CC BY
0УДК 517.938.5
ТОПОЛОГИЯ ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ БИЛЬЯРДНЫХ КНИЖЕК, СКЛЕЕННЫХ ИЗ КОЛЕЦ
Д. А. Туниянц 1
Для произвольной бильярдной книжки, склеенной из областей, гомеоморфных кольцам, показано, что изоэнергетическая поверхность динамической системы бильярда на таком столе гомеоморфна прямому произведению окружности S1 на сферу S2 с д ручками. В классе упорядоченных бильярдных игр, введенных В. Драговичем и М. Раднович и промоделированных ими позднее (с помощью алгоритмически конструируемых по упорядоченной бильярдной игре бильярдных книжек), найден подкласс тех игр, моделирование которых возможно только с помощью бильярдных книжек изученного в работе вида.
Ключевые слова: бильярд, упорядоченная бильярдная игра, бильярдная книжка, изо-энергетическая поверхность, интегрируемая гамильтонова система, интегрируемый бильярд, софокусные квадрики.
For an arbitrary billiard book glued from domains homeomorphic to annuli, it is shown that the isoenergy surface of the billiard dynamical system on such a table is homeomorphic to the direct product of the circle S1 and the sphere S2 with д handles. In the class of ordered billiard games introduced by V. Dragovic and M. Radnovic and modeled by them later by means of billiard books (algorithmically constructed from the billiard ordered game), a subclass of those games was found, the simulation of which is possible only by means of billiard book subclass studied in this paper.
Key words: billiard, ordered billiard game, billiard book, isoenergy surface, integrable Hamiltonian system, integrable billiard, confocal quadrics.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-3-4
1. Введение. Для систем классических бильярдов в плоских областях известно много различных обобщений. В их числе системы на плоских столах с добавлением потенциала или магнитного поля, бильярды в областях с неплоской метрикой, бильярды на склеенных из плоских столов CW-комплексах с перестановками (называемых бильярдными книжками, см. [1]), с проскальзыванием вдоль границы стола [2].
Взяв за основу столы, ограниченные софокусными квадриками или концентрическими окружностями и их радиусами, возможно сохранить свойство интегрируемости (наличие нужного числа независимых первых интегралов) исходного бильярда в новом, более широком классе систем. Согласно недавним результатам по классической гипотезе Биркгофа о бильярдах и ее аналогам [3], в классе плоских интегрируемых бильярдов центральное место занимают именно софокусные и круговые бильярды.
При изучении бильярдов большой интерес представляют свойства их траекторий. В работе [4] В. Драговичем и М. Раднович были введены упорядоченные бильярдные игры (для краткости также будем называть их бильярдными играми или играми) — движение шара по плоскости с отражениями от эллипсов из упорядоченного набора. Затем в работе [5] ими было показано, что такие траектории возникают при проекции бильярдной книжки на плоскость. Книжка состоит из дисков и колец, ограниченных софокусными эллипсами, и задается алгоритмически по информации о бильярдной игре.
Для таких бильярдных систем, как и систем классической механики, весьма актуально изучение топологических свойств слоений на их фазовом пространстве. Это направление исследований было в значительной степени мотивировано работой С. Смейла [6], в которой для гамильтоновых систем изучались классы гомеоморфности их неособых изоэнергетических поверхностей Q3 = Qh : H = h в фазовом пространстве. Также была изучена связь изменения (бифуркации) типа такой поверхности с критическими точками энергии H, не вырожденными по Морсу.
1 Туниянц Доминика Арамовна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ; Моск. центр фунд. и прикл. матем., email: 2001dat@inbox.ru.
Tuniyants Dominica Aramovna — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics.
© Туниянц Д. А., 2024 © Tuniyants D. A., 2024
(cc)
Если гамильтонова система интегрируема, т.е. обладает первым интегралом F, независимым с энергией H, то ее изоэнергетические поверхности Q3 расслоены на поверхности уровня F = f. В работах А.Т. Фоменко, его учеников и соавторов была построена теория топологической классификации (см. работы [7-9] и монографию [10]) таких систем в случае невырожденности их особенностей по Морсу-Ботту [11]. С точностью до послойной гомеоморфности системы классифицируются инвариантом Фоменко-Цишанга. Это есть граф с числовыми метками, ребра которого соответствуют семействам регулярных торов Лиувилля, вершины оснащены типами невырожденных атомов-бифуркаций этих торов. Такой граф без числовых меток (инвариант Фоменко) классифицирует базы слоений Лиувилля.
Вычисление топологических инвариантов для интегрируемых бильярдов [12, 13] и их обобщений [14, 15] показало, что эти, вообще говоря, кусочно-гладкие системы реализуют широкий класс интегрируемых систем из механики [16, 17], произвольные невырожденные особенности [1] и базы слоений Лиувилля [18], значения числовых меток [19-21], т.е. верен ряд положений гипотезы А.Т. Фоменко о бильярдах [22].
Согласно результату И.С. Харчевой [23], для любой бильярдной книжки ее уровень постоянной энергии Q3 гомеоморфен трехмерному замкнутому ориентируемому топологическому многоообра-зию. В.В. Ведюшкиной было показано, что в классе таких многообразий лежат, например, произвольные линзовые пространства [24] и их связные суммы [25]. Этот результат определяется лишь комбинаторной информацией о столе книжки и ее перестановках, т.е. не зависит от интегрируемости системы и сохраняется при деформациях граничных кривых.
В работе В. Драговича и М. Раднович [5] вычислены инварианты Фоменко нескольких книжек, реализующих конкретные примеры бильярдных игр. Общий вопрос об инварианте Фоменко-Цишанга для слоений Лиувилля бильярдных книжек, реализующих бильярдные игры, остается открытым. Также весьма интересен вопрос о классе гомеоморфности их изоэнергетических поверхностей Q3.
В настоящей работе нами определен класс гомеоморфности изоэнергетической поверхности Q3 для бильярда на произвольной бильярдной книжке, склеенной из листов-колец (назовем далее такие книжки кольцевыми). Также среди упорядоченных бильярдных игр нами выделен подкласс, который не может реализовываться движением шара по бильярдной книжке, проходящим через фокусы (центр) семейства квадрик. Иными словами, только кольцевые бильярдные книжки (т.е. не содержащие листов-дисков) могут реализовать игры этого класса при значениях интеграла, близких к критическим.
Отметим, что класс гомеоморфности Q3 не меняется при "допустимых" преобразованиях книжки внутри класса комплексов с перестановками (ограниченных одним и тем же семейством квадрик), как при деформации такого семейства софокусных эллипсов (например, в концентрические окружности). Тем самым результат остается верен и для неинтегрируемых бильярдов.
2. Упорядоченные бильярдные игры и бильярдные книжки. Пусть Q есть область на плоскости R2, ограниченная гладкой кривой 7 = dQ. Назовем бильярдом в области Q динамическую систему на фазовом пространстве M4, описывающую прямолинейное равномерное движение материальной точки внутри области Q со стандартным отражением на границе dQ: при отражении сохраняется длина вектора скорости, а угол падения материальной точки равен углу отражения.
Многообразие M4 := {(x,v)| x € Q,v € TxR2, |v| > 0}/ где отношение эквивалентности задается следующим образом: (x,v) ~ (ж, v) ^^ x = ж € 7 = dQ, |v| = |v| и v — v ± TxQ, назовем фазовым пространством системы. В декартовых координатах x,y метрика на Q единичная, т.е. касательное и кокасательное пространства можно не различать.
Кинетическая энергия системы H = |v|2/2 является первым интегралом системы, поскольку сохраняется при движении частицы внутри области Q и отражении от границы 7.
Определение 1. Изоэнергетической поверхностью бильярдной системы назовем множество
Q3 = {(x, v) € M4 : H(x, v) = const > 0}.
Для бильярдов на плоских столах и на обсуждаемых далее бильярдных книжках [23] такое множество является трехмерным топологическим многообразием.
Рассмотрим семейство софокусных квадрик на плоскости R2(x,y), задаваемое уравнением
(b — A)x2 + (а — A)y2 = (а — A)(b — А). (1)
Значениям А < b и b < А < а соответствуют эллипсы и гиперболы, а значениям А = b, А = а — оси Ox, Oy как пары совпадающих прямых.
Каждая траектория на столе О, ограниченном дугами квадрик данного семейства, имеет каустику, принадлежащую семейству (1) для некоторого Л < Ь или Ь < Л < а. Этой кривой касается каждая прямая, содержащая звено данной траектории. При Л = Ь эти прямые проходят через фокусы семейства, а при Л = а частица движется по оси Оу. Параметр Л в точке € М4 есть значение квадратичного по VI,интеграла Л, общего для бильярдов данного семейства:
Л
bv^ + — (vi x — v2y)2
vf + v.
Изоэнергетическая поверхность Q3 интегрируемого бильярда расслаивается на поверхности уровня интеграла Л (т.е. на нем возникает слоение Лиувилля).
В работе [4] В. Драговичем и М. Раднович были введены упорядоченные бильярдные игры — системы движения шара "с памятью", ассоциированные с упорядоченными наборами из n софокусных эллипсов Ei,..., En, и сигнатуры игры, т.е. n чисел ¿i,..., 5n, таких, что 5j € {±1}. Будем считать, что каждый эллипс Es входит в семейство (1) при Л = As для 0 ^ As < b.
Траектория бильярдной игры есть ломаная ..., Ak—i, Ak, Ak+i,..., каждая вершина Ak которой лежит на эллипсе Es для s = k (mod n) и k € Z. Если знак Ss = 1, то отражение от эллипса Es в вершине Ak должно быть внутренним, а если Ss = —1 — внешним. На рис. 1 изображены два примера упорядоченной бильярдной игры. Заметим, что у бильярдной игры, изображенной на рис. 1, а, из-за условия ¿4 = +1 звено A3A4 заканчивается не в первой общей точке луча и эллипса E4, а во второй, отражение от этого эллипса должно быть внутренним.
Рис. 1. Упорядоченная бильярдная игра (£1,£2,£3,£4,£5,£б,£7) с сигнатурой (¿1,^2,^3,^4,^5,^6,^7) = (1, —1,1,1,1, —1,1) и одинаковыми эллипсами £1 = £5 = £7, £2 = £4 и £3 = £б (а); упорядоченная
бильярдная игра (£1, £2) с сигнатурой (¿1, ¿2) = (1, —1) (б)
Замечание 1. Чтобы упорядоченная бильярдная игра была корректно определена, необходимо и достаточно, чтобы сигнатура удовлетворяла двум условиям:
1) среди 53 нет двух подряд идущих 53 = = —1 (считаем, что ¿п+1 = ¿1): частица не может отражаться два раза подряд внешним образом;
2) если 53 = —1, то эллипс £8 лежит внутри эллипсов £5-1 и £5+1 (т.е. Л5-1 < Л5 < Ь и Л5+1 < Л5).
Вдоль траекторий игры сохраняется значение Л интеграла Л, причем Л > Л5, в = 1,..., п.
В работе [5] для каждой бильярдной игры была построена бильярдная система, заданная на некотором фазовом пространстве и реализующая игру в следующем смысле.
Определение 2. Интегрируемый софокусный бильярд на столе О реализует бильярдную игру £1,..., £п с сигнатурой ¿1,..., 5п, если для каждого значения интеграла Л = Л : шах5 Л5 < Л ^ а бильярд имеет траекторию, лежащую на уровне Л и удовлетворяющую условиям данной игры.
Согласно условию шах5 Л5 < Л ^ а прямые, содержащие звенья траекторий (лежащих на данном
уровне Л = Л), пересекают все эллипсы бильярдной игры.
2 2
Например, бильярд внутри эллипса £\ = + ^ = 1} с параметром Л1 = 0 реализует игру £1,^1 = 1, поскольку для каждого значения 0 < Л ^ а есть траектория, отражающаяся от £1 внутренним образом. Бильярд внутри кольца, ограниченного парой эллипсов £1, £2 с параметрами Л1 < Л2, реализует бильярдную игру (£1, £2) с сигнатурой (1, —1). Действительно, на каждой поверхности уровня шах(Л1,Л2) = Л2 < Л ^ а интеграла Л имеется траектория, удовлетворяющая игре.
Замечание 2. Аналогично можно говорить о реализации бильярдной игры бильярдом внутри круга или бильярдом в кольце между двумя концентрическими окружностями. Такие бильярды интегрируемы: вдоль траектории сохраняется радиус К окружности-каустики, концентрической с окружностями границы. В этом случае под реализацией будем понимать аналогичное свойство траекторий на всех уровнях интеграла 0 ^ г < го.
Плоскими софокусными или круговыми бильярдами реализуются не все бильярдные игры, например изображенная на рис. 2 бильярдная игра (£1, £2, £3, £4) с сигнатурой (1, -1,1, -1), где параметры эллипсов таковы: А1 = А4 < Л3 < А2.
Рис. 2. Упорядоченная бильярдная игра (£1, £2, £3, £4) с сигнатурой (1, —1,1, —1), где £4 = £1 (а), и реализующая ее кольцевая книжка, построенная по алгоритму из теоремы 1 (б)
Для реализации произвольной бильярдной игры в работе [5] Драговичем и Раднович были применены динамические системы на кусочно-плоских бильярдных книжках.
Напомним, что бильярдной книжкой, введенной В.В. Ведюшкиной в работе [1], называют связный двумерный комплекс, склеенный из плоских двумерных областей (называемых листами книжки) с помощью изометричных склеек их одномерных границ ("корешков" книжки). Для них определена проекция п : О ^ М2(ж,у) на плоскость с евклидовой метрикой. Она является изометрией в ограничении на двумерный лист. Каждый корешок (одномерная клетка стола) оснащен циклической перестановкой на множестве склеенных вдоль него листов книжки. В точках пересечения корешков (при наличии таковых) касательные векторы к данным корешкам должны быть ортогональны, а перестановки на корешках должны коммутировать.
В пределах произвольного листа Ь траектория частицы является поднятием траектории бильярда в плоской области п(Ь).
При трансверсальном ударе о гладкую границу листа Ь (корешок книжки) частица продолжит движение по листу а к (Ь), причем
1) для проекции траектории на плоскость верен закон отражения от проекции корешка (в нашем случае это эллипс £к), если проекции обоих листов п(Ь) и п(ст&(Ь)) лежат по одну и ту же сторону от проекции корешка (либо оба внутри эллипса £к, либо оба вне его);
2) проекция траектории на плоскость не испытывает отражения при пересечении проекции корешка, если проекции листов Ь и а к (Ь) лежат по разные стороны от него (одна из них внутри эллипса £к, другая вне его).
Когда траектория касается корешка книжки, ее продолжение может быть не определено [15]. Тем не менее изоэнергетическая поверхность и слоение Лиувилля остаются корректно определенными. Случай попадания траектории в общую точку двух корешков мы опускаем, поскольку в работе такие книжки не возникают.
Отметим особо, что данная сложность не влияет на определение реализации игры с помощью бильярдной книжки: при реализации рассматриваются уровни А интеграла Л, для которых каустика либо не является эллипсом (Ь ^ А ^ а), либо лежит строго внутри эллипсов, являющихся проекциями корешков книжки (т.е. А > Аi для параметров А^ всех эллипсов £ игры).
Для моделирования произвольной корректной упорядоченной бильярдной игры с набором эллипсов £1,..., £п и сигнатурой ¿1,..., 5п [5] алгоритмически построены бильярдные книжки, склеенные из эллиптических колец и дисков.
Далее ограничимся случаем, когда соседние эллипсы в наборе не совпадают: А5 = А5+1. Тогда построенная книжка имеет п корешков — гладких кривых, проецирующихся на эти эллипсы £1,..., £п, оснащенные перестановками Ст1,..., ап соответственно.
Теорема 1 (В. Драгович, М. Раднович [5]). Корректная упорядоченная бильярдная игра в со-фокусными эллипсами (£1,..., £п) и сигнатурой (¿1 ,...,5п), где £3 = £3+1 (считаем, что £0 = £п, £п+1 = £1), реализуется книжкой, склеенной из следующих листов для любого в € {1,..., п} :
(А) кольца Л3, ограниченного эллипсами £3 и £3+1/
(Б1) диска О3 с границей £3, если знак 53 — 1 и эллипс £3 ле^юит межжду двумя соседними эллипсами £3-1 и £«+1/
(Б2) пары дисков О3 и О' с границей £3, если знак 53 = 1 и эллипс £3 лежит внутри обоих соседних эллипсов £3-1 и £3+ь
Перестановка а3, соответствующая корешку в = 1,..., п, на эллипсе склейки £3 равна
1) (Л3-1О3Л3) в случае (Б1);
2) (Лз-1О3ОЗ'Лз) в случае (Б2);
3) (Л3-1,Л3) иначе.
В той же работе [5] доказана более общая теорема для класса игр, содержащих среди соседних эллипсов £к, £к+1 равные. Набору соседних равных эллипсов соответствует вклейка некоторого количества дисков, причем во всех возникающих случаях перестановки на корешках имеют тот же вид: кольцо с меньшим номером, набор дисков, кольцо с большим номером.
3. Основные результаты. Назовем кольцевой бильярдную книжку, склеенную из плоских областей, гомеоморфных кольцам, таких, что корешки книжки являются регулярными замкнутыми несамопересекающимися кривыми и их проекции п : О ^ М2(ж, у) либо совпадают, либо не пересекаются. Это позволяет задать порядок на множестве корешков: проекция каждого из них ограничивает замкнутый диск, и пара дисков либо совпадает ("равенство" корешков), либо один содержится во внутренности другого (один "меньше" другого).
Отметим, что такие книжки (но не только они) возникают в алгоритме В. Драговича и М. Рад-нович реализации бильярдных игр. Так, на рис. 2 изображены бильярдная игра (£1, £2, £3, £4) с сигнатурой (1, —1,1, —1), где £4 = £1, и построенная по данному алгоритму бильярдная книжка, склеенная из четырех колец (т.е. являющаяся кольцевой) и реализующая данную игру.
Определение 3. Назовем эквивалентными две кольцевые книжки О1 и О2, если существует гомеоморфизм / : О1 ^ О2 этих книжек, такой, что
1) / — гомеомофризм комплексов, т.е. переводит гомеоморфно лист Ь книжки О1 в лист /(Ь^ книжки О2, а корешок — в корешок;
2) / сохраняет перестановки, т.е. перестановка а/ на образе корешка переставляет склеенные вдоль него листы /(Ьik) так же, как а — листы Ьik, склеенные по самому корешку;
3) при проекции П2 образы корешков книжки О1 (т.е. корешки книжки О2) упорядочены так же, как сами корешки книжки О1 при проекции п1.
Лемма 1. Данное определение корректно.
Доказательство. 1. Для кольцевой книжки рассмотрим проекции ее корешков на плоскость, т.е. упорядоченный набор из п регулярных замкнутых несамопересекающихся кривых 71,... ,7п, в котором каждая кривая с меньшим номером лежит в компактной части плоскости, ограниченной кривой с большим номером.
Приведем эту кольцевую книжку к круговой, т.е. такой, что проекции ее корешков являются концентрическими окружностями. Пусть точка О лежит внутри всех этих кривых. Тогда существует регулярная гомотопия с параметром т € [0,1], переводящая данный набор кривых в набор концентрических окружностей с центром в точке О так, что при каждом т образы кривых не пересекаются друг с другом.
Действительно, удалив из плоскости кривую 7п-1 и ограниченную ею область, получим область, гомеоморфную цилиндру. Замкнутая регулярная несамопересекающаяся кривая 7п лежит в ней, а потому по теореме Уитни она регулярно гомотопна (в промежутке 0 ^ т ^ 1/п) окружности некоторого радиуса с центром в точке О. Удалив из открытого круга, ограниченного этой окружностью, кривую 7п-2 и ограниченную ею компоненту плоскости, повторим рассуждение для кривой 7п-1 и промежутка 1/п ^ т ^ 2/п.
Поднятие такой гомотопии с плоскости на бильярдную книжку (с учетом перестановок) порождает для каждого 0 ^ т ^ 1 бильярдные книжки, эквивалентные исходной. В итоге получается некоторая круговая книжка, эквивалентная исходной.
2. Для описания эквивалентных круговых книжек определим для такой книжки ее профиль — конечный граф с перестановками в вершинах. Поскольку круговые диски и кольца с центром в точке О обладают Б1-симметрией а — вращением вокруг точки О = (0, 0) на произвольный угол, то сама книжка симметрична относительно поднятия такого поворота отображением п-1.
Определение 4. Профилем Р(О) бильярдной книжки О называется факторпро-странство О по симметрии п-1 о а.
Замечание 3. Профиль круговой книжки является прообразом луча с центром в точке О. Если книжка кольцевая (т.е. не содержит дисков), то она гомеоморф-на прямому произведению профиля и окружности.
Пример профиля для круговой книжки, склеенной из двух колец и диска, приведен на рис. 3. Профиль является связным графом, вершины которого бывают двух типов. Вершина соответствует либо корешку исходной книжки, который проецируются
Рис. 3. Профиль бильярдной книжки, где д = 0, Е — радиус внешней границы колец, г — внутренней
на окружность ненулевого радиуса, либо точке книжки из п-1(О). Каждая вершина профиля оснащается перестановкой на инцидентных ей ребрах, соответствующих листам книжки, совпадающей с перестановкой на ребре исходной книжки (для вершины первого типа), и тождественной перестановкой (для вершины второго типа). В кольцевых книжках вершины второго типа отсутствуют.
Гомеоморфизм кольцевых круговых книжек / : О1 ^ О2 переводит лист (кольцо) книжки О1 в лист книжки О2, причем его внешняя граница переходит во внешнюю, а внутренняя — во внутреннюю. По данной информации строим гомеоморфизм графов-профилей: вершина одного графа (для корешка а С О1) отображается в вершину другого, соответствующую корешку /(а) С О2 другого. Ребро одного графа в соответствующее ребро другого переведем линейной функцией.
3. Сформулируем условие эквивалентности двух круговых книжек в терминах их профилей. Для каждой точки А профиля определен радиус г окружности с центром в точке О, на которой лежит п(А). Две круговые книжки эквивалентны, если их гомеоморфизм / сохраняет отношение порядка: из г (А) < г (В) следует, что г(/(А)) < г(/(В)).
Поскольку книжка связна, а внешняя граница проекции переходит во внешнюю границу, стартуя с корешков в прообразе этой окружности, данное утверждение проверяется по индукции. Лемма 1 доказана.
Изоэнергетическую поверхность произвольной кольцевой бильярдной книжки можно описать в терминах графа-профиля эквивалентной ей круговой книжки.
Напомним, что цикломатическим числом связного графа или первым числом Бетти называется минимальное число ребер, которое необходимо удалить из графа, чтобы осталось дерево, или, другими словами, ранг одномерной группы гомологий графа. Для связного графа с V вершинами и Е ребрами оно равно Е — V + 1.
Теорема 2 (Д.А. Туниянц). Изоэнергетическая поверхность кольцевой бильярдной книжки гомеоморфна прямому произведению окружности и сферы с д ручками: Q3 = Б1 х (Б2 + д ручек), где д — цикломатическое число графа-профиля книжки.
Особо отметим, что класс гомеоморфности поверхности Q3 кольцевой книжки не зависит от выбора циклических перестановок при каждом корешке, т.е. определяется только свойствами комплекса без учета его оснащения перестановками.
Доказательство. 1. Будем считать, что мы привели кольцевую бильярдную книжку к круговому виду, и рассмотрим ее граф-профиль. Отметим, что поверхность Q3 полученной кольцевой книжки гомеоморфна прямому произведению окружности Б1 на прообраз ее профиля в Q3.
2. Покажем, что прообраз профиля является двумерным замкнутым многообразием. Вся изоэнергетическая поверхность Q3 является трехмерным ориентируемым замкнутым топологическим многообразием согласно работе [23]. Поэтому если мы допустим, что прообраз профиля не является двумерным многообразием (т.е. существует точка Q3, малая окрестность которой в пересечении Q3 и прообраза графа-профиля не гомеоморфна двумерному диску ^2), то при умножении прообраза профиля на Б1 мы получим целую окружность, у каждой точки которой малая окрестность в Q3 не гомеоморфна трехмерному диску т.е. противоречие с тем, что Q3 является 3-многообразием.
3. Обозначим прообраз профиля в Q3 через М2. Поскольку многообразие Q3 = М2 х Б1 ориентируемо, то двумерное многообразие М2 тоже ориентируемо. Согласно технической лемме 2, приведен-
ной ниже, прообраз окрестности вершины V графа-профиля в М2 есть сфера Б2 с к вырезанными дисками О2, где к = deg V.
4. Цикломатическое число графа-профиля равно д = Е — V + 1, где Е — число ребер в графе-профиле, V — число вершин в нем. Посчитаем эйлерову характеристику х(М2) как результат склейки описанных выше сфер с вырезанными дисками. Покажем, что х(М2) = 2 — 2д = 2V — 2Е, т.е. что М2
является сферой с д ручками.
Каждой вершине графа V сопоставляется сфера с к дырками, эйлерова характеристика которой равна xi = 2 — 2к = 2 — deg V. Поэтому из соотношения ^]=1 к = ^]=1 deg V = 2Е получаем
V V V
Х(М2) = ^ Xi = ^ (2 — к) = 2V — ^ к = 2V — 2Е = 2 — 2(Е — V + 1) = 2 — 2д.
i=1 i=1 i=1
Следовательно, М2 = Б2 + (д ручек). Теорема доказана.
Лемма 2. Для кольцевой книжки рассмотрим в графе-профиле малую замкнутую окрестность и вершины V, имеющей степень к. Тогда прообраз М2 в гомеоморфен сфере Б2 с к вырезанными открытыми дисками О2.
Доказательство. Поскольку является ориентируемым компактным топологическим многообразием, то прообраз малой замкнутой окрестности и вершины V является двумерным ориентируемым многообразием с границей М2.
1. Каждой внутренней точке и, кроме вершины, соответствует окружность пар точка-вектор, в которых векторы скорости имеют единичную длину: |V | = 1. Прообраз пересечения окрестности и и каждого из выходящих из V ребер графа-профиля является цилиндром.
2. Разобьем цилиндр двумя его образующими, состоящими из пар точка-вектор с векторами, касательными к каустике. Для одной образующей эти векторы направлены по часовой стрелке, для другой — против часовой стрелки. Основание цилиндра, состоящее из граничных точек М2, разбивается концами этих образующих на два ребра.
Другое основание цилиндра приклеено к прообразу вершины графа-профиля, состоящему из двух пар точка-вектор Л1 и Л2 с касательными к корешку склейки единичными векторами и из соединяющих их к = deg V ребер. К каждому такому ребру приклеены ровно два из 2к прямоугольников, на которые разбиваются к цилиндров. Окрестность каждой из двух точек Л1, Л2 в М2 гомеоморфна диску, поскольку является топологическим замкнутым многообразием.
3. Получаем, что многообразие М2 разбито на 2 + 2к вершин, 2к гомеоморфных диску граней и 5к ребер, из которых 2к лежат вместе с 2к вершинами в границе М2, другие 2к являются образующими цилиндров для ребер графа-профиля, а оставшиеся к ребер лежат в прообразе вершины графа-профиля и соединяют две вершины Л1, Л2. Эйлерова характеристика х(М2) = Xi = 2 + 2к — 5к + 2к = 2 — к, т.е. из ориентируемости М2 заключаем, что это сфера Б2, из которой вырезали к дисков. Лемма доказана.
Из доказанной теоремы 2 следует, что при следующих преобразованиях круговой кольцевой книжки топологический тип ее изоэнергетической поверхности не меняется. Книжка при этом остается круговой кольцевой книжкой, но количество корешков и листов может меняться.
Выберем корешок 70 книжки, в котором склеено более трех листов, т.е. циклическая перестановка ао = (Ь1,... Ьк) на нем имеет длину хотя бы к ^ 4. Выберем два соседних с ней листа Ь^ Ь + 1 (на рис. 4 это Ь1 и Ь2). Отрежем кольцо Ь от корешка 70, изменим ширину Ь (т.е. разность внешнего и внутреннего радиусов) и приклеим к окружности 71 того же радиуса в кольце Ь2. Последнее при этом разобьется на два: кольцо Ло между корешками 70 и 71 и дополнение до кольца Ло (обозначенное на рис. 4 также через Ь2). Поясним, что если проекции Ь и Ь2 лежат по разные стороны от проекции корешка 70, то ширину Ь надлежит увеличить, иначе — уменьшить.
Новую перестановку а на корешке 70 получим, заменив в записи перестановки а0 подпоследовательность Ь1,Ь2 на Л0. Приписав новому корешку 71 перестановку а1 = (Л0Ь^2), получим книжку, в которой траектория шара, пришедшая в окрестность замыкания нового листа Л0 по листу Ь^ покидает ее по тому же листу = а0(Ь), что и до преобразования.
Если второй граничный корешок 7' кольца Ь не проецируется на кольцо — проекцию п(Ь2), то путем гомотопии, расширяя Л0 и сужая Ь и Ь2, будем "двигать" корешок склейки 71 в сторону корешка 7' и затем путем процедуры, обратной к описанной выше, приклеим кольцо Ь к корешку 7' с требуемым изменением перестановки.
Пример 1. Рассмотрим представленную на рис. 4, в, бильярдную книжку, склеенную из 2к
плоских листов-колец, разбитых по парам, причем кольца в каждой паре склеены по внешней границе (перестановка является транспозицией) и все кольца склеены друг с другом по внутренней границе (с произвольной циклической перестановкой длины 2к). Определим, чему гомеоморфна изоэнергетическая поверхность Q3 такой книжки. Граф-профиль данной книжки состоит из Е = 2к ребер и V = к + 1 вершин, из которых к вершин имеют степень 2, а одна вершина — степень (к +1).
Рис. 4. Граф-профиль (по горизонтальной оси откладывается радиус Д проекции листа на плоскость) книжки до преобразования (снизу) и после преобразования (сверху) (а); поверхность М2 для окрестности корешка 70 исходной книжки (снизу) и поверхность М2 для окрестности замыкания листа Ао преобразованной книжки (сверху) корешка (б); склейка книжки из 2к колец по корешку с перестановкой длины
2к и к корешкам с перестановками длины 2 (в)
Граф-профиль книжки гомеоморфен букету из к окружностей Ук=1 51 как топологическое пространство. При этом прообраз каждой из к окружностей за вычетом выделенной точки букета является цилиндром, склеенным из двух цилиндров, соответствующих двум ребрам графа, образующим эту окружность.
Прообразом окрестности общей точки букета окружностей будет двумерная ориентируемая поверхность — сфера Б2 с 2к дырками. Они заклеиваются к ручками, соответствующими к окружностям букета (парам листов книжки). Тогда М2 = Б2 + к ручек, т.е. Q3 = Б1 х (52 + к ручек).
Пример 2. Рассмотрим пример вычисления изоэнергетической поверхности у бильярдной книжки, показанной на рис. 5, а. Видно, что ее профилем будет граф, изображенный на рис. 5, б. Для подсчета его цикломатического числа можно стянуть его по некоторому максимальному дереву и получить букет из двух окружностей Б1 \/ Б1. Согласно теореме 2 заключаем, что М2 = Б2 + 2 ручки, а соответственно Q3 = Б 1х (Б2 + 2 ручки), как видно из рис. 5, в.
а б в
Рис. 5. Пример вычисления многообразия Q3 бильярдной книжки. Цифрами 1-5 пронумерованы листы книжки
У построенных по алгоритму из работы [5] бильярдных книжек вдоль каждого корешка склеиваются ровно два кольца (см. теорему 1). Поэтому справедливо следующее утверждение.
Следствие 1. Изоэнергетическая поверхность Q3 бильярдных книжек из колец, построенных по теореме 1, гомеоморфна трехмерному тору Т3.
Доказательство. В отсутствие дисков (и, в частности, одинаковых эллипсов, стоящих подряд) количество листов-колец в книжке равно количеству эллипсов в бильярдной игре. Поскольку степень каждой вершины равна 2 (длина цикла перестановки), то в графе-профиле имеем ровно один цикл, т.е. д = 1. В силу теоремы 2 заключаем, что = £1 х Т2 = Т3, что и требовалось доказать.
4. Упорядоченные бильярдные игры, реализуемые кольцевыми книжками. Определим, какие бильярдные игры не могут реализовываться траекторией (на книжке, склеенной из колец и дисков), проходящей хотя бы по одному диску.
Теорема 3 (Д.А. Туниянц). Корректная упорядоченная бильярдная игра не может быть реализована компактной бильярдной книжкой (склеенной из колец и дисков) с условием, что реализующие игру траектории проходят хотя бы по одному диску тогда и только тогда, когда игра содержит четное количество эллипсов Е1,...Е2п, а сигнатура знакопеременна: 53 = — ¿3+1 для в = 1,..., 2п.
Доказательство. Пусть бильярдная игра имеет требуемый вид: сигнатура знакопеременна (без ограничения общности ¿1 = 1). Из корректности бильярдной игры и равенства ¿2^ = —1 для всех в следует, что среди пар соседних эллипсов нет совпадающих.
1. Пусть траектория на бильярдной книжке, реализующая такую игру, имеет звено, проходящее по диску Ьк (проекция последнего ограничена эллипсом Е). После отражения траектория должна покинуть этот лист (иначе траектория реализует игру Е1 = Е, ¿1 = 1).
Обозначим Ьк-1 и Ьк+1 листы книжки, по которым траектория шла до и после прохождения по диску Ьк. Все эти листы имеют общий корешок, проецирующийся на эллипс Е. Возможны два случая (рис. 6, а, б, где слошная стрелка соответствует движению по листу Ьк):
а) проекция п(Ьк-1) лежит внутри эллипса Е, и переход с листа Ьк-1 на лист Ьк выполняется по внутреннему отражению от корешка;
б) проекция п(Ьк-1) лежит вне эллипса Е, и переход с листа Ьк-1 на лист Ьк в проекции на плоскость выполняется без отражения от эллипса Е.
Переход с листа Ьк на лист Ьк+1 осуществляется аналогично (см. рис. 6, в, г). Сплошная стрелка при этом соответствует движению по листу Ьк+1.
а бег
Рис. 6. Возможное движение частицы в проекции на плоскость при переходе с листа Ьд— на гомеоморфный диску и ограниченный эллипсом Е лист Ь^ (а, б) и при переходе с такого листа Ьк на лист Ьк+1 (в, г)
Рассмотрим проекцию траектории на плоскость, т.е. на соответствующую бильярдную игру. Если Ьк-1 и Ьк+1 проецировались вовне эллипса Е, то в концах прямолинейного звена игры, содержащего движение по Ьк, будут два внутренних отражения (т.е. сигнатура незнакочередующаяся).
Если проекция п(Ьк-1) лежит внутри эллипса Е, т.е. ¿к-1 = 1, то следующее отражение в бильярдной игре должно быть внешним (¿к = —1). Такое невозможно: внутри диска Ьк нет других корешков (т.е. частица проходит лист Ьк "насквозь") и при повторном достижении его границы имеем вектор скорости, направленный вовне эллипса. То есть следующее отражение также будет внутренним. Получили противоречие, т.е. по диску траектория пройти не могла.
2. Докажем, что бильярдные игры с сигнатурами, отличающимися от (1, —1,1,... , —1), могут реализовываться только бильярдными книжками, содержащими диски.
В случае софокусного бильярда рассмотрим уровень Л = а, а в случае кругового — уровень г = 0. Тогда проекция каждой траектории попадает на прямую (ось Оу в первом случае и некоторую прямую, проходящую через начало координат, во втором).
Тогда сигнатура соответствующей бильярдной игры будет знакочередующейся:
1) после внешнего отражения должно иметься внутреннее (иначе книжка не была бы ограниченной, а потом компактной);
2) после внутреннего отражения должно быть внешнее: если вектор скорости был направлен к
центру стола, то проекция траектории либо его достигает (что невозможно для кольцевых столов),
либо испытает внешнее отражение. Теорема 3 доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ведюшкина В.В., Харчева И.С. Бильярдные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2018. 209, № 12. 17-56.
2. Fomenko A.T., Vedyushkina V.V., Zav'yalov V.N. Liouville foliations of topological billiards with slipping // Russ. J. Math. Phys. 2021. 28, N 1. 37-55.
3. Glutsyuk A.A. On polynomially integrable Birkhoff billiards on surfaces of constant curvature //J. Eur. Math. Soc. 2021. 23, N 3. 994-1049.
4. Dragovic V., Radnovic M. Cayley-type conditions for billiards within k quadrics in Rd // J. Phys. A. 2004. 37, N 4. 1269-1276.
5. Dragovic V., Radnovic M., Gasiorek S. Billiard ordered games and books // Regul. Chaotic. Dyn. 2022. 27, N 2. 132-150.
6. Смейл С. Топология и механика // Успехи матем. наук. 1972. 27, № 2(164). 77-133
7. Фоменко А. Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю // Функц. анализ и его прил. 1988. 22, вып. 4. 38-51.
8. Фоменко А.Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи матем. наук. 1989. 44, вып. 1 (265). 145-173.
9. Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Матем. 1990. 54, № 3. 546-575.
10. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация. Т. 1 и 2. Ижевск: Изд. дом "Удмуртский университет", 1999.
11. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307.
12. Dragovic V., Radnovic M. Bifurcations of Liouville tori in elliptical billiards // Regul. Chaotic Dyn. 2009. 14, N 4-5. 479-494.
13. Fokicheva V.V. Description of singularities for billiard systems bounded by confocal ellipses or hyperbolas // Moscow Univ. Math. Bull. 2014. 69, N 4. 148-158.
14. Фокичева В.В. Топологическая классификация бильярдов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матем. сб. 2015. 206, № 10. 127-176.
15. Ведюшкина В.В. Инварианты Фоменко-Цишанга невыпуклых топологических бильярдов // Матем. сб. 2019. 210, № 3. 17-74.
16. Фокичева В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые бильярды моделируют важные интегрируемые случаи динамики твердого тела // Докл. РАН. 2015. 465, № 2. 1-4.
17. Vedyushkina V.V. Liouville foliation of billiard book modeling Goryachev-Chaplygin case // Moscow Univ. Math. Bull. 2020. 75, N 1. 42-46.
18. Ведюшкина В.В., Харчева И.С. Бильярдные книжки реализуют все базы слоений Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2021. 212, № 8. 89-150.
19. Ведюшкина В.В. Локальное моделирование бильярдами слоений Лиувилля: реализация реберных инвариантов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2021. № 2. 28-32.
20. Ведюшкина В.В., Кибкало В.А. Реализация бильярдами числового инварианта расслоения Зейферта интегрируемых систем // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2020. № 4. 22-28.
21. Кибкало В.А., Фоменко А.Т., Харчева И.С. Реализация интегрируемых гамильтоновых систем бильярдными книжками // Тр. Моск. матем. о-ва. 2021. 82, № 1. 45-78.
22. Ведюшкина В.В., Фоменко А.Т. Бильярды и интегрируемость в геометрии и физике. Новый взгляд и новые возможности // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2019. № 3. 15-25.
23. Харчева И.С. Изоэнергетические многообразия интегрируемых бильярдных книжек // Вестн. Моск. унта. Матем. Механ. 2020. № 4. 12-22.
24. Ведюшкина В.В. Интегрируемые бильярды реализуют торические слоения на линзовых пространствах и 3-торе // Матем. сб. 2020. 211, № 2. 3-30.
25. Ведюшкина В.В. Топологический тип изоэнергетических поверхностей бильярдных книжек // Матем. сб. 2021. 212, № 12. 3-19.
Поступила в редакцию 26.04.2023
