РЕАЛИЗАЦИЯ БИЛЬЯРДАМИ ЧИСЛОВОГО ИНВАРИАНТА РАССЛОЕНИЯ ЗЕЙФЕРТА ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Фокичева В.В. Описание особенностей системы бильярда в областях, ограниченных софокусными эллипсами и гиперболами // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 4. 18-27.

8. Фокичева В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые биллиарды моделируют важные интегрируемые случаи динамики твердого тела // Докл. РАН. Математика. 2015. 465, № 2. 1-4.

9. Ведюшкипа В.В., Харчева И. С. Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2018. 209, № 12. 17-56.

10. Ведюшкипа В.В., Фоменко А. Т., Харчева И.С. Моделирование невырожденных бифуркаций замыканий решений интегрируемых систем с двумя степенями свободы интегрируемыми топологическими биллиардами // Докл. РАН. 2018. 479, № 6. 607-610.

11. Фокичева В. В. Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матем. сб. 2015. 206, № 10. 127-176.

12. Ведюшкипа В.В. (Фокичева), Фоменко А. Т. Интегрируемые топологические биллиарды и эквивалентные динамические системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. 81, № 4. 3-50.

Поступила в редакцию 19.06.2019

УДК 517.938.5

РЕАЛИЗАЦИЯ БИЛЬЯРДАМИ ЧИСЛОВОГО ИНВАРИАНТА РАССЛОЕНИЯ ЗЕЙФЕРТА ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ

В. В. Ведюшкина В. А. Кибкало 2

Обсуждается локальный вариант гипотезы А. Т. Фоменко о возможности реализации интегрируемыми бильярдами слоения Лиувилля с произвольным топологическим инвариантом (Фоменко-Цишанга) — графом с числовыми метками. Доказано, что в классе бильярдных книжек алгоритмически реализуется слоение с произвольным значением целочисленной метки, задающей класс Эйлера подмногообразия Зейферта.

Ключевые слова: гамильтонова система, интегрируемость, бильярд, слоение Лиувилля, расслоение Зейферта, инвариант Фоменко-Цишанга.

A local case of A. Fomenko conjecture on possibility of realization of a Liouville foliation with arbitrary topological Fomenko-Zieschang invariant (which is a graph with numerical marks) is discussed. In the class of billiard books, a foliation with arbitrary value of one integer mark (that corresponds to Euler class of one Seifert submanifold) was realized.

Key words: Hamiltonian system, integrability, billiard, Liouville foliation, Seifert fibration, Fomenko-Zieschang invariant.

В работе fl] А. Т. Фоменко выдвинул фундаментальную гипотезу о возможности моделирования (реализации) бильярдами интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.

Напомним, что инвариантом Фоменко-Цишанга (меченой молекулой, см. [2]) слоения Лиувилля таких систем на инвариантном неособом подмногообразии Q3 является оснащенный конечный граф. Его вершины соответствуют особым слоям, ребра — семействам регулярных торов Лиувилля. Каждой вершине приписан символ атома, т.е. класса послойной гомеоморфности слоения вблизи особого слоя. Числовые метки возникают из матриц склейки Ci атомов по граничным торам (Ci £ GL(2,Z), det Ci = -1).

1 Ведюшкина Виктория Викторовна — канд. физ.-мат. наук, асснст. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: arinirQyandex.ru.

2Кибкало Владислав Александрович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: slava.kibkaloQgmail.com.

Vedyushkina Viktoria Viktoroma — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications.

Kibkalo Vladislav Alexandrovich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications.

Гипотеза (раздел С: реализация меченых молекул). Широкий класс слоений Лиувилля невырожденных интегрируемы,х систем с двумя степенями свободы, на трехмерных инвариантных подмногообразиях (задающихся, с точностью до лиувиллевой эквивалентности инвариантом, Фоменко Цишанга — графом, с метками) можно реализовать в классе интегрируемых бильярдов.

Поскольку вопрос о справедливости гипотезы С в общем случае (любой граф с любыми метками) остается открытым, А. Т. Фоменко поставил вопрос о возможности реализации бильярдом каждого значения метки (на некотором подходящем графе). В настоящей работе покажем, что в классе бильярдных книжек, предложенных В. В. Ведюшкиной в [3], можно реализовать слоение Лиувилля с произвольным значением метки п на некоторой подходящей семье. Напомним, что семья — это состоящий из седловых атомов подграф с дополнительными свойствами (см. [4]). В частности, его

п

семьи связана с классом Эйлера соответствующего многообразия Зейферта (см. [4]).

п

ется препятствием к моделированию. Пока неясно, любую ли семью можно в бильярдах оснастить п

1. Бильярды: основные понятия и факты. При каждом значении параметра Л € [0, а] кривые из следующего семейства на плоскости Оху являются квадриками (возможно, вырожденными), софокусными с эллипсом Л = 0, имеющим полуоси 0 <Ь < а:

(Ь - Л)х2 + (а - Л)у2 = (а - Л)(Ь - Л). (1)

При равномерном и прямолинейном движении частицы по плоскости и ее упругом отражении от любой кривой семейства (1) сохраняются (см. [5]) скалярный квадрат вектора скорости (энергия) Н и дополнительный интеграл Л:

Н = V + V2,

-и- их '

Л

- (ХУу - уух)2 + УХЬ + Ууй

V2 + V2 иж 1 иу

Рассмотрим компакт О С К2 с кусочно-гладкой границей, состоя щей из дуг ^г кривых семейства (1). Пусть все внутренние углы при вершинах О (точках пересечения дуг границы) равны п/2. Бильярд на столе О получается отождествлением в кокасательном расслоении Т* О пар точка-вектор вида (x,Vj): х € дО, VI - V2 — С Т*О. Попадание частицы в вершину множества О меняет ее вектор скорости на противоположный.

Элементарная область, ограниченная эллипсом семейства (1), в работах [6, 7] обозначена Л2. При ее разрезании по одной из дуг гиперболы семейства (1) образуются две элементарные области типа Л\, а по обеим ее дугам — область типа Ао и две симметричные области типа Л\. Области Лг содержат отрезок фокальной оси и г фокусов семейства (1).

Конструкция бильярдной книжки, предложенная В. В. Ведюшкиной в [3], есть обобщение бильярда на случай склейки произвольного конечного числа элементарных областей по общим граничным дугам. При этом каждой такой дуге склейки (корешку книжки) сопоставлена перестановка а на множестве склеенных по ней листов. Она показывает, на какой лист а(г) перейдет частица с г

О

новку, а каждой внутренней кривой 7 области О' — разбиение области О на две области 1 и 2 с перестановкой (12) на их общей граничной кривой (см. [3]).

Условие коммутирования перестановок на каждой паре кривых, содержащих границу стола или склейку листов-областей, гарантирует корректность указанной конструкции, т.е. непрерывность и однозначность определения бильярдного потока.

Для бильярда О выберем неособую (Н = 0) изоэнергетическую поверхность Особые значения Л (образы особых слоев в могут быть равны 0,Ь, а и значению параметра Л для кривой

О

ницам.

п

п

0, 1 , 2

ки п например столами Л1,Л2 и (2А2)а (топологический бильярд, склеенный из двух листов типа Л2

Теорема 1. Для каждого к € Z алгоритмически построен бильярд слоение Лиувилля которого на неособой изоэнергетической поверхности содержит некоторую семью с заданной .меткой п = к.

2.1. Описание построения, столов Возьмем к экземпляров ¡Б1,...,Б1С стола типа А2, ограниченного эллипсом Л = 0 семейства (1). Разрежем стол 51 по ветвям гиперболы Л = Л1, стол Б^ (при к > 1) по ветвям гиперболы Л = Л&_1, а остальные столы Бг (где 2 ^ г ^ к — 1, для к > 2) по ветвям двух гипербол Л = Л-1 ш Л = Лг. Здесь Ь < Л1 < ... < Ли_1 < а. Обозначения полученных областей приведены в табл. 1. Отметим, что стол разрезан или на набор листов (аг,хг ,Ьг,уг,ег), или на набор (а, Ьг,ег).

Таблица 1

Обозначения листов бильярдных столов

Область Тип Уровень Граница Оху

0,-1 А! Л1 при г = 1: при 2 ^ г ^ к х < 0

Щ Ао 2 < г < А; - 1 А;_1 и Л.;, при 2 ^ г ^ к — 1 х < 0

Ьг Ао Би 1 < г < /с Ах при г = 1: при 2 ^ г ^ к Оу с к

Уг Ап 2 < г < к - 1 А;_1 и Л.;, при 2 ^ г ^ к — 1 X > 0

Сг Аг Би 1 < г < /с Ах при г = 1: при 2 ^ г ^ к х > 0

Таблица 2

Перестановки на корешках склейки столов Пк

Бильярдный стол 0^ построим из описанных выше листов путем их склейки по отрицательным и положительным (т.е. лежащим в полуплоскостях х < 0 и х > 0) ветвям граничных гипербол с перестановками ст^ и рг соответственно. В табл. 2 записаны эти перестановки, а на рис. 1, б и рис. 1, а, соответственно изображены стол 0з и области аг,хг,Ьг,уг,ег, из которых он склеен.

Гипербола Рг

г = 1 (Ь1,С1,У2,С2) (о2, Х2, 01, 61)

2 < г < к - 1 {ЬиУиУг+Ъ с»+1) (Ог+1, .г'г+1, Хг, Ь)

г = к - 1 {Ьк-1,Ук-1, Ьк, Ск) {ак,Ък,хк-1,Ък-1)

Рис. 1. Стол Пз (б), склеенный из областей аЬ^, е^, х^, у^ трех эллипсов (о) по дугам софокусных гипербол Л = Лх,Л2 с перестановками и а 2, р2 на их левых и правых ветвях

Рассмотрим столы типа получаемые как результат удаления в пар листов аг, ег из кле-

точного комплекса На дуге склейки, инцидентной удаляемому листу, новая перестановка должна сохранить циклический порядок на множестве остальных листов, инцидентных этой дуге. Например, при 1 < ] <к — 1 перестановка а^ превратит ся в (х^, Ьj), а пр и ] = к — 1 — в (Ь^ ,Хк-1, Ьк-1)-Удаление обоих листов а1 и а2 превратит перестановку Ст1 в (Ь1, Ь2) при к = 2 или в (х2, Ь1) при к > 2. Стол остается, как и 0^, симметричным относительно оси Оу.

Теорема 2. При любых целых к, в, 0 ^ в ^ к, слоение Лиувилля бильярдов содержит,

семью с 2к инцидентными ей ребрами молекулы, т.е. с валентностью 2к, и с меткой п = к — в.

Теорема 3. Для бильярда на столе 0ьуи_з при 0 ^ в ^ к инвариант Фоменко-Цишанга слоения Лиувилля на произвольной неособой изоэнергетической поверхности имеетвид, показанный на рис. 2. Метки (т,е) равны (ж, 1) на выделенных ребрах и (0,1) на, остальных ребрах графа.

3. Доказательство теорем 1-3.

3.1. Вычисление грубой молекулы: эллиптические, торы. Для бильярда на произвольном столе 0 определим для поверхности ^подмножества , ъ+£ (где 0 ^ Л ^ Ь+е) и , (где а ^ Л > Ь+е) и обозначим естественные проекции так:

П : <1

П

О, по : О —> Оху,

:= По о п : <1 —> Оху.

Рис. 2. Инвариант Фоменко Цишанга бильярда на столе О^-з (метки (г, е) равны (то, 1) на всех выделенных ребрах и (0,1) на всех остальных)

Утверждение 1. Подмножество <пкьь+£ для бильярда на столе Од послойно гомеоморфно к экземплярам подмножества <л2,ь+£ для, бильярда на Л2 ( )

Доказательство. 1. Обозначим через а лист а € {аг,сг ,хг ,Ьг,уг} стол а Од за вычетом гиперболической границы этого листа. Ограниченная на а проекция По : Од. —> Оху индуцирует послойный гомеоморфизм между множествами ь+£ С ь+£

И <а,ь+е с >сОху,ь+е в кокасательных пространствах.

О Ло ,

Л1 Л2

ветвь которой пересекает внутренность области. п-Прообраз этой ветви в слое Л = Ь гомеоморфен двум восьмеркам, состоящим из пар точка вектор. Выбор одной из компонент однозначно задается

Ох

Ох х

Тем самым был определен выбор одной из двух компонент связности ь+£ Для листов а € {хг,Ьг,уг}. Обозначим символамп х+,Ь+,у+ компоненты с векторами "вправо", а символами х-,Ь-, у- — компоненты с векторами "влево".

2. Рассмотрим слой Л = 0 слоения Лиувилля бильярда, являющийся минимальной окружностью или несвязным объединением нескольких таких окружностей. Его проекция п' содержится в эллипсе Л = 0. Покажем, что для стола Од проекция п' каждой такой окружности является биекцией на эллипс, как и в случае бильярда в Л^. Тогда отобразим в <\2 ь+£ те компоненты связности листов О

склейки листов.

Обозначим дуги эллипса, попадающие в один из листов аг,сг ,хг ,Ьг,уг стол а Од, той же буквой, что и лист. Для листов {хг,Ьг,уг} добавим знак ординаты у в качестве индекса. Получим те же обозначения, что и ранее для компонент связности ь+£-

В каждую точку дуг аг ,х±,Ь± ,у±,сг проецируются две пары точка-век тор из слоя Л = 0 (вектор направлен по часовой стрелке или наоборот). Перестановки аг, рг задают биекцию на множестве таких пар для всех областей, инцидентных этому ребру склейки, т.е. корректно определяют продолжение любой из траекторий слоя Л = 0.

Закодируем эти траектории последовательностью, состоящей из дуг аг,х±,Ь±,у±,сг, с указанием перестановки при переходе с листа на лист или отражении от границы. В силу конечности комплекса каждая траектория обязана замкнуться. Код ^ окружности, проходящей по дуге aj, имеет следующий вид при к > 2 (^1 при к = 2 получим из при к > 2 с учетом р1(с1) = Ь2 и а1(Ь2) = а{):

ц1 : а1

р1 р2

а —у-2 —

Рк-2 _ Рк-1 ак-1 _ ак-2

-ук~1

Ь

а2

к

х

к-1

а1

Н —а-15

[1г, 1 < г < к : ¡!к, к ^ 2 :

аг 1

х

+

а

Рг + Рг— 1 Рг— 1 Сг-1

г-1

-аг]

ак-1 рк-1 рк-1 ак-1 "/,->>1, -Ск-Ьк_х-II/,.

аг

льярдный стол (комплекс, оснащенный перестановками) обладает симметрией отражения относи-Ох

2к

аг,сг,х±Ь±,у±1 встретилась в кодах Цj ровно раз.

а

Замечание. Для стола Од все траектории иа уровне Л = 0 направлены либо по, либо против часовой стрелки и проходят ровно по одной паре листов аг,сг-

3. Выберем г и отобразим в <\2 ь+£ объединение множеств < ь+£ для всех компонент а €

{аг,сг,х±,Ь±,уг±}, входящих в код Цг- Это мономорфизм, т.е. остается проверить корректность склейки.

Достаточно проверить, что склейка вдоль частей особых траекторий уровня Л = Ь, попадающих на интервал между фокусами, задается тем же кодом, что и склейка вдоль особых минимальных траекторий. Действительно, в одну и ту же связную компоненту ь+£ попадут следующие пары точка-вектор: точка фокального отрезка и вектор "вправо", точка граничной дуги с координатой у > 0 и вектор "по часовой стрелке", точка граничной дуги с координатой у < 0 и вектор "против часовой стрелки".

Ок аг рг

за гиперболических границ областей аг,хг,Ьг ,уг ,сг, т.е. к од /1г задает послойный гомеоморфизм с множеством уровня <\2 ь+£ для бильярда в эллипсе. Утверждение 1 доказано.

Следствие. Слоение 1 ь+£ бильярда на столе типа Од , д-1, полученном путем удале-

ния, пары, листов аг,сг из стола Од, состоит из к связных компонент. Компонента, содержащая траектории с кодом, /1г, послойно эквивалентна <л0, ь+£ для, бильярда на столе Ло, а, остальные компоненты остаются эквивалентным,и <л2,ь+£ для, бильярда внутри эллипса, (т.е. на столе Л2).

3.2. Вычисление грубой молекулы: гиперболические торы. Опишем слоение Лиувилля на множестве <к ь+£ уровня Н = 1,Ь + е ^ Л ^ а для бильярда на столе Од. В случае к = 2 стол склеен из шести листов аг,Ьг,сг, где г = 1,2, по перестановкам а = (а1,Ь1,а2,Ь2),р = (Ь1,с1 ,Ь2,с2) на левой и

Л1

Утверждение 2. Слоение Лиувилля на множестве уровня <^ ь+£, Л > Ь + е для столов Од,д-3 при любом 0 ^ в ^ к послойно гомеоморфно прямому произведению окружности Б1 на М2 — сферу Б2 с к дырками, расслоенную на к - 1 штуку 2-атомов С2 и к штук 2-атомов Л. Седловые атомы образуют граф-дерево без разветвлений (см. рис. 2).

Доказательство. 1. Наличие у множества <^ ь+£ структуры прямого произведения окружности Б1 на двумерное расслоенное М2 следует из односвязности п'(<Д ь+£) С Оху и тождественности всех перестановок на эллиптических дугах множества п(<Д ь+£) С Од.

Образом П'-Проекции стола Од , д-3 является плоский стол Ло С К2, ограниченный дугами эллипса Л = 0 и гиперболы Л = Ь + е. Он расслаивается на дуги эллипсов 0 < Л < Ь и отрезок оси

Ох. Обозначим этот от резок О1 и в качес тве М2 возьме м У-прообр аз О1 в множес тве ь+£-

М2 Л

2. Выберем любое Ло, Ь + е ^ Ло < Ль Слой уровня Л = Ло в П'-Прообразе дуги опишем кодом, аналогичным коду для слоев на уровне Л = 0. Вместо аг и сг будем, как и для областей хг, Ьг, уг, писать символ со знаком, определяемым вектором: проекция п' множества <пк к ь+£ на лист аг или сг

Ло

вектора в коде может происходить не только на дугах аг и рг, но и та границе п'-проекции слоя Л = Ло, т.е. левой ветви Ло и пр^ой ветви Ло гиперболы с параметром Ло. В простейшем случае к = 2 на уров не Ь < Ло < Л1 имеем коды

г а ъг Р г Х0 I р и а I Х0 г г а Кг Р г Л0 I р г! а I Л0 г

а\ —Ь\ —с\ —с\ —Ь12 —а\ —аг2 —Ьг2 —сг2 —с12 —Ъ\ —а12 —аг2.

3. Для всех бильярдов вида О2 , 2-г при г = 0,1, 2 множест ва . Л1 послойно гомеоморфны в результате отождествления пар (хг, V) точка-вектор при проекции п.

При каждом г = 0,1,2 множества 2 . ь+£ л1] = {Н = Н, Ь+е ^ Л ^ Л1} реализуют гомотопию с параметром Л между слоями бильярда на столе О2 , лежащими на ур овнях Л = Ь + ей Л = Ль При этом слои уровня Л = Л1 всех трех бильярдов О2 ,2, О2 д, О2 , о гомеоморфны друг другу и особому С2

аг

Л1 О1 С Ох аг сг

ности седлового 2-атома в его особую точку, а в прообразе всего стола — это стягивание колец регулярного граничного тора седлового 3-атома на гомологичную им особую окружность этого 3-атома.

Тем самым п-ирообраз листа аг € О2 ,2_г в <ъ+е л1 имеет ВИД прямого произведения окружности на треугольник. Особая точка 2-атома является вершиной треугольника, а две другие его вершины лежат на слое Л = Ь + е. При этом гомотопия треугольника на отрезок указанного вида не меняет структуру слоения, т.е является послойным гомеоморфизмом. Если же лист аг не входит в комплекс

О2 , 2_г? то прообраз является произведением окружности па отрезок и проецируется на дугу склейки

Л1

4. Перестройка вблизи уровня Л = Л1 является атомом С2 как перестройка двух торов в два тора через две критические окружности, имеющая необходимые симметрии. Проекция п(<Л1 +£) на стол 0^ , несвязна, и одна ее компонента состоит из части листа Ь^, т.е. атом С2 инцидентен максимальному атому А (двум атомам А, если обе компоненты состоят из частей области Ьг). Это также следует из результата, полученного в [8] для слоения Лиувилля топологического бильярда, склеенного из двух областей Ао по обеим гиперболическим границам.

5. Заметим, что проекция ^ 1 ъ+е) на стол 0^_1 ,и_з_ 1 и проекция ^ л1+е) на стол 0к,к_в (где паре листов аг, ег, удаленных из стола 0^_1,к_з_ъ соответствует пара листов аг+1, ег+1, удаленных из стола 0^ устроены одинаково с точностью до непрерывного изменения набора чисел Лг (остающихся при этом попарно различными). Получили вид грубой молекулы путем индукционного перехода. В частности, грубая молекула слоения на множестве Л > Ь + е для стола 0^ , к_. не зависит от в. Утверждение 2 доказано.

3.3. Допустимые базисы, и .матрицы, склейки, вычисление м.еток. На минимальном и фокальном уровнях выберем допустимые базисы так же, как для бильярда в эллипсе (см. рис. 3, а). Матрица

склейки па эллиптических ребрах имеет вид ^ ^о) . Отметим, что здесь мы фиксируем ориентацию изоэнергетической поверхности так, чтобы цикл Л а входил в ц икл Л в с противоположной ориентацией. Это означает, что так как циклы л а и Лв по определению системы сонаправлены (отвечают траекториям, закручивающимся в одну сторону), то цикл л в = Л а (т.е. имеет ту же

Лв

Рис. 3. Проекции циклов Л, л допустимых базисов 3-атомов на бильярдный стол: циклов Л, л на торах Л < Ь атомов А и В бильярда А2 (а); циклов Л, ¡л та торах Л > Ь атомов В,С2 и А бильярдов А2 и 0^ (б);

цикла Л на торах атома В для бильярда А0 (в)

Запишем матрицу склейки между фокальными атомами В и атомами С2, отвечающими невыпуклым склейкам. Сравниваемые допустимые базисы показаны па рис. 3, б. Циклы Лс2 гомологичны циклам, проекции которых лежат на дуге интегральной гиперболы, оснащенной касательными векторами скорости. Очевидно, что циклы лс2, изображенные на рисунке, дополняют данные циклы Л С2 ,

к я В С2

вид (°0) . Подчеркнем, что так как на торах, соответствующих Л < Ь, ориентация циклов ¡лв была

противоположна ориентации циклов Л^, то для торов при Л > Ь эти циклы уже сонаправлены. Это объясняет выбор знаков в соотношении л в = Лс2.

Л

Лг, гомологичны и ориентированы одинаково по отношению друг к другу и к особому слою любого максимального атома А. Вместе с тем они не гомологичны Л-циклу любого из атомов В, лежащих Л = Ь к я С2 '01'

этими атомами имеют вид ( ю ) . При этом очевидно, что циклы лс2 стягиваются в точку внутри

иолноторий Л, т.е. они гомологичны циклам Лл. В результате на верхних торах матрицы склейки имеют вид (Ю) . Числовые метки легко определяются по найденным матрицам склейки согласно формулам из [4].

Л1 Л2

бильярду Ло. Это сохранит полулокальный класс бифуркации (атом Б) на фокальном уровне, но циклы для атома Лв изменятся (см. рис. 3, в вместо рис. 3, а и рис. 3, б). Матрицы склейки на всех

ребрах, исходящих из этого атома, примут вид (Ю) . повлечет за собой уменьшение метки

п = к на семье, состоящей из атомов С2.

Исследование выполнено в рамках программы Президента РФ "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-6399.2018.1, соглашение 075-02-2018-867).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ведюшкина В.В., Фоменко А. Т. Бильярды и интегрируемость в геометрии и физике. Новый взгляд и новые возможности // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2019. № 3. 15-25.

2. Фоменко А. Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамиль-тоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 54, № 3. 546-575.

3. Ведюшкина В.В., Харчева И. С. Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2018. 209, № 12. 17-56.

4. Волсинов A.B., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1,2. Ижевск: НИЦ "РХД", 1999.

5. Козлов В.В., Трещев В.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991.

6. Фокичева В.В. Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матем. сб. 2015. 206, № 10. 127-176.

7. Фокичева В.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые биллиарды моделируют важные интегрируемые случаи динамики твердого тела // Докл. РАН. 2015. 465, № 2. 150-153.

8. Ведюшкина В.В. Инварианты Фоменко—Цишанга невыпуклых топологических биллиардов // Матем. сб. 2019. 210, № 3. 17-74.

Поступила в редакцию 26.09.2019