CC BY
1ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2023. №5
3
Математика
УДК 517.938.5
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫРОЖДЕННЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ ИНТЕГРИРУЕМЫХ БИЛЬЯРДНЫХ СИСТЕМ БИЛЬЯРДНЫМИ КНИЖКАМИ
А. А. Кузнецова 1
В работе интегрируемыми бильярдными книжками реализуются примеры вырожденных (не морсовских) мультиседловых особенностей (атомов) кратности 3 и сложности 1.
Ключевые слова: интегрируемая система, бильярдная книжка, слоение Лиувилля, со-фокусные квадрики, вырожденные особенности, 3-атомы.
Examples of degenerate (non Morse type) multi-saddle singularities (atoms) of complexity 1 and multiplicity 3 are realized by integrable billiard books.
Key words: integrable system, billiard book, Liouville's foliation, confocal quadrics, degenerate exception, 3-atom.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-64-5-1
1. Введение. Известна интегрируемость бильярда в плоской области, ограниченной дугами софокусных квадрик семейства (b — A)x2 + (а — A)y2 = (b — А)(а — А) для 0 < b < а. В. В. Ведюшкина ввела новый важный класс интегрируемых бильярдных книжек, получающихся из плоских бильярдов их склейками вдоль граничных ребер с указанием перестановок, диктующих правила перехода бильярдного шара с одного листа бильярда на другой [1, 2]. Такие столы-комплексы можно понимать и как плоские многослойные бильярды. Слоения Лиувилля систем на них классифицируются инвариантами Фоменко-Цишанга, т.е. графами-молекулами с особенностями-атомами в вершинах и числовыми метками, задающими склейки граничных 2-торов этих особенностей друг с другом.
В программной работе [3] А. Т. Фоменко сформулировал гипотезу о моделировании любых невырожденных интегрируемых систем с двумя степенями свободы подходящими бильярдами. В. В. Ведюшкиной и И. С. Харчевой удалось доказать, что произвольные невырожденные особенности слоения Лиувилля, называемые также боттовскими 3-атомами [4, 5], и любая база слоения Лиувилля [6], классифицирующим инвариантом которой является молекула (инвариант Фоменко) — граф с вершинами-атомами без меток, реализуются алгоритмически задаваемыми бильярдными книжками (см. [1, 2] и [7] соответственно). Также подходящими бильярдами реализуются произвольные значения числовых меток [8-10] и разнообразные классы гомеоморфности неособых поверхностей постоянной энергии [11, 12] и инвариантов Фоменко-Цишанга — молекул с числовыми метками [13-15, 2]. Обзор недавних результатов и открытых задач по топологии интегрируемых бильярдов и гипотезе Фоменко сделан, например, в работах [3, 16].
Оказывается, гипотеза Фоменко справедлива и для некоторых гамильтоновых систем, интеграл которых не является боттовским на уровне энергии Q3, т.е. имеет вырожденные особенности. В работе И. М. Никонова [17] найдены формулы, выражающие количество вырожденных атомов с одной особой точкой. Выяснилось, что таких атомов кратности 3 ровно пять, три из которых ориентируемы (далее они обозначаются В3д, B3,2, B3,3), а два атома неориентируемы (см. рис. 1).
Рис. 1. Вырожденные атомы степени три с одной вершиной
1 Кузнецова Анастасия Андреевна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Kuznetsova Anastasia Andreevna — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications.
4
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2023. №5
В настоящей работе мы покажем, как реализовать бильярдными книжками бифуркации слоений Лиувилля, 2-база которых содержит ориентируемые неморсовские мультиседла. 2. Простейшие бильярды и бильярдные книжки.
Определение 1. Семейством софокусных квадрик называется множество кривых на плоскости М2 с евклидовыми координатами (ж, у), описываемых уравнением
параметр кривой из этого
х2(Ь - Л) + у2(а - Х) = (а - Л)(Ь - Л),
где а > Ь > 0 — параметры этого семейства, а число Л € (-то, а] семейства или параметр квадрики.
Замечание 1. Кривая из семейства софокусных квадрик является эллипсом при Л € (-то,Ь), гиперболой при Л € (Ь, а), вертикальной прямой при Л = а и горизонтальной (фокальной) прямой при Л = Ь. Фокусы всех невырожденных квадрик совпадают и при условии а > Ь > 0 находятся в паре точек горизонтальной прямой Ох.
Определение 2. Эллиптические координаты — это двумерная ортогональная система координат, в которой координатными линиями являются софокусные эллипсы и гиперболы. В случае семейства софокусных квадрик рассматриваются эллиптические координаты (Л1 ,Л2), где Л1 € (-то, Ь), Л2 € (Ь, а).
Определение 3. Рассмотрим компактное подмножество плоскости О С М2, ограниченное кусочно-гладкой замкнутой кривой, такое, что его граница является объединением дуг из семейства софокусных квадрик, а углы излома внутри области равны На множестве таких областей введем естественную эквивалентность. Две такие области О1 и О2 эквивалентны, если:
1) они ограничены дугами квадрик из одного софокусного семейства;
2) границу О1 можно перевести в границу О2 непрерывной деформацией каждой граничной дуги квадрики в классе софокусных квадрик так, чтобы эллиптический тип квадрик не менялся на гиперболический, и наоборот;
3) область О1 можно получить из О2 симметрией относительно осей координат х = 0,у = 0.
Полученный класс эквивалентности назовем простейшим бильярдом. Классификация столов и слоений Лиувил-ля простейших бильярдов была выполнена В. В. Ведюшкиной [18, 19], В. Драговичем и М. Рад-нович [20]. Как оказалось, все они принадлежат одному из ко-
Рис. 2. Область А0 (а), простейший седловой невырожденный нечного числа классов
2-а/гом В (б), полукрест (в) Например, простейший би-
льярд А0 (см. рис. 2) является плоской областью, граница которой образована гиперболой, эллипсом, фокальной прямой и вертикальной осью ОК. В дальнейшем этот бильярд будет для нас основным "элементом", из нескольких копий которого мы будем конструировать нужные бильярдные книжки.
Обозначим через О какой-либо простейший плоский бильярд, например описанный выше бильярд А0.
Определение 4. Определим бильярдное движение по простейшему бильярду О как равномерное движение материальной точки без трения по отрезкам прямых с абсолютно упругим отражением на границе области.
Теперь мы вкратце и наглядно опишем понятие бильярдной книжки (более подробное описание см. в работах [1, 2]).
Определение 5. Фиксируем простейший бильярд О и число п € N. Каждой дуге границы О, являющейся связной частью квадрики, припишем произвольную перестановку порядка п со следующими условиями:
1) если две дуги из границы имеют общую точку, т.е. являются соседними, то перестановки И1 и и2, приписанные им, коммутируют;
2) к невыпуклым дугам границы всегда приписаны тождественные перестановки.
Тройка V = (О,п, £), где О — простейший бильярд, п — число листов, £ — набор перестановок, задает склейку нескольких экземпляров О.
Замечание 2. Простейшие бильярды О не обязаны быть одинаковыми, но мы в нашей работе будем склеивать копии одного и того же бильярдного стола.
Определение 6. Фиксируем склейку V. Возьмем несвязное объединение п^) простейших бильярдных областей — листов О^), т.е. ЦпА1 О^(V), и профакторизуем по следующему отношению эквивалентности, зависящему от склейки: дуги границ О^(V) и О^ (V) будем считать эквивалентными, если они отвечают одной и той же дуге простейшей бильярдной области и ей приписана перестановка и^), после разложения которой в произведение независимых циклов г-й и ^-й элементы находятся
в одном цикле. Получившееся топологическое пространство О^) := (ЦО^))/ ~ — это и есть бильярдная книжка, отвечающая склейке V.
Определение 7. Определим бильярдное движение по книжке, отвечающей склейке V, как движение без трения материальной точки по книжке, такое, что
1) внутри всех листов, из которых состоит бильярдная книжка, материальная точка движется по отрезкам прямых без трения;
2) на границе области материальная точка абсолютно упруго отражается, переходя на другой лист по перестановке и^), приписанной к дуге, от которой она отражается;
3) в вершине угла, которая является общей точкой двух дуг с приписанными перестановками И1 и и2, материальная точка переходит с листа г на лист (и1 ои2)(г) и движется в обратном направлении.
Известно, что бильярд в плоской области, ограниченной дугами софокусных квадрик одного и того же семейства, интегрируем. Гамильтонианом (энергией) системы является квадрат модуля вектора скорости V = (гх , гу): мы рассматриваем движение (без трения) материальной частицы по области с плоской метрикой, где отражение от границы является абсолютно упругим. Дополни_(ху _уу х)2 I у2 ь + у2 а
тельный первый интеграл Л бильярдной системы имеет вид Л = у у Его значение
в точке (ж,у,гх,гУ) фазового пространства равно параметру Л каустики траектории, проходящей через данную точку в данном направлении, как квадрики из семейства:
I 12 2,2
|г| = гх + гу •
3. Понятия 2-атомов, 3-атомов и полукрестов. Рассмотрим гладкое многообразие Xп и на нем гладкую функцию / : Xп ^ М.
Определение 8. Точка ж € Хп для функции / называется критической, если все частные производные равны нулю в этой точке. Иначе это регулярная точка.
Определение 9. Критическая точка для функции / называется невырожденной, если определитель матрицы вторых частных производных в ней отличен от нуля.
Определение 10. Уровень / = с называется критическим, если на нем есть хотя бы одна критическая точка.
Определение 11. Гладкая функция называется функцией Морса, если все ее критические точки не вырождены и их конечное число.
Определение 12. Пусть / — функция Морса на компактном гладком многообразии Xп. Рассмотрим произвольную поверхность уровня /_1(а) и ее компоненты связности, которые назовем слоями. На данном многообразии возникает структура слоения с особенностями. Объявляя каждый слой одной точкой и вводя естественную фактортопологию в пространство Г слоев, получаем фак-торпространство, которое можно рассматривать как базу этого слоения. Пространство Г является графом. Граф Г называется графом Риба для функции Морса / на многообразии Xп. Вершиной графа Риба назовем точку, отвечающую особому слою функции /, т.е. связной компоненте уровня, содержащей критическую точку функции. Вершина графа Риба называется концевой, если она является концом ровно одного ребра графа. Все остальные вершины называются внутренними.
Рассмотрим теперь двумерный случай, и пусть X2 и
у 2
— гладкие двумерные связные поверхности. Пусть / и д — функции Морса на 2-поверхностях X2 и У2 соответственно.
Определение 13. Функции Морса / и д на поверхностях X2 и У2 будем называть послойно эквивалентными, если существует диффеоморфизм
Л : X2 ^ У2,
переводящий связные компоненты линий уровня функции / в связные компоненты линий уровня функции д.
Определение 14. Атом — это окрестность
X 2 критического слоя, задаваемая неравенством с - е ^ / ^ с + е для достаточно малого е, расслоенная на линии уровня функции / и рассматриваемая с точностью до послойной эквивалентности. Если критическое значение — локальный минимум или локальный максимум, то это будет атом А. Если критическое значение — седловое, то соответствующий атом — седловой. Атом называется ориентируемым или неориентируемым в зависимости от того, является ли поверхность X2 ориентируемой или неориентируемой.
Определение 15. Седловой атом с одной вершиной — это пара (X2, К), где X2 — компактная связная двумерная поверхность с краем, а К — вложенный в нее граф, у которого имеются одна вершина и п ребер (п > 2), удовлетворяющие следующим условиям:
1) каждая из компонент связности X2\К гомеоморфна кольцу I х Б, где I — полуинтервал, а Б — окружность;
2) каждое кольцо можно покрасить в один из двух цветов так, чтобы к каждому ребру графа К в поверхности X2 примыкали кольца разных цветов.
Определение 16. Если в вершине атома сходятся ровно 4 ребра графа К, то атом называется невырожденным. Будем говорить, что такая вершина имеет кратность 2 (в ней пересекаются два отрезка). Если количество сходящихся ребер больше двух, то атом является вырожденным. Кратностью его вершины называют количество пересекающихся отрезков, и оно не меньше трех.
Подробнее 3-атомы и их связь с 2-атомами описывает теорема А. Т. Фоменко (см. работы [4, 5, 13], а также книгу А. В. Болсинова и А. Т. Фоменко [14]). Согласно ей 3-атом есть расслоение Зейферта со слоем — окружностью и базой, являющейся расслоенным двумерным многообразием, возможно, имеющим границу. При этом особые слои расслоения могут иметь только тип (2,1) в случае боттовских (т.е. невырожденных) интегралов. За исключением ряда случаев (например, атомов А*, получаемых факторизацией (В х Б1 )/^2 произведения 2-атома В и окружности), слоение образует седловой морсовский 2-атом.
Определение 17. Компактное ориентируемое трехмерное многообразие (с краем или без края), разбитое на непересекающиеся простые замкнутые кривые (слои), называется многообразием Зейферта, если каждый слой имеет целиком состоящую из слоев окрестность, послойно гомеоморфную расслоенному полноторию. Для особого слоя типа (п,к), такого, что НОД(к,п) = 1, напомним, что такая окрестность получается из прямого произведения диска О2 и отрезка I склейкой по граничным дискам О2 х {0} и О2 х {1} с поворотом вокруг оси симметрии на рациональный угол 2пк/п. Многообразие Зейферта с заданной на нем структурой слоев называется расслоением Зейферта.
Определение 18. Пусть Q — многообразие Зейферта. Пусть две точки на нем эквивалентны тогда и только тогда, когда они лежат в одном слое. Факторпространство многообразия Q по этому отношению эквивалентности назовем базой расслоения Зейферта.
Определение 19. Половина креста (полукрест) — это прообраз е-окрестности точки 0 функции х2 — у2, заданной в некоторой окрестности точки (0,0) вместе со структурой слоения, который пересечен с верхней полуплоскостью х ^ 0 (см. рис. 2, в).
4. Обобщенная гипотеза Фоменко и теорема о реализации вырожденных атомов подходящими бильярдами.
Гипотеза А (А.Т. Фоменко). Любые бифуркации двумерных торов Лиувилля в изоэнергети-ческом многообразии любой интегрируемой невырожденной системы с двумя степенями свободы моделируются при помощи интегрируемых бильярдов.
Теорема (Ведюшкина-Харчева [1, 2]). Гипотеза Фоменко А верна в случае, когда для любого ориентируемого 3-атома (со звездочками или без) алгоритмически строится бильярдная книжка, склеенная из простейших бильярдов А0 и такая, что слоение Лиувилля прообраза окрестности особого значения интеграла Л = Ь (в случае атома А —в окрестности особого значения Л = 0) ее изоэнергетической поверхности Q3 послойно гомеоморфно данному атому.
Теорема (Кузнецова). Гипотеза Фоменко верна и для некоторых вырожденных 2-атомов и 3-атомов. Все ориентируемые вырожденные 2-атомы (и соответствующие им 3-атомы) сложности один (т.е. атомы с одной вершиной) и кратности 3 реализуются подходящими бильярдными книжками (см. табл. 1). Эти бильярды склеены из трех бильярдных листов (простейших бильярдов ) в соответствии с перестановками, указанными в табл. 1 и 2.
Т а б л и ц а 1
Перестановка 1с1 (12)(3) (23)(1) (13)(2) (123) (132)
1с1 — — — — — —
(12)(3) — — В В В В
(23)(1) — В — В В В
(13)(2) — В В — в в
(123) -Взд -£>3,2 -£>3,2 -£>3,2 -£>3,3 В3,2
(132) -£>зд -£>3,2 -£>3,2 -£>3,2 В3,2 -£>3,3
В табл. 1 представлены седловые бифуркации, возникающие в слоении Лиувилля связной книж-
ки, склеенной из трех листов А0 по перестановкам на эллиптической дуге (по столбцам) и на фокальном отрезке (по строкам). Прочерком отмечены несвязные книжки и книжки, не имеющие седловых бифуркаций при Л = Ь. Остальным книжкам сопоставлен тип атома в их слоении — невырожденного атома В или одного из вырожденных мультиседловых атомов ^3,1,^3,2,^3,3. Они изображены в табл. 2. Символом В-1 отмечен атом, получаемый из В31 при изменении знака функции-интеграла. В табл. 2 также указаны типы неморсовских 2-атомов сложности один и кратности 3 (и соответствующих неботтовских 3-атомов) и перестановки реализующих их бильярдных книжек.
Напомним, что 2-атом — это окрестность плоской восьмерки (см. рис. 2, б), а 3-атом — это прямое произведение 2-атома на окружность.
Таблица 2
Атом
Стол-комплекс
Перестановки
Вырожденный 2-атом кратности три с одной вершиной
В
3,1
В( 123) В( 1 32) ^ В3,1
В(132) В(123) В 123) В 132)
В
-1
3,1
В
3,2
В(12)(3) В(23)(1)
В(123) В(123)
В(13)(2) В(12)(3)
В(123) В(132)
В(23)(1) В(13)(2)
В(132) В(132)
В
3,3
В(123) В(132) В(123) В(132)
Комментарий. Во втором и третьем столбцах табл. 2 перечислены бильярдные книжки (столы-комплексы, перестановка а на эллиптической дуге и перестановка ш на фокальном отрезке), которые реализуют соответствующий 3-атом из четвертого столбца в своем слоении Лиувилля. Пунктиром обозначена часть рисунка, находящаяся за первым листом бильярдной книжки. Символом В^ отмечена книжка с указанными выше перестановками. Можно заметить, что после перенумерации листов некоторые бильярдные книжки совпадают с другими. Таким образом, первый 3-атом реализуется двумя разными бильярдами, а второй и третий — одним бильярдом.
В четвертом столбце представлены вырожденные 2-атомы. Направления на атомах указывают направление материальной точки на бильярде. Соответствующие им вырожденные 3-атомы полу-
чаются прямым умножением этих 2-атомов на окружность. Отметим, что при изображении атома заштрихована его часть, соответствующая значениям функции, меньшим критического. Атом В-1 образуется из атома В31 при изменении направления роста функции.
Доказательство. Так как бильярдные системы являются кусочно-гладкими, а не гладкими, то мы будем пользоваться кусочно-гладкими аналогами теоремы Лиувилля. Поэтому мы будем действовать согласно методу В. В. Ведюшкиной [4] для определения топологии каждого слоя интеграла Л.
Рассмотрим ячейки, отмеченные в табл. 1 прочерками. Если обе перестановки на гладких граничных дугах стола (на эллиптической дуге и фокальном отрезке) являются тождественными, то стол-комплекс состоит из трех компонент связности. В остальных случаях либо книжка состоит из
двух компонент связности, либо отсутствует сед-ловая бифуркация на уровне Л = Ь (если перестановка на фокальном отрезке ш = ).
Теперь рассмотрим остальные случаи. Если на фокальном отрезке книжки стоит перестановка вида ш = (¿1 ,г2)(г3), то данная книжка удовлетворяет теореме Ведюшкиной и Харчевой, т.е. реализует боттовский 3-атом. Циклу (¿1^2) длины 2 соответствует седловая особенность, а третьему листу ¿3 — отсутствие бифуркации. Получаемый 2-атом связен и имеет одну седловую точку, т.е. имеет тип В (см., например, рис. 3, где пунктиром обозначена часть рисунка, находящаяся за первым листом бильярдной книжки. На атоме заштрихованы уровни (—е, 0) и не заштрихованы уровни (е, 0). Направления на атомах указывают направление материальной точки на бильярде).
Лемма 1. 3-Атом В31 из табл. 2 (с точностью до направления роста интеграла) реализуется следующими бильярдными книжками с перестановками а и ш на эллиптической и фокальной дугах:
1) книжкой с перестановками ш = (¿1, ¿2, ¿3), а =
2) книжками с перестановками ш = (¿1, ¿2, ¿3), а = (¿1, ¿3, ¿2).
Получаемые в этих случаях особенности эквивалентны при замене направления роста интеграла.
Доказательство. 1) Рассмотрим первый тип книжек, у которых к дуге эллипса приписана тождественная перестановка.
Возьмем софокусную гиперболу, пересекающую внутренность стола А0. Ее прообраз в Q3 реализует двумерное сечение, и сама особенность имеет тип прямого произведения согласно лемме из [2].
Опишем слоение на этой двумерной поверхности. Полукрест как прообраз гиперболы в фиксированном листе можно сопоставить простейшему бильярду А0, из которого склеена книжка (см. [2]). Поскольку длина цикла ш равна 3, то в окрестности особой точки (прообраза точки пересечения гиперболы с фокальным отрезком) происходит склейка мультиседла кратности 3 из трех полукрестов.
Уровень Ь < Л < а получаемого слоения на двумерном сечении гомеоморфен одной окружности: линия уровня последовательно обходит все листы книжки. При отражении от эллиптической границы листа (оснащенной тождественной перестановкой) номер листа сохраняется, а при отражении от фокального отрезка переходит с ¿-го листа на ш(г)-й. При этом исходящая сепаратриса полукреста г соединяется с входящей сепаратрисой того же полукреста (согласно перестановке а =
2) Рассмотрим второй тип книжек с двумя разными перестановками длины 3.
Аналогично возьмем ветвь гиперболы и пересечение ее прообраза с окрестностью особого слоя в Q3. Уровень Л < Ь состоит из одной компоненты связности (т.е. соответствующая молекула имеет один минимальный атом А).
Возможны две различные перестановки порядка 3, поэтому ш = а-1. Количество связных компонент на уровне Ь < Л < а совпадает с количеством независимых циклов перестановки ш о а. В данном случае она является тождественной и действует на трех листах, т.е. 2-атом перестраивает одну окружность в три окружности. Тип особого слоя определяется аналогично предыдущему случаю. Лемма доказана.
а б
Рис. 3. Бильярдная книжка с перестановками ш = (12)(3) и а = (123) (а), атом В (б)
Лемма 2. 3-Атом B3,2 из табл. 2 реализуется бильярдными книжками с перестановками w = (¿i,¿2,i3) и а = (ii, i2)(i3) на эллиптической и фокальной дугах соответственно.
Доказательство. Аналогично предыдущей лемме рассмотрим ветвь гиперболы и пересечение ее прообраза с окрестностью особого слоя в Q3. Уровень Л < b состоит из двух компонент связности.
Уровень b < Л < а получаемого слоения на двумерном сечении гомеоморфен двум окружностям: линия уровня обходит листы по двум траекториям. Исходящая сепаратриса полукреста i соединяется со входящей сепаратрисой полукреста a(i). В результате 2-атом перестраивает две окружности в две окружности. Лемма доказана.
Лемма 3. 3-Атом B(3 3) из табл. 2 реализуется бильярдными книжками с перестановками а = (i1, i2, i3) и w = (ii, i2, i3) на эллиптической и фокальной дугах.
Доказательство. В данном случае уровень Л < b, как и уровень Л > b, состоит из одной компоненты связности: линия уровня последовательно обходит все листы бильярдной книжки в соответствии с а. Происходит перестройка одной окружности в одну.
Данный 2-атом — торический, он невложим в плоскость, но его можно изобразить на торе (см. рис. 4, где пунктиром обозначена часть рисунка, находящаяся сзади. Критический уровень указан не полностью — только крест). Лемма доказана.
Некомпактные 2-атомы также изучались в работе С. С. Николаенко [21]. При этом был предложен инвариант, обобщающий f-графы А. А. Ошемкова [22] для морсовских 2-атомов. Данный инвариант для мультиседловых 2-атомов допускает описание в терминах пары перестановок, как и в морсовском случае.
Автор приносит благодарность А. Т. Фоменко и В. В. Ведюшкиной за постановку задачи, ценные комментарии и обсуждения.
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ № 21-11-00355 в МГУ имени М.В. Ломоносова.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ведюшкина В.В., Фоменко А.Т., Харчева И.С. Моделирование невырожденных бифуркаций замыканий решений интегрируемых систем с двумя степенями свободы интегрируемыми топологическими биллиардами // Докл. РАН. 2018. 479, № 6. 607-610.
2. Ведюшкина В.В., Харчева И.С. Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2018. 209, № 12. 17-56.
3. Фоменко А.Т., Ведюшкина В.В. Бильярды и интегрируемость в геометрии и физике. Новый взгляд и новые возможности // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2019. № 3. 15-25.
4. Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287, № 5. 1071-1075.
5. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307.
6. Фоменко А.Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи матем. наук. 1989. 44, № 1 (265). 145-173.
7. Ведюшкина В.В., Харчева И.С. Биллиардные книжки реализуют все базы слоений Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2021. 212, № 8. 89-150.
8. Ведюшкина В.В., Кибкало В.А., Фоменко А.Т. Топологическое моделирование интегрируемых систем биллиардами: реализация числовых инвариантов // Докл. РАН. Матем. Информ. Процессы упр. 2020. 493. 9-12.
9. Vedyushkina V. V., Kibkalo V.A. Realization of numerkal invariant of the Siefert bundle of integrable systems by billiards // Moscow Univ. Math. Bull. 2020. 75, N 4. 161-168.
10. Vedyushkina V. V. Local modeling of Liouville foliations by billiards: implementation of edge invariants // Moscow Univ. Math. Bull. 2021. 76, N 2. 60-64.
11. Фоменко А.Т., Цишанг Х. О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике // Докл. АН СССР. 1987. 294, № 2. 283-287.
12. Ведюшкина В.В. Топологический тип изоэнергетических поверхностей биллиардных книжек // Матем. сб. 2021. 212, № 12. 3-19.
Рис. 4. Другое представление вырожденного 2-атома из строки 3 табл. 2
13. Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых га-мильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 54, № 3. 546-575.
14. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1, 2. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 1999.
15. Болсинов А.В., Рихтер П., Фоменко А.Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской // Матем. сб. 2000. 191, № 2. 3-42.
16. Kibkalo V.A. , Fomenko A.T. , Kharcheva I.S. Realizing integrable Hamiltonian systems by means of billiard books // Trans. Moscow Math. Soc. 2021. 82. 37-64.
17. Никонов И.М. Описание вырожденных двумерных особенностей с одной критической точкой // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2019. № 3. 5-15.
18. Fokicheva V. V. Description of singularities for system billiard in an ellipse // Moscow Univ. Math. Bull. 2012. 67, N 5-6. 217-220.
19. Fokicheva V. V. Description of singularities for billiard systems bounded by confocal ellipses or hyperbolas // Moscow Univ. Math. Bull. 2014. 69, N 4. 148-158.
20. Dragovic V., Radnovic M. Bifurcations of Liouville tori in elliptical billiards // Regul. Chaotic Dyn. 2009. 14, N 4-5. 479-494.
21. Николаенко С.С. Топологическая классификация гамильтоновых систем на двумерных некомпактных многообразиях // Матем. сб. 2020. 211, № 8. 68-101.
22. Oshemkov A.A. Morse functions on two-dimensional surfaces. Encoding of singularities // Proc. Steklov Inst. Math. 1995. 205. 119-127.
Поступила в редакцию 23.06.2022
УДК 519.24
О ПРОВЕРКЕ СИММЕТРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИННОВАЦИЙ В АВТОРЕГРЕССИОННЫХ СХЕМАХ
М. В. Болдин1, А. Р. Шабакаева2
Рассматривается линейная авторегрессия с нулевым средним, неизвестными параметрами и неизвестным распределением инноваций. Проверяется гипотеза о симметрии инноваций относительно нуля в двух ситуациях. В первой наблюдается сама авторегрессионная последовательность: находятся оценки параметров, остатки, по ним строится подобие эмпирической функции распределения и соответствующая статистика типа омега-квадрат. Установлено предельное распределение тестовой статистики при гипотезе и локальных альтернативах. Во второй ситуации наблюдения содержат грубые ошибки. Для проверки гипотезы строится критерий типа хи-квадрат. Найдено предельное распределение при гипотезе и локальных альтернативах. Исследуется робастность теста.
Ключевые слова: авторегрессия, выбросы, эмпирическая функция распределения, остатки, тест хи-квадрат Пирсона, оценки, локальные альтернативы, тест омега-квадрат, робастность.
We consider a stationary linear АД(р) model with zero mean. The autoregression parameters as well as the distribution function (d.f.) G(x) of innovations are unknown. We test symmetry of innovations with respect to zero in two situations. In the first case the observations are a sample from a stationary solution of AR(p). We estimate parameters, find residuals. Based on them we construct a kind of emperical d.f. and the omega-square type test statistic. Its asymptotic d.f. under the hypothesis and the local alternatives are found. In the second situation
1 Болдин Михаил Васильевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Boldin Michael Vasilievich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Probability Theory.
2 Шабакаева Альмира Ринатовна — студ. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Shabakaeva Almira Rinatovna — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Probability Theory.
