Асимптотическая формула в проблеме Эстермана четвёртой степени с почти равными слагаемыми Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №9_

МАТЕМАТИКА

УДК 511.325

А.О.Рахимов

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА В ПРОБЛЕМЕ ЭСТЕРМАНА ЧЕТВЁРТОЙ СТЕПЕНИ С ПОЧТИ РАВНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ

Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 27.05.2015 г.)

Доказана асимптотическая формула для количества представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы двух простых чисел р1 , р2 и четвёртой степени натурального числа т с условиями

N

р. - у

< И, i = 1,1;

4

m -

N

< И ;

11 40

И > N12 L3.

Ключевые слова: почти равные слагаемые - короткая тригонометрическая сумма - диофантово уравнение.

Т.Эстерман [1] доказал асимптотическую формулу для числа решений уравнения

Р + р2 + m2 = N,

(1)

где р1, р2 - простые числа, т - натуральное число.

В работах [2] и [3] эта задача исследована с более жёсткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны, и выведена асимптотическая формула для числа решений (1) с условиями

N

р.- 7

< И; i = 1,2,

m2 -

N

< И; И > N4n3N.

Далее, в работе [4] асимптотическая формула выведена для более редкой последовательности с почти равными слагаемыми, то есть когда в уравнении (1) квадрат натурального т заменяется на

5 ш

его куб при Н > N6& (см. также [5]).

Основным результатом этой работы является вывод асимптотической формулы для ещё более редкой последовательности с почти равными слагаемыми, то есть когда в уравнении (1) квадрат натурального т заменяется на четвёртую степень.

Теорема. Пусть N — достаточно большое натуральное число, I(N, Н) — число представлений N суммою двух простых чисел р, р2 и четвёртой степени натурального т с условиями

N

р.- 7

< И, i = 1,2,

4

m -

N

< И ,

Адрес для корреспонденции: Рахимов Алишер Орзухуджаевич. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт матема-тики АНРТ. E-mail: alisher.1987@rambler.ru

Доклады Академии наук Республики Таджикистан

2015, том 58, №9

11 40 * 3

р(Ы, р) — число решений сравнения х = р). Тогда при Н > N12&3 справедлива асимпто-

тическая формула:

р( N, р)Л

I (N, H) = ^ЩЖ + 0

Г H2 >

4/N3 L2

v 41N 3L 3 у

S=п

1+-

p v

(Р -1)2

Следствие. Существует такое N, что каждое натуральное число N > N представимо в виде суммы двух простых чисел р , р2 и четвёртой степени натурального т с условиями

Рг

N

11 40

< N12 L3, i = 1,2,

N

m - 4 — V 3

-1 40 .1 80 Л о

^ 3N6L3 27N12L3 189L 40 +Q < 4^3 32^3 128^3 , '

Доказательство теоремы проводится круговым методом и её основу составляют:

• теорема [6,7] о поведении коротких тригонометрических сумм Г.Вейля

а 1

Т(а;х, у) = ^ в(ат"), а =—ьЛ,д <т, (а, д) = 1,|Л|<—,

х-у<т<х Ч

для а , принадлежащих длинным дугам;

• теорема [8] об оценке короткой тригонометрической суммы Г.Вейля Т(а; х, у) четвёртой степени для а , принадлежащих малым дугам;

• теорема [9] о поведении коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами

S (a; x, y) = ^ A(n)e(an)

x-y<n<x

для a , принадлежащих длинным дугам.

Поступило 22.05.2015 г.

3

ЛИТЕРАТУРА

1. Estermann T. Proof that every large integer is the sum of two primes and square. - Proc. London math. Soc., 1937, v. 11, рр. 501-516.

2. Рахмонов З.Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми. - Математические заметки, 2003, т. 74, вып. 4, с. 564-572.

3. Шокамолова Дж.А. Асимтотическая формула в задаче Эстермана с почти равными слагаемыми. -ДАН РТ, 2010, т. 53, №5, с. 325-332.

4. Рахмонов З.Х. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми. - Математические заметки, 2014, т. 95, вып. 3, с. 445-456.

5. Рахмонов З.Х., Фозилова Д.М. Об одной тернарной задаче с почти равными слагаемыми. - ДАН РТ, 2012, т. 55, №6, с. 433-440.

Математика

А.О.Рахимов

6. Рахмонов З.Х. Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля. - Ученые записки Орловского университета, сер. естест., техн. и мед. науки, 2012, 6, ч. 2, с. 194-203.

7. Рахмонов З.Х., Нарзублоев Н.Н., Рахимов А.О. Короткие суммы Г.Вейля и их приложения. - Че-бышёвский сборник, 2015, т. 16, №1 (53), с. 232-247.

8. Рахимов А.О. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвёртого порядка в малых дугах. — ДАН РТ, 2015, т. 58, №8.

9. Рахмонов З.Х., Короткие линейные тригонометрические суммы с простыми числами. - ДАН РТ, 2000, т. 43, №3, с. 27-40.

А.О.Рахимов

ФОРМУЛАИ АСИМПТОТЙ ДАР МУАМОИ ДАРА^АИ ЧОРУМИ ЭСТЕРМАН БО ЧАМЪШАВАНДА^ОИ ЦАРИБ БАРОБАР

Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Формулаи асимптота барои микдори тасвирх,ои адади натуралии кифоякалони N дар

намуди суммаи ду ададх,ои соддаи p , p2 ва дарачаи чоруми адади натуралии m бо шартх,ои

N

p' — 7

< H, i = 1,2;

4 N m--

11 40

< H; H > N12 L3

исбот карда шудааст.

Калима^ои калиди: цамъшаванда^ои цариб баробар - суммаи кутоуи тригонометри — муодилаи диофанти.

A.O.Rahimov

AN ASYMPTOTIC FORMULA IN ESTERMANN QUARTIC PROBLEM WITH

ALMOST EQUAL SUMMANDS

A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan An asymptotic formula is proveded for the number of representations of a sufficiently large positive integer N as a sum of two primes p , p2 and the fourth degree of a natural number m , satisfying

N

pi— 7

< H, i = 1,2;

4

m —

N

< H;

11 40

H > N12 L3.

Key words: almost equal summands — short exponential sum — circle method — diophantine equation.