Инварианты Фоменко–Цишанга топологических бильярдов, ограниченных софокусными параболами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Согласно рисунку, a, b при увеличении скорости закрытия клапана усиливаются ударные волны. Графики на рисунке, c, d соответствуют разным значениям коэффициента трения Л, видно, что при увеличении коэффициента трения ударные волны быстрее угасают. Таким образом, приведенные зависимости показывают, что расчетное поведение давления перед и за клапаном качественно хорошо согласуется с реальным.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 17-01-00838).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Chaudhry M.H. Applied Hydraulic Transients. 3d ed. N.Y.: Springer-Verlag, 2008.

2. Фокс Д.А. Гидравлический анализ неустановившихся течений в трубопроводах. М.: Энергоиздат, 1981.

3. Кобельков Г.М., Соколов А.Г. Об одной неявной разностной схеме для уравнений баротропного газа // Чебышёвский сборник. 2017. 18, № 3. 271-279.

4. Имранов Ф.Б., Кобельков Г.М., Соколов А.Г. О разностной схеме для уравнений баротропного газа // Докл. РАН. 2018. 478, № 4. 388-391.

Поступила в редакцию 22.10.2017

УДК 517.938.5

ИНВАРИАНТЫ ФОМЕНКО-ЦИШАНГА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ БИЛЬЯРДОВ, ОГРАНИЧЕННЫХ СОФОКУСНЫМИ ПАРАБОЛАМИ

В. В. Ведюшкина 1

Получена топологическая (лиувиллева) классификация интегрируемых бильярдов в локально-плоских компактных областях, ограниченных дугами софокусных парабол, с помощью методов теории Фоменко-Цишанга об инвариантах интегрируемых систем.

Ключевые слова: интегрируемая система, бильярд, лиувиллева эквивалентность, инвариант Фоменко-Цишанга.

A topological (Liouville) classification of integrable billiards in locally flat compact domains bounded by arcs of confocal parabolas is obtained using methods of the Fomenko-Zieschang theory on invariants of integrable systems.

Key words: integrable system, billiard, Liouville equivalence, Fomenko-Zieschang invariant.

Пусть дана замкнутая выпуклая кусочно-гладкая кривая на плоскости (при этом все углы в точках излома равны п/2). Бильярд описывает движение материальной точки внутри компактной области О, ограниченной этой кривой, при этом на границе определено естественное абсолютно упругое отражение (угол падения равен углу отражения), а в точках излома границы движение продолжается по непрерывности (в угле после удара точка продолжает движение в противоположном направлении по тому же отрезку, по которому попала в угол).

Интегрируемость бильярда в эллипсе была замечена Дж. Д. Биркгофом [1]. Оказалось, что для любой фиксированной траектории-ломаной ее звенья лежат на прямых, касательных к некоторой квадрике (эллипсу или гиперболе), софокусной с граничным эллипсом. Таким образом, помимо длины вектора скорости (который сохраняется при абсолютно упругих отражениях на границе) вдоль траекторий сохраняется параметр софокусной квадрики, т.е. система обладает двумя независимыми интегралами. В книге [2] В. В. Козлов, Д. В. Трещев заметили, что интегрируемость бильярда сохранится, если перейти к плоским областям, которые ограничены дугами эллипсов и гипербол одно го софокусного семейства и на границе которых нет точек излома с углами Щ-. В этом случае все

1 Ведюшкина Виктория Викторовна — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

углы в точках излома равны поскольку известно, что софокусные квадрики всегда пересекаются под прямыми углами.

Фиксируем на плоскости Оху семейство софокусных парабол, закодированных параметром р,

следующим соотношением:

у2 + 4рх - 4р2 = 0.

(1)

Отметим, что значению параметра р = 0 соответствует прямая Ох. Будем называть такую прямую вырожденной параболой.

Семейство софокусных парабол можно рассматривать как семейство софокусных эллипсов и гипербол, у которых один фокус находится на бесконечности. Бильярд, ограниченный дугами софокусных парабол, также интегрируем (доказательство см., например, в работе [3]).

Определение. Элементарным параболическим бильярдом назовем компактную часть плоскости, граница которой ограничена дугами софокусных парабол и не содержит углов, превышающих п. Особым элементарным параболическим бильярдом назовем параболический бильярд, часть границы которого лежит на вырожденной параболе — прямой Ох.

Определение. Элементарный параболический бильярд О называется эквивалентным другому элементарному параболическому бильярду О', ограниченному дугами парабол того же софокусного семейства, если он может быть продеформирован в О' с помощью композиции двух преобразований:

1) непрерывного изменения границы в классе парабол семейства, такого, что парабола, на которой лежит изменяемый сегмент, не вырождена во время деформации (т.е. знак параметра р этой параболы сохраняется);

2) симметрии относительно оси семейства (1).

Утверждение [3]. Любой элементарный параболический бильярд эквивалентен бильярду, принадлежащему одной из двух серий (см. рис. 1):

серии, состоящей из трех неособых элементарных параболических бильярдов: бильярда О^ ограниченного двумя параболами, параметры которых имеют разные знаки; бильярда О2, ограниченного тремя параболами, и бильярда О3, ограниченного четырьмя параболами с 'различными значениями параметров, а именно двумя положительными и двумя отрицательными, не имеющего общих точек с горизонтальной осью Ох;

серии, состоящей из двух особых элементарных параболических бильярдов: бильярда ш1, ограниченного двумя невырожденными и одной вырожденной параболой, и бильярда ш2, ограниченного тремя невырожденными и одной вырожденной параболой.

Рис. 1. Элементарные параболические бильярды

Определение. Пусть 11 и ¿2 — граничные сегменты двух элементарных параболических бильярдов О и О', содержащиеся в параболе семейства (1) с параметром р^ = рг2, при этом бильярды О и О' расположены по одну сторону от общего сегмента.

Определим склейку бильярдов О1 и О2 вдоль сегментов ¿1 и ¿2 (образы которых после склейки будем называть ребром склейки) как склейку вдоль ¿1 и ¿2 с помощью изометрии между ¿1 и ¿2-Границы ребер склейки будем называть вершинами склейки.

Таким образом, мы можем определить склейку параболических элементарных бильярдов вдоль граничных сегментов. Аналогично определяется склейка одного экземпляра элементарного бильярда вдоль двух своих параболических граничных сегментов в том случае, если эти сегменты различны и симметричны друг другу относительно прямой Ох, а склеивающий гомеоморфизм является ограничением симметрии относительно этой прямой на рассматриваемые сегменты.

Определение. Параболическим топологическим бильярдом А назовем двумерное ориентируемое многообразие с кусочно-гладкой римановой метрикой, которое получается в результате опре-

24

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2018. №4

деленной выше склейки элементарных бильярдов вдоль некоторых нестрого выпуклых граничных сегментов при выполнении следующих условий. Потребуем, чтобы в каждой вершине склейки сходились либо четыре ребра склейки (такие вершины склейки назовем внутренними вершинами склейки) , либо одно ребро склейки и два свободных ребра (такие вершины склейки назовем граничными вершинами склейки), либо два ребра склейки, и при этом чтобы не было ни одного свободного ребра (такие вершины склейки назовем коническими точками). Обозначим связную компоненту объединения всех горизонтальных ребер склейки через У^ш^, {г € 1,... ,п}, где ш^ последовательно соединены друг с другом. Потребуем, чтобы минимум одно из ребер склейки — Ш1 или шп — образовывало коническую точку.

Замечание. Последнее условие обосновывается так. Если разрешить склейки без образования конических точек вдоль горизонтальных сегментов, то полученный бильярд на самом деле ничем не будет отличаться от бильярда, "сложенного пополам" вдоль горизонтальной прямой: пара склеенных так бильярдов Ш1 (соответственно Ш2) является бильярдом О1 (соответственно О2).

Определение. Два параболических топологических бильярда называются эквивалентными, если они могут быть получены друг из друга заменой элементарных бильярдов в их составе на им эквивалентные.

Топологические бильярды без конических точек обозначим через Да, а бильярды с коническими точками — через Дв. Пусть Д — топологический бильярд. В скобках будем указывать элементарные бильярды, его образующие, причем если эквивалентные элементарные бильярды в его составе последовательно (через один и тот же тип сегментов) склеиваются друг с другом в некотором количестве экземпляров, то будем указывать это количество, например Да(кО), а если нет, то будем указывать это отдельным суммированием, например Да(О + кО' + О) — два бильярда О склеены не друг с другом, а с бильярдом О'.

Как легко видеть из определения, конические точки делятся на два типа. Конические точки типа х — это конические точки, полученные склейкой вдоль угла, образованного выпуклым параболическим и горизонтальным сегментами. Конические точки типа у получены склейкой вдоль угла, образованного двумя выпуклыми параболическими сегментами.

Рассмотрим следующие серии параболических топологических бильярдов.

1. Конечная серия параболических бильярдов О1 состоит из трех бильярдов без конических точек: Да(2О1) (склейка вдоль одного граничного сегмента), Да(4О1) (склейка четырех экземпляров элементарного бильярда О1 без свободной границы), Да(О1 + О2), и бильярда Дв(2О1)УУ с двумя коническими точками.

2. Конечная серия параболических бильярдов Ш1 состоит из трех бильярдов без конических точек: Да(2^1) (склейка вдоль одного граничного сегмента), Да(4^1) (склейка четырех экземпляров элементарного бильярда ш1), Д«(ш1 + ш2); трех бильярдов Д^(2ш1)у, Дв(2ш1)ж и Д^((2ш1)ж + 2ш2) с одной конической точкой; бильярда Дв((2^1)х + (2^)х) с двумя коническими точками; бильярда Дв(2ш1)ХХу с тремя коническими точками.

3. Бесконечная серия бесфокусных параболических бильярдов О2 состоит из следующих под-серий. Определим числа п1,п2,п3 € {0,1}, к € М, 0, а элементарный бильярд О считаем эквивалентным бильярду О3 или ш2. Подсерии бильярдов без конических точек имеют вид Да((1 + п1)(п2О + кО2 + п3О)) (гомеоморфны диску) и вид Да((1 + п1)(кО2))2 (гомеоморфны цилиндру). Две подсерии бильярдов с одной конической точкой имеют вид Дв(2(п1Оз + кО2 + п2О))у (здесь к + п1 =0) и Дв(2(п1Оз + кО2 + ^))х. Две подсерии бильярдов с двумя коническими точками имеют вид Дв(2(щО3 + Ш2 + п2Оз))то и Дв(2(^2 + кО2 + ^))хх.

Утверждение. Любой параболический топологический бильярд Д эквивалентен бильярду, принадлежащему одной из трех серий О1, и О2.

Доказательство. Рассмотрим параболические топологические бильярды, в составе которых содержатся элементарные параболические бильярды О1. С таким бильярдом общий сегмент границы может иметь только бильярд О2. Перебирая все случаи склейки (напомним, что склейки происходят только вдоль выпуклых по отношению к бильярдам сегментам границы), получаем все четыре бильярда серии О1.

Аналогично получается серия параболических бильярдов к элементарному бильярду кроме ему эквивалентного можно приклеить только бильярд ^2.

Рассмотрим серию параболических бесфокусных бильярдов. Для элементарного параболического бильярда О2 будем называть граничный сегмент, пересекающий вырожденную гиперболу, длинным граничным сегментом, а не пересекающий — коротким граничным сегментом. Заметим,

что если пара бильярдов О2 склеена вдоль длинного граничного сегмента, то вдоль других длинных сегментов (являющихся невыпуклыми) ничего больше приклеить нельзя. С другой стороны, для бильярдов О2 оба коротких граничных сегмента являются выпуклыми. Это позволяет склеить их в произвольном числе экземпляров в длинную ленту . В свою очередь к такой ленте вдоль коротких сегментов границы можно приклеить бильярды Оэ и Ш2, но на этом лента закончится и к ней без образования конических точек ничего больше приклеить нельзя. Склеивая такую ленту с себе эквивалентной, получаем серию бильярдов Да ((1 + п1)(п2О + кО2 + пэО)). Однако если в состав топологического бильярда не входят элементарные бильярды Оэ и Ш2, то короткие сегменты свободной границы остаются выпуклыми, что позволяет склеить их друг с другом при подходящих значениях параметров парабол р, на которых они лежат. Это приводит к образованию бильярдов-колец вида

Да((1+ П1)(Ш2))2.

Параболические топологические бильярды с коническими точками получаются из удвоенной ленты Да(2(п1О + кО2 + П2О)) выбором подходящих элементарных параболических бильярдов О. Утверждение доказано.

Напомним основные понятия теории интегрируемых гамильтоновых систем (см., например, [4-7]).

Пусть (Ы4,ш 1, /1 , д 1) и (М|,Ш2, ¡2,92) — две интегрируемые по Лиувиллю системы на симплек-тических многообразиях М4 и М|, обладающие соответственно интегралами /1,91 и /2,92. Рассмотрим изоэнергетические поверхности = {х € М4 : /1(ж) = с1} и ^2 = {х € М| : /2(х) = с2}. Интегрируемые гамильтоновы системы называются лиувиллево эквивалентными, если существует послойный диффеоморфизм Ql ^ Q2, который, кроме того, сохраняет ориентацию 3-многообразий и Q2 и ориентацию всех критических окружностей.

Многообразие Qэ расслоено на уровни дополнительного интеграла /, являющиеся 2-торами (так называемые торы Лиувилля) и особыми слоями. При этом Qэ является склейкой регулярных 3-окрестностей особых слоев по их граничным торам. База этого слоения (так называемого слоения Лиувилля) на многообразии Qэ — одномерный граф Кронрода-Риба функции / |дз. Структура слоения в малой окрестности особого слоя, отвечающего вершине графа, описывается комбинаторным объектом, называемым "3-атомом" (см. [5]). Согласно теореме Фоменко, в невырожденном случае (т.е. когда интеграл / является боттовском) каждый 3-атом является расслоением Зейферта над двумерной поверхностью с краем, причем особые слои (если они есть) обязательно имеют тип (2,1). База этого расслоения называется 2-атомом. Проекции особых слоев типа (2,1) на базу обозначаются звездочками. Если их нет, то 3-атом является прямым произведением 2-атома на окружность (см. [4]). На рис. 2 приведены примеры часто встречающихся 2-атомов и 3-атомов.

Рис. 2. 3-Атомы: а-в — трехмерные атомы А, В, А* соответственно; 2-атомы: г-ж — двумерные атомы серий Вп, Сп, ВП** и ВП** соответственно

Граф Ш, для каждой вершины которого указан соответствующий атом, называется инвариантом (грубой молекулой) Фоменко. В вершинах Ш расположены "атомы", описывающие соответ-

ствующие бифуркации (перестройки) торов Лиувилля. Для полного описания слоения необходимо выбрать допустимые базисы на граничных торах атомов (см. [7]) и указать матрицы перехода от одного базиса к другому. Из матриц склейки вычисляются числовые метки г, е и п, которые, будучи расставленными на молекуле Ш, полностью определяют слоение Лиувилля с точностью до послойной эквивалентности и не зависят от выбора допустимых базисов на граничных торах. Получающийся граф с метками называется меченой молекулой Ш*, т.е. инвариантом Фоменко-Цишанга.

Теорема 1 (А.Т. Фоменко, Х. Цишанг) [7]. Две невырожденные интегрируемые гамильтоновы системы на изоэнергетических поверхностях Ql и лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда их меченые молекулы Ш* совпадают.

Система бильярда определена на кокасательном расслоении к бильярдной области. Так как бильярдное движение предполагает абсолютно упругие отражения от границы, то такая система всегда обладает естественным интегралом — квадратом модуля вектора скорости. Элементарный параболический бильярд при этом является вполне интегрируемым по Лиувиллю (т.е. существует еще один интеграл р, такой, что р и |г|2 функционально независимы и находятся в инволюции относительно стандартной симплектической структуры на кокасательном расслоении). Для фиксированной бильярдной траектории-ломаной все прямые, содержащие ее звенья, являются касательными к параболе с одним и тем же параметром р. Далее рассмотрим два элементарных параболических бильярда О и О', склеенные по ребру склейки I. Двигаясь по элементарному бильярду О, при попадании на ребро склейки I материальная точка после отражения продолжает движение по элементарному бильярду О'. Так как границы всех элементарных параболических бильярдов принадлежат одному и тому же семейству софокусных парабол, то топологический бильярд также интегрируем.

Опишем траектории произвольного параболического топологического бильярда. Обозначим через ртт и ртах минимальное и максимальное значения параметра р, соответствующие параболам, на которых лежат границы элементарных параболических бильярдов, образующих данный топологический бильярд. Значениям ртш и ртах отвечают криволинейные траектории-окружности, лежащие на параболах с этими параметрами. При р = 0 траектории удовлетворяют оптическому свойству параболы: их звенья последовательно либо лежат на прямых, проходящих через фокус, либо параллельны оси Ох. При этом можно выделить особые траектории-окружности, лежащие на оси Ох. Все остальные уровни интеграла (т.е. не равные рт1Ш ртах и нулю) являются неособыми в том смысле, что соответствующие двумерные поверхности в многообразии постоянной энергии Q3 гомеоморфны несвязным объединениям двумерных торов.

Пусть А — бильярд (элементарный или топологический). Рассмотрим изоэнергетическое многообразие Q3, которое получается при ограничении системы с фазового пространства М4 бильярда на уровень постоянного модуля скорости — первого интеграла системы. Оно расслоено уровнями функции р. Опишем слоение Лиувилля топологических параболических бильярдов, вычислив для каждого бильярда его инвариант Фоменко-Цишанга. Для элементарных параболических бильярдов такое описание было выполнено автором в работе [3].

Теорема 2. Пусть внутренность параболического топологического бильярда А содержит фокусы. Тогда инварианты Фоменко-Цишанга — меченые молекулы Ш*, описывающие топологию слоения Лиувилля изоэнергетической поверхности Q3 таких топологических бильярдов А, — разбиваются на семь неэквивалентных между собой типов, которые приведены на рис. 3.

¿Г= О е = 1 г= 0 е = 1 А

Ар (2 А

Аа02) А

■» <•-ч л* >

-1А 7

п = 0 '

АР (2<°0хху А

-А

Рис. 3. Инварианты Фоменко-Цишанга параболических топологических бильярдов, содержащих фокусы

Если пересечение внутренности параболического топологического бильярда А с фокальной прямой пусто, то инвариант Фоменко-Цишанга имеет вид А ————> А, когда бильярд А не содер-

Г=±,£= 1

жит конических точек, и вид А-> А, когда бильярд А содержит конические точки.

Теорема 3. Пусть параболический топологический бильярд А принадлежит серии О2 (т.е. не содержит фокусов). Тогда инвариант Фоменко-Цишанга — меченая молекула Ш*, описывающая топологию слоения Лиувилля изоэнергетической поверхности бильярда А, — имеет следующий вид (см. рис. 4):

молекула содержит одно или два нижних ребра (два ребра, если только бильярд гомеоморфен кольцу), эти ребра бесконечны: г = ж, е = ±1;

если бильярд гомеоморфен кольцу, то бифуркация на уровне интеграла р = 0 описывается атомом Сп, где п — это количество отрезков фокальной прямой, лежащих внутри всех областей О;

если бильярд односвязен, то бифуркация на уровне интеграла р = 0 описывается атомом Вп, где п — это количество отрезков фокальной прямой, лежащих внутри всех областей О, причем атом имеет столько звездочек, сколько конических точек типа х имеет бильярд А;

на верхних ребрах молекулы стоят метки г = 0, е = 1 или г = £ = 1, причем количество дробных меток в молекуле совпадает с количеством конических точек, имеющих тип у.

Рис. 4. Инварианты Фоменко-Цишанга параболических топологических бильярдов,

не содержащих фокусов

Замечание. Отметим, что число классов параболических топологических бильярдов меньше числа классов топологических бильярдов, ограниченных дугами софокусных эллипсов и гипербол. Однако список инвариантов Фоменко-Цишанга оказался не менее бедным. То есть для каждого слоения Лиувилля топологического бильярда, ограниченного софокусными эллипсами и гиперболами, можно подобрать параболический топологический бильярд с тем же инвариантом — слоением Лиувилля.

Доказательство. Пусть А — параболический топологический бильярд. Все граничные дуги элементарных бильярдов в его составе разбиваются на дуги парабол с отрицательным параметром р, с положительным параметром р и на отрезки вырожденной параболы (с параметром р = 0). Рассмотрим семейство парабол (1) как семейство софокусных эллипсов и гипербол, у которого левый фокус находится на бесконечности. Тогда дуги парабол с отрицательным значением параметра р (их ветви направлены вправо) являются дугами гипербол, а дуги парабол с положительными значением параметра р (их ветви направлены влево) — дугами эллипсов. Далее доказательство дословно повторяет доказательство для случая соответствующего топологического бильярда, ограниченного дугами эллипсов и гипербол [8, 9].

28

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2018. №4

Автор приносит благодарность А. Т. Фоменко за множество ценных замечаний и постоянное

внимание к работе, а также выражает признательность Е.В. Горушкиной за ряд полезных соображений.

Работа частично поддержана РФФИ (проект № 16-01-00378-а) и программой "Ведущие научные

школы РФ" (проект НШ 6399.2018.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.

2. Козлов В.В., Трещев Д.В. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991.

3. Фокичева В.В. Классификация биллиардных движений в областях, ограниченных софокусными параболами // Матем. сб. 2014. 205, № 8. 139-160.

4. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1, 2. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 1999.

5. Фоменко А.Т., Цишанг Х. О типичных топологических свойствах интегрируемых гамильтоновых систем // Изв. АН СССР. Матем. 1988. 52, № 2. 378-407.

6. Фоменко А. Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи матем. наук. 1989. 44, № 1(265). 145-173.

7. Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Матем. 1990. 54, № 3. 546-575.

8. Фокичева В.В. Описание особенностей системы бильярда в областях, ограниченных софокусными эллипсами и гиперболами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 4. 18-27.

9. Фокичева В.В. Топологическая классификация биллиардов в локально-плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матем. сб. 2015. 206, № 10. 127-176.

Поступила в редакцию 22.12.2017