CC BY
22
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2012, том 55, №3______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 511.524
П.З.Рахмонов
ОЦЕНКА КОРОТКИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ С НЕЦЕЛОЙ СТЕПЕНЬЮ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА
Московский государственный университет им.М.ВЛомоносова
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 14.01.2012 г.)
Для коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа при У>42 сх \пА х, Xі 1 lnA X <| а \< 0,5, с >2 и lldl > 8 получена нетривиальная оценка
Sc(a;x,y)= Y, е{а[пс})<^у\пА х,
х-у<п<х
где А - фиксированное положительное число и 8 - 8(х, с, А) — 2[с]+1 — 1 (А + 2,5) • х.
Ключевые слова: равномерное распределение - короткая тригонометрическая сумма - нетривиальная оценка.
Тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа вида
^с(«,*) = Хе№С])’
П<Х
впервые рассматривал французский математик 1еап-Ма^ ОсзИошПсгэ [1] и при с >12 получил оценку
^ (а, х) «с х1 р, р 1 - 6с2 (1п с +14).
Эту оценку впоследствии улучшили Г.И.Архипов и его ученики А.Н.Житков и К.Буриев [2,3]. Полученные оценки являются аналогом теоремы И.М.Виноградова [4] об оценке суммы Г.Вейля в множестве точек второго класса
Тк(а,х) = ^ е(апк) <К х1~р, р~1 = 8А;2(1пА; + 1,5А: + 4,2).
П<Х
Классическим методом Г.Вейля можно получить нетривиальные оценки коротких тригонометрических сумм вида
х-у<п<х
Тк(а\х,у)= Yj <апк)
Адрес для корреспондентции: Рахмонов Парвиз Заруллоевич, 119234, Москва, Воробьевы горы, МГУ им.М.ВЛомоносова. E-mail: parviz.msu@gmail.com
в множестве точек второго класса. При возрастании к существенным недостатком этих оценок является быстрое приближение параметра у - длины суммы, для которого имеет место нетривиальная оценка - к параметру х.
Арифметическая особенность последовательности [п° ] состоит, с одной стороны, в её более
к ^
сложном поведении, чем последовательности п , а с другой стороны, её значения равномерно распределены в любой арифметической прогрессии.
Воспользовавшись, в частности, этой особенностью, которая заключается в неиспользовании аппарата приближения вещественных чисел рациональными дробями, удалось доказать, что короткая тригонометрическая сумма с нецелой степенью натурального числа вида
S£a\x,y)= Yj е№с])
х-у<п<х
имеет нетривиальную оценку для любого нецелого фиксированного числа с при
у>у/2 сх \пА X,
где А - фиксированное положительное число.
Теорема. Пусть X > х0 > 0, А - фиксированное положительное число, с - нецелое фиксированное число с условиями
с> 2, ||с|| > 2Lc]+1 -1 (А + 2,5)
lnln X In JC '
Тогда при у > ^¡2с х2 ]пА х и х1 су 11пА х <\ а |< 0,5 справедлива оценка
Sc(a;x,y)= ^ е(«[ис])«^1п"
х-у<п<х
Лемма 1. Пусть ведливы оценки
\rJ
— с(с —1)... (с — г + \ )г\, тогда при нецелом с> 1 и натуральном г спра-
1<
\rJ
< 2е при г < с,
{с}
<
yk j
<1 при г = к,к = \с\ +1.
Доказательство: аналогично лемме 2 из [4 стр. 35)].
1-М
Схема доказательства теоремы. Всюду ниже будем считать, что у< 10 X, М — х1' М0 = тт(М + 0,5) и к = [с] + 1. Пользуясь леммой 1 из [5], находим
8с(а;х,у) =
1 - е(-а)
X —Ц- Е е((а + Л)ис)+ X е(апС№м(п1’
2лІ \ц<м СС к х-у<п<х
бм (п1 ^ 4>/2 18ІПяа І ІС 0е), (ис) =
х-у<п<х
1
д/Г-кМц
эт2 Я72С
Переходя к оценкам, получим
(1)
£ = ^ е((а + /,кх г £ л („•).
« + //
\<\ц<м
х-у<п<х
х-у<п<х
Оценка W1. Воспользовавшись для функции Ям (пс) леммой 1 из [6 (стр. 601)], найдём:
ттг х-1 V-' /7 сч ттт ттт , . 4 + 1пМ ( \&\
ж2= Е ^сАИп) = №ъ+1¥4, |сй|<—ехр!- —
х-у<п<х /г=—оо
Е ВД- Е ^«= Е Е
|/г|<М01пх
х-у<п<х
х-у<п<х \Ц>М()]пх
Е Е
х-у<п<х \Ц>М()\пх
сн 1«
у ІПХ
ехр
[М01п х] +1
М,
¿ехр
о у
/7=0
/г
V Мо/
у ІПХ
X
Переходим к оценке Ш3. Имеем
|пМ- Е \ігт+у'пМ"
М,
О \<И<М0\пх
Производная к - порядка /(к)(!) -
ук;
к\кіс на отрезке \х — у,х] удовлетворяет неравенствам
Лк=аЬхс~*, зе= ; к!, Г]
Кк;
(х~У)
-.-к
с-к
X
1 <Т)<
1
1-10
-9 1
С,.
Оценим сумму Щ (И), воспользовавшись теоремой 5 из [7 стр. 27]. Имеем
Wъ(h) |« уЛ^-1^ + у^К\2*-2 « .у
эег
С £ |2.К 2Т-2К-2
Ъ1К-г +у к\гес'
С-к ) 2К-21 —
И
где К = 2 . Суммируя по всем И. . 1 < И < М01п X, найдем
X \щ т«ум0
\<к<Мг\]пх
Э&10хс~к \ + УТ зМг/-:~к ]~2"2
ІПЛ-
Следовательно,
аеЦ, хс
■к \ 2к-г
+ у-К[аМ{)хс
■-к \ 2К-2 А 4-\
+м:
ІПХ 2+2І2:
W2 <W3 +W4 « у
а$Лхс
С-к І2Г-2
+ у к[эеМх:
+ М~
Iruc
Оценка Wl. При | h |<М сумму Wx (/?), оценивая аналогично W-, (И), найдём
Шк)\ «у
аэс
С-к } 2К-2
h + a\1К~г +у к аэес ~ \h +a
Отсюда, воспользовавшись соотношениями
Y (h-1 a
1 <h<M
1 <h<M
получим
\h + a\
&Мхс-кЛіК-2
+ y Kaet'
-k ] 2K-2
(2)
(3)
(4)
Оценка Щ(0). Полуинтервал E = {x cy In x, 0,5] разобьём на множества
Ex =(xl-cy-1 lnA x,(2c)~lxl-cl E2=((2cylxl-c,x2-c(\nxy2Al
Er = (xr-1-c(lnxy^1-2)A,xr-c(lnxy(-r-2)A], r = 3,4, ...,[c];
E[c]+i = (x[c]_c(ln jc)“(2['I_2)'4,0,5].
Оценка Щ0) при a e Ex. Производная функции fit) = atc, t e[x — y,x] монотонна и
1 A
C{l-lO~9)C~l- — < f(t) <0,5.
v ; У
Применяя к сумме W (0) лемму ван дер Корпута (см. [2], стр. 26), найдем
X
Щ (0) = Y <aff) = { e(octc)dt + 0(1) <tc min
х-у<п<х
У,
х-у
min|/'(01
«
У
1пА х
Оценка Щ(0) при а е Ег, 2 < г < [с]. Производная г - порядка /”(г)(7) = резке [х — у,х] удовлетворяет неравенствам
\rJ
r\htc г на от-
Xr < f(r) (t) < rjXr, Л = гесс(х - y)c~r, эе=
KrJ
r\, 1J =
X
(х-УЇ
<1-10
= cr
2-е
9
Оценивая сумму Щ(0) аналогично сумме Щ(И), воспользовавшись теоремой 5 из [8 (стр. 27)], затем используя утверждение леммы 1 при 2 < г < [с] и неравенства сх 'х6 1 < (х — у)сг < хс 1 , находим
Щ (0)« у\[ зва(х - у)с~г)схк + у~к [сВа{х - у)с
с у^Щах0-^1 •
С-Г \ 2К-2
<
' + у к\ах
Далее, воспользовавшись условием ОС е Ег, то есть неравенствами
bs'Qnxy^-2^ <ахс-г <2-с0пхУ(2"-2)а,
где Ъ2 — (2с) 1 и Ьг - 2 с, если 3 < г < [с], имеем
W(0)<< у
22'-2[(2-с Inх)-(2'-2)АI2''2 + >>-2"(b x 1 (Inху(2"-2)АI“2'-2
У
1пА х
fJTc х2(1п х)А А
1 +
Л2
2-г \
У
, А =
-lv-Лг,
2 -4)А 14-2‘
¿r x(lnx)v ■ ‘I ^¡2с х2(1п х)^
где А = 1 при г = 2, а при г > 3 воспользовавшись неравенством 2е < —Ц- •, ^ х , легко можно по-
6A lnln х
казать, что А < 1.
Оценка Щ(0) при оге£^с]+1. Воспользовавшись оценкой (3) при h = 0, затем условием а € -Ё[с]+1, имеем
дем
W1 (0) |«с у ээсс ка гк~г + у k SBсс ка гк~г «:
С-k 2К-2
<< у
эег
С-к ) 2К-2
+ у К\дес1
2К-2
(Inx)
(2^-2)Л
Таким образом, для всех а е Е при у > х21пА х для W] (0), справедлива оценка
\Щ(0)\ «у
аес
, \—1— ? / г , \--1— (21-с-|-2)Л
:-к ] 2К-2 , “if 2К-2 - --------->-
2М-2
2(lnjc) 2i: 2
(5)
Оценка Sc(a;x,y). Подставляя оценки для W2. IV] и W] (0) из (2), (4), (5) в (х,у)х,у);), най-
1$с(а;х,у) |«.у
а&4хс
2,5
+М Inx ’ +у к аес1
ЛсУк
- (2^-2) Л
2(Inx) 2JM
У
\пА х
Используя оценку (к — 1)! • {с} < ж = с к\<к\ леммы 1 и формулу Стирлинга, находим
1
э&к-2 < ехр
ґ ln k\ Л
V2^2 у
f і л
<sc 1, эе2JC 2 <
{с} 2K-2 «{с}
1
2К-2
Поэтому
\Sc(a\x,y) |«j
Mxc-k Г2 +М~1
-У Ъ 2 г , ---1— (2^-2)А
ІПХ ’ +у к х[с]~ {с} 2JM(lnx) 2К-2
У
In X
В правой части последнего неравенства, подставляя М = Х2К1 и к = [с] + 1, получим
\Sc(oc;x,y) |«j
Мхс
-к Л2К-\
-у Ъ 2 Г , ----1— (2[С]-2)Л
In X ’ +у К х[с]~ {с} 2JM(lnx) 2К~2
+■
У
In X
Воспользовавшись условием с >£, 8 = 8(х,с,А) в виде 5 < {с} < 1 — 8, имеем
2,5 _9Нс]
Sc(a;x,y) |<tc у х 2lcJ+Ll Inx + у 2 [х8 1 ]2W+1~2(lnx)
(2^-2 )А
+ -
У
\пА х
У
\пА X
(3.2[С]-4)Л ^
л2-[с]
уНс]
+
2J 1пА X
Пользуясь ЯВНЫМ ВИДОМ величины 8 И условием 2С < ^ х , получим
(3-*СМ )А
х8~1 «^(1п х) 4-2Нс] = 2[c]+1 -1 (А + 2,5)
х(1пх)1 '
lnlnx
<
, 1__ ___1__ з і
<1 x(lnx)2' ]'за )4-221с] = хехр 2[с] • ЗАlnlnх 4^2Лс] < х2 4^2Лс] < х2.
Поступило 15.01.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Deshouillers J.M - Bull.Soc. Math. France, 1973, t. 101, pp. 285-295.
2. Архипов Г.И., Житков А.Н. - Изв. АН СССР, сер. мат., 1984, т.48, 6, с. 1138-1150.
3. Буриев К. - Математические заметки, 1989, т. 46, в.4, с.127-128.
4. Виноградов И.М, Карацуба А.А. - Труды МИАН СССР, 1984, т.168, с.4-30.
5. Попов О.В. Арифметические приложения оценок сумм Г.Вейля от многочленов растущей степе-
ни: Дис...канд. ф-м. н. - М., 1995.
6. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. - М.: Дрофа, 2003.
7. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-ое изд. - М.: Наука, 1983.
8. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, 2-е изд. - М.: Наука, 1980.
2 К-2
2 -\с\
24 с I
П.З.Рахмонов
БАХ,ОИ СУММА^ОИ КУТО^И ТРИГОНОМЕТРЙ БО ДАРА^А^ОИ ГАЙРИБУТУНИ АДАДИ НАТУРАЛЙ
Донишго^и давлатии Москва ба номи М.В.Ломоносов
Барои суммах,ои кутохд тригонометрй бо дарачах,ои гайрибутуни адади натуралй хднгоми у > 42 сх \пА х, Xі су 11пА х <| а |< 0.5, с >2 и ||с|| > 8 бах,ои гайритривиалии
Sc(a;x,y)= Y е(а[пс})^у\пА х,
х-у<п<х
гирифта шудааст, ки дар инчо A - адади мусбати додашуда ва ё = ё(х,с,А)= 2[с]+1-1 (А + 2.5)--^^.
Калима^ои калиди: тацситмшавии мунтазам - суммаи кутоуи тригонометрй - бауои гайритривиалй.
P.Z.Rahmonov
ESTIMATION OF SHORT EXPONENTIAL SUMS WITH NON-INTEGER POWERS OF NATURAL NUMBERS
M.V.Lomonosov Moscow State University Nontrivial estimation has been obtained for short exponential sum
Sc(a\x,y)= Y e(a[nc})<^y\nA x,
x-y<n<x
with nonintegral power of natural number for y> y[2cxЫАх, xA су~ЧпА x<\a\<0,5, с >2 and ||c|| > 8 where A - is a fixed positive number and S = S(x, c, A) = 2[c]+1 -1 (A + 2,5) • ^nx .
Key words: uniform distribution - short exponential sums - nontrivial estimation
