CC BY
26
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №7-8_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, Ф.З.Рахмонов
ОЦЕНКА КОРОТКИХ КУБИЧЕСКИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ С ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ В МАЛЫХ ДУГАХ
Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан
4 V5
В работе при у > х5^ 8в+151 и ^32(в+20) < а &-32(в+20); = 1п хц , В - абсолютная
х
постоянная) получена нетривиальная оценка коротких кубических тригонометрических сумм с простыми числами вида
Б3(а;х, у) = £ л(п)е(ап3), а = - + 42, (а, а) = 1.
х-у<п<х а а
Ключевые слова: проблема Варинга-Гольдбаха, короткая тригонометрическая сумма с простыми числами, метод И.М.Виноградова оценок тригонометрических сумм с простыми числами.
Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое а из промежутка [—ж,1 — ж], ж т = 1 представимо в виде
а 1
а = — + Х, (а, а) = 1, 1 < а <т, | Л\<—. а цт
Через М(Р) обозначим те числа а , для которых ц < Р, через т(Р) обозначим оставшиеся а . М(Р) и т(Р) соответственно называются большими и малыми дугами.
И.М.Виноградов [1] первым начал изучать короткие тригонометрические суммы с простыми числами. Для сумм вида
(а; х у)= £ л(п)е(апк)
х—у<п<х
при к = 1, используя свой метод оценок сумм с простыми числами, он доказал нетривиальную
1 2
оценку в малых дугах т(ехр(с(1п1п х) )) при т = х3 и у > х3 , основу которой, наряду с «решетом Виноградова», при к = 1 составляют оценки коротких двойных тригонометрических сумм вида
Jk(a;x,y,M,N) = £ ^ £ bne(a(mn)k),
M <m< 2M U <n< 2 N x-y<mn<x
Адрес для корреспонденции: Рахмонов Зарулло Хусенович, Рахмонов Фируз Заруллоевич. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: zarullo_r@mail.ru; rakhmonov.firuz@gmail.com
где ат и Ъп - произвольные вещественные функции, | аот |<тс (m), | Ъп | <тс (п), M, N, U > N -натуральные, х > х0, у - вещественные числа, с - абсолютная постоянная, не всё время одна и та же.
Затем С.Б.Хейзелгроув [2], В.Статулявычус [3], Ч.Д.Пан и Ч.Б.Пан [4], Т.Жан [5] для суммы (а; х, у), у > хв, получив нетривиальную оценку в малых дугах и изучив ее поведение в больших дугах, доказали асимптотическую формулу в тернарной проблеме Гольдбаха с почти равными слагаемыми с условиями | р — N / 3|< Н , Н = Nв, соответственно при
в=63+в,
64
279 308
■ + £,
2
— + £, 3
5
- + £. 8
Дж.Лю и Т.Жан [6], изучив сумму (а;х, у,М, N) , получили нетривиальную оценку суммы
(а; х, у) в малых дугах при у > х16 и доказали теорему, что достаточно большое натуральное
число N можно представить в виде
N = Р1 + Р2 + Pз2,
N 3
< Н,
Р3
N
27
< Н, Н > N32 .
Воспользовавшись, в частности, этой оценкой, они [7,8] решили задачу Л.К.Хуа о представимости достаточно большого натурального числа в виде суммы пяти квадратов почти равных простых чисел и показали, что достаточно большое натуральное число N, N = 5(той24) можно представить в
виде
ы = р21+...+р25,
£
9
< Н, Н > N20+е.
В 1938 г. Л.К.Хуа [9], рассматривая проблему Варинга-Гольдбаха для кубов, доказал, что все достаточно большие нечетные натуральные числа являются суммой девяти кубов простых чисел. А.В.Кумчев [10] получил нетривиальную оценку суммы Зк(а;х, у) в малых дугах т(Р) при
у > хв+е, в = 1—-
1
и т = х1+2вР 1. Я.Яо [11], воспользовавшись оценкой А.В.Кумчева, доказал,
2 к + 3
что всякое достаточно большое нечетное натуральное число N можно представить в виде
р1+Р1 + ...+Р1=Ы,
р, — 31I
< N
1 1
----ь
3 51
Всюду ниже будем считать, что & = 1пхц, А и В - абсолютные постоянные. В работе формулируется теорема 1 о нетривиальной оценке суммы (а; х, у) в малых дугах
т(&32( в+20))
при
у > х85+151, г = Ут^32(в+20). * '2
х
Теорема 1. При &32(в+20) < ^ < у5х 32(в+20) и у > х5&8в+151 справедлива оценка
Доказательство этой теоремы проводится методом оценок сумм с простыми числами Виноградова И.М. в сочетании с методами работ авторов [12-15]. Основными утверждениями, позволившими получить новую оценку (а; х, у), являются нетривиальные оценки двойных сумм
У3 (а; х, у, М, N) на малых дугах, соответственно имеющих «длинную» сплошную сумму (теорема 2) и имеющих близкие по порядку суммы, составляющие двойную сумму (теорема 3).
Теорема 2. Пусть в сумме Зъ(а; х, у,М, N) выполняются условия: | аи |<г5(т), 6и =1,
у[х < у < х& 1. Тогда при
L8А+5б< q < y3L 8A~56,
ху" 4L2A+14 < N < XL'
справедлива оценка
&
Теорема 3. Пусть ху_1 <N < у, М <N, у < х&~х, | |< (т), | 6я| <тк(п), к = 1,2,3. Тогда справедлива оценка
\Jj,(a-,x,y,M,N)\ <<
У
^ L 24 XL 25 N V
q yN у4
32
У
X qL X L N L4
y5 y2N2 y
4
2~бк+17, если 0,5q < У-;
xN
4
L к2"бк+17, если 0,5q > У-.
xN
Поступило 22.04.2016 г.
4
ЛИТЕРАТУРА
1. Виноградов И.М., Карацуба А.А. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. - Труды МИАН СССР, 1984, т. 77, с. 4-30.
2. Haselgrove C.B. Some theorems in the analitic theory of number. - J. London Math.Soc., 1951, v.26, pp. 273-277.
3. Статулявичус В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел. -Вильнюс. Ученые труды университета. Сер. мат., физ. и хим. н., 1955, №2, с. 5-23.
4. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III). - Chinese Ann. of Math, 1990, v.2, pp. 138-147.
5. Zhan T. On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes. - Acta Math Sinica. New ser., 1991, v. 7, №3. pp. 135-170.
6. Liu J., Zhan T. Estimation of exponential sums over primes in short intervals. - I. Mh Math, 1999, v.127, pp. 27-41.
7. Liu J., Zhan T. Hua's Theorem on Prime Squares in Short Intervals. - Acta Mathematica Sinica. English Series. Oct., 2000, v.16, №4, pp. 669-690.
8. Liu J., Lu G., Zhan T. Exponential sums over primes in short intervals. - Science in China: Series A Mathematics, 2006, v. 49, №5, pp. 611-619. D0I:10.1007/s11425-006-0611-x
9. Hua L. K. Some results in the additive prime number theory. - Quart. J. Math., 1938, v. 9, №1, p. 68-80.
10. Kumchev A.V. On Weyl sums over primes in short intervals. - "Arithmetic in Shangrila"—Proceedings of the 6th China-Japan Seminar on Number Theory. Series on Number Theory and Its Applications, 2012, v. 9, Singapore: World Scientific, pp. 116-131.
11. Yao Y. Sums of nine almost equal prime cubes. - Frontiers of Mathematics in China, october 2014, v. 9, is. 5, pp. 1131-1140. DOI:10.1007/s11464-014-0384-4.
12. Рахмонов З.Х. Теорема о среднем значении y(x,%) и ее приложения. - Известия РАН. Сер. матем., 1993, т. 57, 4, с. 55-71.
13. Рахмонов Ф З. Оценка квадратичных тригонометрических с простыми числами. - Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика, 2011, 3, с. 56-60.
14. Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З. Сумма коротких тригонометрических сумм с простыми числами. -Доклады РАН, 2014, т. 459, 2, с. 156-157.
15. Рахмонов З.Х. Суммы характеров с простыми числами. - Чебышевский сборник, 2014, т. 15, в. 2(50), с. 73-100.
ЗД.Рахмонов, Ф.З.Рахмонов
БАХРИ СУММАХРИ ТРИГОНОМЕТРИИИ КУБИИ КУТОХ БО АДАДХОИ
СОДДА ДАР КАМОНХОИ ХУРД
Институти математикаи ба номи А. Чураеви Академияи илм^ои Цумх^урии Тоцикистон
4 5
Дангоми y > х5L 8B+151 ва Sf 32(B+20) < q < ^Sf ~32(B+20), (L = ln xq, B - доимии мутлак)
х
барои суммахои тригонометриии кубии кутох, бо ададхои соддаи намуди
«S3(a;х,y)= ^ Л(n)e(an3), а = - + (a,q) = 1,
x-y<n<х q q
бахои гайритривиалй гирифта шудааст.
Калима^ои калидй: муммои Варинг-Гольдбах, суммауои тригонометриии кутоу бо ададуои содда,
методи бауои суммауои тригонометрии бо ададуои соддаи И.М.Виноградов.
Z.Kh.Rakhmonov, F.Z.Rakhmonov ESTIMATION OF SHORT CUBIC EXPONENTIAL SUMS WITH PRIME
NUMBERS IN MINOR ARCS
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
4 v5
When у > X5L 8B+151 и Lf 32(B+20) < q < у & -32(B+20), (L = ln xq, B - absolute constant) non-
X
trivial estimate is obtained for the short cubic exponential sums of the form
Бз(а;x,y)= £ A(n)e(an3), a = - + 42, (a,q) = 1.
х-y<n<X q q
Key words: Waring-Goldbach problem, short exponential sums with prime numbers, the method of I.M.Vinogradov estimates of exponential sums with primes.
