CC BY
1120. Taberski R. Differences, moduli and derivatives of fractional orders // Comment. Math. Prace Mat. 1976/77. 19, N 2. 389-400.
21. Потапов M.K., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Модули гладкости дробных порядков. Ч. II. М.: Изд-во Попечительского Совета мех.-мат. ф-та МГУ, 2015. 1-104.
22. Потапов М.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Дробные модули гладкости. М.: Макс Пресс, 2016.
Поступила в редакцию 19.10.2016
УДК 514.7, 514.8
ЛИУВИЛЛЕВА КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОТОКОВ НА ТОРЕ ВРАЩЕНИЯ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ
Д. С. Тимонина1
Получена лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на торе с потенциалом в случае линейного интеграла на основе вычисления инвариантов Фоменко-Цишанга (меченых молекул) исследуемых систем. Описаны всевозможные виды бифуркационных кривых и получена классификация особенностей решений системы.
Ключевые слова: интегрируемые гамильтоновы системы, геодезический поток, поверхность вращения, инвариант Фоменко-Цишанга, тор.
A Liouville classification of integrable Hamiltonian systems being geodesic flows on a 2-dimensional torus of revolution in an invariant potential field in the case of linear integral is obtained. This classification is obtained using the Fomenko-Zieschang invariant (marked molecules) of studied systems. All types of bifurcation curves are described. A classification of singularities of the system solutions is also obtained.
Key words: integrable Hamiltonian systems, geodesic flow, surfaces of revolution, Fomenko-Zieschang invariant, torus.
1. Введение. Теории лиувиллевой классификации интегрируемых гамильтоновых систем, созданной А. Т. Фоменко и его школой (см. [1]), посвящено много работ. Суть теории А. Т. Фоменко заключается в том, что интегрируемой системе с двумя степенями свободы, ограниченной на трехмерное неособое компактное изоэнергетическое многообразие, сопоставляется некоторый инвариант, имеющий структуру графа с числовыми метками. С помощью этого инварианта, называемого меченой молекулой или инвариантом Фоменко-Цишанга, можно получить полное описание (с точностью до послойной эквивалентности) слоения Лиувилля данной системы на изоэнергетических поверхностях.
Е. Н. Селивановой получена лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на торе (см. [1, т. 2, §3.1]), Т. 3. Нгуеном, Л. С. Поляковой и В. С. Матвеевым — на двумерной сфере (см. [1, т. 2, §3.3]). Е.О. Кантонистова (см. [2]) продолжила их работу и построила полную классификацию интегрируемых геодезических потоков на многообразиях вращения с потенциалом в случае линейного интеграла.
В настоящей работе обобщена теорема Е. Н Селивановой: получена лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на торе с потенциалом в случае линейного интеграла на основе вычисления инвариантов Фоменко-Цишанга (меченых молекул) исследуемых систем (подробнее см. теоремы 2, 3).
Основы теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем, а также ее приложения к исследованию механических систем подробно изложены в работах [3-14].
2. Постановка задачи. Опишем задачу, результаты решения которой приведены в настоящей работе.
1 Тимонина Дарья Сергеевна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: darik93Qyandex .ru.
18 ВМУ, математика, механика, № 3
Определение 1. Многообразие М с заданной на нем метрикой д называется многообразием вращения с метрикой вращения, если определено эффективное действие окружности 51 на М изо-метриями.
Рассмотрим риманово многообразие М, диффеоморфное двумерному тору (М = Т2), со стандартными угловыми координатами € М/2-/г^, в € и метрику д следующего вида:
¿в2 = Лв2 + р{в)^2, (1)
где /(в) : М/2-/г^ —>■ М — гладкая положительная функция.
Замечание. Многообразие М = Т2 с определенной на нем метрикой (1) — многообразие вращения с метрикой вращения.
Рассмотрим натуральную механическую систему на кокасательном расслоении I М к М со стандартной симплектической структурой со = ёр А ёд и функцией Гамильтона
Н = \дг]ШгР3 + У(ч), (2)
где д = (д1,«?2) — локальные координаты на М = Т2, р = {р1,р2) — соответствующие импульсы, т.е. координаты в Т*М, а дгз — матрица, обратная к матрице метрики д.
Утверждение 1. Гамильтонова система с гамильтонианом (2) на многообразии вращения М = Т2 для всех пар функций (/(0), У{9)) является вполне интегрируемой в смысле Лиувилля. Доказательство. Система имеет два первых интеграла: интеграл энергии
и дополнительный первый интеграл К = р^ (так как = —Щ; = 0). Утверждение доказано.
Цель настоящей работы — классифицировать указанные системы с точностью до лиувилле-вой эквивалентности, в частности описать все возможные типы бифуркационных кривых, а также построить грубые молекулы системы и вычислить метки на них. 3. Результаты работы.
3.1. Бифуркационная диаграмма отображения момента.
Утверждение 2. Натуральная механическая система на многообразии М = Т2, такая, что (/'(0))2 + (У(в))2 ф 0; имеет особые точки <£>) = (0,к(в),в,^р) ранга 1, где к{в) :=
6 £ I и {6 : У(9) = 0}; (р € I — открытое подмножество задавае-
мое неравенством, У{в)$'{в) > 0 (и состоящее из конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов = {в\,вг2)). На любом конце любого интервала и выполнено У{в)$'{в) = 0. Точек ранга 0 рассматриваемая система не имеет.
Бифуркационная диаграмм,а симметрична относительно оси Ъ. Она состоит из кривых, являющихся образом, отображения момента семейства точек ранга 1 и допускающих параметризацию вида
где парам,етр в € 1и{0 : У(в) = 0}. Эти параметризованные кривые состоят из точек и, конечного или счетного числа дуг, где на (2г — 1)-й и (2г)-й дугах, г = 1, 2,... (эти дуги отличаются только знаком к (в)), парам, етр в пробегает интервал
Доказательство. Явный вид точек ранга 1 вытекает из условия линейной зависимости с1Н и
ас! Н + Ьйр^ = 0,
где а2 + Ъ2 ф 0. Утверждение доказано.
Лемма 1. При, к > 0 вектор скорости в точках бифуркационной кривой, лежит либо в первой четверти координатной плоскости {к, к), л,ибо в третьей четверти, либо равен нулю.
Доказательство. Доказательство леммы аналогично доказательству соответствующей леммы Е.О. Кантонистовой для случая сферы (см. [2]).
Определение 2. Будем говорить, что кривая 7 имеет особенность типа "невырожденная точка возврата" в точке 9*, если 7'(в*) = 0 и векторы 7//;(в*) ии:= неколлинеарны.
Нетрудно проверить, что в этом случае Нт^^ |у(е*)| = |У(0*)1 =
Теперь докажем, что все нерегулярные точки бифуркационных кривых — это невырожденные точки возврата и только они. Для этого напомним определение невырожденной точки. Пусть х — критическая точка ранга 1 отображения момента. Пусть с\К(х) ф 0. Тогда по теореме Дарбу в окрестности точки х существует каноническая система координат (рг, дг,Р2, <12), где К = р\. Поскольку К и Н коммутируют, то функция Н не зависит от д\, т.е. Н = Н(р\,р2, 52)• Точка х — критическая точка отображения момента, поэтому = = 0. Определение 3. Пусть Н и К — гамильтониан и дополнительный интеграл системы соответственно. Особая точка х ранга 1 отображения момента, такая, что <1К ф 0, называется невырожденной, если в некоторых симплектических координатах матрица
/ д2Н д2Н
р2др2 dp2dq2 д2Н д2Н
\ dp2dq2 dq2dq2
j ,= др2др2 dp2dq2
не вырождена в точке х.
Применим определение 3 к нашему случаю. Система обладает каноническими координатами (p0,pv,e,Lp) указанного вида, поэтому
/1 о \ d2W
|J| =det Jg = det ^ = —^
\ дродв двдв ) \и д2в )
гmWPip{e) :=J0^ + V(e).
Лемма 2. Для любого в € U следующие условия равносильны:
1) особая точка (0,k(9),9,tp) ранга 1 отображения, момента не вырождена;
2) параметризованная бифуркационная кривая регулярна в точке в;
3) число к'(в) отлично от нуля;
4) точка в является морсовской критической точкой функции т.е. число отлично от нуля, где
„ , , (з/W - f(o)f"(o)) v'{p) К[в)(в) = /(в)г(в) + у {в)-
Доказательство. Импликация 1 => 2 верна (см. [1, т. 1, с. 48]).
Импликация 3 4 проверяется прямым вычислением. Импликация 3 => 2 очевидна. Импликация 4 1 следует из определения 3. Импликация 2 => 3 проверяется прямым вычислением. Лемма доказана.
Лемма 3. Для любого интервала U следующие условия равносильны:
1) функция к(в) является морсовской на
2) в любой критической точке во функции к(в) на U выполнены следующие условия:
W'k(e о)(0о) = О, W"KOo)W = 0, Ж"'к{во)(9о)ф0-,
3) любая нерегулярная точка в дуги бифуркационной кривой, параметризованной интервалом Ii, является невырожденной точкой возврата.
Доказательство. Доказательство леммы аналогично доказательству соответствующей леммы Е. О. Кантонистовой для случая сферы (см. [2]).
Приведем только идею доказательства эквивалентности условий 2 и 3. Согласно определению 2 точка во является невырожденной точкой возврата параметрически заданной кривой (h(9),k(9)) тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
Ы{во) = о, к'(во) = 0, h'"{0o)к"(во) - ¡1"{во)к'"{во) ф 0.
Прямым вычислением проверяется, что эти условия эквивалентны условиям 3.
Определение 4. Дугой тина "парабола" называется симметричная относительно оси /г непрерывная дуга, которая имеет одну точку, лежащую на оси /г, состоит из гладких поддуг, разделенных точками возврата (точек возврата может не быть), и уходит на плюс бесконечность но обеим координатам в верхней полуплоскости. Вектор скорости этих поддуг лежит либо в первой, либо в третьей четверти координатной плоскости.
Определение 5. Дугой типа "лунка" называется симметричная относительно оси /г замкнутая непрерывная дуга, которая имеет две точки, лежащие на оси /г, и состоит из гладких поддуг, разделенных точками возврата. Вектор скорости этих поддуг лежит либо в первой, либо в третьей четверти координатной плоскости.
Определение 6. Дугой типа "клюв" называется непрерывная дуга, которая состоит из гладких поддуг, разделенных точками возврата, и оба конца которой уходят на плюс бесконечность по обеим координатам в верхней полуплоскости. Вектор скорости этих поддуг лежит либо в первой, либо в третьей четверти координатной плоскости.
Примеры дуг, описанных в определениях 4, 5, 6, показаны на рис. 1, а, <2; Ь, е; с, / соответственно.
Рис. 1
Теорема 1. Пусть натуральная .механическая, система на, многообразии М = Т2 задана, парой функций {¡{д),У(в)), в € Пусть выполнены, условия:
1) /($)> к (в) функции Морса.
2) (гт2 + (у>т2ф о.
Пусть I открытое подмножество М/27г2, задаваемое неравенством У(в)/'(в) > 0 и состоящее из попарно непересекающихся интервалов =
Тогда, верны, следующие утверждения:
1) параметризованная бифуркационная, дуга, регулярна, в окрестности любого конца, любого интервала, ;
2) параметризованная бифуркационная, дуга, не и,меет, точек накопления, нерегулярных точек, и каждая, ее нерегулярная, точка является, невырожденной точкой возврата:
3) в точках в = в^, где У(в) = 0. бифуркационные дуги гладкие;
4) бифуркационная, диаграмма состоит из точек и дуг трех типов "пара,болы,", "клюва", "лунки'':
a) если /' = /' (#2) = 0, то дуга,, па;ра,.метризованная, интервалом имеет, тип "клюв";
b) если /' (в\) = V' (62) = 0 (или /' = V' (в\) = 0). т,о дуга,, параметризованная интервалом, 1г, является, половинкой "параболы";
с) если V' (9\) = V' = 0. то дуга,, параметризованная интервалом является, половинкой "лунки''.
Доказательство. Доказательство теоремы 1 аналогично доказательству соответствующей теоремы Е.О. Кантонистовой для случая сферы (см. [2|). Поэтому приведем доказательство только пп. 1, 4.
1) Так как
т =
у\в) (з г2(в)пв)2 - /\в)г\в)) + f3w"(Q)m и'{в)?
то к'(в) не стремится к нулю при 9 —> 9^ (поскольку на любом конце любого интервала ($1,^2)
выполнено У(в)/'(в) = 0, (/'(9))2 + (У(9))2 ф 0).
4) Пусть на конце интервала ($1,^2) выполнено /' (9\) = /' = 0. Тогда при 9 —> 9\
оо, к(9) —> оо, следовательно, параметризованная интервалом
ЧЛ)
дуга имеет тип
У2 J имеем дуга есть
9\ имеем
Рис. 2
имеем h(9) "клюв".
Пусть на конце интервала (в\, 9^) выполнено V' (9\) = V' = 0. Тогда при 9 h(d)—> V (в\) {V (в^)) , к (в) 0, следовательно, параметризованная интервалом ( половинка "лунки".
Пусть на конце интервала ($1,^2) выполнено /' (9\) = V' = 0. Тогда при 9 h(d)—> 00, к (в) —> оо, а при 9 —>■ 9\ имеем h(d)—> V (в^) , к (в) —> 0, следовательно, параметризованная интервалом (91,91) Д.Уга ссть половинка "параболы" . (Аналогично для /' (9\) = V' (9\) = 0.)
3.2. Построение грубой молекулы. Построим грубую молекулу описанной системы.
Утверждение 3. Изоэнергетическая, поверхность Q^ является, неособой тогда, и только тогда, когда, h ф V(9i), где V'(9i) = 0.
Лемма 4. Функция, К является, функцией Ботта, на, неособой изоэнергетической поверхности тогда и только тогда, когда, функция, Uh(9) := 2 f2(9) (h — V(9)), называем,ая, эффективным, •потенциалом, является, функцией Морса.
Замечание. Если Q^ неособая изоэнергетическая поверхность, то К является функцией Ботта на ней тогда и только тогда, когда прямая h = const на бифуркационной диаграмме не проходит через точки возврата.
Приведем определения некоторых 3-атомов
1. 3-атом А. Топологически этот 3-атом представляет собой полноторие, расслоенное на концентрические торы, сжимающиеся на ось полнотория.
2. 3-атом Vs (s ^ 2, V2 = В). Этот 3-атом является прямым произведением 2-атома, изображенного на рис. 2, и окружности S1. Слоение Лиувилля естественным образом индуцируется с 2-атома.
3. 3-атом Рт (т ^ 1,Р\ = В). Этот 3-атом является прямым произведением 2-атома, изображенного на рис. 3, и окружности S1. Слоение Лиувилля естественным образом индуцируется с 2-атома.
Лемма 5. Пусть Q С Q^ связная, компонента, неособой изоэнергетической поверхности, на, которой интеграл К функция, Ботта. Тогда, грубая, молекула, соответствующая, Q, м.ожет содержать атомы, только •трех видов: Vs (s ^ 2), Рт (т ^ 1), А. При этом, в случае К > 0 входящее ребро для, каждого атом,a, Vs одно, а, исходящих s ребер, для, атом,а, Рт входящих ребер два, а, исходящих т (при К < 0 картина, антисимметрична, т.е. для, каждого атом,a, Vs входящих ребер s, а, исходящее одно, для, атом,а, Рт входящих ребер т, а, исходящих два). Сама, молекула, без учета, ориентации слшметрична.
Доказательство. Фиксируем значение двух интегралов II = h, К = к. Получим такие точки (рв, к, 9, <р), (р € R/2-/rZ, на Т*М, которые удовлетворяют уравнению
Рис. 3
Р2в
+
к2 2р(9)
+ У(9) = /?,
Перепишем уравнение в виде
Ре = ±
1
т
- К2,
Рис. 4
1де периодическая (с периодом 2ж) функция 1^(9) := 2/2(9) (/г— У(9)) называется эффективным потенциалом.
На каждом отрезке [9\]в-2], таком, что 1^(9) — к2 ^ 0, множество рв(9) .либо точка, .либо окружность, .либо разомкнутая цепь окружностей, .либо замкнутая цепь окружностей (рис. 4). При этом, меняя значение к, видим, что окрестности этих особых слоев соответствуют 2-атомам, изображенным на рис. 2 и 3. Следовательно, получаем, что бифуркационным дугам соответствует либо атом А, либо атом У3 (где У2 = В), либо атом Рт (где Р\ = В, = С-2 ), а прообразами точек отображения момента, не принадлежащих бифуркационным дугам, является один или несколько торов Лиувилля. В случае, когда выражение 1^(9) — к2 положительно для любого значения в, прообразом точки (/?,, к) являются два тора.
Таким образом, непрерывно изменяя значение второго первого интеграла к, можем согласно следующему алгоритму построить грубую молекулу по графику функции 17^(9).
1. Строим график функции 17^(9) и проводим горизонтальные линии, соответствующие разным значениям к2. Тем отрезкам этих прямых, которые оказались строго "ниже" графика функции 1^(9), соответствуют торы Лиувилля (каждому отрезку один тор, за исключением того случая, когда график функции 17^(9) положителен на всей области определения. Тогда отрезкам, проходящим ниже глобального минимума функции 17^(9), соответствуют два тора Лиувилля).
2. Если функция 1^(9) положительна на всей области определения, то отрезку, проходящему через глобальный минимум 1^(9), соответствует атом Рт. Иначе атома Рт (т > 1) в молекуле нет. Если функция 1^(9) принимает отрицательные значения, то (¿^ может иметь несколько компонент связности, иначе (¿^ связное многообразие.
3. Рассмотрим одну компоненту связности СЦ^. Каждому отрезку, проходящему через локальный^?) минимум(ы) функции 17^(9), соответствует атом V/, где (I — 1) число локальных минимумов, через которые этот отрезок проходит.
4. Каждому локальному максимуму функции 17^(9) соответствует атом А.
Таким образом строим половину грубой молекулы связной компоненты СВторая половина симметрична. Лемма доказана.
Лемма 6. Пусть СЦ С С^^ связная компонента неособой энергетической поверхности, на, которой К функция, Ботта. Тогда, значению К = 0 не может соответствовать бифуркация, •торов Лиувилля, (т.е. 0 не критическое значение функции К).
Теорема 2. Пусть система на, многообразии вращения М = Т2 задана, парой функций (У(9), ¡{9)). Пусть <3 С связная, компонента, неособой изоэнергетической поверхности, на, ко-
торой К функция, Ботта. Тогда, молекула, системы, симметрична (без учета, ориентации на, ребрах) относительно оси /г, а, ориентация, на, ребра,х задается, в сторону возрастания к. Молекула, в зависимости от графика эффективного потенциала, может им.еть следующий вид:
1) если функция, 17^(9) положительна, на, всей области определения, то Ш = Рт = Рт = где '"'=" обозначает т торов Лиувилля. Число т равно числу глобальных минимумов функции 1^(9). При этом, (¿^ и,м,еет, всего одну компоненту связности;,
2) если функция, 17^(9) принимает отрицательные значения, то соответствующая С} молекула, и,м,еет, вид Ш — Ш. При этом, число компонент связности многообразия (¿^ равно половине количества, раз, которое график функции 17^(9) пересекает, ось 17^(9) = 0 (т.е. каждому такому отрезку [9г,9^\, на, котором, 1^(9) ^ 0. соответствует одна, компонента, связности С,
Здесь каждая, молекула, }¥ это либо один атом, А, либо дерево, либо лес. Все неконцевые вершины дерева, это атомы, Уг, а, концевые вершины имеют тип А. При этом, в случае К > 0 входящее ребро для, каждого атом,а, У одно, а, исходящих I ребер (при К < 0 картина, анти-слшметрична, т.е.. без учета, ориентации на, ребрах молекула, слшметрична относительно уровня, К = 0. а, ориентации на, кусках = \¥(К > 0) и И7- = \¥(К < 0) противоположны).
Построение грубой молекулы по графику функции 1/ь(0) осуществляется с помощью описанного выше алгоритма.
Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из лемм 5, 6.
Лемма 7. Рассмотрим полуплоскость к > 0. В окрестмост,и точки возврата регулярный участок бифуркационной кривой, состоящий из точек, отвечающих атому А, лежит выше регулярного участка бифуркационной кривой, состоящего из точек, отвечающих атомам V}. и Рт. В полуплоскости к < 0 картина антисимметрична, т.е. в окрестмост,и точки возврата регулярный участок бифуркационной кривой, состоящий из точек, отвечающих атому А, лежит ниже регулярного участка бифуркационной кривой, состоящего из точек, отвечающих атомам V}. и Рт.
Доказательство. Утверждение леммы следует из того, что локальный минимум эффективного потенциала (ему могут отвечать атомы У^ и Рт) лежит ниже соседнего локального максимума (отвечает атом А).
Утверждение 4. Пусть С} — связная компонента, неособой изоэнергетической поверхности
Разрежем ее на две части вдоль поверхности, К = 0. Тогда она распадется на два связных куска, каждый, из которых является полноторием, если Ъ < тахУ(0); или на две по-
верхности Т2 х И1, если Ъ > такУ(в).
Доказательство. Разрежем все (¿^ вдоль поверхности К = 0. Рассмотрим тот кусок на котором р<р ^ 0. Он задается системой
откуда получаем требуемое.
3.3. Вычисление меток. Грубая молекула содержит много информации о структуре слоения Лиувилля, однако эта информация не полна в том смысле, что молекула не определяет диффео-морфный тип многообразия Q^, а тем более слоения Лиувилля на нем (с точностью до послойного диффеоморфизма). Поэтому необходимо добавить информацию о склейке отдельных атомов, которую несут в себе метки (подробнее см. [1]).
Теорема 3. Пусть Q3, — связная компонент,а неособой изоэнергетической поверности Q\. Тогда для, молекулы системы, соответствующей Q3, имеют место следующие утверждения:
1) метки на ребрах типа A — Vi молекулы г = 0, е = 1;
2) метки на ребрах типа А — Рк молекулы г = 0, е = 1;
3) метки на ребрах типа Vk — Vi молекулы г = оо, е = 1, где оба седловых атома находятся в одной, полуплоскости (к > 0 или, к < 0);
4) метки на ребрах типа Рк — Vi молекулы г = оо, е = 1;
5) если, грубая молекула имеет вид А — А, то метки на ребре молекулы г = оо, е = +1;
6) метки на центральном ребре (Рт — Рт или, Vs — Vs в зависим,ост,и, от, вида грубой молекулы) молекулы г = оо, е = —1;
7) если, молекула от,лично, от, А — А, то молекула имеет единственную семью, получаемую отбрасыванием всех атомов А. Метка п в этом случае равна нулю.
Доказательство. Для вычисления меток нам необходимо выбрать допустимые системы координат на граничных торах атомов. Напомним правила их выбора. Пусть 3-атом имеет тип А, т.е. является полноторием. Тогда в качестве первого базисного цикла Л возьмем меридиан полното-рия, т.е. цикл, стягивающийся в точку внутри полнотория. В нашем случае
В качестве второго цикла можно взять любой цикл ¡л, дополняющий Л до базиса. Возьмем слой, задаваемый следующим образом: {pg = const, pv = const, в = const, (р € Rmod27rZ} — слой слоения Зейферта (его ориентация определяется естественным образом ориентацией гамильтонова векторного потока на критической окружности).
Преобразуем ее к виду
рв = ±—— y/Uh(0) - fc2,^ = const, б1 € [0i, в2],<р = const
Пусть 3-атом является седловым (Vi или Рт). Он имеет структуру тривиального ¿^-расслоения над 2-атомом. Тогда в качестве первого базисного цикла Л берем слой этого расслоения. В нашем случае
{рв = const, pv = const, в = const, ср <Е Rmod27rZ} .
Теперь рассмотрим сечение 3-атома, над которым этот атом представим как тривиальное S*1-расслоение. Оно высекает на каждом граничном торе некоторый цикл, который и возьмем в качестве второго базисного цикла ц. В нашем случае это будет либо цикл
|Рв = ±ущ\/иь(0) - к2,pip = const, б1 € \0\, О2], (р = const| ,
либо цикл
{ре = const, pv = const, в € Rmod27rZ, ip = const}
в зависимости от атома (Vi или Рт) и граничного тора.
Заметим, что ф = f2(d)pv. Следовательно, если два атома одновременно лежат выше уровня к = 0 (или одновременно ниже этого уровня), то производная угловой координаты <р вдоль векторного поля sgradii имеет один и тот же знак и, значит, ориентации циклов
{ре = const, pv = const, в = const, (р € Rmod27rZ}
этих атомов будут совпадать. Иначе эти циклы будут иметь противоположную ориентацию.
Выпишем матрицу склейки на ребре А — Vi. Так как второй базисный цикл около атома А совпадает с первым базисным циклом около атома Vi и эти атомы лежат в одной полуплоскости (к > 0 или к < 0), то матрица склейки будет иметь вид
Следовательно, г = 0, е = 1.
Остальные матрицы склейки выписываются аналогично.
Если молекула W — W отлична от А — А, то молекула имеет единственную семью, получаемую отбрасыванием всех атомов А. Метка п в этом случае равна нулю, так как все 9i (из определения метки п) оказываются равными нулю. Теорема доказана.
Следствие. В случае, когда грубая молекула, соответствующая Q3, имеет вид А — А, выполняется Q3 = S1 х S2.
Автор приносит благодарность А. Т. Фоменко за постановку задачи, А. А. Ошемкову и Е. О. Кан-тонистовой за многочисленные и важные обсуждения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болсинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоиовы системы. Т. 1, 2. Ижевск: Удмуртский университет, 1999.
2. Кантонистова Е. О. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на поверхностях вращения в потенциальном поле // Матем. сб. 2016. 207, № 3. 47^92.
3. Фоменко А. Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи матем. наук. 1989. 44, вып. 1 (265). 145-173.
4. Болсинов А.В., Фоменко А. Т. Траекторная классификация геодезических потоков на двумерных эллипсоидах. Задача Якоби траекторно эквивалентна интегрируемому случаю Эйлера в динамике твердого тела // Функц. анализ и его прил. 1995. 29, вып. 3. 1-15.
5. Bolsinov А. V., Fomenko А. Т. Integrable Hamiltonian systems. Geometry, topology, classification // CHAPMAN and HALL/CRC. Boca Ratón; L.; N.Y.; Washington, D.C. USA: A CRC Press Company, 2004.
6. Фоменко А. Т. Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. 55, вып. 4. 747-779.
7. Фоменко А. Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анализ и его прил. 1991. 25, вып. 4. 23-25.
8. Fomenko А. Т., Morozov P. V. Some new results in topological classification of integrable systems in rigid body dynamics // Proc. Workshop "Contemporary geometry and related topics". Belgrade, Yugoslavia, 15-21 May 2002. Belgrade: World Scientific Publishing Co., 2004. 201-222.
9. Bolsinov A. V., Fomenko А.Т., Oshemkov A.A. Topological methods in the theory of integrable Hamiltonian systems. Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2006.
10. Кудрявцева E.A., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, вып. 9. 3-96.
11. Кудрявцева Е.А., Фоменко А.Т. Группы симметрии правильных функций Морса на поверхностях // Докл. РАН. Сер. матем. 2012. 446, вып. 6. 615-617.
12. Konyaev A. Yu., Fomenko А.Т. Algebra and geometry through Hamiltonian systems // Continuous and disturbed systems. Theory and applications. Vol. 211 / Ed. by V.Z. Zgurovsky, V.A. Sadovnichiy. Springer, 2014. 3-21.
13. Фокичева B.B., Фоменко А. Т. Интегрируемые биллиарды моделируют важные интегрируемые случаи динамики твердого тела // Докл. РАН. Сер. матем. 2015. 465, № 2. 150-153.
14. Fokicheva V.V., Fomenko А. Т. Billiard systems as the models for the rigid body dynamics // Studies in systems, decision and control; Advances in Dynamical Systems and Control. Vol. 69 / Ed. by V.A. Sadovnichiy, V.Z. Zgurovsky. Kiev: Springer International Publishing Switzerland, 2016. 13-32.
Поступила в редакцию 09.11.2016
