмонов З.Х. Средние значения функции Чебышева // Доклады РАН. 1993. Т. 331. №3. С. 281-282.

5. Рахмонов З.Х. Теорема о среднем значении Х?Х) и ее приложения // Известия РАН. сер. матем. 1993. Т. 57. №4. С. 55-71.

6. Рахмонов Ф.З. Оценка квадратичных тригонометрических с простыми числами // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2011. №3. С. 56-60.

7. Марджанишвили К.К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР. 1939. Т. 22, №7. С. 391-393.

ЗД.Рах,монов, Ф.З.Рахдоонов, С.Н.Исматов БА^ОИ СУММА^ОИ СУММА^ОИ ТРИГОНОМЕТРИИ КУТО^ БО

АДАД^ОИ СОДДА

Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Барои суммахои суммахои тригонометрии кутох бо ададхои содда, хднгоми Я » N]Sf4 I H) ва З4120 <q< KH2N 41 20 бахои гайритривиалиинамуди

k=1

У A(n)e(akn)

N-H <n<N

Ш а в , . л

«—Т, а = - +—, (а, q) = 1, Sf q q

ёфта шудааст, ки дар ин чо 3 = 1п ^, К < Н, А - доимии мутлак аст. Бахои гирифташуда бах,ои И.М.Виноградовро дар полати суммахои тригонометрии кутох, умумй мекунад.

Калима^ои калиди: суммаи тригонометрии кутох; бо адад;ои содда - суммаи тригонометрии ду-каратаи куто; - усули ба;о;ои сумма;ои тригонометрии куто; бо адад;ои содда.

к

Z.Kh.Rakhmonov, F.Z.Rakhmonov, S.N.Ismatov ESTIMATE OF SUMS OF SHORT EXPONENTIAL SUMS OVER PRIME

NUMBERS

A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Nontrivial estimate of the form

к=1

У A(n)e(akn)

N-H <n<N

KH а в , л ,

«—г, a = - +—, (a,q) = l, & q q

has been obtained for the sums of short exponential sums over prime numbers when H » N334A+16 and

34A+20 < q < KH2N 4A~20 where L = ln Nq, K < H, A is absolute constant. This result is a generalization of the corresponding Vinogradov estimate for short exponential sums over prime numbers. Key words: Short exponential sums over prime numbers - Short double exponential sum - Method for estimating exponential sums with prime numbers.

K