Об оценке коротких кубических тригонометрических сумм с функцией Мёбиуса на малых дугах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №7-8_

МАТЕМАТИКА

УДК 511.325

Б.М.Замонов

ОБ ОЦЕНКЕ КОРОТКИХ КУБИЧЕСКИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ С ФУНКЦИЕЙ МЁБИУСА НА МАЛЫХ ДУГАХ

Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 14.05.2015 г.)

4

В работе при у > х5 & 8В+290 (& = 1п х, В - абсолютная постоянная) получена нетривиальная оценка коротких кубических тригонометрических сумм с функцией Мёбиуса вида

Бз(а; х, у)= ^ /л(п)е(апъ)

х-у<п<х

в малых дугах т(&32(В+19)) при Т = у5х-2&-32(В+19).

Ключевые слова: короткая тригонометрическая сумма, функция Мёбиуса, метод И.М.Виноградова оценок тригонометрических сумм с простыми числами, малые дуги.

Пусть /л(п) - функция Мёбиуса, е{1) = ехр(2жИ). В 1937 г. Г.Дэвенпорт [1] для тригонометрической суммы с функцией Мёбиуса вида

(а, х) = ^ [л(п)е(апк),

п< х

при к = 1 доказал нетривиальную оценку

где & = 1п х и А - абсолютная постоянная. Такую же оценку для фиксированного натурального к > 2 доказал Хуа Ло-кен [2]. Короткую тригонометрическую сумму с функцией Мёбиуса впервые

5

-+£

исследовал Т.Жан [3]. Он при у > х8 и к = 1 для суммы вида

Бк(а; х у)= £ 1л(п)е(апк)

х-у<п< х

получил нетривиальную оценку вида

Адрес для корреспонденции: Замонов Бехруз Маликасрорович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: zamonov@mail.ru

11

-+£

Нетривиальную оценку для (а;х,у) при у > х16 получили Дж.Лю и Т.Жан [4]. Такая

2

2

—не ,3

нетривиальная оценка при у > х3 получена в работе [5].

Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое а из промежутка [—ж,1 — ж], ж т = 1 представимо в виде

а 1

а = — + А, (а, ц) = 1, 1 < ц <т, | Л\<—. ц цт

Через М(Р) обозначим те числа а , для которых ц < Р, через т(Р) обозначим оставшиеся а . М(Р) и т(Р) соответственно называются большими и малыми дугами. Основным результатом этой работы является нетривиальная оценка суммы £3 (а; х, у) в малых дугах т( & 32( В+19)) при

у > х8В+290, т = 32(в+19).

х2

Теорема. Пусть В > 10 - абсолютная постоянная х > х0 >0, |в| < 1, (а, ц) = 1 и

4

а = 1 + вц 2. Тогда при у > х5& 8В+290 и &32(В+20) < ц < у5~32(в+19) справедлива оценка

Доказательство теоремы проводится методом оценок сумм с простыми числами И.М.Виноградова в сочетании с методами работ [6-9]. Основными утверждениями, позволившими получить нетривиальную оценку £3 (а; х, у), являются нетривиальные оценки двойных сумм вида

Jk (а; х, у,М, Щ= £ ат £ Ъпв(а(шп)к),

М < т<2М п<2 N

х—у<тп<х

(ат и Ъп - произвольные вещественные функции, | аот |< тс (т), | Ъи | < тс (п), М, N, и > N -натуральные, х > х0, у - вещественные числа, с - абсолютная постоянная, не всё время одна и та

же), на малых дугах, соответственно имеющих «длинную» сплошную сумму (лемма 1) и имеющих близкие по порядку суммы, составляющие двойную сумму (лемма 2). Леммы 1 и 2 ранее в другой формулировке были опубликованы в работах [10-12].

Лемма 1. Пусть в сумме ^(а; х, у,М, Ы) выполняются условия: | аи | <т4(т), Ъи =1,

у/х < у < х& 1. Тогда при

1

&8А+791 < ц < у3&—8А—791, хуА+198 < N < х&—2А—8,

справедлива оценка

Доклады Академии наук Республики Таджикистан

2016, том 59, №7-8

\J3(a;x,y,M,N)

У

А '

Лемма 2. Пусть xy 1 < N < y, M < N, y < xL 1, | \<T5_k (m), | Ъп\ < тк (n), к = 1,2,3,4. Тогда справедлива оценка

I J3(a;x,y,M,N) |

{ cc 24

У

L24 xL 25 N4L

25 ArV, 4 Л

yN y4

32

L

к2-4к+12

y

x2qL25 x2L2 N4L4

y

y2N2 y4

L

к 2-4к+12

y4

0,5q> . xN

Поступило 15.05.2016 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Davenport H. On some infinite series involving arithmetical functions (II). - The Quarterly Journal of Mathematics, 1937, v. 8, №1, pp. 313-320.

2. Hua L.K. Additive theory of prime numbers. - Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1965.

3. Zhan T. Davenport's theorem in short intervals. - Chin. Ann. of Math., 1991, 12B(4):421-431.

4. Liu J., Zhan T. Estimation of exponential sums over primes in short intervals I. - Monatshefte für Mathematik, 1999, №127(1), pp. 27-41.

5. Lü G.S., Lao H.X. On exponential sums over primes in short intervals. - Monatshefte für Mathematik, 2007, №151(2), pp. 153-164.

6. Рахмонов З.Х. Теорема о среднем значении y(x,x) и ее приложения. - Известия РАН. Сер. матем., 1993, т. 57, №4, c. 55-71.

7. Рахмонов Ф.З. Оценка квадратичных тригонометрических с простыми числами. - Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика, 2011, №3, c. 56-60.

8. Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З. Сумма коротких тригонометрических сумм с простыми числами. -Доклады РАН, 2014, т. 459, №2, c. 156-157.

9. Рахмонов З.Х. Суммы характеров с простыми числами. - Чебышевский сборник, 2014, т. 15, в. 2(50), с. 73-100.

10. Рахмонов З.Х., Замонов Б.М. Короткие кубические двойные тригонометрические суммы, с «длинным» сплошным суммированием. - Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук, 2014, №4(157), с. 7-23.

11. Замонов Б.М. Об оценке коротких кубических двойных тригонометрических сумм на малых дугах. - ДАН РТ, 2015, т. 58, №6, с. 483-486.

12. Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З., Замонов Б.М. Оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм с «длинным» сплошным суммированием. - Чебышевский сборник, 2016, т. 17, №1, c. 217-231.

Б.М.Замонов

ОИД БА БАХРИ СУММАХОИ ТРИГОНОМЕТРИИ КУТОХИ КУБЙ БО ФУНКСИЯИ МЁБИУС ДАР КАМОНХОИ ХУРД

Институти математикаи ба номи А. Чураеви Академияи илм^ои Цумхурии Тоцикистон

4

Дар макола дангоми y > x5L + (L = ln x, B - доими мутлак) бадои гайритривиалй барои суммаи тригонометрии кутоди кубй бо функсияи Мёбиуси намуди

S3(a;x,y) = £ ß(n)e(an3),

x-y<n<x

дар камондои хурд m(L 32(B+19)) барои r = y5x 2L~32(B+19) гирифта шудааст.

Калима^ои калидй: суммаи тригонометрии кутоу, усули И.М.Виноградов ба бауодиуии суммауои тригонометрй бо ададуои содда, функсияи Мёбиус, камонуои хурд.

B.M.Zamonov

ESTIMATES OF SHORT CUBIC EXPONENTIAL SUMS WITH MÖBIUS FUNCTION OVER MINOR ARCS

A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

4

In this paper for y > x5L + (L = ln x, B - absolute constant) a non-trivial estimate of short cubic exponential sums with Möbius function of the form

S3(a;x,y) = £ /u(n)e(an3),

x-y<n< x

over minor arcs m( L 32( B+19)) for r = y 5x ~2l-32( b+19) was obtain.

Key words: short exponential sums, I.M.Vinogradov's estimation method for exponential sums over primes, Möbius function, minor arcs.