CC BY
52. Коновалов А.Ю., Плиско В.Е. О гиперарифметической реализуемости // Матем. заметки. 2015. 98, № 5. 725-746.
3. Коновалов А.Ю. Арифметическая реализуемость и базисная логика // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2016. № 1. 52-56.
4. Плиско В.Е. Абсолютная реализуемость предикатных формул // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. 47, № 2. 315-334.
Поступила в редакцию 11.07.2018
УДК 517.938.5
СЛОЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ БИЛЬЯРДНОЙ КНИЖКИ, МОДЕЛИРУЮЩЕЙ СЛУЧАЙ ГОРЯЧЕВА-ЧАПЛЫГИНА
В. В. Ведюшкина1
Вычислен инвариант интересного случая интегрируемой бильярдной книжки и показано, что на некоторой изоэнергетической поверхности такая книжка моделирует динамику системы Горячева-Чаплыгина.
Ключевые слова: интегрируемая система, бильярд, лиувиллева эквивалентность, инвариант Фоменко-Цишанга.
The Fomenko-Zieshang invariant of an interesting case of an integrable billiard book is calculated and it is shown that such a book models the dynamics of Goryachev-Chaplygin integrable case on a certain isoenergy surface.
Key words: integrable system, billiard, Liouville equivalence, Fomenko-Zieschang invariant.
Пусть дана замкнутая выпуклая кусочно-гладкая кривая на плоскости (при этом все углы в точках излома равны п/2). Бильярд описывает движение материальной точки внутри компактной области Q, ограниченной этой кривой, а на границе определено естественное абсолютно упругое отражение (угол падения равен углу отражения), тогда в точках излома границы движение продолжается по непрерывности (в угле после удара точка продолжает движение в противоположном направлении по тому же отрезку, по которому попала в угол).
Интегрируемость бильярда в эллипсе была замечена Дж. Д. Биркгофом [1]. Оказалось, что для любой фиксированной траектории-ломаной ее звенья лежат на прямых, касательных к некоторой квадрике (эллипсу или гиперболе), софокусной с граничным эллипсом. Таким образом, помимо длины вектора скорости (который сохраняется при абсолютно упругих отражениях на границе) вдоль траекторий сохраняется параметр софокусной квадрики, т.е. система обладает двумя независимыми интегралами. В книге В. В. Козлова, Д. В. Трещева [2] замечено, что интегрируемость бильярда сохранится, если перейти к плоским областям, которые ограничены дугами эллипсов и гипербол одного софокусного семейства и на границе которых нет точек излома с углами Щ-. В этом случае все углы в точках излома равны поскольку известно, что софокусные квадрики всегда пересекаются под прямыми углами.
Определение. Пусть (M4, ш, H, f) и (М4,ш, H, f) — две интегрируемые по Лиувиллю системы на симплектических многообразиях M4 и M4. Рассмотрим изоэнергетические поверхности Q3 = (x € M4|H(x) = c) и Q3 = (x € M4lH(x) = с), снабженные слоениями Лиувилля. Интегрируемые системы v = sgrad H и с = sgrad H называются (кусочно-гладко) лиувиллево эквивалентными, если существует послойный (кусочно-гладкий) диффеоморфизм Q3 ^ Q3, сохраняющий ориентацию 3-многообразий Q3 и Q3 и ориентацию всех критических окружностей.
1 Ведюшкина Виктория Викторовна — канд. физ.-мат. наук, асснст. каф. дифференциальной геометрии и прило-
жений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: arinirQyandex.ru.
Vedyushkina Viktoria Viktorovna — Candidate of Fhysical and Mathematical Sciences, Assistant, Lomonosov Moscow
State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Application.
Лиувиллева эквивалентность в общем случае означает, что для сравниваемых систем совпадают замыкания интегральных траекторий (решений системы) на всюду плотном множестве.
Многообразие расслоено на торы и особые слои (оно представляет собой склейку регулярных окрестностей особых слоев по граничным торам). Рассмотрим базу слоения Лиувилля на Это — одномерный граф Ш, называемый графом Кронрода-Риба функции / Структура слоения в малой окрестности особого слоя, отвечающих) вершине графа, описывается комбинаторным объектом, называемым атомом. Граф, для каждой вершины которого указан соответствующий атом, называется инвариантом (грубой молекулой) Фоменко. В вершинах Ш расположены "атомы", описывающие соответствующие бифуркации торов Лиувилля. Для полного описания слоения необходимо выбрать допустимые базисы на храничных торах атомов (см. [3]) и указать матрицы перехода от одного базиса к другому. Из матриц склейки вычисляются числовые метки г, е и и, которые, будучи расставленными на молекуле Ш, полностью определяют слоение Лиувилля с точностью до послойной эквивалентности и не зависят от выбора допустимых базисов на граничных торах. Получающийся граф с метками называется меченой молекулой Ш*, т.е. инвариантом Фоменко-Цишанга (см. [4]).
Фиксируем на плоскости семейство софокусных квадрик соотношением
(Ь - А)х2 + (а - А)у2 = (а - А)(Ь - А), 0 < А < а. (1)
Здесь то ^ а ^ Ь > 0 ^ пара чисел (определяющая семейство софокусных квадрик); А — параметр, определяющий квадрику. В дальнейших рассуждениях квадрики предполагаются еофокуеными, причем то > а > Ь.
Фиксируем в этом семействе два эллипса е^ и в1 и гиперболу Л. Предположим, что эллипс в2 лежит внутри эллипса е\. Рассмотрим три бильярда, ограниченные софокусными эллипсами и гиперболами: бильярд А1, ограниченный дугой эллипса е2 и выпуклой по отношению к области дугой гиперболы Л, и два экземпляра бильярда Ао, ограниченные этой же дугой гиперболы Л и двумя е2 е1 .
эти три бильярда в комплекс вдоль дуги эллипса е2. Занумеруем бильярды так, как указано на рис. 1, а. На ребре склейки, соответствующем эллипсу е1, поставим перестановку (1, 3), а на ребре, соответствующем эллипсу е^, — перестановку (1, 2, 3). На получившемся комплексе В(2Ао, А1) можно рассмотреть систему бильярдной книжки. Траектория прямолинейно движется внутри бильярдов, при попадании на границу отражается но классическому закону отражения, а при попадании на ребро склейки не только отражается, но и меняет лист согласно перестановке на данном ребре. Отметим, что так как бильярды Ао и А1 интегрируемы, то полученная бильярдная книжка интегрируема с тем же интегралом. Подробное построение конструкции бильярдной книжки выполнено В.В. Ведюшкиной и И.С. Харчевой в работе [7].
п = -1
Рис. 1. Бильярдная книжка В(2А0, А1) (о) и соответствующий ей инвариант Фоменко—Цишанга (б)
е1 е2 А1 А2
соответственно, а параметр гиперболы Л равен А3. Отметим, что в этом случае А1 < А2 < А3. При
значениях интеграла Л < А1 движения системы не происходит. При Л = А1 существует только одна криволинейная траектория системы, описывающая движение по дуге эллипса в\. Такая траектория гомеоморфна окружности. При Х\ < Л < А2 траектории системы лежат на торе. Далее, при Л = А2 происходит перестройка. Отметим, что на данном уровне интеграла траектории на невыпуклом ребре склейки не определены. Тем не менее можно рассмотреть поверхность уровня интеграла. Как будет показано ниже, она гомеоморфна особому слою атома В. При Л2 < Л < Ь траектории разбиваются на два класса. Первый тип траекторий характеризуется движением по бильярду Ао с номером 3 в направлении к эллипсу е2. Такие траектории после склейки на ребре е2 переходят на бильярд Ао с номером 1. При этом они уже направлены от эллипса е2. После отражения от эллипса в\ они снова оказываются на листе с номером 3 и по-прежнему направлены к эллипсу в2-Другой тип траекторий на бильярде Ао с номером 3 направлен от эллипса в2- Такие траектории неизбежно отразятся от эллипса в\ и после отражения окажутся на листе под номером 1. После отражения от эллипса е2 они с бильярда под номером 1 согласно перестановке переходят на бильярд А1 под номером 2. После неизбежного отражения от ребра в2 такие траектории опять переходят на лист Ао под номером 3 и по-прежнему направле ны от ребра е2. При Л = Ь выделяются две особые траектории, лежащие на фокальной прямой. При дальнейшем увеличении Л < А3 траектории касаются гиперболы с соответствующим параметром. Для того чтобы получить область, которую траектории заметают на бильярде, необходимо из бильярдов удалить внутренность гиперболы с Л.
и содержащая фокусы. В результате траектории первого типа разбиваются на два подтипа. Так как траектории первого типа были расположены только на цилиндре, склеенном из двух бильярдов Ао, то после вырезания внутренности гиперболы такой цилиндр разбивается на два. Траектории же второго типа по-прежнему лежат на односвязной поверхности уровня. При Л = А3 на бильярде есть всего три криволинейные траектории, лежащие на гиперболе Н.
Утверждение. Инвариант, Фоменко Цишанга, классифицирующий слоение Лиувилля бильярдной книжки В(2Ао, А1), изображен на рис. 1, б.
Доказательство. Пусть п : Q3 ^ В(2Ао,А1) — каноническая проекция изоэнергетической поверхности на бильярдный стол, определенная формулой п(х,ь) = х, где х — точка бильярдного стола, V — вектор скорости.
Рассмотрим в Q3 поверхность уровня Л = А2. Обозначим ее через Рв. Рассмотрим дугу эллипса в2. Фиксируем на ней точку. Такая точка, будучи оснащена касательным вектором скорости, лежит на Рв. Таких векторов скорости во внутренних точках дуги ровно два, а на границе — один, так как они должны быть отождествлены по закону отражения. Получаем, что прообраз п-1(в2) всех точек дуги эллипса е^ на Рв гомеоморфен окружности. Возьмем точку (хо^о) этой окружности. Через точку хо дуги эллипса е2 проведем дугу гиперболы из нашего софокусного семейства. Такая дуга пересечет цилиндр, склеенный из двух бильярдов Ао, по окружности з. Рассмотрим прообраз точки х € з, х = хо, в Рв. Таких точек ровно четыре, так как через точку х проходят ровно две касательные к эллипсу е2. При этом при приближении точки х к точке хо четыре касательных
з Рв
восьмерки: нам необходимо отождествить две пары окружностей по двум точкам (образы которых — хо Рв
Л
е2
интеграла Л = А2 описывается 3-атомом В. Дальнейшие бифуркации полностью аналогичны бифуркациям топологических бильярдов (доказательство см., например, в работах автора [5, 6]). Кратко поясним схему доказательства. Рассмотрим заполнение бильярда дугами I софокусных эллипсов. Оказывается, что множество точек (х^), таких, что п(х^) € I, Л(х^) € [Ь — 5,Ь + гомеоморф-но несвязному объединению двух экземпляров двумерного атома В. Для дуг гипербол, лежащих в
Ао,
второго. В результате торы, соответствующие траекториям первого типа, перестраиваются через атом В. Торы, соответствующие траекториям второго типа, перестраиваются через атом А*. Это связано с тем, что вырожденному эллипсу — отрезку фокальной прямой — соответствует не двумерный атом В, а сложный комплекс. Однако если мы рассмотрим объединение близких к нему эллипсов, то в многообразии Q3 эти точки будут описывать так называемую "перекрутку" (см. по*.
Опишем вычисление меток. Напомним, что согласно правилам, указанным в книге [3], на граничных торах атомов выбираются циклы по правилам, соответствующим данным атомам. Напом-
ним эти правила для атомов А, В и А*, фигурирующих в нашей молекуле. В качестве циклов Л на торах, соответствующих атомам А, выбираются циклы, стягивающиеся в данном полноторни в
Л
ферта. Такие циклы должны переходить в циклы, гомологичные особой окружности, в том случае, если седловой атом не имеет звездочек, и наматываться на нее дважды в том случае, если звез-
Л
задана естественная ориентация потоком гамильтонова векторного поля. Проще говоря, ориентация на таких циклах должна совпадать с ориентацией критической траектории, которой эти циклы гомологичны. Дополняющие их циклы у уже не определены однозначно. При этом на граничном торе атома А можно фиксировать ориентацию у тем же потоком векторного поля. В случае еедло-вого атома В циклы ¡л на различных торах граничных атомов должны выбираться согласованно, а
именно они должны быть связаны условием существования трансверсального сечения к критиче-
*
циклы у, лежащие па граничных окружностях трансверсального сечения — атома В, не подходят,
Л
В качестве настоящих циклов у па таком торе выбирается один из них, а на торе, где у пересекает Л дважды, выбирается цикл /л = Далее фиксируем направление роста дополнительного интеграла и ориентацию Q3 — это позволяет фиксировать ориентацию дополни тельных циклов у на
Л
другому — матрицы склейки — имеют определитель -1. Однако при подсчете можно поступить так: фиксировать ориентацию цикла Л на каком-то атоме А, что зафиксирует ориентацию Q3. А дальше
-1
При этом циклы у и у должны задавать единую ориентацию 2-атома В — трансверсального сечения
*.
Проекции циклов на бильярдный стол изображены на рис. 2 (пунктиром обозначены дуги квадрик, которых касаются траектории или их продолжения). Поясним, что циклы ¡л на торах, соответствующих атому В, описывающему перестройку па уровне Л = Л2, выбраны как точки окружности в (см. выше построение бифуркации). Циклы у и у на торах оставшихся седловых атомов выбраны как точки некоторого эллипса I. Выше было упомянуто, что такие точки задают граничные окружности некоторого двумерного атома В траневереального сечения к критической окружности (проекция которой лежит на фокальной прямой).
А
В
В"
->В+
В
■» А
В-> А* А* -А
Рис. 2. Проекции па бильярдную книжку базисных циклов граничных торов атомов
А1 < Л < А2
Ь < Л < А3,
из двух Ао), ориентации циклов Ав и /а обязаны совпадать. Тогда пол учим, что Ав = /а, /в = Ад ,
а матрица склейки имеет вид ^ ^ . Следовательно, на ребрах молекулы, соответствующих этим
торам, получаем г = 0, е = 1. Вклада в метку п такие матрицы склейки по определению не дают.
А2 < Л < Ь
цилиндре из двух Ао), выберем ориентации циклов /л так, чтобы выполнялись соотношения А+ =
—= А-. Матрица склейки примет вид ^ о^ • Вышеприведенное соотношение полностью
фиксирует ориентацию Q3. В этом случае на ребрах между седловыми атомами ориентации циклов расположенных на граничных торах атома В, совпадают. Отсюда получаем, что между атомами * А2 < Л < Ь
цилиндре из двух Ао и на А1), имеем А+ = А-—2/-, //+ = ±А-. Так как ориентация фиксирована, то необходимо выбрать ориентацию / так, чтобы определитель матрицы склейки был равен — 1. В результате получаем, что = = = а_-2/л_±а_ = В последнем равенстве
использовкн тот факт, что если выбрано / = А-, то определитель матрицы склейки равен 1. В итоге (1 —2Ч 01
Между атомами А* и А при Ь < Л < А3 на торе, соответствующем траекториям втокого типа (расположенным на цилиндре из двух Ао и на А1), имеем А+ = А- + = / = А-, ^ 0^ .
матриц склейки метки теперь восстанавливаются полностью. □
[1],
интеграл которой имеет степень 3, кусочно-гладко лиувиллево эквивалентна в зоне энергии 6 (см. обозначения книги [1]) интегрируемой бильярдной книжке В(2Ао,А1), дополнительный интеграл
2.
Доказательство. Доказательство сразу следует из сравнения меченых молекул и теоремы
Фоменко-Цишанга (см. [4]): слоения Лиувилля двух интегрируемых систем лиувиллево эквивалент-
□
В работе [8] указан более полный список случаев понижения степени дополнительного интеграла гамильтоновой системы с помощью бильярдов. Более того, показано, что интегралы больших степеней сводятся к одному и тому же каноническому квадратичному интегралу — параметру квадрики.
Автор приносит благодарность А. Т. Фоменко за множество ценных замечаний и внимание к работе.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 17-11-01303) в МГУ им. М.В. Ломоносова.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. Ижевск: Изд. дом "Удмуртский университет", 1999.
2. Козлов В.В., Трещев Д.В. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991.
3. Болсинов A.B., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т.1, 2. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 1999.
4. Фоменко А. Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамиль-тоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 54, № 3. 546-575.
5. Фокичева В.В. Топологическая классификация биллиардов в локально-плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матем. сб. 2015. 206, № 10. 127-176.
6. Ведюшкина В.В. Инварианты Фоменко-Цишанга невыпуклых топологических биллиардов // Матем. сб. 2019. 210, № 3. 17-74.
7. Ведюшкина В.В., Харчева И.С. Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2018. 209, № 12. 17-56.
8. Фоменко А. Т., Ведюшкина В.В. Понижение степени интегралов гамильтоновых систем с помощью биллиардов // Докл. РАН. 2019. 486, № 2. 151-155.
Поступила в редакцию 19.12.2018
