CC BY
21
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №1_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
С.Н.Исматов
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ДРОБНЫХ ЧАСТЕЙ {ар}, АРГУМЕНТ КОТОРОГО ПРОБЕГАЕТ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ИЗ КОРОТКОГО ИНТЕРВАЛА
Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 27.05.2014 г.)
Задача о распределении дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из короткого интервала, сведена к оценке сумм коротких тригонометрических сумм с простыми числами.
Ключевые слова: короткая тригонометрическая сумма - равномерное распределение - распределение дробных частей - простое число.
В работе задача о распределении дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из интервала малой длины (л — у, х) , сведётся к оценке тригонометрических сумм вида
UK (x, y) = 2
k <K
2 e(akP)
x-y<p<x
Доказательство проводится методом, основу которого составляют изложенные в [1] теорема 1 (с. 440) о приближении р(и) тригонометрическим полиномом и лемма 1 (с. 601) о разложении модуля их разности в ряд Фурье в сочетании с теоремой о правильном порядке числа простых чисел в интервале малой длины [2].
Теорема 1. Пусть у > х0 534, & = 1пх, А > 1 - абсолютная постоянная, М > &А и Мх = М 1п&А, тогда для ^ (х, У,&) - количество членов последовательности {ар} таких, что х — У < Р < х и {ар} <а, справедлива следующая асимптотическая формула
у, а) - а(ф) - ж(х - у)) « ^Г + i^'^Jg?
где ж(х) - количество простых чисел, не превосходящих числа х.
Доказательство. Вводим характеристическую функцию полуинтервала [0,ст) , то есть
Г1, если 0 < {и} <а;
д(и) = -Г
10, в противном случае,
Адрес для корреспонденции: Исматов Сайфулло Неъматович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: saifullo@mail.ru
которая имеет следующий явный вид д(и) = —\{и} — а]. Функцию д(и) представим с помощью функции р(и) = 0,5 — {и} . Имеем
д (и) = [и] — \.и — а] = и — {и} — {и — а — {и — <т}) = а + р(и) — р(и — а). Лемма 1. [1]. Для функции р(и) = 0.5 — {и} и натурального М > 1 справедлива формула
Р(и) = Е ^ТТ + Гм (и) \гм (и) I <¥м (и\
1<|к|<м ¥м (и) =
2жгк
Воспользовавшись при М > &л леммой 1, находим
д(и) = а + Е 1 ^ {ак У) е(ки) + Гм (и) — Гм (и — а).
1< | к | <м 2жк
При помощи функции д (и) представим функцию ^ (х, У, а) в виде
ра(x,у,а) = Е д(аР)=а(ж(х)—ж(х—у))+
х—У<Р<х
+ Е 1 — е(—(ак)) Е е(а/ср) + Е Гм (ар)— Е гм (ар — а).
1<|к|<м 2жк х—у< р<х х—у< р<х
В последнем равенстве, переходя к оценкам, получим
х— У < р< х
Ра(х, у, а) - а(ж(х) - п(х - у))«| Щх, у, а) | +1 Л(х, у, 0) | +1 Л(х, у, а)
(1)
где
Ж(х, у, а) = Е Е е(акр),
1< | к| <м 2Ж1к х—у< р<х
Я( х у,г) = Е Гм (ар — Г).
х—у<р<х
Отдельно оценим каждую из сумм Ж(х, у, а) и х, у, г) . Оценка | Ж(х, у, а) |. Переходя к оценкам, имеем
| Ж (х, y,а)| < Е
I ътжка
1 <|к| <м
як
Е е(акр)
х—У<р<х
Ж 1<к<м к
Е е(акр)
х—У<р<х
Разбивая интервал изменения 1 < к < м на не более & интервалов вида 0,5К < к < К, получим
1Ж(х, у,сг) 1«; ^тах
К<М
Е 1 ^ к
0,5К<к<К л
Е е(акр)
х-у<р<х
тах
ик{х,у)
к<м I
(2)
4
Оценка | R(x, |. Воспользуемся вышеупомянутой леммой о разложении модуля разности p(u) и приближающим её тригонометрическим полиномом в ряд Фурье, которая имеет вид: Лемма 2. [1]. Пусть задано разложение функции
vm (u) = i * .--
V1 + M sin2 nu
в ряд Фурье
VM (u) = Z che(hu\
h=-m
тогда при M > 1 и h > 0 справедлива оценка
. , , , 4 + lnM f h
|ch|=|c-1 < -м-exp I-M
Имея в виду, что (лемма 1)
L
\rM (an ~l)\ <Vm (an =
ф + М2 ж(ан — г)) и пользуясь затем при М > &А леммой 2, найдём
ад
IЧ(х у,)) I < 2 Ум (аР—)) = 2 2 ск(аР—)))-
х—У<Р<х х—у<р<х к=—ад
При Мх = М 1п &А, разбивая сумму по к на две части, для которых соответственно выполняются условия к < Мх и к > Мх, имеем
|Ч(х, у,)) | < Ч + Я2, (3)
=2 ске(—кл) 2 е(акр\
| к | <М х—у< р< х
Ч =2 2 ске(к(ар—)))■
х—У<р<х | к|>М1
Лемма 3. [2]. Пусть у > х0 534, тогда справедлива оценка
У « ж{х) - ж{х - у)■ У
1п X 1п X
Оценим R , воспользовавшись леммой 3. Имеем
1<| И<М,
ch
Z e(akp)
x-y<p<x
Оценивая коэффициенты Фурье сй при | И | < Мх, неравенством
. . . . 4 + 1п М ( к Л 4 + 1п М
|с, I=I с , I <-ехр|--<-,
к —к жМ I М) жМ
с учётом соотношения М > &А, найдём
у\пМ 1п М
Я, «
«С
Мз? м 1<|,|<м,
у\пМ 1п М
,А+\
X
щ <1 2
2 е(<*¥)
х-у<р<х
2 е(акр)
«с
х—у<р<х
& М \<к<М1
Воспользовавшись леммой 3 и оценкой коэффициентов Фурье, оценим Ч . Имеем
I 2 сЛк(аР ~ V))«- ж(х - у)) ^ I ск |<<
х-у<р<х \к\>М1 |Ц>М1
у\пМ ^ ( кЛ_у\пМ ехр(-^)_
<<С М& ¿ехр1 М) М& 1 -ехр(-~
_у 1пМ ехр (— ^)_ у 1п М 1 ехр ({М1)
<
М& ехр (М) — 1 М& ехр (М) ехр (м) — 1 у 1п М 1
<
М& ехр (М ) ехр ( мМ ) — Г
Далее воспользовавшись при | и |< 1 разложением еи = 1 + и + 0(и2), имеем
уЫМ 1
М^ехр(^) (1 + М-1 +0{М 2))-\
у 1п М__1 _ у 1п М 0( 1_ЛЛ
* ехр (М) ' 1 + 0( М-1) " ^ ехр (М) 'I + 1м
у 1п М
А+1
1 + 0 (-1 IМ
«с
у\пМ
У
А+1
Подставляя найденные оценки для Ч и Ч2, в неравенство (3), найдём
\К(х,у,г}) |<<
у\пМ 1п М
А+1
I
у\пМ
+тах
М \<к<М1
г
2 <акр)
х-у<р<х
«С
& 2 К 2
к <К
2 е(акр)
х—у<р<х
у 1п М + тах ( ^ (х,у) & ,
& А+1 К <М1
К
Отсюда и из оценки (2), с учётом соотношения (1), следует утверждение теоремы.
Из теоремы 1 для Еа (х, у,^,у) - количество членов последовательности {ар} таких, что х — У < р < х и ц< {ар} <у , причём 0 < ц<у < 1, получим:
Следствие 1.1. При выполнении условий теоремы 1 справедлива следующая асимптотическая формула
Ра (х, у, /л, у)-(у- /л)(ж(х) - ж(х - у)) « + шах
Из следствия 1.1 для отклонения
^(х, у,^,у)
Б( х, у) = Бир
0<р<у<1
ж( х — у) — ж( х)
— (у—И)
членов последовательности {ар} таких, что х — у < р < х , находим:
Следствие 1.2. При выполнении условий теоремы 1 справедлива следующая асимптотическая формула
г, , л (ик{х,у)Л
2
У
Понятие равномерного распределения значений числовых последовательностей на отрезке ввёл в математику Г.Вейль [3]. Он заложил основы теории равномерного распределения, которая получила дальнейшее развитие в теории чисел, в теории функций, классической механике. В [4,5] было введено понятие равномерной распределённости для дробных частей {атп } при условии, что х — у < т < х и доказано, что если а — иррациональное число, тогда последовательность {аш2}, х — у < т < х при у > 1п3 х, у ^ да является равномерно распределённой по модулю единица.
Мы вводим критерии Г.Вейля о равномерном распределении дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из интервала малой длины.
Из следствия 2 получаем следующий критерий равномерной распределённости по модулю единица для последовательности {ар} при условии, что аргумент р принимает значения из интервала малой длины (х — у, х].
Следствие 1.3. Последовательность {ар} таких, что х — у < р < х, является равномерно распределённой по модулю единица, если при у ^ да справедлива оценка
ик (^ у)=о [ }
Поступило 03.12.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. - М.: Дрофа, 2003.
2. Baker R., Harman G. The difference between consecutive primes. - Proc. London Math. Soc., 1996, v. 72, pp. 261-280.
3. Weyl H. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. - Math. Ann, 1916, v.77, s.313-352.
4. Рахмонов З.Х. Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля. - Учёные записки Орловского университета, серия естественные, технические и медицинские науки, 2012, 6, ч.2, с. 194-203.
5. Рахмонов З.Х., Озодбекова Н.Б., Шокамолова Дж.А. О равномерном распределении по модулю единица значений квадратичного многочлена, аргумент которого принимает значения из короткого интервала. - ДАН РТ, 2013, т.56, 4, с. 261-264.
С.Н.Исматов
ОИДИ ТАЦСИМШАВИИ ЦИСМ^ОИ КАСРИИ [ар], КИ АРГУМЕНТАШОН АДАД^ОИ СОДДАРО АЗ ИНТЕРВАЛИ КУТО^ ЦАБУЛ
МЕКУНАД
Институтиматематикаи ба номи А.Цураевй, Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Масъалаи таксимшавии кисмхои касрии [ар], ки аргументашон ададхои соддаро аз фо-силаи кутох кабул мекунад, ба бахои суммаи суммахои кутохи тригонометрй бо ададхои содда оварда шудааст.
Калима^ои калиди: суммаи тригонометрии кутоу - тацсимшавии мунтазам - тацсимшавии цисмуои касри - адади содда.
S.N.Ismatov
ON THE DISTRIBUTION OF THE FRACTIONAL PARTS OF [ар], WHICH ARGUMENT RUNS THROUGH THE PRIMES IN A SHORT INTERVAL
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan The problem of the distribution of the fractional parts of [ар] argument, which runs through the primes in a short interval is reduced to the evaluation of short sums of exponential sums with prime numbers. Key words: short exponential sum - uniform distribution - distribution of fractional parts - prime.
