Распределение дробных частей квадратичного многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов

Озодбекова Н.Б.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2012, том 55, №1__________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 511.524

Н.Б.Озодбекова

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ЧАСТЕЙ КВАДРАТИЧНОГО МНОГОЧЛЕНА, АРГУМЕНТ КОТОРОГО ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЯ ИЗ КОРОТКИХ ИНТЕРВАЛОВ

Институт математики АН Республики Таджикистан

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 08.11.2011 г.)

2

Для количества дробных частей последовательности ат <0, где а - иррациональное число, т пробегает натуральные числа из короткого интервала X — у < т < X, доказана асимптотическая формула, независящая от параметра X.

Ключевые слова: закон распределения - тригонометрическая сумма Г.Вейля - иррациональное число

— дробная часть.

Пусть а - вещественное число, X > Х0 > 1, у < 0.0001х, 0 <0< 1. Вводим следующие обозначения:

— Е (X, у,0) - обозначает количество членов последовательности {атп} таких, что х — у < т < X и {атп} <о.

— Т(аЪ\ X, у) - короткая тригонометрическая сумма Г.Вейля вида

T (ah; x, у) = e(ahmn).

X—у<т<X

В теореме 1 задача об исследовании поведения функции Е(X, у,о) сведена к оценке Т(аИ; X, у) .

Теорема 1. Пусть М > ІП3 X, тогда справедлива следующая асимптотическая формула

Fa( X, У,Г) = ГУ + О

U У Л 2^

-----V max \ T (ah; x, у) \ ln x

vv M i<h\<M in x1 v ’-7'1) )

2

В теореме 2 для количества дробных частей последовательности ат < Г, где а - иррациональное число, т пробегает натуральные числа из короткого интервала X — у < т < X, доказана асимптотическая формула, независящая от параметра X.

Адрес для корреспондентции: Озодбекова Наджмия Бекназаровна. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]

ll

Теорема 2. Пусть а - иррациональное число, 0 < о < 1, тогда для Е (X, у,о) - количество членов последовательности {ат2} таких, что X — у < т < X и {ат2} <0, справедлива следующая асимптотическая формула

Еа (X, у, о) = оу + О Г у17 2+£

Приводим леммы, которые используются при доказтельстве теорем 1 и 2.

Лемма 1. Для функции р(ы) = 0,5 — {и} и натурального М > 1 справедлива формула

Р(и) = 1 + rM(u) \ rM(u) \<7m (u) = і 4 .

1<h\<M 27ih V1 + M2 si

, sin2 жи

Доказательство см. [1].

Лемма 2. Пусть задано разложение в ряд Фурье функции

4 ^

7м(u) = I , . , = 1 che(hu\

V1 + M sin 7TU h=-m

тогда при M > 1 и h > О справедлива оценка

, , , , 4 + in M f h Л

\ Ch \=\ c— h \<------7~Г~exP —T7 .

7M \ M)

Доказательство см. [1].

Лемма 3. Если a - иррациональное число и с < - любое положительное действительное

число, то существует бесконечно много рациональных чисел a I q таких, что

a

a — q

1

<—Г. (1)

cq2

Если же с >^[5, то существуют иррациональные числа а, для которых указанное неравенство выполняется только для конечного множества рациональных чисел а / q.

Доказательство см. [2].

Лемма 4. Пусть т> 2п(п — 1)Хп—2у, {пЛхп1} < -1, Л~> 0 или {пЛхп1} > 1 — -1, Л< 0,

2д

тогда имеет место соотношение

Т(а,X,у) — т(Л;х,у) « д2+£. Я

Доказательство см. [3].

Лемма 5. Пусть т > 2п(п — 1)хп 2у, {пЛхп 1} > -;1, Л~> 0 или {пЛхп 1} < 1 — -1, Л < 0,

2 С/ 2Я

тогда имеет место оценка

1—

| Т (а, х, у) |« ц п 1п ц + min(yq п ,Лкх кц п).

2<к <п

Доказательство см. [3].

Из этой леммы следует, что неравенство (1) при иррациональном а имеет решения а / ц со сколь угодно большими знаменателями.

Доказательство теоремы 1. Вводим характеристическую функцию

Г1, если 0 < {и} < г;

д(и) = \п

[0, в противном случае,

которая имеет следующий явный вид

д (и) = —[{и} — г] = г + р(и) — р(и — г),

где р(и) = 0,5 — {и} . Воспользовавшись при М > 1п3 х леммой 1, находим

д(и) = Г+ X 1 е(.кг)е(ки)+гм(и)—гм(и—г).

1<|к|<М 2Ж1П

Пользуясь функцией д(и), представим функцию Ра (х, у,г) в виде

РА х, у,г) = X д (атп) = гу + Ж (х, у,г) + Я(х, у, 0) + Я( х, у,г) + 0,

х—у<т< х

Ж(х, у, г) = X 1 е( . Г Т(ак; х, у),

1<|к|<М

Я( х у,м) = X ГМ(ат” —^).

х—у<т< х

Переходя к оценкам, получим

Ра (х, у, г) — гу «| Ж(х, у, г) | +1 Я(х, у, 0) | +1 Я(х, у,г) | +1,. (2)

Отдельно оценим каждую из сумм Ж(х, у,г) и Я(х, у,1) . Имеем

1<к<М 1п х жк 1<к<М 1п х

1<к<М Жк

Воспользовавшись леммой 1, затем при М > 1п3 х леммой 2, найдем

да

| Я(ху,Л) < X 7м(ат"-11) = X X сие(к(акп 1— = Я1 + Я2, (4)

х—у<т<х х—у<п<х к=—да

Я1 = 2 Ске(—^)Т(аИ; X, у),

|к|<М 1п х

Я2 = X X ске(к(ат"—1)).

х—у<п<х |к|>М 1п х

Пользуясь оценкой коэффициентов Фурье сй (лемма 2), оценим Я2 . Имеем

/ к Л

X—у<п<X | И| >М Іп X Ґ

у 1п X

М

ехр

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

М

[М Іп X] +1

М

И>М Іп X

” ґ И Л

2 ехр

И=0

«

у Іп X

X

Переходим к оценке ^ . Пользуясь оценкой коэффициентов Фурье С при | И | < М,

№| <|с0^(0;x,у) + 2 |ch||Т(аИ;x,у)«

1< |И | <М Іп X

у ІпМ ІпМ ^ 1^/7 М

«——+^~ 2 |Т(аИ;Xу)«

М М

имеем

«

1< |И |<М Іп X

— + тах |Т(аИ; X, у) |

ч М 1<|И|<М Іп X

Іп X.

Подставляя найденные оценки для ^ и Я2 в (4), найдем

( у

|Я( X, у,л) | « тт+ тах |Т (аИ; X, у) |

^ 1<|И|<М Іп X

Іп X.

Подставляя эту оценку и оценку (3) в (2), получим утверждение теоремы.

Доказательство теоремы 2. Пусть а - иррациональное число, к - целое число и 1 <| к |< М, тогда из леммы 3 следует, что число ка представляется в форме

а,

Иа = + Лк, (аИ,) = 1 \\ |<

Чи

1 1

-Ичі

ЧТ

т ■

(5)

где Я может быть выбрано сколь угодно большим. Поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что д = д = [4у / л/5] +1, тогда

т = у[5д = V? •

4у

.V?.

+1

то есть в леммах 4 и 5 выполняется условие Т > 2п(п — 1)хп у при п = 2 . Поэтому согласно леммам для суммы Т (ак, х, у) при п = 2 соответственно справедливы оценки:

этим

при {2Лx} <-1, Л > О или {2Лx} > 1 —-1, Л < О.

2q 2q

T(ah,x,у) = S(aq)T(Л;x,у) + Оfq1I2+')« S(a,q)! +у1,2+' «у1'2*';

q у y

при {2Лx} > -1, Л > О или {2Лx} < 1 —-1, Л < О,

2q 2q

1 11

\ T(ah,x,у) \« q2 inq + min(yq 2,Л 2q 2) «у[уinx.

Согласно теореме і для Fa (x, у, г) при M = у

12

имеем

Ґ Л

Fa(x у,г)—^.у « Iу +,max \T(ah;x, у) \

у 1<\h\<M in x

«

у + у12+' M

in2 x «

)

in2 x « у17 2+'.

Поступило 15.11.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. - М.: Дрофа, 2004.

2. Hurwitz A. - Math. Annalen, l89l, v.39, рр. 279-284.

3. Рахмонов З.Х., Озодбекова Н.Б. - ДАН РТ, 20іі, т. 54, 4, с. 257-264.

Н.Б.Озодбекова

ТАЦСИМШАВИИ ЦИСМ^ОИ КАСРИИ БИСЁРАЪЗОГИИ КВАДРАТИ, КИ АРГУМЕНТАШ ИЗ ИНТЕРВАЛИ КУТО^ ЦИМАТ ЦАБУЛ МЕКУНАД

Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

2

Барои микдори кисмх,ои касрии пайдарпаии am < г, дар инчо a - иррационали ва m ададх,ои натуралиро аз интервали кутох,и x — у < m < x кабул мекунад, формулаи асимптотики аз параметри x новобаста, исбот карда шудааст.

Калима^ои калиди: цонуни таксимот - суммаи тригонометрии Г.Вейл - адади ирратсионали -цисми касри.

N.B.Ozodbekova

THE DISTRIBUTION OF FRACTIONAL PARTS OF A QUADRATIC POLYNOMIAL ARGUMENT, WHICH TAKES THE VALUE OF THE SHORT INTERVALS

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

2

For the number of fractional parts of sequences am < a, where a - an irrational number, m runs over the natural numbers from a short interval of x — y < m < x, the asymptotic formula independent on the parameter x.

Key words: the distribution - the exponential sums of G.Weyl ‘s - an irrational number - the fractional part.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Озодбекова Н. Б.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Озодбекова Н. Б.

Текст научной работы на тему «Распределение дробных частей квадратичного многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов»