Об оценке коротких кубических двойных тригонометрических сумм на малых дугах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №6_

МАТЕМАТИКА

УДК 511.325

Б.М.Замонов

ОБ ОЦЕНКЕ КОРОТКИХ КУБИЧЕСКИХ ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ НА МАЛЫХ ДУГАХ

Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 14.05.2015 г.)

Работа посвящена выводу нетривиальных оценок коротких кубических двойных тригонометрических сумм вида

^ а(т) ^ Ъ(и)е(а(ти)3), а = а + (а,д) = 1

М<т<2М и<и<2 N д д

х-у<ти<х

на малых дугах.

Ключевые слова: короткая двойная тригонометрическая сумма — метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами - нетривиальная оценка.

И.М.Виноградов [1] первым начал изучать короткие тригонометрические суммы с простыми числами. Для сумм вида

а 1

^ (а; х, у) = ^ А(п)е(апк ), а = —ьЛ, \Л\< —, 1 < д <т

х-у<п< х д Ч?

при к = 1, используя свой метод оценок сумм с простыми числами, он доказал нетривиальную оценку при

ехр(б'(1п1п х)2)«с/« х1'3, у > х2,3+£,

основу которой наряду с «решетом Виноградова», при к=1 составляют оценки коротких двойных тригонометрических сумм вида

^ (а; х, у,М, Щ = ^ а(т) ^ Ь(п)е(а(тп)к),

М <т<2М и<п<2 N

х-у<тп<х

где а(т) и Ь(п) - произвольные комплекснозначные функции, М, N - натуральные, N < и < 2Щ, х > х0, у - вещественные числа.

Затем К.Б. Хейзелгроув [2], В. Статулявычус [3], Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо [4], Жан Тао [5] получили нетривиальную оценку суммы ^ (а; х, у) , у > хв, д — произвольное и доказали асимпто-

Адрес для корреспонденции: Замонов Бехруз Маликасрорович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: zamonov@mail.ru

тическую формулу в тернарной проблеме Гольдбаха с почти равными слагаемыми с условиями | р — N / 3 |< Н, Н = Nв , соответственно при

279 2

/j 63

в =--+ s,

64

--+ s, —+ s,

308 3

5

— + s.

8

Сумму J2 (a; x, y,M, N) изучили Jianya Liu и Zhan Tao [6], получив нетривиальную оценку суммы

S2(a;x,y) при y > x11+s.

В [7] была получена нетривиальная оценка сумм J (a; x, y, M, N) на малых дугах, в которых имеется «длинная» сплошная сумма.

Работа посвящена выводу нетривиальных оценок двойных сумм J (a; x, y, M, N) на малых

дугах, в которых суммы, составляющие двойную сумму, «близки» по порядку, то есть xy 1 < N < y. Доказательство нетривиальных оценок проводится методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова в сочетании с методами работ [8-10].

Теорема. Пусть M, N — натуральные числа, xy— < N < y, M < N, a(m) и b(n) — произвольные комплекснозначные функции натурального аргумента, \ a(m) \<r(m), \ b(n) \<r(n), a, x > x0, y - вещественные числа, *Jx < y < x(ln xq)1. Тогда существует абсолютная постоянная c, для которой справедлива оценка

| J3(a;x,y,M,N) |<<

11 x N4 Ч q yN y4

(ln xq)c, если 0,5q < y4xN;

Г 2 x q

y 5 ' , ,2\T2 ' ,.4

x 2 N4 32 + ——- + —r (ln xq)c, еслиО, 5q > y4xN.

y5 y N f

Следствие. Пусть A - абсолютная постоянная, тогда при

справедлива оценка

(ln xq)32(A+c) < q < y- (ln xq)

y

-32( A+c )

x

x

x (ln xq)32(A+c) < N < y(ln xq)-32(A+c) y

\W |<<

У

(ln xqY

Поступило 15.05.2015 г.

Математика

Б.М.Замонов

ЛИТЕРАТУРА

1. Виноградов И.М., Карацуба А.А. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — Труды МИАН СССР, 1984, т. 168, с. 4-30.

2. Haselgrove C.B. Some theorems in the analitic theory of number. - J.London Math.Soc., 26 (1951), pp. 273-277.

3. Статулявичус В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел. -Вильнюс, Ученые труды университета. сер. мат., физ. и хим. н., 1955, №2, с. 5-23.

4. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III). - Chinese Ann. of Math., 1990, v.2, pp. 138-147.

5. Zhan T. On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes. - Acta Math Sinica, new ser.,1991, v.7, №3, pp. 135-170.

6. Liu J.Y, Zhan T. Estimation of exponential sums over primes in short intervals I. - Monatshefte fur Mathematik, 1999, v. 127, is. 1, pp. 27-41.

7. Рахмонов З.Х., Замонов Б.М. Короткие кубические двойные тригонометрические суммы, с «длинным» сплошным суммированием. - Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук, 2014, №4 (157), с. 7-23.

8. Рахмонов Ф.З. Оценка квадратичных тригонометрических с простыми числами. - Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика, 2011, №3, с. 56-60.

9. Rakhmonov Z.Kh., Rakhmonov F.Z. Sum of Short Exponential Sums over Prime Numbers. - Doklady Mathematics, 2014, v. 90, №3, pp. 1-2.

10. Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З. Сумма коротких двойных тригонометрических сумм. - ДАН РТ, 2013, т. 56, №11, с. 853-860.

Б.М.Замонов

ОИД БА БА^ОДИ^ИИ СУММА^ОИ ДУКАРАТАИ ТРИГОНОМЕТРИИ КУТО^И КУБЙ ДАР КАМОЩОИ ХУРД

Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Кор ба бах,ои суммаи дукаратаи тригонометрии кутохд кубии намуди

W = ^ a(m) ^ b(u)e(a(muf), а = — + (a, q) = 1.

M <m<2M u<u<2N q q

x-y<mu<x

дар камонх,ои хурд бахшида шудааст.

Калима^ои калиди: суммаи дукаратаи тригонометрии кутоу - усули бауодщии суммауои

тригонометри бо ададуои содда - бауои гайритривиалй.

B.M.Zamonov

ESTIMATES OF SHORT CUBIC DOUBLE EXPONENTIAL SUMS OVER MINOR

ARCS

A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan This paper is devoted to the estimation of short cubic double exponential sums of the form

W = ^ a(m) ^ b(u)e(a(muf), a = — + (a, q) = 1,

M<m<2M u<u<2N q q

x-y<mu<x

over minor arcs.

Key words: short double exponential sums - nontrivial estimate - estimation method for short exponential sums over primes.