CC BY
12вершину с переключателем hv,i(x); ребро с предикатом fi+i(v),o(x), выходящее из вершины, в которую ведет ребро с номером 2 из вершины с переключателем hv,i(x) Если в вершину k(J) не входит ребро с номером 1 из какой-либо вершины с переключателем hv,i(x), то в нее входит только ребро с предикатом fi;j(x). Если j = G то ответу J сопоставлены 2 ребра: само ребро с предикатом fi;0(x) и ребро, входящее в вершину, из которой выходит ребро с предикатом fi,o(x). Если же j = G, то ответу J сопоставлено только ребро с предикатом fi,j(x).
V
ет 2pn. Так как каждому ребру графа мы сопоставили непустой ответ, причем каждому непустому ответу сопоставлено не более 5 ребер графа, получаем, что объем графа не превышает 10pn. Таким образом, утверждение 2 леммы доказано.
x
непуст, каждая его буква (а также буква x[1(x) + 1], если l(x) < n) обрабатывается либо в функции hv,i(x)
числения для этой буквы не более k + 1 предикат ов fi, j (x). Других затрат времени при обработке запроса нет. Таким образом, время, за которое запрос попадет из корня в некоторую вершину k(J), не превышает (k+1)e(x). Тем самым утверждение 3 леммы доказано, а вместе с ним и сама лемма. □ Перейдем к непосредственному доказательству теоремы 3.
Рассмотрим граф, построенный по лемме. Согласно лемме 2 из [7], этот граф можно достроить до ИГ U, решающего задачу поиска вхождений подстроки, добавив не более pn +1 Jv | — 1 ребер, причем время обработки запроса x после попадания в вершину к( J (x)) не будет превышать 2(| J (x)| — 1)t. Согласно лемме 1 из [7], |Jv | ^ 2pn. Таким образом, объем построенного графа не будет превышать 13pn, тогда как сложность обработки запроса не будет превышать (k + 1)e(x) + 2(| J(x)| — 1)t, что в свою очередь не превосходит (k + 1)Л(/, F, x), т.е. U S U+i, откуда следует верхняя оценка Qfc+i(p,n) Нижняя оценка следует го теоремы 2 и определения Q(p, n). Теорема 3 доказана.
Автор приносит благодарность профессору Э.Э. Гасанову за постановку задачи и помощь в работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Knuth D.E., Morris J.H., Pratt V.B. Fast pattern matching in strings // SIAM J. Comput. 1977. 6, N 2. 323-350.
2. Galil Z. On improving the worst case running time of the Boyer-Moore string searching algorithm // Communs ACM. 1979. 22, N 9. 505-508.
3. Navarro G., Mäkinen V. Compressed fulltext indexes // ACM Comput. Surv. 2007. 39, N 1, article 2.
4. Гасфилд Д. Строки, деревья и последовательности в алгоритмах. Информатика и вычислительная биология. СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003.
5. Гасанов Э.Э., Кудрявцев В.Б. Теория хранения и поиска информации. М.: Физматлит, 2002.
6. Кудрявцев В.В., Гасанов Э.Э., Подколзин A.C. Основы теории интеллектуальных систем. М.: Макс Пресс, 2016.
7. Перпер Е.М. Порядок сложности задачи поиска в множестве слов вхождений подслова // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2015. 19, №1. 99-116.
Поступила в редакцию 27.09.2017
УДК 154
ТОПОЛОГИЯ СЛОЕНИЙ ЛИУВИЛЛЯ ИНТЕГРИРУЕМОГО БИЛЬЯРДА
В НЕВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ
В. А. Москвин1
Исследованы плоские бильярды в невыпуклых областях, ограниченных дугами софо-кусных квадрик, а также в областях, ограниченных дугами взаимно перпендикулярных прямых. Изучена топология изоэнергетических поверхностей таких бильярдов путем вычисления молекулы Фоменко — инварианта грубой лиувиллевой эквивалентности.
1 Москвин Виктор Александрович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: aoshi.k68Qgmail.com.
Ключевые слова: бильярд, интегрируемые системы, инвариант Фоменко, слоение Ли-увилля.
Fiat billiards are studied in non-convex domains bounded by segmente of confocal quadrics and also in domains bounded by segmente of mutually perpendicular straignt lines. The topology of isoenergetic surfaces of such billiards is studied by calculating invariante of rough Liouville's equivalency also known as Fomenko's molecule.
Key words: billiard, integrable systems, Liouville's foliation, Fomenko's invariant.
Бильярдная задача (бильярд) — динамическая система, описывающая движение материальной точки внутри области с естественным абсолютно упругим отражением на границе (угол падения равен углу отражения). В монографии С.Л. Табачникова [1] дан обзор современных исследований бильярдов. Топология совместных поверхностей уровня интегралов описывается с помощью теории А. Т. Фоменко [2], которая в случае полных потоков изложена в книге Болсинова-Фоменко [2]. В настоящей работе исследуются бильярды, потоки в которых не являются полными. Это означает, что совместные поверхности уровня интегралов не являются торами. Рассмотрены квадратные плоские области. В случае таких бильярдов показано, что совместные 2-уровни интегралов гомеоморфны сферам с ручками. Также рассматриваются бильярды в невыпуклых плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик. Интегрируемость таких бильярдов была замечена В. В. Козловым и Д. В. Трещевым в [1]. В работах [3-5] построены инварианты Фоменко-Цишанга для выпуклых бильярдов, ограниченных дугами софокусных квадрик. Дальнейшее развитие этих результатов представлено в публикациях [4-15].
Определение бильярда. Рассмотрим плоскую область Q, ограниченную кусочно-гладкой кривой. Потребуем, чтобы углы излома в точках негладкости границы составляли ^ и
Рассмотрим динамическую систему, описывающую движение (материальной) точки внутри области Q с естественным отражением на границе P = dQ. Эту систему назовем бильярдом в области. Траектории, попавшие в прямые углы, мы доопределим, как обычно, по непрерывности (попадая в вершину прямого угла, точка отражается по той же траектории). Легко видеть, что поступить так же с траекториями, попавшими в вершину угла 3п/2, сохраняя при этом непрерывность системы, невозможно. Обозначим вершины тупых углов через Xk• Следовательно, некомпактным фазовым пространством данного бильярда является многообразие
M4 := {(x,v)|x € Q, x = Xk Vk, v € Tx2R, |v| > 0/
где отношение эквивалентности задается так:
(xi,Vi) ~ (X2,V2) ^ X1 = X2 € P, |vi| = |V21, Vi - V2±T;r1 P.
Здесь через TxP обозначена касательная прямая к области Q в точке x, а терез |v| евклидова длина вектора V. Это отношение эквивалентности иногда будем называть бильярдным законом.
Определение 1. Сложностью бильярда назовем число k — число углов излома граничной кривой, равных
Определение 2. Кусочно-гладкое (некомпактное) 3-многообразие Q3 = {x € M4:|v(x)| = const} назовем изоэнергетической 3-поверхностью данного бильярда.
Бильярды, ограниченные взаимно перпендикулярными прямыми. Рассмотрим простейший бильярд в прямоугольной области, в частности в квадрате. Требование абсолютной упругости удара дает нам первый интеграл: в любом таком бильярде сохраняется квадрат длины вектора скорости. Следовательно, такие бильярды являются интегрируемыми, и можно понять, что все неособые поверхности уровня второго интеграла (угол между направлением траектории и осью OX) гомеоморфны торам. Рассмотрим обобщение этой задачи — бильярд сложности k односвязной области, ограниченной взаимно перпендикулярными прямыми. Без ограничения общности будем считать, что прямые параллельны координатным линиям. Требование абсолютной упругости удара дает нам первый интеграл: в любом таком бильярде сохраняется квадрат длины вектора скорости. Второй интеграл Л системы равен углу между направлением траектории и осью OX. Из-за отсутствия гладкости системы и неполноты потоков теорема Лиувилля [2] неприменима и более того совместные слои интегралов не будут гомеоморфны объединению торов. Пусть Gk — односвязный k
Определение 3. Назовем особыми точками области (бильярда) вершины углов 3п/2, а особыми точками многообразия — прообразы при естественной проекции п : ^ О особых точек области.
Теорема 1. Для, всех неособых (не. равных 0 и значений интеграла А поверхность уровня интеграла Л = а в изоэнергетической поверхности Q3 бильярда в С гомеоморфна сфере с (к + 1) ручками и к выколотыми точками, являющимися прообразами углов, равных Щ-. Для, особых (т.е.. равных 0 и значений 'интеграла А поверхность уровня, го.иео.иорфна к лентам ([0,1] х [0,1]).
к
к
База индукции. Для к = 0 утверждение верно, так как в прямоугольнике слои второго интеграла это торы (см. [1]).
к = 1 Л = а
х € О определены четыре вектора скорости ы, гд е г € {1,..., 4}, так, ч то (ж, —) принадлежит уровню интеграла Л. Обозначим экземпляры области О, оснащенные векторами скорости, следующим образом: (О, VI) — векторы скорости, направленные в первый квадрант; (О,-2) — векторы скорости, направленные во второй квадрант; (О,-из) — в третий квадрант, (О,-4) — в четвертый квадрант. Заметим, что согласно закону отражения на горизонтальных сегментах границы склеиваются (О, ы) с (О,-2) и (О,-з) с (О, -4). А на вертикальных склеиваются (О,-1) с (О,-4) и (О,-2) с (О,-з). Уровень
О
гомеоморфен сфере с одной ручкой. Если слой интеграла особый, то каждой точке соответствуют только два вектора скорости и утверждение устанавливается аналогично.
к
точек у = а. Рассмотрим все точки с такой ординатой и проведем горизонтальную прямую у = а. Ниже этой прямой окажется от 1 до к — 2 несвязных квадратов, которые обозначим через О^, а выше — область со строго меньшим числом особых точек, которую обозначим через О'. Рассмотрим оснащение точек х € О векторами скорости. Как и прежде, каждой точке соответствуют четыре вектора скорости. Искомый слой интеграла будет склеиваться из четырех экземпляров области.
Зафиксируем г. Рассмотрим мучай, когда па О^П \
О' лежит одна особая точка. Склеим четыре области в один многоугольник, причем одно из ребер склей- ^^
ки — это сторона О^ без особого угла. Заметим, что „4 \
О' имеет код Ш' = АВ (рис. 1). Рассмотрим код этого 1-—Р
многообразия: 2 X
Ш = Аа- 1а2а3а 1Ва4 1а3 1а2 1а4. т_^
а4 \
Новая система разрезов переводит слово Ш = АаЕЬР \
а-^Ь-1 В в слово Ш' = AQPаЬа4lЬ4lRB. Отождест- \
вим все граничные точки, после этого исходное слово \ / в
примет вид
Ш = АВа^2а- а- . Рис. 1. Развертка многообразия Ш
Согласно предположению индукции Ш' = АВ уже имеет требуемый вид. Получили нужное утверждение.
Пусть теперь О^ приклеивается с двумя особыми точками. В этом случае аналогично склеим многоугольник из четырех кусков и рассмотрим код многообразия. После аналогичных операций, пользуясь предположением индукции, получим утверждение теоремы.
Невыпуклые бильярды, ограниченные дугами софокусных квадрик.
(х, у)
семейства определим следующим образом:
(Ь — Л)ж2 + (а — Л)у2 = (а — Л)(Ь — Л), Л < а.
Здесь то > а > Ь > 0 — фиксированная пара чисел (определяющая семейство софокусных квадрик), Л — параметр семейства (определяющий квадрику семейства). При Л € (0,а) где Л = Ь, — это эллипсы или гиперболы. При Л = Ь — это объединение вырожденной гиперболы (образованной двумя горизонтальными лучами из фокусов) и вырожденного эллипса (отрезка между фокусами).
Вертикальную прямую, соответствующую параметру Л = а, мы будем называть гиперболой (а не вырожденной гиперболой).
Определение 5. Элементарным бильярдом О сложноети к назовем односвязное подмножество плоскости с кусочно-гладким краем, причем его граница состоит из сегментов софокусных квадрик семейства, ровно к углов между которыми превышают п.
В плоском двумерном случае из теоремы Якоби Шаля [1] следует, что касательные в любой точке бильярдной траектории внутри области О являются касательными к эллипсу или гиперболе, софокусным с семейством квадрик, образующих границу Р облает и О. Относительно стандартной симплектической структуры на плоскости функция |-и| — модуль вектора скорости и функция Л
бильярда, то в пределе они коммутируют и на границе области (исключая особые точки). Таким образом, данный бильярд обладает двумя независимыми интегралами.
Классификация элементарных бильярдов сложности 1.
О
семейства, называется эквивалентным другому элементарному бильярду Оо, ограниченному дугами квадрик из того же семейства, если Оо получается из О композицией следующих преобразований:
1) непрерывного изменения границы в классе софокусных квадрик, такого, что квадрика, на которой лежит изменяемый сегмент, являлась невырожденной во время деформации;
2) симметрии относительно оси семейства.
Теорема 2. Любой элементарный бильярд сложности I эквивалентен одному из 14 бильярдов и принадлежит одной из следующих двух серий:
1) элементарные бильярды серии Б, содержащие отрезок фокальной прямой между фокусами {внутри области или на, ее границе). Существует ровно 7 таких типов. Все такие бильярды изображены на рис. 2;
2) элементарные бильярды серии Ь, которые не содержат, отрезок фокальной прямой между
фокусами. Такие бильярды, имеют вид шестиугольника, ограниченного дугами эллипсов и гипер-{
)
2
О
простейший элементарный бильярд.
Рассмотрим сетку эллиптических координат на плоскости. Разрежем плоскость вдоль двух лучей вырожденной гиперболы и определим отображение / из разрезанной плоскости с эллиптической координатной сеткой в полосу с прямоугольной координатной сеткой, при этом все гиперболы перейдут в вертикальные прямые, а все эллипсы в пары горизонтальных отрезков. Граница полосы будет состоять из двух прямых, из которых состоит образ вырожденной гиперболы. Таким образом, на границе полосы определена склейка, переводящая эту полосу в плоскость. В дальнейшем мы будем пользоваться моделью полосы с опре-Рис. 2. Элементарные бильярды сложности 1 деленной склейкой на границе.
Образ f (Q) области Q на плоскости, ограниченной дугами квадрик семейства, в полосе будет ограничен отрезками вертикальных и горизонтальных прямых.
Лемма 1. Если особая точка не лежит на луче вырожденной гиперболы, то область f (Q) является несвязным объединением, не более чем двух прямоугольников и шестиугольника с пятью прямыми углам,и, и, углом, —.
Доказательство. Область Q связна, а значит, при разрезе вдоль дуг вырожденных гипербол она распадается не более чем на три связных куска (область связна, а особая точка ровно одна). Обозначим их w^ i < 4. Отображение f является биекцией между областью с двумя разрезами вдоль вырожденных гипербол и полосой, а значит, f (wi) П f (wj) = 0 при i = j Рассмотрим f (wi). Заметим, что в области всего один угол ^ и граница ограничена дугами софокусных эллипсов и гипербол. Если граница wi (а значит, и граница f (wi)) не содержит особых точек, то она гомеоморфна диску, а так как она ограничена прямоугольными отрезками, то является прямоугольником. Если па границе wi особая точка есть, то f (wi) будет шестиугольником. Поскольку особая точка не может
(wi)
со сложностью 1.
Пусть особая точка не лежит на луче невырожденной гиперболы. Рассмотрим каждый случай отдельно.
1. Пусть f (Q) — шестиугольник. Рассмотрим следующие случаи:
а) шестиугольник f(Q) расположен строго выше (или ниже) оси Ox, тогда Q эквивалентна либо Lo (угол строго внутри полосы), либо L- (одна вертикальная сторона расположена па границе полосы), либо L- (обе вертикальные стороны расположены па границах полосы);
б) шестиугольник f (Q) расположен строго и в положительной, и в отрицательной частях полосы, тогда:
(i) если ни один отрезок границы шестиугольника не лежит на оси OX и ни один вертикальный отрезок границы не касается полосы, это область S0;
(ii) случай, когда ни один из отрезков границы шестиугольника не лежит на оси OX, а вертикальные отрезки границы лежат на полосах, невозможен (два эллипса одного семейства не пересекаются);
(iii) если па оси OX лежит нижняя граница шестиугольника, то это области SO, S- ми S2 в зависимости от количества вертикальных отрезков границы на полосах;
(iv) если па оси OX лежит средний отрезок границы угла, то это одна из областей S', SO или
S^ в зависимости от количества вертикальных отрезков границы на полосах.
2. Пусть f (Q) — объединение шестиугольника и прямоугольника. Тогда в силу связности v угла и прямоугольника существует по крайней мере одна пара равных вертикальных сторон, расположенных на одной границе полосы симметрично относительно оси Ox Если существует одна пара таких сторон, то это область L- ми L2. Если склеились две пары сторон, то такая область неодносвязна.
3. Пусть f (Q) — объединение двух прямоугольников и шестиугольника, в этом случае это об-L2
Если особая точка лежит на луче невырожденной гиперболы, то угол может быть образован только двумя эллипсами и фокусной прямой, а следовательно, это область S-.
Аналог теоремы Лиувилля для элементарных бильярдов сложности 1.
Определение 7. Фиксируем элементарный бильярд Q. Граница области Q образована сегментами эллипсов и гипербол семейства. Рассмотрим те сегменты границы, которые лежат на невырожденных эллипсах и гиперболах и являются выпуклыми по отношению к области Q. Если эти сегменты границы не содержат особых точек, то обозначим через mini и maxj значения параметра Л, которым соответствуют выпуклые эллиптические и гиперболические сегменты границы области Q такого типа. Если область Q имеет непустое пересечение с прямой Ov, то дополним набор maxj значением а. Значение параметра Л выпуклых сегментов границы, на которых лежат особые точки, обозначим через resk.
Л
1) (локально) минимальные значения интеграла Л = mini;
2) седловое значение интеграла Л = b;
3) (локально) максимальные значения интеграла Л = maxj;
4) значения Л = resi.
Определение 8. Траектории бильярдного движения в (элементарном) бильярде Q, целиком
лежащие на дугах квадрик с параметрами minj и maxj, траектории, лежащие на седловом уровне интеграла А = ft, и траектории, лежащие на уровнях А = res^, назовем особыми.
При минимальном значении интеграла А = ткц каждому выпуклому эллиптическому сегменту границы области Q, лежащему на эллипсе с параметром mini, соответствуют траектории, которые представляют собой не кусочно-прямолинейные движения, а движения вдоль дуг эллипса с параметром ткц. В многообразии Q3 эти траектории являются объединением нескольких окружностей (одной или двух). Так как эти сегменты являются выпуклыми, то других траекторий на этом уровне интеграла, отражающихся от частей границы, соответствующих значению интеграла А = miщ, нет. При седловом значении интеграла А = ft траектории обладают следующим свойством: касательные к ним поочередно проходят через фокусы семейства (фокус меняется при отражении траектории от границы области). При максимальном значении интеграла А = maxj < a каждому выпуклому гиперболическому сегменту границы области Q, лежащему на гиперболе с параметром maxj, соответствуют траектории, которые представляют собой не кусочно-прямолинейные движения, а движения вдоль дуг гиперболы с параметром maxj. В многообразии Q3 эти траектории являются объединением нескольких окружностей. Все другие траектории (если они существуют), как будет показано далее, лежат на торах. При А = maxj = a все траектории представляют собой вертикальные движения вдоль оси ординат. В многообразии Q3 эти траектории также являются объединением нескольких окружностей.
А
энергетической поверхности Q3 элементарного бильярда Q гомеоморфна объединению сфер с (k + 1) ручкой и k выколотыми точками, где k — количество особых точек внутри интегрального эллипса, если А < ft, или интегральной гиперболы, если А > ft.
Доказательство. Проведем доказательство для значений интеграла А < ft. Вырежем из элементарной области Q область, лежащую внутри интегрального эллипса (область, в которую не проектируются точки, лежащие на этом уровне интеграла), и обозначим ее через Q'. Многообразие Q' — это в точности результат естественной проекции поверхности уровня интеграла А на область Q. Фиксируем некоторую связную часть Q' и обозначим ее через Qj.
В каждой внутренней точке x облает и Qj определены четыре вектора скорости Vj, i €{1,..., 4}, так, что (x, Vi) лежит на соответствующем уровне интеграла. Как и в случае прямоугольных областей, обозначим экземпляры области, оснащенные векторами скорости, следующим образом: (Qj,Vi) — векторы скорости, направленные по часовой стрелке к интегральному эллипсу; (Qj,V2) — векторы скорости, направленные по часовой стрелке от интегрального эллипса; (Qj,V3) — против часовой стрелки от интегрального эллипса; (Qj,V4) — против часовой стрелки к интегральному эллипсу.
Заметим, что согласно закону отражения на эллиптических сегментах границы (Qj, vi) склеивается с (Qj, V2), (Qj, V3) с (Qj, V4), а на гиперболических (на дугах гипербол и прямых) (Qj,vi) — с (Qj, v4), (Qj, v2) — с (Qj, v3). На интегральном эллипсе vi с v2 и v3 с v4 тоже тождественно совпадают. Правила склейки многообразия из четырех экземпляров области полностью аналогичны таковым для квадратных областей, где эллиптические и гиперболические сегменты границы области соответствуют горизонтальным и вертикальным сегментам границы квадратной области. По теореме 1
kk ней интеграла (А > ft) проводится аналогично.
Описание слоения Лиувилля. Рассмотрим особый уровень интеграла А = ft. Из оптического свойства квадрик следует, что траектории, соответствующие особому уровню интеграла, лежат на прямых, проходящих через фокусы. То есть каждую точку области, кроме фокусов, можно оснастить четырьмя векторами скорости, направленными к фокусам и от фокусов. Метод, реализованный ниже, был использован в работе В.В. Фокичевой для вычисления седловых атомов выпуклых бильярдов, ограниченных дугами софокусных эллипсов и гипербол [3].
Теорема 4. Прообраз А = ft в изоэнергетической поверхности Q3 для элементарного бильярда
Q
1) атом у B + B для области S0; L2; L'2 (рис. 3);
2) атом у B + T2 х I для области S'0 (рис. 3);
3) произведению сферы, с двумя ручками без точки на отрезок для Lo; ¿0; Li, S0 L'/; ¿2; Si/
4) атом у A* + T2 х I для областей S^ ¿>2, Si (рис. 4).
Доказательство. 1. Рассмотрим область So. Интервал (/ь/2) фокальной прямой расположен между фокусами /i и /2. Пусть s = [si,s2] € (/i, /2) _ отрезок, такой, что гипербола, принад-
лежащая софокусному семейству и проходящая через точку хо € в, имеет непустое пересечение с областью О. Оснастим каждую точку хо € в двумя единичными векторами скорости -ш, направленными горизонтально к правому и левому фокусам. Рассмотрим дугу ЛД гипербол ы Лд семейства, проходящую через эту точку. Зафиксируем вектор скорости в точке хо € в и оснастим дугу гиперболы сонаправленно этому вектору. А именно если этот вектор был направлен вправо, то оснастим точки гиперболы векторами VI и -2, направленными соответственно к правому фокусу и от левого фокуса (такие гиперболы назовем правыми). Если же вектор был направлен влево, то оснастим гиперболу векторами -из и -4, направленными от правого фокуса и к левому фокусу соответственно
О
имеем (ж,-1) ~ (х,-2) (соответственно (х,-з) ~ (х,-4)). Если же точка хо € в лежит па гиперболическом сегменте границы области, то по закону отражения она может быть оснащена одним вектором скорости (или двумя эквивалентными друг другу векторами). В этом случае векторы, которые направлены вправо и влево и которыми оснащается гипербола Лд, проходящая через такую точку хо (в этом случае дуга гиперболы Лд совпадает с сегментом границы области), склеиваются друг с другом по закону отражения: {х,г1) ~ (ж,-4) и (ж,г2) ~ {ж,гз). Таким образом, правые дуги гиперболы склеиваются с левыми дугами.
Рис. 3. Седловые атомы для бильярдов Б1, Б^, Б1 Рис. 4. Седаовые атомы для бильярдов Бо, Б0
Рассмотрим гиперболический сегмент границы, на котором лежит особая точка. Назовем гиперболу Лд, проходящую через этот сегмент, правой особой или левой особой гиперболой в зависимости
Ло
Л = 1
бой гиперболы (прообраз особой гиперболы выделен на рис. 4 черным цветом) происходит склейка по закону отражения. На нижней части в каждой точке (кроме эллиптического сегмента границы и точек фокальной прямой) определены два вектора скорости. Прообраз всех дуг гипербол, кроме особой, при естественной проекции слоя интеграла на область это восьмерка. Прообраз дуг особой гиперболы три окружности (так как в особой точке векторы скорости не определены). Верхняя часть дуги правой особой гиперболы склеивается с верхней частью дуги левой особой гиперболы, а нижняя часть правой дуги особой гиперболы с неособыми гиперболами семейства, соответствующими большему параметру Л > Ло- Нижняя часть левой дуги особой гиперболы склеивается с неособыми дугами гипербол больших) параметра. Правые и левые дуги неособых гипербол параметра Л > Ло склеиваются па гиперболическом сегменте границы. Для областей Ь^ и Ь2 заменим гиперболы на эллипсы, оснащенные векторами скорости, направленными от фокусов и к фокусам. Дальнейшие рассуждения аналогичны.
2. Для области Бо доказательство аналогично.
3. Рассмотрим области Ьо, Ь/, Ьо, Ь'/. Также рассмотрим расслоение области па дуги софокус-ных гипербол. Прообраз всех гипербол, кроме граничной, окружность (так как в каждой точке определены два вектора скорости). Прообраз особой гиперболы восьмерка. Гиперболы меньшего параметра приклеиваются к восьмерке с одной стороны, больших) с другой. Получается сфера с двумя ручками и выколотой точкой.
4. Рассмотрим Б' и Б2- Дуги ЛД софокуспых гипербол Лд, принадлежащие семейству и попавшие
в область, не пересекаются, а их объединение при Л < b заполняет область Q без горизонтального отрезка [f2, е]. В [3] показано, что прообраз дуг оснащенных гипербол h-л для Л < Ло (также и для Л > Ло в случае области $2) гомеоморфен прямому произведению окружности на отрезок. Склеивая цилиндры, соответствующие параметру Л > Ло и Л < Ло, по прообразу особой гиперболы, получим сферу с двумя ручками.
5. Рассмотрим области и S2- В [3] показано, что прообраз объединения дуг оснащенных гипербол h^ для Л < Ло гомеоморфен прямому произведению восьмерки на отрезок (см. рис. 3). Прообразом объединения дуг оснащенных гипербол параметра Л > Ло будет цилиндр. При склейке по особой окружности получим A* + T2 х I. В случае 5*1 проводятся аналогичные рассуждения для оснащенных эллипсов.
Рассмотрим слой второго интеграла Л = res. Поверхности уровня второго интеграла Л = res—е и Л = res+e имеют разный род, так как из области возможного движения либо пропадает особая точка и тогда род многообразия уменьшается, либо род многообразия увеличивается, когда особая точка появляется в области возможного движения.
Определение 9. Обозначим через Г1 прообраз значения интеграла Л = res = b, если при увеличении параметра интегральной квадрики количество особых точек в интегральной области увеличится, и через Г2 в обратном случае.
Лемма 2. Двумерные комплексы Гj где i = j и i, j = 1, 2, гомеоморфны несвязному объединению торов, к одному из которых приклеена окружность по особой точке.
Доказательство. При
Л=
sq,l2,l2-а- Tj —|— в+в______есть одна или несколько выпук-
лых областей, ограниченных дугами софокусных квадрик и
l'0 , l0, b\, s'0 ,, s'2 , l'[-а — rf-1-tj2- а одной области, содержащей сегмент границы, соответствую-а щий интегральной квадрике Л=
д мента границы, то это выпуклая область, ограниченная s\,s2,s\ -► а- Г1 —|— а + т2х1—\— -а квадриками семейства, и ее
прообразом при естественной Рис. 5. Молекулы Фоменко для областей серии $ и l проекции П : Q3 ^ Q будет
тор. Если же сегмент границ присутствует, то прообразом при естественной проекции будет тор с приклеенной окружностью. Так как в каждой точке храничного сегмента определены два вектора скорости, а в особой точке векторы скорости не определены, то прообраз сегмента границы,
Л=
Вычисление молекулы Фоменко. В данном случае молекула является лишь удобным способом описания топологии многообразия Q3, так как теорема Фоменко [2] для неполных потоков пока не доказана. Перечеркнутым линиям на молекулах рис. 5 соответствуют слои, гомеоморфные сфере с одной ручкой; указанные атомы описаны в теореме 4.
Автор приносит благодарность А. Т. Фоменко за постановку задачи и внимание к работе, В. В. Ведюшкиной за многочисленные ценные обсуждения.
Работа выполнена при финансовой поддержке программы "Ведущие научные школы РФ" (грант № НШ 6399.2018.1) и РФФИ (грант № 16 01 00378-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Табачников С.Л. Геометрия и бильярды. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2011.
2. Болсинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 1999.
3. Фокичева В.В. Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матом, сб. 2015. 206, № 10. 127 176.
4. Dragovic V., Radnovic М. Bifurcations of Liouvillo tori in elliptical billiards // Regnllar Chaotic Dyn. PAH. 2009. 14. 479 494.
5. Драгович В., Радиович M. Интегрируемые бильярды, квадрики и многомерные поризмы Понесло. М.: Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2010.
6. Bolsinov А. V., Fomenko А. Т., Oshemkov A.A. Topological methods in the theory of integrable hamiltonian. Cambridge: Cambridge Sci. Publ., 2006.
7. Кудрявцева E.A., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 3-96.
8. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Симметричные и неприводимые абстрактные многогранники // Современные проблемы математики и механики. Т. 3. Математика. Вып. 2. Геометрия и топология. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2009. 58-97.
9. Кудрявцева Е.А., Фоменко А.Т. Группы симметрии правильных функций Морса на поверхностях // Докл. РАН. Сер. матем. 2012. 446, № 6. 615-617.
10. Кудрявцева Е.А., Фоменко А. Т. Любая конечная группа является группой симметрии некоторой карты (атома-бифуркации) // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 3. 21-29.
11. Фок/ичева В.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые бильярды моделируют важные интегрируемые случаи динамики твёрдого тела // Докл. РАН. Сер. матем. 2015. 465, № 2. 150-153.
12. Fokicheva V., Fomenko Т. Billiard systems as the models for the rigid body dynamics // Studies in Systems, Decision and Control. Advances in Dynamical Systems and Control. Vol. 69/ Ed. by V. Sadovnichiy, M. Zgurovsky. Springer; Int. Publ. Switzerland, 2016. 13-32.
13. Ведюшкина В.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые топологические бильярды и эквивалентные динамические системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. 81, № 4. 20-67.
14. Кудрявцева Е.А. Аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых гамильтоновых систем с неполными потоками // Докл. РАН. 2012. 445, № 4. 383-385.
15. Kudryavtseva Е. An analogue of the Liouville theorem for integrable Hamiltonian systems with incomplete flows // Doklady Math. 2012. 86, N 1. 527-529, arXiv: math.DG/1203.5455.
Поступила в редакцию 27.10.2017
УДК 519.622
ОБОСНОВАНИЕ ОДНОГО ПОДХОДА К ПРИМЕНЕНИЮ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
О. Б. Арушанян1, С. Ф. Залеткин2
Доказана теорема о разрешимости системы нелинейных уравнений относительно приближенных значений коэффициентов Фурье—Чебышёва. Теорема является теоретическим обоснованием метода интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с использованием рядов Чебышёва и квадратурных формул Маркова.
Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, приближенные аналитические методы, численные методы, ортогональные разложения, смещенные ряды Чебышёва, квадратурные формулы Маркова.
A solvability theorem for a nonlinear system of equations with respect to approximate values of Fourier-Chebyshev coefficients is proved. This theorem is a theoretical substantiation for the numerical solution of second order ordinary differential equations using Chebyshev series and Markov quadrature formulas.
Key words: ordinary differential equations, approximate analytical methods, numerical methods, orthogonal expansions, shifted Chebyshev series, Markov quadrature formulas.
Рассматривается задача Коши для канонической системы M обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
y''(x) = /(x,y(x),y'(x)), y(xo) = yo, y'(xo) = xo < x < xo + X, (1)
1 Арушанян Олег Багратович — доктор техн. наук, проф., зав. лаб. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: arush® srcc. msu .ru.
2 Залеткин Сергей Федорович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: irazQsrcc.msu.ru.
