CC BY
43
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №4_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, Н.Б.Озодбекова,
Дж.А.Шокамолова
О РАВНОМЕРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПО МОДУЛЮ ЕДИНИЦА ЗНАЧЕНИЙ КВАДРАТИЧНОГО МНОГОЧЛЕНА, АРГУМЕНТ КОТОРОГО ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЯ ИЗ КОРОТКОГО ИНТЕРВАЛА
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
Доказано, что если а - иррациональное число, то последовательность {аш2}, х—у < ш < х при у > 1п3 х, у ^ да является равномерно распределённой по модулю единица.
Ключевые слова: короткая тригонометрическая сумма Г.Вейля - равномерное распределение по модулю единица - иррациональное число - дробная часть.
В работах [1 - 3] изучены поведения тригонометрических сумм Г.Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из интервала малой длины, вида
а 1
Т(а, х, у)= ^ е(ашп), а = — + Л,(а, д) = 1, д <т, \Л\<—.
х—у <ш<х д д
Изложенные в учебнике Г.И.Архипова, В.А.Садовничиго, В.Н.Чубарикова "Лекции по математическому анализу" [4] теорема 1 (с. 440) о приближении р(и) тригонометрическим полиномом и лемма 1 (с. 601) о разложении их разности в ряд Фурье позволяют свести задачу о распределении дробных частей значений многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов, к оценкам сумм Т(а, X, у):
Теорема 1. Пусть М > 1п3 X, тогда для ^ (х, у, а) - количество членов последовательности {ашп }, таких, что х—у < ш < х и {ашп }< а, справедлива асимптотическая формула
(Г л, \ л
y
Fa(x,y,a) = ay + O — + max \T(ah;x,y)|
\\M 1<\ h\<M lnx
ln2 x
Поведение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля Т (а ; х, у) (леммы 1 и 2) в сочетании с теоремой Гурвица (лемма 3) о приближении иррациональных чисел рациональными числами и теоремой 1 применимо к выводу асимптотической формулы для функции ¥а (х, у, а) при п = 2 :
Теорема 2. Пусть а - иррациональное число, тогда для Еа (х, у, а) справедлива асимптотическая формула
Адрес для корреспонденции: Рахмонов Зарулло. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]; Озодбекова Наджмия [email protected]; Шокамо-лова Джилва, [email protected]
¥а(х у,^) = &У + 0(у[у 1п У-[п2 х).
Из этой теоремы для отклонения
К(. - у,у) — К(. - y, и)
Б( х, у)= эир
0<м<у<1
У
- (м—у)
членов последовательности {ат2} при х—у < т < х получим оценку
Б(х, у) « у 21п у1п2 х.
Отсюда вытекает следующий критерий равномерной распределенности по модулю единица для последовательности {ат2} при условии, что аргумент т принимает значения из короткого интервала (х — у, х].
Следствие 2.1. Пусть а — иррациональное число, тогда последовательность {ат2} таких, что х — у < т < х при у > 1п3 х, у ^ да, является равномерно распределённой по модулю единица. В процессе доказательства воспользуемся следующими леммами.
1
Лемма 1. Пусть Т > 4у, | Л |<
4дх
тогда имеет место соотношение
Т (а, х, у) = (а, д)/(Л; х, у) + 0(^1д 1п д), Я
/(Л;х,у)= | е[ л[ х — у + уг
—0,5
йг.
Доказательство см. [1, следствие 1].
Лемма 2. Пусть Т > 4у, -<| Л |< —, тогда имеет место оценка
4дх дт
Т(а, х, у) 1п д + шт уд 2
Доказательство см. [2,следствие 1.2].
Лемма 3. Если а — иррациональное число и с <у[5 -- любое положительное действительное число, то существует бесконечно много рациональных чисел а / д таких, что
а
а —
я
<
1
сд
Если же с > у/5, то существуют иррациональные числа а, для которых указанное неравенство выполняется только для конечного множества рациональных чисел а / д.
Математика
З.Х.Рахмонов, Н.Б.Озодбекова, Дж.А.Шокамолова
Доказательство см. [4, с. 37].
Доказательство теоремы 2. Пусть а - иррациональное число, к - целое число и 1 <| к |<М, тогда из теоремы Гурвица о приближении иррациональных чисел рациональными числами (леммы 3) следует, что число ка , представляется в форме
а 11
ка = + Лк, (ак, Чк) = 1, 1 Лк =-, т = л/54к,
Чь ЧТ
где Ч может быть выбрано сколь угодно большим. Поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что Ч = Ч = [4 у / ] +1, тогда
Л
__
г
т = у[5д = у[5 •
4у_ .41.
1
J
>-£ • ^ = 4 у,
то есть в леммах 1 и 2 выполняется условие т > 4у. Согласно лемме 2 при {2Лх} > — для суммы
2ч
Т (ак; х, у), имеем
1 _1 _1 _1 | Т(ак,х,у) ч21пч + ш1и(уч 2,Л 2ч 2) ^ л/У 1пу.
При {2Лх} < —, воспользовавшись леммой 1, получим
2ч
ГУ/- \ _____
Т(ак, х, у) =-,—Т(Лк; х, у) + О (4Ч 1п Ч) «| ^(-, Ч) | +4Ч 1п Ч « \/у 1п у.
Ч
Согласно теореме 1 для ¥а (х, у, с) при М = у12, имеем
^(х,у,с)-су« {-¡^ + шах |Т(ак;х,у)|] 1п2х«-Уу 1пу 1п2х.
\М 1<Щ<М 1п х J
Поступило 15.05.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рахмонов З.Х., Шокамолова Дж.А. - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. наук., 2009, 2(135), с. 7 - 18.
2. Рахмонов З.Х., Озодбекова Н.Б. - ДАН РТ, 2011, т. 54, 4, с. 257 - 264.
3. Рахмонов З.Х. - Ученые записки Орловского университета. Сер. естест., техн. и медиц. наук, 2012, 6, ч. 2, с. 194 - 203.
4. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — М.: Дрофа, 2003.
5. Чанрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. - М.: Мир, 1974, 188 с.
ЗД.Рах,монов, Н.Б.Озодбекова, Ч,.А.Шокамолова МУНТАЗАМ ТАЦСИМШАВИИ ЦИМАТ^ОИ БИСЁРАЪЗОГИИ КВАДРАТИИ АРГУМЕНТАШОН АЗ ИНТЕРВАЛИ КУТО^, АЗ РУИ
МОДУЛИ ВОХИД
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон
Исбот карда шудааст, ки агар а -- иррационалй бошад, он го^ пайдарпаи {am2},
x—y < m < x y > ln3 x, y ^ да мунтазам таксимшуда аз руи модули вох,ид мебошад.
Калима^ои калиди: суммаи тригонометрии кутоу - мунтазам тацсимшавй аз руи модули воуид -адади ирратсионали - цисми касри .
Z.Kh.Rakhmonov, N.B.Ozodbekova, J.A.Shokamolova ON THE UNIFORM DISTRIBUTION MODULO 1 OF THE VALUES OF QUADRATIC POLYNOMIAL WHOSE ARGUMENT TAKES ITS VALUES FROM
THE SHORT INTERVAL
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
It has been proved that the sequence {am2 }, x—y < m < x as y < ln3 x, y ^ да is uniformly distributed modulo 1 provided that a is irrational number.
Key words: Short Weyl's exponential sums - uniform distribution modulo 1 - irrational number - fractional part.
