CC BY
7СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Giambruno A., Zaicev М. Polynomial identities and asymptotic methods // Math. Surveys and Monogr. Vol. 122. Amer. Math. Soc. Providence, RI, 2005.
2. Фролова Ю.Ю., Шулежко О.В. Почти нильпотентные многообразия алгебр Лейбница // Прикл. дискрет, матем. 2015. № 2(28). 30-36.
3. Mishchenko S., Valenti A. An almost nilpotent variety of exponent 2 // Isr. J. Math. 2014. 199. 241-258.
4. Шулежко О.В. Новые свойства почти нильпотентного многообразия экспоненты два // Изв. Саратов, ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. 14, вып. 3. 316-320.
5. Мищенко С.П., Шулежко О.В. Почти нильпотентные многообразия любой целой экспоненты // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 2. 53-57.
6. Мищенко С.П., Шулежко О.В. О почти нильпотентных многообразиях в классе коммутативных метабе-левых алгебр // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественно-научная серия. 2015. № 3(125). 21-28.
7. Шулежко О. В. О почти нильпотентных многообразиях в различных классах линейных алгебр // Чебы-шёвский сборник. Т. 16. Вып. 1. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та, 2015. 67-88.
8. Зайцев М.В., Мищенко С.П. О кодлине многообразий линейных алгебр // Матем. заметки. 2006. 79, № 4. 553-559.
9. Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev М. Codimensions of algebras and growth functions // Adv. Math. 2008. 217. 1027-1052.
Поступила в редакцию 25.11.2015
УДК 517.938.5
ТОПОЛОГИЯ АНАЛОГА СЛУЧАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ КОВАЛЕВСКОЙ НА АЛГЕБРЕ ЛИ so(4) ПРИ НУЛЕВОЙ ПОСТОЯННОЙ ПЛОЩАДЕЙ
В. А. Кибкало1
Изучена топология пространства замыканий решений интегрируемой системы на алгебре Ли so(4), являющейся аналогом случая Ковалевской. Для этого вычислены инварианты Фоменко-Цишанга в случае нулевой постоянной площадей, классифицирующие изоэнергетические 3-поверхности и возникающие на них слоения Лиувилля.
Ключевые слова: интегрируемые гамильтоновы системы, инварианты Фоменко-Цишанга, изоэнергетическая поверхность.
We study the topology of the space of the solutions closure for the integrable system on the Lie algebra so(4) that is an analogue of the Kovalevskaya case. For this purpose Fomenko-Zieschang invariants are calculated in the case of zero area integral, which classify isoenergetic 3-surfaces and corresponding Liouville foliation on them.
Key words: integrable Hamiltonian system, Fomenko-Zieschang invariants, isoenergetic surface.
Цель работы — изучение топологии слоения Лиувилля, т.е. пространства замыканий решений системы для интегрируемого аналога случая Ковалевской на алгебре Ли so(4). Это исследование, позволяющее обнаружить эквивалентные и неэквивалентные интегрируемые системы, проводится в рамках теории А.Т. Фоменко классификации интегрируемых систем с помощью инварианта Фоменко-Цишанга. Основы этой теории были заложены в работах [1-4], подробное последовательное изложение ее ключевых результатов содержится в книге [5], ас важнейшими современными продвижениями в ее развитии можно ознакомиться, например, в работах [6-10].
Классический случай Ковалевской — один из самых известных интегрируемых случаев в динамике твердого тела, который изучался многими авторами с различных точек зрения. В частности,
1 Кибкало Владислав Александрович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: slava.kibkaloQgmail.com.
многие топологические свойства случая Ковалевской были разобраны в книге М. П. Харламова [11], а его тонкий лиувиллев анализ был проведен в работе A.B. Болсинова, П.Х. Рихтера, А.Т. Фоменко [12]. И. В. Комаровым в работе [13] показано, что случай Ковалевской можно вложить в одно-параметрическое семейство интегрируемых систем на пучке алгебр Ли so(3,l)-e(3)-so(4). В работе И. К. Козлова [14] для систем на алгебре Ли so(4) построены бифуркационные диаграммы отображения момента, найдены типы особых точек ранга 0, определены перестройки торов Лиувилля и круговые молекулы особых точек. В настоящей работе мы продолжим эти исследования и проведем тонкий лиувиллев анализ системы на алгебре Ли so(4) при нулевом значении постоянной площадей. Опишем кратко рассмотренную систему (более подробно это сделано в работе [14]).
Двойственное пространство ß* к любой конечномерной вещественной алгебре Ли g обладает естественной линейной скобкой Пуассона, называемой скобкой Ли-Пуассона и задаваемой формулой {f,g} = (x,[df\x, dg\x\). Здесь (•, •) — значение ковектора из д* на векторе из д, а через [•,•] обозначен коммутатор в алгебре Ли д. Как следствие любая гладкая функция Н на двойственном пространстве ß* определяет на нем динамическую систему, в линейных координатах х\,... ,хп заданную уравнениями Эйлера Xi = {xi,H}. Хорошо известно, что классический случай Ковалевской можно задать уравнениями Эйлера на алгебре Ли е(3) (см. [5]). И.В. Комаровым в [13] показано, что его можно следующим образом включить в однопараметрическое семейство интегрируемых гамильтоновых систем.
Рассмотрим пучок скобок Пуассона, заданный на вещественном шестимерном линейном пространстве R6 = R6(J,x) формулами {Ji,Jj} = eijkJk, {Ji,Xj} = eijkxk, {xi,xj} = xeijkJk, где Eijk — знак перестановки {123} —> {ijk}. При ж > 0 эта скобка соответствует скобке Ли-Пуассона алгебры Ли so(4), при ж = 0 — скобке Ли-Пуассона алгебры Ли е(3), а при ж < 0 — скобке алгебры Ли so(3,1).
Функцией Казимира скобки Пуассона называется функция, коммутирующая с любой другой функцией относительно данной скобки. Введенная выше скобка имеет две функции Казимира при любом ж € R, а именно f\ = х2 + жЗ2, /2 = (х, J), где через х и J обозначены трехмерные векторы (xi,x2,xs) и (Ji, J2, J3) соответственно, а через (•, •) евклидово скалярное произведение в R3.
При неособых значениях (а, Ъ) (в том числе при интересующих нас ж > 0, а > 0, b = 0) совместные поверхности уровня Ма>ь = {(J, x)|/i(J, х) = a, /2(J,x) = b} являются четырехмерными подмногообразиями в R6(J,x). Число b еще называют постоянной площадей.
Рассматриваемая ниже система на пучке алгебр задана гамильтонианом Н = J2+j|+2 jf+2ci:ci и интегралом К = (J2 — J| — 2с\Х\ + же2)2 + (2J\ J2 — 2с\Х2)2, здесь с\ — произвольная постоянная.
Изоэнергетическая поверхность Q^ — это подмножество в Ма ъ с Н = h = const. Согласно теореме Лиувилля, эта поверхность расслаивается на неособые торы и особые слои, соответствующие перестройкам торов Лиувилля (подробности см. в [5]). В работе [5] описаны понятия грубой молекулы изоэнергетической поверхности, допустимых базисов, матриц склейки и инварианта Фоменко-Цишанга. Если кратко, то грубая молекула — это граф, отражающий, из каких составных частей может быть "склеена" Q^. Допустимый базис — система двух базисных циклов на торе Лиувилля, удовлетворяющая некоторым условиям. Матрица склейки — матрица перехода от одного допустимого базиса к другому. По матрицам склейки можно посчитать числа, называемые метками (г, е, п). Они определяются однозначно. Грубая молекула с метками называется меченой молекулой. Теорема Фоменко-Цишанга утверждает, что поверхность и слоение Лиувилля полностью определяются меченой молекулой и последняя не зависит от замен допустимых координат. Меченые молекулы системы также называются инвариантами Фоменко-Цишанга.
Обозначим подобласти области луча а > 0, b = 0 следующим образом:
В [14] областями X и XI назывались объединения Х1 с Х2 и X11 с Х1-2 соответственно, областью XII обозначен тот же промежуток, что и в настоящей работе. На рис. 1, а в изображены следующие бифуркационные диаграммы: а соответствует X, б — XI, в — XII, а на рис. 1, г приведен увеличенный фрагмент диаграммы в.
Следующая лемма — развитие результата работы [14].
(Ж2С2ЪАЖ2С\) ^Х2, (4х2С?,+ОО) - XI.
Н
Рис. 1. Бифуркационные диаграммы отображения момента
Лемма. Особые •точки бифуркациошюй диаграммы следующим образом расположены в порядке увеличения их координаты, Н в зависимости от промежутка на оси а:
yi,y4,y2,z7,ys,z5,z2,zi Xi; уь у4, у2, Уз, z7, z5, z2, Zi X2;
yi,y4,Z7,y2,Z8,Z10,Z1 XIi; у i, у 4, Z7, Zg, у 2, Z\Q, Z\ XI2; У1, У4, Z7, z8, Zg XII. Доказательство. Координаты точек Zi yj были найдены в работе [14]:
h{yi) =-2y/aci, h{y2) = h{y3) = 2y/aci, h{yA) = 0,
, / n 2a , . . 2а, 1 . . 2 a , , N a
h\z l) = —z—I--, h{Z2) = —, h(z5) = xc1 + -, h(z7) = —,
l к к к к
(zs) = —, h(zg) = 2л/ас\, h,(zw) = 2s/a,ci. к
Далее .лемма доказывается прямым вычислением. □
Прообразом каждой неособой прямой Н = h = const является некоторая изоэнерх'етическая поверхность. Изоэнерх'етическим поверхностям, расположенным между двумя соседними особыми точками бифуркационной диаграммы, соответствует одна и та же меченая молекула. При переходе через особую точку она может измениться. Таким образом, например, области Xi соответствует
набор из семи разных моченых молекул. Пронумеруем меченые молекулы, полученные при различных значениях а, обозначим их буквами Мь... ,Мц. Далее укажем для каждого промежутка упорядоченный но возрастанию Н набор меченых молекул, соответствующий ему:
Мь М>. М3, М8, М5, М6, М7 - X,: Мь М>. М3, М4, М5, М6, М7 - Х2;
Мь М>. М9, М8, Мю, М7 - XI,: Мь М2, М9, М1Ь М8, М7 - Х12;
Мь М2, М9, МЦ — XII.
Основной результат работы может быть (.-.формулирован следующим образом.
Теорема 1. Полный список инвариантов Фоменко-Цишанга для случая Ковалевской на алгебре Ли во(4) при пулевой постоянной площадей приведен на рис. 2. При различных .значениях интеграла а и энергии Н существует 9 неэквивалентных слоений Лиувилля.
Рис. 2. Молекулы изоэнергетических поверхностей
Доказательство. Грубые молекулы строятся исходя из леммы, в системе при 6 = 0 встречаются атомы А, А*, В, С2.
Для отыскания инвариантов Фоменко-Цишанга системы на каждой дуге бифуркационной диаграммы фиксируем допустимый базис на торах Лиувилля, достаточно близких к прообразам дуг. После этого меченые молекулы всех изоэнергетических поверхностей несложно построить, написав матрицы перехода между базисами для произвольной вертикальной прямой в координатах (Н,К), пересекающей дуги бифуркационной диаграммы и не проходящей через особые точки последней (вид диаграммы в зависимости от значения параметра а приведен на рис. 1, а-в).
Для всех дуг диаграммы, у которых хотя бы одна из граничных точек является точкой у^, т.е. имеется на диаграмме классического случая Ковалевской, базисы описаны в [12]. Для дуг вида — новых дуг — допустимые базисы несложно построить, выразив векторы этого базиса через однозначно определенные циклы бифуркаций, иначе называемые А-циклами. Достаточно воспользоваться известной информацией о структуре невырожденных особенностей ранга 0 и вырожденных точек — образов вырожденных одномерных орбит. Определение и свойства этих особенностей и правила выбора допустимых базисов подробно описаны в [5, 12]. В прообразе точек 21,27,29 лежат точки тина центр-центр, в прообразе точек 25,210 — точки тина центр-седло. В прообразе точки 22 лежит бифуркация эллиптического удвоения периода, в прообразе 2§ — эллиптическая вилка. Возьмем в качестве примера дугу 2527: у круговой молекулы 25 все метки г = оо, поэтому А-цикл дуги 2527 должен совпасть с А-циклом для дуги 2/325 с точностью до знака, а у круговой молекулы
точки Zj метка г = 0, поэтому в качестве второго цикла допустимого базиса для дуги z^zj можно взять Л-цикл для дуги y^zj с точностью до знака. Знаки определяются из условия, что для точки Zj матрица склейки должна иметь определитель, равный 1, и метку е = 1. Аналогично находятся допустимые базисы для остальных ребер. Теорема 1 доказана. □
Замечание 1. На рис. 2 все молекулы симметричны относительно вертикальной оси симметрии, поэтому метки и матрицы перехода у "левых" и "правых" ребер молекулы одинаковы. Для краткости на одном ребре укажем метки, на другом — матрицы склейки.
Замечание 2. Молекулы М\, Mj, Мц отличаются только меткой е. Они переходят друг в друга при замене ориентации на изоэнергетической поверхности. Все остальные молекулы попарно неэквивалентны.
Отметим, что некоторые из найденных молекул встречались ранее в других интегрируемых системах, а именно верна следующая теорема.
Теорема 2. Молекулы М\, Ms, М4 для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) при нулевой постоянной площадей совпадают с мечеными молекулами А, С, D соответственно для, классического случая Ковалевской при нулевой постоянной площадей [12]. Молекула соответствует меченой молекуле В в случае Соколова в обозначениях работы П. В. Морозова [15]. Молекула М4 соответствует молекуле I13 в случае Ковалевской-Яхьи в работе Н. С. Славиной [16] и молекуле F — в случае Соколова [15]. Как следствие из теоремы Фоменко Цишанга указанные системы лиувиллево эквивалентны при соответствующих значениях энергии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фоменко А. Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307.
2. Фоменко А.Т., Цишанг X. О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике // Докл. АН СССР. 1987. 294, № 2. 283-287.
3. Matveev S. V., Fomenko А.Т. Constant energy surfaces of Hamiltonian systems, enumeration of three-dimensional manifolds in increasing order of complexity, and computation of volumes of closed hyperbolic manifolds // Rus. Math. Surveys. 1988. 43, N 1. 3-24.
4. Фоменко А. Т., Цишанг X. О типичных топологических свойствах интегрируемых гамильтоновых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. 52, № 2. 378-407.
5. Болеинов A.B., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Ижевск: Изд. дом "Удмуртский университет", 1999.
6. Fomenko А. Т., Nikolaenko S.S. The Chaplygin case in dynamics of a rigid body in fluid is orbitally equivalent to the Euler case in rigid body dynamics and to the Jacobi problem about geodesies on the ellipsoid //J. Geom. and Phys. 2015. 87. 115-133.
7. Fomenko А. Т., Konyaev A.Yu. Algebra and geometry through Hamiltonian systems // Continuous and distributed systems. Theory and applications. Ser. Solid Mechanics and Its Applications/ Ed. by V.Z. Zgurovsky, V.A. Sadovnichiy. Vol. 211. Cham: Springer, 2014. 3-21.
8. Fomenko А.Т., Konyaev A.Yu. New approach to symmetries and singularities in integrable Hamiltonian systems// Topol. and its Appl. 2012. 159. 1964-1975.
9. Кудрявцева E.A., Фоменко А. Т. Группы симметрий правильных функций Морса на поверхностях // Докл. РАН. Сер. матем. 2012. 446, № 6. 615-617.
10. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия// Матем. сб. 2008. 199, № 9. 3-96.
11. Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Л.: Изд-во ЛГУ, 1988.
12. Болеинов A.B., Рихтер П.Х., Фоменко А. Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской // Матем. сб. 2000. 191, № 2. 3-42.
13. Комаров И.В. Базис Ковалевской для атома водорода // Теор. и матем. физ. 1981. 47, № 1. 67-72.
14. Козлов И.К. Топология слоения Лиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) // Матем. сб. 2014. 205, № 4. 79-120.
15. Морозов П.В. Топология слоений Лиувилля случаев интегрируемости Стеклова и Соколова уравнений Кирхгофа //Матем. сб. 2004. 195, № 3. 69-114.
16. Славина Н.С. Топологическая классификация систем типа Ковалевской-Яхьи //Матем. сб. 2014. 205, № 1. 105-160.
Поступила в редакцию 27.05.2015
