Короткие двойные тригонометрические суммы на малых дугах Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Абросимова А. А. BR-множества // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, вып. 2.

4. Абросимова А. А. Множества ограниченного остатка на двумерном торе // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, вып. 4.

КОРОТКИЕ ДВОЙНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ НА МАЛЫХ ДУГАХ Б. М. Замонов (г. Душанбе) E-mail: [email protected]

И. М. Виноградов [1] первым начал изучать короткие тригонометрические суммы с простыми числами. Для сумм вида

_ - 1

Sk(a; x,y) = A(n)e(ank), a = - + A, |A| < —, 1 < q < т

x-y<n<x q q

при k = 1, используя свой метод оценок сумм с простыми числами, он доказал нетривиальную оценку при

exp(c(lnlnx)2) < q < x1/3, y > x2/3+e,

основу которой наряду с «решетом Виноградова», при k = 1 составляют оценки коротких двойных тригонометрических сумм вида

Jk(a; x,y,M,N) = ^^ a(m) ^^ b(n)e(a(mn)k),

M<m<2M u<n<2N

x-y<mn<x

где a(m) и b(n) - произвольные комплекснозначные функции, M, N -натуральные, N < U < 2N, x > x0, y - вещественные числа.

Затем К. Б. Хейзелгроув [2], В. Статулявичус [3], Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо [4], Zhan Tao [5] получили нетривиальную оценку суммы S1(a; x,y), y > x°, q — произвольное и доказали асимптотическую формулу в тернарной проблеме Гольдбаха с почти равными слагаемыми с условиями |p — N/3| < H, H = N°, соответственно при

л 63 279 2 5

и =--+ Е,--+ Е, --+ Е, --+ Е.

64 ' 308 ' 3 ' 8

Сумму J2(a; x, y, M, N) изучили Liu Jianya и Zhan Tao [6], получив нетривиальную оценку суммы S2(a; x,y) при y > xтв+£.

В [7] была получена нетривиальная оценка сумм J3(a; x,y,M, N) на малых дугах, в которых имеется «длинная» сплошная сумма.

Доклад посвящен выводу нетривиальных оценок двойных сумм >13(а; х, у, М, N) на малых дугах, в которых суммы, составляющие двойную сумму, «близки» по порядку, то есть ху-1 < N < у. Доказательство нетривиальных оценок проводится методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова в сочетании с методами работ [8-10].

Теорема. Пусть М, N — натуральные числа, ху-1 < N < у, М < N, а(т) и Ь(п) — произвольные комплекснозначные функции натурального аргумента, |а(т)| < т(т), |Ь(п)| < т(п), а, х > х0, у - вещественные числа, л/х < у < х(1пхд)-1. Тогда существует абсолютная постоянная с, для которой справедлива оценка

|Js(a; x, y, M, N )| < {

У

У

1 x

я yN

+

N4

x

32

(ln xq )c

если 0, 5q <

x2q , У5

+

x

y2N2

+

N4

YA

32

(ln xq)c, если 0, 5q >

VL.

xN7

xN'

Следствие. Пусть A - абсолютная постоянная, тогда при

(lnxq)32(A+c) <q < У2(lnxq)-32(A+c),

x2

x

У

(lnxq)32(A+c) <N < у(1пxq)-32(A+

справедлива оценка

|W| <

У

(ln xq)

A'

Библиографический список

1. Виноградов И. М., Карацуба А. А. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Тр. МИАН СССР. 1984. Т. 168.

2. Haselgrove C. B. Some theorems in the analitic theory of number // J.London Math.Soc. 1951. Vol. 26.

3. Статулявичус В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел // Ученые тр. ун-та. Серия математика, физика и химические науки. Вильнюс, 1955. № 2.

4. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) // Chinese Ann. of Math. 1990. Vol. 2.

i

)

c

5. Zhan T. On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes // Acta Math Sinica, new ser. 1991. Vol. 7, № 3.

6. Liu J., Zhan T. Estimation of exponential sums over primes in short intervals I // Monatshefte fur Mathematik. 1999. Vol. 127, iss. 1.

7. Рахмонов З. Х, Замонов Б. М. Короткие кубические двойные тригонометрические суммы с «длинным» сплошным суммированием // Изв. Акад. наук Респ. Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук. 2014. № 4 (157).

8. Рахмонов Ф. З. Оценка квадратичных тригонометрических с простыми числами // Вестник Московского ун-та. Серия 1: Математика. Механика. 2011. № 3.

9. Rakhmonov Z. Kh., Rakhmonov F. Z. Sum of Short Exponential Sums over Prime Numbers // Doklady Mathematics. 2014. Vol. 90, № 3.

10. Рахмонов З. Х, Рахмонов Ф. З. Сумма коротких двойных тригонометрических сумм // Докл. АН Респ. Таджикистан. 2013. Т. 56, № 11.

ОБ ОДНОМ АНАЛОГЕ ПРОБЛЕМЫ ДЕЛИТЕЛЕЙ ТИТЧМАРША С ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ ИЗ КОРОТКИХ ПРОМЕЖУТКОВ Н. А. Зинченко (г. Белгород) E-mail: [email protected]

Начиная с работы И. М. Виноградова [1] возник интерес к решению аддитивных задач с простыми числами из так называемых коротких или «виноградовских» промежутков. Это промежутки вида

[(2m)c, (2m + 1)c), (1)

где m е N, и c е (1, 2].

Аддитивные задачи с простыми числами из промежутков (1), являющиеся тернарными, или решающимися по схеме тернарной задачи, рассматривались, например, в работах С. А. Гриценко [2, 3] и А. Балога и Дж. Фридлендера [4].

В настоящее время некоторые классические бинарные аддитивные задачи, например, такие, как проблема делителей Титчмарша, проблема Харди-Литтлвуда и другие, в простых числах, удовлетворяющих неравенствам (1), не решены. Их решение представляется достаточно сложным и представляет, на наш взгляд, большой интерес.