CC BY
32
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №5_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, С.Н.Исматов
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ЧАСТЕЙ {ар}, АРГУМЕНТ КОТОРОГО ПРОБЕГАЕТ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ИЗ КОРОТКОГО ИНТЕРВАЛА
Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан
п Й
Для Еа(х, у,а) - количество членов последовательности {ар}, а = а + -0, (а, д) = 1 та-
д д
1 V2 - -
ких, что х- у < р<х и {ар}<<7, при у^>х3^А+16 и ^А+20 < д <ЗГ4'4'20, доказана асимптотическая формула.
Ключевые слова: короткая тригонометрическая сумма - распределение дробных частей -асимптотическая формула - простое число.
И.М.Виноградов с помощью своего метода оценок тригонометрических сумм с простыми числами, основу которого составляют метод сглаживания двойных сумм, теорема о среднем для сумм Г. Вейля и решето Виноградова, решил проблему распределения дробных частей многочлена f (р) = апрп +... + аР при условии, что р принимает значения последовательных простых чисел, не превосходящих Р [1]. В проблеме распределения дробных частей {ар} он получил намного более точную оценку остаточного члена в асимптотической формуле, чем в общем случае [2,3]. Он доказал: пусть а - вещественное, а = а / д + 0/ д2, (а, д) = 1, 0 < д < х, тогда при любом а с условием 0 <а< 1 число Ра (х,а) значений {ар}, р < х подчинённых условию {ар} <а, выразится формулой
Ра( х,а) = аж(х) + Яа(х), Яа(х)<< х1+Е - + ^ + х~0'2 .
[Ь -V ]
В частности, если а - иррациональное число с ограниченными неполными частными, то можно выбрать д таким, чтобы оно было порядка -\[х . В этом случае в проблеме распределения дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из интервала малой длины, то есть для ^ (х, У, а) - количество членов последовательности {ар} таких, что х — у < р < х и {ар} <а, имея в виду, что Ра (х, у, а) = Ра (х,а) — Ра (х — у, а), справедлива асимптотическая формула
Fa (X у, а) = а(ж(х) -ж{х - у)) + О (х
Л/5+e
Адрес для корреспонденции: Рахмонов Зарулло, Исматов Сайфулло. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АНРТ. E-mail: zarullo_r@mail.ru; saifullo@mail.ru
являющаяся нетривиальной при у X5 . Для величин у , порядок которых меньше порядка х5 и произвольных а вопрос распределения дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из короткого интервала (X — у, х], оставался открытым.
Полученная в работах [4-6] нетривиальная оценка Ук (х, у) - сумм коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами, позволила доказать теорему о законе распределения дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из короткого интервала (X — у, х] для более коротких интервалов и для всех иррациональных а и рациональных а с большими знаменателями.
Теорема 1. Пусть х, у ид - натуральные числа, А > 3 - абсолютная постоянная, & = 1п хд, а - вещественное и
.2
а = а + (а, д) = 1, |0|< 1, ^+20 < д < у 20. д д х
Тогда для Еа(х, у,&) - количество членов последовательности {ар} таких, что х — у < р < х и {ар} < (У, при у » хъ£^Л+1в справедлива следующая асимптотическая формула
Ра( ^ у,^) = х) — ж( х — у)) + О
В процессе доказательства воспользуемся следующими леммами.
Лемма 1. [5]. Пусть К, Н, N и д - натуральные числа, К < Н, А - абсолютная постоянная, & = 1п Nд, а - вещественное и
а = а + 4, (а, д) = 1, ^-20 < д < КН-4^20. д д N
Тогда при Я » Л'"^1'1 справедлива оценка
КН
VK (N, H) = ^
k=1
Z e(akp)
N-H < p<N
<sc
:+i
Лемма 2. [7]. Пусть y > x0 534 , L = ln x, A > 1 - абсолютная постоянная, M > L4 и Ml = M ln L4, тогда для Fa (x, y,<) - количество членов последовательности {ap} таких, что x — У < P < x и {ap} < 7, справедлива следующая асимптотическая формула
Fa О, у, а) - а(ж(х) - п{х - у))« ^f- + max (
где ж(x) - количество простых чисел, не превосходящих числа x .
4
Доказательство теоремы. Для вывода асимптотической формулы для Еа(х, у, а) восполь-зуясь леммой 2 о сведении задачи распределения дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из интервала малой длины (х — у, х] к оценке сумм коротких тригонометрических сумм с простыми числами Ук (х, у) , при М = &4 , М = 1п , имеем
у\пЗГ < _ (Ук(х,у)
Ра(х, у,а) - а(ж(х) - п(х - у)) « + ^ ^ % *(1)
Оценим сумму Ук (х, у) при помощи леммы 1. Из условия
а = - + °, (а, д) = 1, ^^ < д < 44—20
д д N
доказываемой теоремы при К < 1п^ следует выполнение условия леммы 1, поэтому справедлива оценка
Ук(х,у)«Ку
Подставляя эту оценку в (1), получим утверждение теоремы.
Из теоремы 1 для ^ (х, у,М,у) - количество членов последовательности {ар} таких, что х — у < р < х и /< {ар} <У , причём 0 < / <у < 1, воспользовавшись соотношением
К(х У, / У) = Ра(^ y, У) — Ра(X, y, /л\
получим следующее утверждение:
Следствие 1.1. Пусть х, у ид - натуральные числа, А > 3 - абсолютная постоянная, & = 1п хд, а - вещественное и
а = - + (а, д) = 1, ^А+20 < д < &4А—20. д д х
Тогда для Еа(х,у,/л,у) при уэ>х
справедлива следующая асимптотическая форму-
ла
ра(Xу,и,у) = (У — и)(я(х) — Л(х — у)) + О| -у
Из следствия 1.1 для отклонения
ра{ х у,/,У)
£>а(X, у) = 8иР
0 <и<у<\
— (У — и)
ж( х — у) — ж( х)
членов последовательности {ар} таких, что х — у < р < х, получаем следующее утверждение:
Следствие 1.2. Пусть x, y и q - натуральные числа, A > 3 - абсолютная постоянная, L = ln xq, а - вещественное и
а = ± + 4, (a, q) = 1, ^л+20 < q < 420. q q x
Тогда для Da(x,y) при у » x'Sf1'1 справедлива следующая оценка
Da О, у) «-^-.
7Г(х) - 7l(x - у)
Из следствия 1.2 и теоремы М.Хаксли [8] о количестве простых чисел в интервале малой дли-
—+S
ны (x — y, x], y > x12 получаем следующий критерий равномерной распределённости по модулю единица для последовательности {ар} при условии, что аргумент р принимает значения из интервала малой длины (x — y, x].
Следствие 3. Пусть x, y и q - натуральные числа, A > 3 - абсолютная постоянная, L = ln xq, а - вещественное и
а = - + 4, (a, q) = 1, ^ л+20 < q < &4 20. q q2 x
Тогда последовательность {ар} таких, что х — у < р < х при у » X , y ^ œ явля-
ется равномерно распределённой по модулю единица.
Поступило 22.04.2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — М.: Наука, 1980.
2. Виноградов И.М., Карацуба А.А. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — Труды МИАН СССР, 1984, т. 168, с. 4-30.
3. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1976, 120 с.
4. Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З. Сумма коротких двойных тригонометрических сумм. — ДАН РТ, 2013, т. 56, 11, с. 853-860.
5. Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З., Исматов С.Н. Оценка сумм коротких тригонометрических сумм с простыми числами. — ДАН РТ, 2013, т. 56, 12, с. 937-945.
6. Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З. Сумма коротких тригонометрических сумм с простыми числами. — Доклады РАН, 2014, т. 459, 2, с. 1-2.
7. Исматов С.Н. О распределении дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из короткого интервала. — ДАН РТ, 2014, т. 57, 1, с. 937-945.
8. Huxley М.Ж. On the differences between consecutive primes. — Invent. math. 1972, v. 15, pp. 164-170.
ЗД.Рамонов, С.Н.Исматов
ТАЦСИМШАВИИ ЦИСМ^ОИ КАСРИИ {ар}, КИ АРГУМЕНТАШОН АДАД^ОИ СОДДАРО АЗ ИНТЕРВАЛИ КУТО^ ЦАБУЛ МЕКУНАД
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Барои F (х, У, а) - микдори аъзохои пайдарпаии {ар}, а= a + , (a, q) = 1, ки
q q
г v2 _ _
х-у<р<х и {ар}<а хднгоми у»х3^А+16 ва УА+20 < q 4А 20, формулам
JC
асимптотикй исбот карда шудааст.
Калима^ои калиди: суммаи тригонометрии куто% - тацсимшавии цисмуои касри - формулаи асимптотики - адади содда.
Z.Kh.Rakhmonov, S.N.Ismatov THE DISTRIBUTION OF FRACTIONAL PARTS OF {ap}, WITH ARGUMENT RUNNING THROUGH THE PRIMES FROM A SHORT INTERVAL
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan An asymptotic formula was obtained for F(x, У,а), where F(x, У,а) denotes the number of
terms in the sequence {ар}, а = a + , (a, q) = 1, that satisfy x - у < p < x and {ар} <а when
qq2
2 V2
у »and J^1'20 <q< 20.
1 x
Key words: short exponential sum - distribution offractional parts - asymptotic formula - prime.
