CC BY
38
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №6_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.524
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, Д.М.Фозилова
ОБ ОДНОЙ ТЕРНАРНОЙ ЗАДАЧЕ С ПОЧТИ РАВНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ
Институт математики АН Республики Таджикистан
Для количества представления достаточно большого натурального числа N в виде суммы двух простых чисел рх, р2 и куба натурального числа т, с условиями \р1~К!Ъ\<Н,
т~
- J0
-N/3\<H, H>N~sSr", найдена асимптотическая формула.
Ключевые слова: почти равные слагаемые - короткая тригонометрическая сумма - круговой метод.
В работе, воспользовавшись следствиями основной теоремы работы [1] о поведении короткой кубической тригонометрической суммы Г.Вейля вида
Т(а;х,у)= ^ е(атп3), а- — + Я, (а,д) = 1, \Я\<—, 1 <д<т
х-у<пг<х
Я
дт
в множестве точек первого класса (леммы 1 и 2) в сочетании с новой оценкой суммы Т(сг,х,у) и в множестве точек второго класса (лемма 3), улучшена теорема [2] об асимптотической формуле в кубической задаче Эстермана с почти равными слагаемыми.
Теорема. Пусть N— достаточно большое натуральное число, 1(М,Н)— число представлений N суммою двух простых чисел рх, р2 и куба натурального т с условиями
N
<Н, / = 1,2,
3
т -
N
<Н,
р( /V, р) - число решений сравнения къ=Ы(тойр). Тогда при Н > М''^", = 1п N справедлива асимптотическая формула:
I(N,H) = r— . +0
Г Н2 Л
> S=n
р V
(Р- 1Г
Следствие. Существует такое И0, что каждое натуральное число N > И0 представимо в виде суммы двух простых чисел р1, р2 и куба натурального т с условиями
Адрес для корреспондентции: Рахмонов Зарулло Хусенович, Фозилова Давлатбахт Миралибековна. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: zarullo_r@tajik.net; davlatbakht@gmail.com
N
7=1,2,
т-
#
<—=---=+1.
Уз Уз
Лемма 1. Пусть т >\1ху, \ Л \< —^—г, тогда имеет место соотношение
вдх
Т(а, х,у) = — £ (а, д)у{Л\х, у) + 0(д), Ч
0,5
Г(Л;х,у)=
/I
г л3^
У
х- — + у1
V
2
(к.
Доказательство см. [1].
Лемма 2. Пусть т >\1ху, —^—г <\ Л \< —, тогда имеет место оценка
бдх
±_ дт
Т(а,х,у) дъ1пд + тт^д ъ,х2д6у
Доказательство см. [1].
Лемма 3. Пусть х>х0, у<х, а - действительное число, справедлива оценка
_1_11 _2 11 2 | Т(а\х,у) |<К у д 8 + у 81п8 д + у *д* 1п8 д (1пу)*.
Ч
< , (а,д) = 1. Тогда Ч
Доказательство. Воспользовавшись методом Г.Вейля, найдем
| Г(а;х,у) |4< |Ео<т*у-*-г <в^кгт)
Применяя к внутренней сумме лемму 4 из [3, стр.94], имеем
+ 24у3 +2{у + \)2.
| Т(а; х, у) |4« у ^ ^ тт
О<к<у 0<г<у
У,
1
1М1
+ у3<&у X г(и)гтп
0<п<6у
V Н|У
Применяя неравенство Коши, затем лемму 5 из [3, стр.94], получим
\Т(сг,х,у)\*<^у5\пъ у £ гшп
0<п<24у
У,
V п^и у
V
1+1н+11н
Ч У У3
у
Доказательство теоремы также опирается на поведение линейных тригонометрических сумм с простыми числами, переменное суммирование которых принимает значение из коротких интервалов.
Лемма 4. Пусть х>х0, /г < х16 ехр(-(1гис) ' ), у > кх% ехр(1пл;)'" , т>у /хк, д<к, Ъ > 224 - произвольное фиксированное положительное число.
Р(д,х) =
ехр(-1п41пх) если q<(\nx)b:,
(1шс)й+3 если д>(1пх)".
Тогда справедливо равенство
8(а;х,у)= ^ А(п)е(ссп)
//(</) бш лЛу <р(д) пХ
V V ^ л
я
-о
Тпр(Я>х)
х-у<п<х
Доказательство см. [4].
1
Доказательство теоремы. Не ограничивая общности, будем считать, что Я = . Пусть
г = \2Ш, аег = 1. Имеем
1-ае
Щ,Н) = 1521(а-,Ы,Н)Т1(а-,Ы,Н)е(-аЫ)аа,
-£е
= £ е(ар), Т1{а\К,Н)= £
\р-Ы!Ъ\<Н
\п-Ы/3\<Н
При | р — N/3 |<Н, пользуясь формулой Лагранжа о конечных приращениях, легко показать, что 1пр = 1пN/3 + (){Н / Ы). Поэтому
N
81(а;М,Н) = \п1— Б а;— + Н,2Я 3 у 3
N
л ГН2Л
+ 0
к*;
(1)
Воспользовавшись соотношением
N
N
Я
33±Н=М1± И + 0(И^-5/3), н^-
находим
(2)
Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое а из промежутка [—3^1 —Э^ представим в виде
а 1
а- — + Л, (а,д)-1, 1<д<т, \Л\<—.
(3)
В этом представлении 0 < а < ц — 1, причем а = О лишь при с/ = \ . Через обозначим те а, для которых в представлении (3) , а через ш - обозначим оставшиеся а . Множество ЭДТ состо-
ит из непересекающихся отрезков. Разобьем множество М на множества и М 2:
а«! = \а: а е Ш1,
а
а--
4
< — \, Ш2=\а:аеШ,— < Я 2 Я
а
а —
<
ЦТ
Обозначим через I(ОТ;) , I(ОТ2) и I(т) соответственно интегралы по множествам ОТ], ОТ2 и т . Будем иметь
В последней формуле первый член, то есть I(ОТ]) , доставляет главный член асимптотической формулы для /(ТУ,//) , а 1(Ш2) и /(т) входят в его остаточный член.
Вычисление интеграла I(ОТ]) . По определению интеграла I(ОТ])
имеем:
<И
1(%к1) = ^ 1(а>Я) = 1 р е -аЫ с1Л,
а=0 (а,<¡0=1
\Л\<1г/Н
(4)
а
Я а;Ы,Н а-Ы,Н Тх а;Ы,Н , а = - + Л.
Ч
К сумме 8(а; N /3 + Н, 2Н) применим лемму 4, полагая, что х = N /3 + Н, у = 2Н, Ь = 224 . Все условия этой.
леммы выполняются:
И < ЫГ6 ехр(-(1пЫ)0'16), /3 + НУ ехр(1пЫ)0'16 < = 2Я,
12 Я N _ (2 Я)2
т >'¥+зн ~(#7з+я>'
Согласно этой лемме, для ос е от, с учётом формулы (1) имеем
1 1п(Ж/3 )<р(д) жЛ
V 3 у
+ 0(Я,), В, = Я ехр(-с 1п
Воспользовавшись этим соотношением и имея в виду, что
/и(д) Бт 2жЛН
<р(д) жЛ
V -> /
Я
найдем
Я2
//2(д) эт2 2жЛН <р2{д) (жЛ)21п2(Л^/3)'
V -5 У
Отсюда с учётом тривиальной оценки суммы < НМ 2/3, находим
<р(д)&'
(лЯ)21п2(Ж/3) Из неравенств ^Н1 < (¿/(Л', + Я,)2) 1 и
Л 2 п
т; «■ 1
V -> У
од+^>2^=-=
24 Я
V NJ
<
24 Я
1 +
#-2
12Я
= г
следует, что для суммы Т ОС', А^ + Ях, 2/7, при е ЯЯ, выполняется условие леммы 1. Согласно этой лемме, с учётом формулы (2) и имея в виду, что Ц :
2£(а, д)Н
что Ц < и Я = Д-^", найдем
Т^а-ЫМ)-
Отсюда и из (5) имеем
2Я /¿2 (^)^(а, д) бш2 2яЛН
н2 д
^ЗЛ^1п2(Ж/3) (яЛ)2
(д) бш2 2яАН
/(А^+Н^Н^е
V -> у
(я>1) 1п (Ж/З)
Я2Д
1 Н
Подставляя значение /•'( се; /V, Я) в (4), найдём
1(а,д)~
2 Я
¡и2{д)8{а,д)
V " /
где
Поэтому
, . г вт 2;гЛЯ
/ 1 лгЛ
у(Я-Ы1+Н1,2Н1)е
М
- I
вт2 2лАН
1(а,д) =
(тгА)2
, тт ■ 3
4Я г вт г/ ж г/3
ЗЯ2
1 ^ "
2Ш
V 3 у
-0,5 ^ V
з ъ4Ш2
ёА =
V 3 у
с1ША =
йи + О
V * ,
зя
=—+0
2 {^у
•2— - Г аЛ^
/.12(д)8(а,д)
Я3 (а, д)
+ -
V Ч
Н2
+ Я3(а, д),
Я2
Подставляя правую часть этого равенства в (4), получим
(а.д)=1
V ч у
3
q-1 ^
11 « У У it (а, q) « -=— у — ££ ^ ££ PO
(а,<¡0=1
Я2
Заменяя сумму №) в (6) близким к ней бесконечным рядом, общий член которого является мультипликативной функцией, найдем:
G(N) = &(N) + 0(J?2), &(N) = П
Следовательно,
цж,
р V
Я2 Л
СР-1Г
Оценка /(9Л2) . Возможны случаи: <| Я |<--
Я '
— и-1--
6^+яр2 6 qiN.+H,)2 дт
Случай 1. Из неравенства т > 12( Л,'| +Я1)-2Я1 и условия рассматриваемого случая следует, что для суммы Т +Н1,2Н1 выполняется условие леммы 1, поэтому
J e(f(u)du + 0(q"+s), f(u) = Ä(N, + 2Hxüf.
4
Производная /'(и) является монотонной функцией и удовлетворяет неравенству
' 2ЯЛ
f'(u) \>6\Я\ (ЯД2 - 2ВД2) = 21 Я I я
1 —
>\я\н>^.
V # у
Переходя к оценкам и оценивая интеграл по величине первой производной, имеем
Я Я Я
| Т(а,2Д) |« , * + « „„ „ + «■
min | /'(и) | " N2/3^ Случай 2. Согласно лемме 2 при х = + Нх, = 2Я1, имеем
+ Hl,2Hl)<^.q1 Inq + (Nx +H1)2q" <КЯГ +N"Я" «
N 2/3_^2
Я л/л^г2 '
(7)
Отсюда и из оценки (7), с учётом соотношения (2) для всех <2 е ЯН 2, получим
|?;0;Ж,Я)|« Л- +Я2ЛГ5/3<<- Н
Поэтому
1
1(Ш2)« шах I Ту(а,Ы,Н) I [| ^ («;#,#) |2 йа
оеЯ, ^
«С
Я2
Оценка интеграла /(го). Пользуясь для суммы Т(ос\Ых + Н], 2Н ]) леммой 3 и условием
<д<г = 1Ш.,
находим
_1 _1 1
_з 1 1
Т(а-,Ы1,+Н1,2Н1)<^Н1 д~* +Н1 д + Н~*д*\п* д <к
Н
í XX Л 8 { -г-г \ 8/ г г \
^ 2 +
я
я
Я
ч^А у
Н ( -1 , _5 Н
& 2 + # 4 (1пЛ02 «
Ц^2 1 г ' 3/^ '
С учётом (2) такую же оценку получим и для Тх(ос,Ы,Н) . Следовательно,
Я2
/(го)« шах | 7;(а,Ж,Я) I Г| ^ («;#,#) |2 ¿а
ает Л
3'Ж21п3 N
Поступило 15.05.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рахмонов З.Х., Фозилова Д.М. - ДАН РТ, 2011, т. 54, №11, с. 880-886.
2. Фозилова Д.М. - ДАН РТ, 2011, т. 54, №9, с. 715-718.
3. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. - М.: Наука, 1983, 240 с.
4. Рахмонов З.Х. - ДАН РТ, 2000, т. 43, №3, с. 27-40.
ЗД.Рахдоонов, Д.М.Фозилова ОИДИ ЯК МАСЪАЛАИ ТЕРНАРЙ БО ^АМЪШАВАНДАИ ЦАРИБ
БАРОБАР
Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Барои микдори тасвирх,ои адади кифоя калони натуралии N дар намуди суммаи ду ада-ди соддаи рх, р2 ва куби адади натуралии т, ки шартх,ои | р^ -N13 \<Н , \т3 -М /3\<Н,
1 Л0 -
Н > Л'- ро капоат мекунанд , формулаи асимптотикй исбот карда шудааст.
Калима^ои калиди: цамъшаванда^ои цариб баробар - суммаи кутоуи тригонометри - методи
доирави.
о
о
Z.Kh.Rakhmonov, D.M.Fozilova ABOUT THE TERNARY PROBLEM WITH ALMOST EQUAL SUMMANDS
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan The asymptotic formula has been found for the number of representations of a sufficiently large positive integer N as the sum of two primes px, p2 and the cube of a natural number m with the following conditions: \p,-N/3\<H ,\m3-N/3\<H, . Key words: almost equal summands - short exponential sums - circle method.
